( ( )x ( )x

SS 2016
Technische Universität Berlin
26.05.2016
Fakultät II – Mathematik und Naturwissenschaften
Institut für Mathematik
StR.i.HD. Albrecht Gündel-vom Hofe
5. Aufgabenblatt zur
„Mathematik II für die Beruflichen Fachrichtungen“
(Abgabe der Hausaufgaben: 02.06.2016 in der VL)
57. Aufgabe:
Unter Anwendung der Additionstheoreme für sin und cos und des trigonometrischen Pythagoras leite man folgende weitere Formeln her:
⎛x⎞
⎛x⎞
1 − tan 2 ⎜ ⎟
2 ⋅ tan ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝2⎠
Ü (e) cos x =
, Ü (f) sin x =
⎛x⎞
⎛x⎞
1 + tan 2 ⎜ ⎟
1 + tan 2 ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝2⎠
.
58. Aufgabe:
(i) Bringen Sie unter Anwendung der Additionstheoreme und weiterer Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen die folgenden „Linearkombinationen“ von sin
und cos auf die Form y = f (x) = A sin (ω x + ϕ ) mit Amplitude A > 0 und Phasenverschiebung ϕ ∈ ]− π ,+π ] .
(ii) Bestimmen Sie anschließend die Nullstellen der beiden Ausgangsfunktionen sin (ω x )
und cos (ω x ) sowie der daraus resultierenden Sinusfunktion. Mithilfe eines Grafikprogramms bei geeignet gewählter Skalierung gebe man eine Visualisierung der Graphen
von sämtlichen 3 Funktionen innerhalb eines gemeinsamen Diagramms.
Ü (a) y = f (x) = 2 sin x − 2 cos x ,
Ü (b) y = f (x) = 3 sin (2x) − 4 cos (2x) ,
Ü (c) y = f (x) = − 3 sin (3x) + cos (3x) ,
H (d) y = −2 sin (2x) − 2 3 cos (2x) .
10,0
Ü 59. Aufgabe:
Tonfrequenzen werden in Hertz (Hz), d.h. in Schwingungen pro Sekunde, gemessen. Unter
Anwendung geeigneter Additionstheoreme (s. Skript) erklären wir nun das Phänomen der
sogenannten Schwebung:
Sind ω1, ω2 ∈R zwei dicht beieinander liegende Frequenzen, so gilt für die additive Überlagerung der zu beiden Frequenzen gehörenden Sinusschwingungen:
(∗) y = f (t ) = sin (2π ω1 t ) + sin (2π ω 2 t ) = A (t ) ⋅ sin (2π ω t ) mit A (t ) = 2 ⋅ cos (2π Δω t )
mit einer entsprechenden mittleren Frequenz ω der Überlagerungsschwingung und einer
entsprechenden Schwebungsfrequenz Δω . Man ermittle beide Werte in Abhängigkeit der
gegebenen Ausgangsfrequenzen ω1 und ω2 .
Tipp: Man greife auf Aufgabe 57 zurück.
5. Aufgabenblatt
„Mathematik II für Berufl. Fachr.“
Seite 2
60. Aufgabe:
Ausgehend vom Ergebnis der Aufgabe 59 ermittle man für die jeweils gegebenen Frequenzpaare ω1, ω2∈R die zugehörige mittlere Frequenz ω sowie die Schwebungsfrequenz Δω .
Außerdem lasse man von einem Grafikprogramm den Graphen der entsprechenden Überlagerungsschwingung y = f (t ) = A (t ) ⋅ sin (2π ω t ) mit variabler Amplitude
A (t ) = 2 ⋅ cos (2π Δω t ) über der Zeitachse t zeichnen. Für welche t∈R ist f ( t ) = 0 ?
Ü (a) ω1 = 1.9 Hz , ω2 = 2.1 Hz ,
Ü (c) ω1 = 439 Hz , ω2 = 441 Hz ,
Ü (b) ω1 = 44 Hz , ω2 = 40 Hz ,
H (d) ω1 = 627 Hz , ω2 = 633 Hz .
8,0
61. Aufgabe:
Zu folgenden komplexen Zahlen z∈C gebe man - nach eventueller Umformung - jeweils
Re z, Im z , z sowie ⎪z⎪ und arg z - und zwar im Grad- und Bogenmaß - an. Veranschaulichen Sie außerdem geometrisch jeweils z und z in der Gaußschen Zahlenebene:
Ü (a) z = − 1 + i ,
Ü (e) z = (2 − i )
3
H (b) z = 1 + 3 i , Ü (c) z =
,
H (f) z = (− 1 + i )
8
,
Ü (g) z =
5 −i ,
2
,
1−i
H (d) z = − 2 − 2 i ,
H (h) z =
3 −i
.
1+i
Tipp zu (g) und (h): Führen Sie für den Nenner geschickt die 3. Binomische Formel ins Feld.
12,0