Analysis I - TU Darmstadt/Mathematik

TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. L. Kramer
Martin Fuchssteiner
Lisa Steiner
WS 2004/05
27.10.2004
Analysis I
3. Tutorium
(T 1) Nachfolgerstrukturen
(a) Ja, die Abbildung ψ : 2N → 2N,2n 7→ 2n + 2 ist eine Nachfolgerabbildung, so daß
(2N, ψ) mit 0 als ausgezeichnetem Element den Peano-Axiomen genügt.
(b) Ja, die Abbildung
ψ : Z → Z,
z 7→
−z
falls z > 0
−z + 1 falls z ≤ 0
ist eine Nachfolgerabbildung, so daß (2N, ψ) mit 0 als ausgezeichnetem Element den
Peano-Axiomen genügt.
(T 2) Peano-Axiome
Die Peano-Axiome für eine Nachfolgerstruktur (M, ϕ), d.h. eine Menge M und eine Nachfolgerabbildung ϕ : M → M lauten:
(P1) Es gibt ein Element 0 ∈ M , welches kein Nachfolger ist.
(P2) Die Nachfolgerabbildung ist injektiv.
(P3) Für jede Teilmenge M 0 ⊂ M , welche 0 ∈ M 0 und ϕ(M 0 ) ⊂ M 0 erfüllt gilt schon
M0 = M.
Die Nachfolgerstruktur (M, ϕ) mit M = {0, 1}, ϕ(0) = 1 und ϕ(1) = 0 verletzt (P1).
Die Nachfolgerstruktur (M, ϕ) mit M = {0, 1, 2}, ϕ(0) = 2, ϕ(1) = 2 und ϕ(3) = 1 verletzt
(P2).
Die Nachfolgerstruktur (N, ϕ) mit
ϕ(n) =
n + 2 falls n ∈ 2N
n
falls n ∈ 2N + 1
verletzt das Axiom (P3).
(T 3) Eindeutigkeit
(a) Die Abbildung ϕ : N → 2N, n 7→ 2n ist die gesuchte, denn es gilt ϕ(0) = 0 und
ϕ(n + 1) = 2(n + 1) = 2n + 2 = ϕ(n) + 2.
(b) Natürlich gibt es auch eine solche Abbildung für die ganzen Zahlen Z, wenn sie mit
einer den Peano-Axiomen genügenden Nachfolgerstruktur versehen sind. Für das Beispiel auf Aufgabe 1 ist dies die Funktion
n+1
falls n ∈
/ 2N
2
.
ϕ(n) =
n
− 2 falls n ∈ 2N + 1
(T 4) Produkte
(a) Ja , es gilt auch die die umgekehrte Implikation, d.h. [X × Y = ∅] ⇒ [X = ∅] ∨ [Y = ∅].
Denn wenn weder X noch Y leer sind, dann gibt es ein Element x in X und ein
Element y in Y . Damit liegt das geordnete Paar (x, y) = {{x}, {x, y}} im Produkt
X × Y , welches somit nicht leer ist.
(b) Das Produkt einer n- und einer m-elementigen Menge enthält genau m · n Elemente.
Daher enthält das Produkt einer 3- und einer 5-elementigen Menge genau 15 Elemente.
(T 5) Projektionen
(a) Falls die Mengen X und Y nicht leer sind sind die Projektionen p1 und p2 immer
surjektiv: Da Y nicht leer ist gibt es ein Element y ∈ Y . Somit ist für jedes Element x
aus X das geordnete Paar (x, y) ein Element aus X × Y , das unter p1 auf x abgebildet
wird. Analoges gilt für die Projektion p2 .
Die Projektion p1 ist nur dann surjektiv, wenn es zu jedem Element x ∈ X genau ein
Paar (x, y) ∈ X × Y gibt, das unter p1 auf x abgebildet wird. Dies ist genau dann der
Fall, wenn Y einelementig ist. Analoges gilt für die Projektion p2 .
(b) Im Fall Y = ∅ ist die Projektion p1 injektiv (weil X × Y leer ist). Weiterhin kann die
Projektion p1 hier nur dann surjektiv sein, wenn X auch leer ist. Die Projektion p2 ist
im Fall Y = ∅ sogar immer bijektiv.