¨Ubungen zur Vorlesung ” H¨OHERE STOCHASTIK“ ¨Ubungen zur

Prof. Dr. H. Kersting
”
Blatt 2
WS 2009/10
Übungen zur Vorlesung
HÖHERE STOCHASTIK “
Prof. Dr. H. Kersting
”
Blatt 2
WS 2009/10
Übungen zur Vorlesung
HÖHERE STOCHASTIK “
Datum: 23.10.2009
Datum: 23.10.2009
Aufgabe 5. Zeigen Sie: Die σ-Algebra B̄ auf R̄ wird von den Intervallen
[−∞, b], b ∈ R, erzeugt.
Aufgabe 5. Zeigen Sie: Die σ-Algebra B̄ auf R̄ wird von den Intervallen
[−∞, b], b ∈ R, erzeugt.
Aufgabe 6. Sei µ1 ≤ µ2 ≤ · · · eine Folge von Maßen auf einer σ-Algebra,
d.h. µ1 (A) ≤ µ2 (A) ≤ · · · für alle messbaren Mengen A. Zeigen Sie, dass
durch µ(A) := limn µn (A) ein Maß µ gegeben ist.
Aufgabe 6. Sei µ1 ≤ µ2 ≤ · · · eine Folge von Maßen auf einer σ-Algebra,
d.h. µ1 (A) ≤ µ2 (A) ≤ · · · für alle messbaren Mengen A. Zeigen Sie, dass
durch µ(A) := limn µn (A) ein Maß µ gegeben ist.
Aufgabe 7: Existenz nichtmessbarer Mengen nach Vitali. Sei N ⊂
[0, 1] eine Menge mit der Eigenschaft, dass für jede reelle Zahl a genau eine
Zahl b ∈ N existiert, so dass a − b rational ist. Zeigen Sie:
Aufgabe 7: Existenz nichtmessbarer Mengen nach Vitali. Sei N ⊂
[0, 1] eine Menge mit der Eigenschaft, dass für jede reelle Zahl a genau eine
Zahl b ∈ N existiert, so dass a − b rational ist. Zeigen Sie:
(i) N + r und N + r0 sind disjunkt für rationale Zahlen r 6= r0 .
S
(ii) [0, 1] ⊂ r∈Q∩[−1,1] (N + r) ⊂ [−1, 2].
(i) N + r und N + r0 sind disjunkt für rationale Zahlen r 6= r0 .
S
(ii) [0, 1] ⊂ r∈Q∩[−1,1] (N + r) ⊂ [−1, 2].
(iii) N ist keine Borelmenge.
(iii) N ist keine Borelmenge.
Bemerkung: N ist eine vollständige Menge von Repräsentaten für die Äquivalenzrelation a ∼ b :⇔ a − b ∈ Q. Man erhält N mit dem Auswahlaxiom
der Mengenlehre.
Bemerkung: N ist eine vollständige Menge von Repräsentaten für die Äquivalenzrelation a ∼ b :⇔ a − b ∈ Q. Man erhält N mit dem Auswahlaxiom
der Mengenlehre.
Aufgabe 8. Sei S überabzählbar
A oder Ac ist abzählbar}. Zeigen Sie:
und
A
:=
{A
⊂
S
:
Aufgabe 8. Sei S überabzählbar
A oder Ac ist abzählbar}. Zeigen Sie:
und
A
:=
{A
⊂
S
:
(i) A ist eine σ-Algebra.
(i) A ist eine σ-Algebra.
(ii) Wir nennen A0 ⊂ S 2 dünn, falls A0 ⊂ (A × S) ∪ (S × A) für ein abzählbares A ⊂ S. Zeigen Sie: Für jedes A0 ∈ A ⊗ A ist entweder A0 oder
(A0 )c dünn.
(ii) Wir nennen A0 ⊂ S 2 dünn, falls A0 ⊂ (A × S) ∪ (S × A) für ein abzählbares A ⊂ S. Zeigen Sie: Für jedes A0 ∈ A ⊗ A ist entweder A0 oder
(A0 )c dünn.
(iii) Die Diagonale ∆ := {(x, y) ∈ S × S : x = y} gehört nicht zu A ⊗ A.
(iii) Die Diagonale ∆ := {(x, y) ∈ S × S : x = y} gehört nicht zu A ⊗ A.