Funktionen Def: Unter einer Funktion f versteht man eine eindeutige

Funktionen
Def: Unter einer Funktion f versteht man eine eindeutige Zuordnung. Dabei wird jedem x∈Df
genau ein y ∈ Wf zugeordnet.
Hinweise:
Zur vollständigen Angabe einer Funktion gehört immer die Angabe der
Zuordnung, der Definitionsbereich und der Wertebereich! (Manchmal ist nach
dem größtmöglichen Definitionsbereich gefragt. Gesucht ist dann eine Funktion f
mit der entsprechenden Zuordnungsvorschrift mit möglichst großen Df)
Wir vereinbaren:
Wenn Df= oder Wf= , dann kann auf die Angabe des Df und
des Wf verzichtet werden.
Unter reellen Funktionen verstehen wir Funktionen, deren Df und Wf Teilmengen
der natürlichen Zahlen sind.
x nennt man das Argument, f(x) der dazu gehörige Funktionswert.
Man kann Funktionen als Funktionsgleichung (f(x)=y=2x), graphisch
(Koordinatensystem), in einer Wertetabelle, als Pfeildarstellung (von jedem
Argument geht genau ein Pfeil zu einem Funktionswert) und als verbale
Beschreibung darstellen.
Abschnittsweise definierte Funktionen
Es gibt reelle Funktionen, die für bestimmte Abschnitte (Intervalle) verschiedene
Zuordnungsvorschriften haben.
− x

Bsp.: f ( x ) = 1
x

für x < 0
für 0 ≤ x ≤ 2
für 2 < x
Im Grunde sind dies drei Funktionen:
f1(x)=-x mit Df1={ x∈ℝ und x<0}, Wf1={ y ∈ℝ und y>0}
f2(x)=1 mit Df2={ x∈ℝ und 0≤x≤2}, Wf2={1}
f3(x)=x mit Df3={ x∈ℝ und x>2}, Wf3={ y∈ℝ und y≥2}
Eigenschaften von Funktionen
Eigenschaft
Erklärung
Berechnung
Nullstelle
xo = Argument, für das Funktionsgleichung Null setzen
gilt, f(x)=0
und nach x auflösen
Beispiel
y = 2x + 3
0 = 2x + 3
− 3 = 2x
x0 = −
:2
3
2
Schnittpunkt mit Punkte
im Sx x0 berechnen Sx(x0;0)
den Achsen (Sx , Koordinatensystem,
bei
Bsp. von oben:
Sy)
denen der Graph von f die Sy in Funktionsgleichung für x
Null einsetzen, y0 ausrechnen
Achsen schneidet
y=2•0+3
Sy(0;y0)
y0=3
Polstellen
x-Wert für den die
Funktion nicht definiert
ist. Bei dieser Stelle
„wird“
die
Funktion
unendlich groß.
Grenzwertbetrachtung an der
Stelle, wo die Funktion nicht
definiert ist. Betrachte den
Graphen!
−3
 3 
S x  − ;0 
 2 
Sy(0,3)
hat an der Stelle x=0 eine
Polstelle (siehe Graph)