Theoretische Informatik I

Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Wintersemester 2002/03
4. Dezember 2002
Theoretische Informatik I
8. Übung
Aufgabe 1 Das Problem Maximum Spanning Tree ist analog zu dem Problem Minimum
Spanning Tree definiert, nur sollen nun die Summen der Kantengewichte maximiert werden.
Entwerfen Sie zur Lösung des Problems Maximum Spanning Tree einen effizienten Algorithmus
und beweisen Sie seine Korrektheit.
Aufgabe 2 Es sei das erste Objekt-Array vom Algorithmus von Kruskal gegeben, d. h. ein
n-elementiges Array A, so dass in A[i] die Menge steht, in der Element i ∈ {1, . . . , n} enthalten
ist. Zusätzlich ist für jede Menge ihre Größe und eine Liste der Elemente in der Menge gegeben.
Es wurde in der Vorlesung gezeigt, dass die Laufzeit für jede Folge von UNION-Befehlen auf n
Elementen höchstens O(n log(n)) ist. Geben Sie eine Folge von UNION-Befehlen auf n Elementen an, deren Laufzeit wirklich Θ(n log(n)) beträgt, wobei Sie n als Zweierpotenz annehmen
können.
Aufgabe 3
(a) Sei (X, M ) ein Matroid. Zeigen Sie, dass alle bezüglich ⊆“ (Inklusion) maximalen Teil”
mengen einer beliebigen Menge Y dieselbe Kardinalität haben.
(b) Was bedeutet dies für die durch den Greedy-Algorithmus erzeugten optimalen Lösungen?
Aufgabe 4 Es werden Permutationen der Zahlen 1, . . . , n betrachtet.
(a) Überlegen Sie, wie man die n! Permutationen systematisch aufzählen kann.
(b) Entwerfen Sie einen möglichst effizienten Algorithmus, der zu einer gegebenen Permutation (a1 , . . . , an ) der Zahlen 1, . . . , n in der unter (a) angegebenen Ordnung den direkten
Nachfolger findet.
Hinweis:
Eine Permutation der Zahlen 1, . . . , n ist eine Anordnung der Zahlen 1, . . . , n in einer bestimmten Reihenfolge. Seien (a1 , . . . , an ) und (b1 , . . . , bn ) zwei Permutationen der Zahlen, dann ist
(b1 , . . . , bn ) lexikographisch größer als (a1 , . . . , an ), falls es ein 1 ≤ j ≤ n gibt, so daß ai = bi für
alle i < j und aj < bj gelten. Zum Beispiel ist (1, 2, 5, 3, 4) lexikographisch größer als (1, 2, 3,
5, 4).