¨Ubung zu “Formale Aspekte der Software

Universität Duisburg-Essen
Ingenieurwissenschaften/Informatik
Prof. Barbara König
Sebastian Küpper
SS 2015
Aufgabenblatt 3
13. Mai 2015
Übung zu “Formale Aspekte der Software-Sicherheit und
Kryptographie”
Dieses Übungsblatt wird am Montag, den 18. Mai, von 10:15–11:45 Uhr im Raum LE 120
besprochen.
Aufgabe 9
Wiederholung σ-Algebra und Einführung des Begriffs Maß (8 Punkte)
Wir erinnern an die Definition des Begriffs σ-Algebra aus der Vorlesung Wahrschein”
lichkeitsrechnung und Stochastik“. Ein Mengensystem A ⊆ P(Ω) mit
• Ω∈A
• A∈A⇒Ω\A∈A
• Es sei M eine abzählbare Teilmenge von A, dann ist
S
A∈M
A∈A
nennen wir eine σ-Algebra. Eine Funktion µ : A → [0, ∞] heißt Maß auf A, falls
• µ(∅) = 0
• Es sei M eine abzählbare Teilmenge von A für die gilt, S
wenn A1 , A2P∈ M sind,
dann ist entweder A1 = A2 oder A1 ∩ A2 = ∅. Dann ist µ( A∈M A) = A∈M µ(A)
Schließlich nennen wir µ wie in Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik“ ein Wahr”
scheinlichkeitsmaß falls µ(Ω) = 1.
(a) Beweisen Sie für eine σ-Algebra A und ein Maß µ:
(i) Monotonie: Für alle A, B ∈ A mit A ⊆ B gilt µ(A) ≤ µ(B)
(ii) Für alle A, B ∈ A gilt µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B)
(b) Sei Ω endlich, zeigen Sie, dass P(Ω) eine σ-Algebra ist.
(c) Zeigen Sie, dass für endliches Ω die Definition des Wahrscheinlichkeitsraums aus
der Vorlesung mit der Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes µ über der σAlgebra P(Ω) zusammenfällt. Zeigen Sie dazu, dass jede Funktion P wie in der
Definition des Wahrscheinlichkeitsraums aus der Vorlesung - mit der Erweiterung
auf Ereignisse - ein Wahrscheinlichkeitsmaß definiert und umgekehrt, dass jedes
Wahrscheinlichkeitsmaß µ über der σ-Algebra P(Ω) eine Funktion P gemäß der
Definition des Wahrscheinlichkeitsraums definiert.
Aufgabe 10
Alternative Definition von BPP (5 Punkte)
Auf den Folien steht nach der Definition der Komplexitätsklasse BPP:
Jedes andere Paar von Zahlen p, q ∈ [0, 1] mit p >
statt 34 und 14 verwendet werden.
1
2
und q <
1
2
kann [...]
Begründen Sie diese Aussage. Definieren Sie eine neue Komplexitätsklasse BPP0 , die
diese Konstanten verwendet und zeigen Sie BPP = BPP0 .
Hinweise:
• Überlegen Sie zunächst, wie sich eine Maschine verhalten soll, die eine probabilistische BPP-Turingmaschine mehrmals hintereinander ausführt, um damit die
Wahrscheinlichkeit für eine korrekte Antwort zu erhöhen.
• Verwenden Sie die sogenannte Chernov-Schranke. Diese besagt folgendes:
Angenommen wir haben eine (unfaire) Münze, bei der Kopf mit Wahrscheinlichkeit p ≥ 21 + für > 0 fällt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit,
dass bei n Münzwürfen höchstens n2 -mal Kopf geworden wird, kleiner
gleich
2 n
e− 6 .
Dabei bezeichnet e die Eulersche Zahl.
Aufgabe 11
Abgeschlossenheit von BPP unter Schnitt
(5 Punkte) Erklären Sie, warum die Komplexitätsklasse BPP unter Schnitt abgeschlossen ist.
Konkreter: gegeben seien zwei Sprachen A, B ∈ BPP und die dazugehörigen probabilistischen Turingmaschinen MA und MB . Wie kann man eine BPP-Turingmaschine für
A ∩ B konstruieren? Sie dürfen auch die alternative Definition für BPP aus Aufgabe 9
verwenden.
Aufgabe 12
Kollisionen und das Geburtstagsproblem
(4 Punkte) Bei Hashfunktionen muss darauf geachtet werden, dass Kollisionen schwer
zu finden sind. Das Auftreten von Kollisionen ist verwandt mit dem sogenannten Geburtstagsproblem:
In einem Raum befinden sich n Personen. Wie groß ist die Wahrscheinlichtkeit, dass zwei davon am gleichen Tag Geburtstag haben?
Wie groß muss n sein, damit diese Wahrscheinlichkeit größer als
2
1
2
ist?