Einführung in das mathematische Arbeiten Übung 3

Technische Universität Chemnitz
Chemnitz, 3. November 2016
Dr. G. Wachsmuth
Abgabe am 15. November 2016
Einführung in das mathematische Arbeiten
Übung 3
Hausaufgabe 8: Paradoxon des Ernders
Zeigen Sie, dass
n
X
k=1
für alle
n∈N
k2
3
<1
+ 5k + 6
gilt, indem Sie eine stärkere Aussage beweisen.
(3 Punkte)
Hausaufgabe 9: Dreiecksungleichung für Zahlen
Zeigen Sie, dass
|x + y| ≤ |x| + |y|
für alle reellen Zahlen
Hinweis:
x, y ∈ R
gilt.
(3 Punkte)
Überlegen Sie sich Fälle, in denen die Ungleichung einfach zu zeigen ist
x = 0) und
x > 0 und y < 0.
(z. B.
reduzieren Sie die übrigen Fälle (o. B. d. A.) auf den Nachweis für
Hausaufgabe 10: Alle Punkte liegen auf einer Geraden
Finden Sie den Fehler im folgenden Beweis.
(2 Punkte)
Satz
n
Es sei
eine natürliche Zahl und es seien
n
beliebige Punkte in der Ebene gegeben.
Dann liegen alle diese Punkte auf einer Geraden.
Beweis:
n=1
Wir beweisen den Satz mittels vollständiger Induktion. Für die Fälle
und
n=2
n = 0,
ist die Behauptung erfüllt, da zwei Punkte immer auf einer Geraden
liegen.
Es sei nun n > 2 und die Behauptung gelte für n − 1. Wir bezeichnen die Punkte mit
P1 , P2 , . . . , Pn . Nach Voraussetzung liegen sowohl die Punkte P1 , P2 , . . . , Pn−1 als auch
die Punkte P2 , P3 , . . . , Pn auf einer Geraden (dies sind ja jeweils n − 1 viele). Diese
beiden Geraden müssen aber übereinstimmen. Also liegen alle Punkte P1 , . . . , Pn auf
dieser Geraden.
1
Hausaufgabe 11: Nachweis von logischen Gesetzen
Zeigen Sie, dass die Formeln
A Y B = (A ∨ B) ∧ (¬(A ∧ B)),
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
für alle Aussagen
Hier bezeichnet
A, B erfüllt sind.
A Y B die Antivalenz
(entweder
A
oder
B ),
die durch die Wahr-
heitswerttabelle
A
B
AYB
w
w
f
f
w
f
w
f
f
w
w
f
deniert ist.
Für den Nachweis der zweiten Aussage dürfen Sie natürlich nicht das Gesetz von De
Morgan verwenden
^
¨.
(4 Punkte)
Hausaufgabe 12: Folgerungen aus der Antivalenz
Es seien
A
und
B
zwei Aussagen, von denen wir nur wissen, dass
AYB
gilt. Was
können Sie über den Wahrheitswert der Aussagen
A ∨ B,
A ∧ B,
A ∧ ¬B
sagen? Dabei kann jeweils genau einer der folgenden Fälle auftreten:
•
Die Aussage ist zwingend wahr.
•
Die Aussage ist zwingend falsch.
•
Die Aussage kann sowohl wahr als auch falsch sein.
Begründen Sie für alle drei Aussagen, welcher der Fälle jeweils zutrit.
2
(4 Punkte)