Stochastik Prof. Dr. I. Veselic ¨Ubungsblatt 1

Stochastik
Prof. Dr. I. Veselić
Übungsblatt 1
Aufgabe 1. Sei A eine σ-Algebra. Zeigen Sie, dass für Ereignisse A1 , A2 , · · · ∈ A gilt:
(a) ∩∞
j=1 Aj ∈ A
(b) A1 \ A2 ∈ A
Aufgabe 2. Sei Ω = {0, 1}N (Menge aller Folgen der Zahlen 0 und 1) und A eine σ-Algebra
über Ω, die die Mengen Aj = {ω = (ω1 , ω2 , . . . ) ∈ Ω | ωj = 1}, j ∈ N, enthält. Beweisen Sie
∞
n
o
X
ω = (ω1 , ω2 , . . . ) ∈ Ω |
ωj < ∞ ∈ A.
j=1
Aufgabe 3. (Ai )i∈I sei eine Familie von σ-Algebren über Ω. Zeigen Sie, dass
\
A=
Ai = {A ⊂ Ω | ∀i ∈ I : A ∈ Ai }
i∈I
ebenfalls eine σ-Algebra ist.
Aufgabe 4 (Formel von Poincaré-Sylvester). Zeigen Sie: für Ereignisse A1 , A2 , . . . , An in einem
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) gilt
!
!
n
n
[
X
X
P
Ai =
(−1)k+1
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik ) .
i=1
k=1
1≤i1 <···<ik ≤n
Aufgabe 5. Sei Ω eine Menge, F eine σ-Algebra über Ω und C ∈ F. Zeige, dass FC = {C ∩ A :
A ∈ F} eine σ-Algebra über C ist.
Aufgabe 6. Sei Ω eine überabzählbare Menge und F = {A ⊂ Ω | A höchstens abzählbar oder
Ac höchstens abzählbar}. Für A ∈ F sei
(
0 A höchstens abzählbar,
P(A) =
1 Ac höchstens abzählbar.
Zeige, dass F eine σ-Algebra über Ω und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf F ist.
Aufgabe 7. Sei Ω = R, A = {A ⊂ Ω | A offen oder abgeschlossen}. Ist A eine σ-Algebra?
Aufgabe 8. Sei (Ω, A, P) ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum und seien A, B und C paarweise disjunkte Ereignisse mit P(A) = 0.4, P(B) = 0.25 und P(C) = 0.35. Bestimme die durch
{A, B, C} erzeugte σ-Algebra, d. h. die kleinste σ-Algebra, die A, B und C enthält. Berechne die
Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse dieser σ-Algebra.
Bitte wenden!
Aufgabe 9. Sei Ω = {ω = (ω1 ,P
ω2 , . . . ) | ωi ∈ {−1, +1}}. Wir definieren Abbildungen Sn : Ω →
R, n ∈ N, durch Sn (ω) = (1/n) ni=1 ωi . Was bedeuten die den folgenden Mengen zugeordneten
Ereignisse anschaulich?
\
\[ \
−1
(a) Sn−1 [−1/2, 1/2]
Sm
([−ε, ε])
(b)
Sn−1 [−1/2, 1/2]
(c)
n∈N
n≥2
ε∈Q
ε>0
n m≥n