Lösungen / Solutions

M ATHEMATIK I - W INTERSEMESTER 2016/2017
L ÖSUNGEN ZUM 1. Ü BUNGSBLATT LINEARE ALGEBRA
Aufgabe 1
a) Die Negation der Aussage Die Sonne scheint an allen Tagen lautet Es gibt einen Tag, an
dem die Sonne nicht scheint.
b) Die Aussage lautet symbolisch:
^ _
: q=y
y ∈N q ∈Q
Um diese Aussage zu negieren, drehen wir die Quantoren um und negieren die Aussage:
_ ^
: q 6= y
y ∈N q ∈Q
man liest dies als: Es gibt ein y ∈ N, so dass für alle q ∈ Q gilt q 6= y, was eine falsche
Aussage darstellt.
c) Die Aussage lautet symbolisch:
_
: D 6⊂ Q
D ⊂R
Um diese Aussage zu negieren, drehen wir den Quantor um und negieren die Aussage:
^
: D⊂Q
D ⊂R
man liest dies als: Für alle Teilmengen D ⊂ R der reellen Zahlen gilt, dass sie auch Teilmengen der rationalen Zahlen sind D ⊂ Q, was ebenfalls eine falsche Aussage darstellt.
Aufgabe 2
a) ( A ∪ B) ∩ D = {2, 4, 6} (beachten Sie, dass sich bei Veränderung der Klammersetzung
ein anderes Ergebnis ergibt: A ∪ ( B ∩ D ) = {1, 2, 3, 4, 6}, die Klammersetzung ist also
entscheidend!)
b) C ∪ { 21 x : x ∈ C } = {50, 100, 150, 200, 300, 400}
c) ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) = {3, 4} (dagegen gilt A ∩ ( B ∪ A) ∩ C = {})
Distrib.
d) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) = {3, 4}
e) ( A ∩ B) ∪ C = {3, 4, 100, 200, 300, 400}
f) A ∪ ( B ∩ D ) = {1, 2, 3, 4, 6}
Distrib.
g) ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ D ) =
A ∪ ( B ∩ D ) = {1, 2, 3, 4, 6}
h) A × C = {( a, c) : a ∈ A ∧ c ∈ C } = {(1, 100), (1, 200), . . . , (4, 300), (4, 400)}; Bem.:
| A × C | = 4 · 4 = 16
1
Aufgabe 3
Voraussetzung: A ⊂ B ⊂ C ⊂ R sowie a ∈ A, b ∈ B.
a) a ∈ C: Aussage ist wahr – klar, da a ∈ A ⊂ C.
b) b ∈ A: Aussage ist im Allgemeinen falsch. Gegenbeispiel A = [0, 1], B = R, b = 2. Es
gilt A ⊂ B 3 b aber b 6∈ A. Dass die o. g. Aussage falsch ist bedeutet nicht, dass es kein
b ∈ B gibt, mit b ∈ A, dies hängt entscheidend von der Wahl von b ab.
c) Ā ⊃ B̄: Aussage ist wahr: zu zeigen ist b ∈ B̄ ⇒ b ∈ Ā. Sei also b ∈ B̄ also b 6∈ B.
wegen B ⊃ A folgt b 6∈ A, anders ausgedrückt b ∈ Ā.
d) (C ∩ A) ∪ ( B ∩ A) ⊃ C: Aussage ist i. a. nicht wahr: Es gilt C ∩ A = A, da C ⊃ A sowie
B ∩ A = A, da B ⊃ A. Hieraus folgt (C ∩ A) ∪ ( B ∩ A) = A ∪ A = A. Hieraus ergibt
sich unmittelbar (C ∩ A) ∪ ( B ∩ A) = Ā, aber es ist Ā 6⊃ C, denn für a ∈ A gilt a ∈ C,
da A ⊂ C. Gälte nun Ā ⊃ C, so wäre a ∈ Ā, da a ∈ C. Es kann aber wegen a ∈ A nicht
a ∈ Ā sein, Widerspruch!
Es gibt aber durchaus ein a ∈ C mit a ∈ Ā: Wählt man a ∈ C \ A, so gilt einerseits
a ∈ C und andererseits a 6∈ A, also a ∈ Ā
Aufgabe 4
a) f : N → N, n 7→ n + n: Es gilt f (n) = n + n = 2n, dieser Wert ist stets gerade. Die
ungeraden Zahlen werden somit durch die Abbildung f nicht wertemäßig getroffen
und liegen daher nicht in W f . Die Abbildung ist also nicht surjektiv. Die Abbildung
ist jedoch injektiv, da für ein m ∈ W f genau ein n ∈ N existiert mit m = 2n, nämlich
n = m2 . Da sie nicht surjektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv.
b) Die Abbildung f : R \ {0} → R, x 7→ 1x ist nicht surjektiv, da für 0 ∈ R kein x ∈ R \
{0} existiert mit 0 = f ( x ). Die Wertemenge W f ist also kleiner als die rechtsstehenden
Menge R. Die Abbildung ist aber injektiv, denn für ein bestimmtes y ∈ W f gibt es nur
ein einziges x ∈ R \ {0} mit y = f ( x ). Formal kann die Injektivität auch anders gezeigt
werden: Man setze zwei Werte aus W f gleich: y1 = y2 und zeige, dass zugehörige xWerte auch gleich sein müssen:
1
1
= f ( x1 ) = y1 = y2 = f ( x2 ) = .
x1
x2
Daher folgt x1 = x2 .
c) Die Abbildung f : R \ {0} → R \ {0}, x 7→ 1x ist dagegen surjektiv, da für ein belie1
biges y ∈ R \ {0} ein x = y1 ∈ R \ {0} existiert mit y = f ( x ) = f (y) = 1/y
= y, also
ist W f = R \ {0} und die Surjektivität damit formal gezeigt. Nach der Argumentation
der vorhergehenden Aufgabe ist die Abbildung ist auch injektiv. Da beides (injektivität
und Surjektivität) vorliegt, ist f bijektiv.
d) Bei Division einer Zahl durch 6 können nur die ganzen Zahlen von 0 bis 5 als Rest
auftreten. Diese Zahlen treten auch alle auf, d.h. man kann für jede der ganzen Zahlen
von 0 bis 5 eine ganze Zahl finden, die bei Division durch 6 die jeweilige Zahl ergibt
(beispielsweise leistet dies die jeweilige Zahl selber).
2
Da also jedes Element der rechts stehenden Menge durch die Abbildung f getroffen
wird, also W f = {0, 1, 2, 3, 4, 5} gilt, ist f surjektiv.
Die Abbildung f ist jedoch nicht injektiv. Beispielsweise gibt es für die Zahl 3 ∈ W f
mehr als ein Element also mindestens zwei Elemente, z. B. 9, 15 ∈ N, der links stehenden Menge, mit der Eigenschaft f (9) = f (15), da beide Zahlen den selben Rest,
nämlich 3, bei Division durch 6 ergeben.
Wegen der fehlenden Injektivität ist f auch nicht bijektiv.
Aufgabe 5
a)
10
∑ k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =
k =1
10 · 11
= 55,
2
alternativ (mit dem Mittelwert der zehn Zahlen):
10
∑ k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.5 · 10 = 55.
k =1
b)
2
1 2
3
k
1
∑ ( 2 + 3) = 2 ∑ k + ∑ 3 = 2 (−3 − 2 − 1 + 0 + 1 + 2) + 6 · 3 = − 2 + 18 = 16.5
k=−3
k=−3
k=−3
2
c)
6
1
1 1 1 1 1
49
9
1
=
∑ k + 1 ∑ k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 = 2 20 .
k =1
k =0
5
d)
5
6
1
1
1 1 1 1 1
1
1
=
∏ k + 1 ∏ k = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 6! = 720 .
k =0
k =1
e)
3
k2
∑ j2 =
j,k=1
3
∑ k2
k =1
!
3
1
∑ k2
k =1
!
= (1 + 4 + 9)(1 + 1/4 + 1/9) = 14 ·
3
49
343
1
=
= 19 .
36
18
18