Inhaltsübersicht
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Inhaltsübersicht xxvii Vorwort Teill Mathematisches Grundwissen 1 Kapitel 1 Mengen und Aussagen 3 Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen 43 Kapitel 3 Abbildungen, Äquivalenzrelationen und partielle Ordnungen 81 Teil II Grundlagen der Diskreten Mathematik 117 Kapitel 4 Kombinatorik 119 Kapitel 5 Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung 153 Kapitel 6 Algebraische Strukturen 193 Kapitel 7 Restklassenringe und Anwendungen 249 Kapitel 8 Homomorphismen und Faktorstrukturen 299 Teil III Grundlagen der Linearen Algebra 331 Kapitel 9 Vektoren und Matrizen 333 Kapitel 10 Lineare Gleichungssysteme 375 Kapitel 11 Abstrakte Vektorräume und Anwendungen 417 Kapitel 12 Polynome 461 Kapitel 13 Formale Potenzreihen und rationale Funktionen 513 Bibliografische Informationen http://d-nb.info/987714449 digitalisiert durch Inhaltsübersicht Teil IV Grundlagen der Analysis 539 Kapitel 14 Die Axiomatik reeller Zahlen 541 Kapitel 15 Folgen 573 Kapitel 16 Reihen 613 Kapitel 17 Stetige Funktionen 653 Kapitel 18 Differentialrechnung 697 Kapitel 19 Integralrechnung 739 Literaturverzeichnis 781 Symbolverzeichnis 785 Register 793 Inhaltsverzeichnis Vorwort xxvü Teil I Mathematisches Grundwissen 1 Kapitel 1 Mengen und Aussagen 3 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Einführung Grundbegriffe der Mengenlehre A. Was ist eine Menge? B. Beschreibungen von Mengen C. Teümengenbeziehung und Gleichheit bei Mengen D. Die Mächtigkeit einer Menge E. Eine Menge, die nicht fehlen darf Grundlegende Zahlbereiche A. Mengenbezeichnungen für Zahlbereiche B. Zum Unterschied zwischen rationalen und reellen Zahlen C. Ein weiterer Grund für Zahlbereichserweiterungen D. Eine grundlegende Eigenschaft reeller Zahlen E. Die Lösung reeller quadratischer Gleichungen Verknüpfungen von Mengen A. Vier grundlegende Verknüpfungen von Mengen B. Die disjunkte Mengenvereinigung C. Grundgesetze bei Mengenverknüpfungen D. Regeln bei Mächtigkeiten von endlichen Mengen Aussagen und deren logische Verknüpfungen A. Wahrheitswerte logischer Aussagen B. Verknüpfungen von Aussagen und Wahrheitstafeln C. Zur Äquivalenz von Aussagen D. Die logische Grundlage dreier Beweismethoden E. Gesetzmäßigkeiten bei Verknüpfungen von Aussagen F. Normalformen bei aussagenlogischen Formeln Potenzmenge und kartesische Produkte A. Die Potenzmenge einer Menge B. Mengensysteme C. Kartesische Produkte . 4 6 6 7 7 8 9 9 9 10 12 12 13 15 15 16 17 20 21 21 22 23 24 26 27 27 27 28 29 Inhaltsverzeichnis 1.6 1.7 1.8 Zur Bildung von mehrfachen Verknüpfungen A. Das Summen- und das Produktzeichen B. Grundregeln für das Rechnen mit Summen und Produkten . C. u-fache kartesische Produkte Verknüpfungen bei beliebigen Indexmengen A. Reihen — Summation unendlich vieler Zahlen B. Schnitte und Vereinigungen über Mengensystemen C. Existenz- und Allquantor Exkurs: Das Auswahlaxiom Zusammenfassung Übungsaufgaben Kapitel 2 2.1 2.2 2.3 2.4 Natürliche und ganze Zahlen Einführung Vollständige Induktion A. Die Wohlordnungseigenschaft der natürlichen Ordnung . . . B. Das Prinzip der vollständigen Induktion C. Zwei Beispiele zur vollständigen Induktion D. Die Fakultätsfunktion und deren Wachstumsverhalten . . . . E. Die geometrische Summe F. Die Summenregel aus der Kombinatorik Primfaktorzerlegung A. Die Teilbarkeitsrelation B. Primzahlen C. Eine zweite Form des Prinzips der vollständigen Induktion . D. Die Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen E. Ein naives Faktorisierungsverfahren Darstellungen ganzer Zahlen A. Division mit Rest B. Die 5-adische Darstellung einer ganzen Zahl C. Korrektheit und Terminierung bei Algorithmen D. Zur Komplexität eines Algorithmus Der Euklidische Algorithmus A. Größte gemeinsame Teiler B. Die Berechnung des ggT zweier Zahlen C. Die Berechnung der Vielfachsummendarstellung eines ggT . D. Eine Anwendung des erweiterten Euklidischen Algorithmus E. Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen . . Zusammenfassung Übungsaufgaben 30 30 32 33 35 35 35 36 38 39 40 43 44 46 46 47 49 52 54 55 56 56 57 58 60 62 63 63 65 67 68 69 69 70 72 74 74 75 ^^ Inhaltsverzeichnis Kapitel 3 Abbildungen, Äquivalenzrelationen und partielle Ordnungen 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Einführung Grundlagen über Relationen A. Was ist eine Relation? B. Umkehrung und Verkettung von Relationen C. Gerichtete Graphen Der Abbildungsbegriff A. Was versteht man unter einer Abbildung? B. Schreib- und Sprechweisen bei Abbildungen C. Spezielle Eigenschaften bei Abbildungen D. Die Urbildpartition zu einer Abbildung E. Zur Umkehrung von Abbildungen F. Die Verkettung von Abbildungen Besonderheiten bei endlichen Mengen Gleichmächtigkeit A. Was bedeutet die Gleichmächtigkeit zweier Mengen? B. Die Gleichmächtigkeit von N, von Z und von Q C. Die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen Ordnungsrelationen A. Partielle Ordnungen B. Einige Beispiele partieller Ordnungen C. Totale Ordnungen Äquivalenzrelationen A. Was ist eine Äquivalenzrelation? B. Beispiele von Äquivalenzrelationen C. Äquivalenzklassen D. Restklassen modulo n E. Repräsentantensysteme Exkurs: Kontinuumshypothese und Hasse-Diagramme A. Abbildungen und kartesische Produkte B. Zur Kontinuumshypothese C. Kleinste und größte Elemente in partiell geordneten Mengen D. Wohlordnungen als spezielle Ordnungen E. Darstellung partieller Ordnungen durch Hasse-Diagramme F. Reduktion und Normalformen Zusammenfassung Übungsaufgaben 8i 82 84 84 84 85 86 86 87 88 90 91 92 93 96 96 96 98 100 100 101 102 103 103 103 105 105 107 108 108 108 . 109 109 110 110 112 114 Inhaltsverzeichnis Teil II Grundlagen der Diskreten Mathematik 117 Kapitel 4 Kombinatorik 119 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Einführung Grundregeln des Zählens A. Die Summenregel B. Die Gleichmächtigkeitsregel C. Die Produktregel D. Die Potenzregel Binomialkoefflzienten A. Potenzmengen und charakteristische Funktionen B. Was ist ein Binomialkoeffizient? C. Gesetzmäßigkeiten bei Binomialkoeffizienten D. Der Binomialsatz Abbildungen auf endlichen Mengen A. Die Rückführung auf Standardmengen B. Die Anzahl der injektiven und bijektiven Abbildungen . . . . C. Formale Beweise Das Inklusions-Exklusions-Prinzip A. Der Spezialfall bei Vereinigungen von drei Mengen B. Die allgemeine Inklusions-Exklusions-Formel C. Ein weiterer Beweis der Inklusions-Exklusions-Formel . . . . D. Die Siebformel Anwendungen der Siebformel A. Die Euler-Funktion B. Die Multiplikativität der Euler-Funktion C. Die Anzahl der surjektiven Abbildungen zwischen zwei endlichen Mengen Exkurs: Darstellung von Permutationen A. Eine erste Darstellungsmöglichkeit von Permutationen . . . . B. Die Zykelschreibweise C. Multiplikation von Zyklen D. Transpositionen — die einfachsten Permutationen E. Zur Eindeutigkeit der Darstellung von Permutationen Zusammenfassung Übungsaufgaben 120 122 122 122 123 124 125 125 126 126 129 132 132 132 133 135 135 135 137 137 138 138 140 141 142 142 143 144 144 145 147 149 Inhaltsverzeichnis Kapitel 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung 153 Einführung 154 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 156 A. Der Ergebnisraum 156 B. Ereignisse 157 C. Was versteht man unter einer Wahrscheinlichkeit? 158 D. Grundregeln für das Arbeiten mit Wahrscheinlichkeitsräumen 160 Laplace-Modelle und vier Kugel-Modelle 162 A. Was ist ein Laplace-Modell? 162 B. Die vier grundlegenden Experimente als Kugel-Modelle . . . 163 C. Die vier Kugel-Modelle nochmals im Überblick 165 Zufallsvariablen und induzierte Wahrscheinlichkeitsfunktionen 166 A. Laplace-Modelle im Hintergrund 166 B. Zufallsvariable und Transformation 168 C. Schreibweisen beim Umgang mit Zufallsvariablen 170 D. Indikatorvariablen und relative Häufigkeiten 170 Mehrstufige Experimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten . 171 A. Was versteht man unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit? 171 B. Zwei Beispiele für den Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten 172 C. Die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit 173 D. Die Formel von Bayes 174 E. Ein Beispiel aus der Medizin 174 Stochastische Unabhängigkeit 176 A. Die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse 176 B. Stochastische Unabhängigkeit bei mehreren Ereignissen . . . 177 C. Die Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen 177 Erwartungswert und Varianz 177 A. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen 177 B. Eine alternative Formel zur Berechnung des Erwartungswertes 179 C. Die Varianz einer Zufallsvariablen 179 D. Die wichtigsten Gesetzmäßigkeiten beim Bilden von Erwartungswerten 181 E. Die wichtigsten Gesetzmäßigkeiten bei der Berechnung von Varianzen 183 Inhaltsverzeichnis 5.7 Binomialverteilungen A. Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten B. Binomial-verteilte Zufallsvariablen C. Der Erwartungswert einer binomial-verteilten Zufallsvariablen D. Die Varianz einer binomial-verteilten Zufallsvariablen Zusammenfassung Übungsaufgaben Kapitel 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 185 185 186 .... Algebraische Strukturen Einführung Monoide A. Was versteht man allgemein unter einer Verknüpfung? . . . . B. Assoziative und kommutative Verknüpfungen C. Das neutrale Element: von der Halbgruppe zum Monoid . . . D. Beispiele von Monoiden Gruppen A. Invertierbarkeit B. Die Definition einer Gruppe und die Einheitengruppe eines Monoids C. Beispiele von Einheitengruppen und Gruppen Untergruppen und der Satz von Lagrange A. Teilmonoide und Untergruppen B. Die Untergruppen von (Z, +, 0} C. Zur Erzeugung von Teilmonoiden und zyklische Gruppen . D. Linksnebenklassen von Untergruppen und der Satz von Lagrange E. Die Ordnung eines Gruppenelementes Ringe und Körper A. Was versteht man unter der algebraischen Struktur eines Ringes? B. Allgemeine Rechengesetze bei Ringen C. Integritätsbereiche D. Die Einheitengruppe eines Ringes, Schiefkörper und Körper E. Grundlegende Beispiele von Ringen F. Eine Übersicht verschiedener Kategorien von Ringen Der Körper der komplexen Zahlen A. Grundmenge, Verknüpfungen und Nachweis der Körpereigenschaft B. Die reellen Zahlen als Teilkörper der komplexen Zahlen . . . 186 188 189 190 193 194 196 196 197 198 199 203 203 204 206 208 208 210 211 213 215 217 217 219 220 221 222 224 225 225 228 Inhaltsverzeichnis 6.6 6.7 C. Imaginäre Einheit, Real- und Imaginärteil D. Die konjugiert Komplexe und der Betrag einer komplexen Zahl E. Die Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten . F. Die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus Der Schiefkörper der Quaternionen A. Die Grundmenge und die Verknüpfungen bei Quaternionen B. Der Nachweis der Schiefkörpereigenschaft Exkurs: Verbände und Boole'sche Algebren A. Die Definition eines Verbandes B. Gesetzmäßigkeiten bei allgemeinen Verbänden C. Einige Beispiele von Verbänden D. Die Vollständigkeit eines Verbandes sowie kleinstes und größtes Element E. Komplementarität und Distributivität F. Boole'sche Verbände Zusammenfassung Übungsaufgaben Kapitel 7 7.1 7.2 7.3 Restklassenringe und Anwendungen Einführung Modulares Rechnen A. Die Kongruenz modulo n und Restklassenarithmetik B. Der Restklassenring Zn C. Einheiten modulo n D. Welche Restklassenringe sind Körper? E. Effizientes Potenzieren in Restklassenringen F. Die Sätze von Euler und Fermat G. Die Ordnung modulo n und primitive Elemente in Restklassenkörpern Das RSA-Public-Key-Cryptosystem A. Grundbegriffe der Kryptographie B. Beschreibung der Schlüssel beim RSA-System C. Die korrekte Arbeitsweise des RSA-Systems D. Schlüsselgenerierung und Sicherheit beim RSA-System . . . E. Ein Beispiel zum RSA-System Das Grundmodell bei fehlerkorrigierenden Codes A. Grundbegriffe der Codierungstheorie B. Die Eigenschaft der „Linearität" bei Codes C. Weitere Aspekte des Grundmodells der Codierungstheorie . D. Anforderungen an gute Codes 228 230 231 232 234 234 234 237 237 237 239 239 240 241 243 245 249 250 252 252 254 255 258 258 260 261 262 262 263 264 265 267 270 270 272 273 276 i X! 1 Inhaltsverzeichnis 7.4 7.5 7.6 Kugelpackungsschranke und (7,4)-Hamming-Code A. Minimalabstand und Korrekturleistung eines Codes B. Die Kugelpackungsschranke und perfekte Codes C. Beispiele perfekter Codes Prüfzeichencodierung A. Der ISBN-Code B. Eigenschaften des ISBN-Codes C. Der EAN-Code Exkurs: Der Chinesische Restsatz A. Einführendes Beispiel und allgemeine Problemstellung B. Die Beschreibung der Lösungsmenge C. Die Lösbarkeit bei relativ primen Restsystemen D. Die iterative Berechnung der Lösung Zusammenfassung Übungsaufgaben Kapitel 8 8.1 8.2 8.3 Homomorphismen und Faktorstrukturen 277 277 279 281 283 283 284 286 287 . . . 287 288 289 292 294 296 299 Einführung 300 Homomorphismen bei Gruppen 302 A. Strukturerhaltende Abbildungen auf Monoiden und Gruppen 302 B. Spezielle Eigenschaften bei Gruppen-Homomorphismen . . . 303 C. Kern und Bild bei Gruppen-Homomorphismen 304 D. Urbilder bei Gruppen-Homomorphismen 305 E. Nochmals zur Ordnung eines Gruppenelementes 307 F. Beispiele von Gruppen-Homomorphismen 307 Normalteiler und Faktorgruppen 308 A. Äquivalenzen modulo einer Untergruppe und Normalteiler 308 B. Kongruenzrelationen auf Gruppen neutrale Klassen und Normalteiler 310 C. Kerne von Homomorphismen als neutrale Klassen 312 D. Verknüpfung von Klassen und Faktorgruppen 312 E. Neutrale Klassen als Kerne von Homomorphismen 314 Homomorphismen bei Ringen und Ideale 314 A. Was ist ein Teilring von Rl 314 B. Was ist ein Ring-Homomorphismus? 315 C. Was ist der Kern eines Ring-Homomorphismus? 315 D. Ideale 315 E. Hauptidealbereiche 316 F. Die Charakteristik eines Körpers 317 Inhaltsverzeichnis 8.4 8.5 Kongruenzen bei Ringen, Ideale und Faktorringe A. Kongruenzrelationen auf Ringen B. Faktorringe und die Klassenmultiplikation C. Maximale Ideale und Körper als Faktorringe Exkurs: Homomorphiesätze A. Der Homomorphiesatz für Gruppen B. Ein weiteres Beispiel: Alternierende Gruppen C. Der Homomorphiesatz für Ringe D. Nochmals der Chinesische Restsatz Zusammenfassung Übungsaufgaben 318 318 319 320 322 322 323 324 324 326 328 Teil III Grundlagen der Linearen Algebra 331 Kapitel 9 Vektoren und Matrizen 333 9.1 9.2 9.3 9.4 Einführung Vektorräume A. n-Tupelräume als Vektorräume B. Die Axiomatik abstrakter Vektorräume C. Matrixräume D. Spezielle Klassen quadratischer Matrizen E. Zeilen- und Spaltenvektoren als Matrizen F. Eine Übersicht über Vektoren und Matrizen Teilräume und deren Erzeugung A. Was versteht man unter einem Teilraum? B. Linearkombinationen, lineare Hülle und Erzeugung von Vektorräumen C. Endlich erzeugte Vektorräume und kanonische Basen Matrixalgebren A. Die Matrixmultiplikation B. Spezialfälle bei der Matrixmultiplikation C. Gesetzmäßigkeiten bei der Matrixmultiplikation D. Die quadratischen Matrizen als K-Algebra E. Invertierbare Matrizen Lineare Abbildungen A. Was ist eine K-lineare Abbildung? B. Matrizen als K-lineare Abbildungen C. Darstellung linearer Abbildungen als Matrizen D. Die Matrixmultiplikation als Hintereinanderausführung linearer Abbildungen 334 336 336 337 339 340 341 342 343 343 345 347 348 348 349 350 351 354 357 357 358 358 360 Inhaltsverzeichnis 9.5 9.6 Komplexe Zahlen und Quaternionen als Matrixalgebren A. Veranschaulichung linearer Abbildungen auf K2 B. Die komplexen Zahlen als Matrixalgebra C. Die Quaternionen als Matrixring über C D. Die Quaternionen als Matrixalgebra über R Exkurs: Kerne von linearen Abbildungen und Faktorräume . . . A. Der Kern einer linearen Abbildung B. Faktorräume und Kongruenzrelationen bei Vektorräumen . . Zusammenfassung Übungsaufgaben 361 361 362 364 365 367 367 367 369 371 Kapitel 10 Lineare Gleichungssysteme 375 Einführung 10.1 Die Struktur der Lösungsmenge A. Was ist ein lineares Gleichungssystem? B. Grundproblemstellungen C. Eine erste Analyse der Lösungsmenge 10.2 Die Lösungsmenge bei einer Gleichung A. Der einfachste Fall B. Eine Gleichung mit zwei Variablen C. Ein konkretes Zahlenbeispiel D. Die Lösungsmenge bei (l,n)-Systemen E. Einige einfache Beispiele 10.3 Elementare Zeilenumformungen A. Zielsetzung B. Die drei Arten elementarer Zeilenumformungen C. Die zu Zeilenumformungen gehörende Äquivalenzrelation . 10.4 Treppenmatrizen und der Gauß-Algorithmus A. Normierte Treppenmatrizen B. Pivotierung und Transformation in Treppengestalt C. Der Gauß-Algorithmus D. Ein Beispiel zum Gauß-Algorithmus 10.5 Die Lösungsmenge bei allgemeinen Problemen A. Ein vorbereitendes Resultat B. Die Entscheidung der Lösbarkeit C. Die Beschreibung des homogenen Lösungsraumes D. Zusammenfassung und Beispiele 10.6 Invertierbare Matrizen A. Elementarmatrizen B. Die Eindeutigkeit des Ergebnisses beim Gauß-Algorithmus . C. Invertierbarkeitskriterien für Matrizen D. Test auf Invertierbarkeit und Berechnung der Inversen . . . . 376 378 378 379 379 381 381 382 382 384 385 389 389 390 392 393 393 394 396 398 400 400 400 402 403 406 406 409 410 411 Inhaltsverzeichnis Zusammenfassung Übungsaufgaben 413 414 Kapitel 11 Abstrakte Vektorräume und Anwendungen 417 Einführung 11.1 Basen A. Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit B. Beispiele zur linearen (Un-)Abhängigkeit C. Minimale Erzeugersysteme alias Basen D. Spaltenraum und Zeilenraum einer Matrix E. Berechnung einer Basis des Spaltenraumes einer Matrix . . . 11.2 Die Dimension eines Vektorraumes A. Die Gleichmächtigkeit von je zwei Basen B. Beispiele zum Dimensionsbegriff C. Charakterisierungen von Basen und die Dimension von Teilräumen 11.3 Zur Darstellung linearer Abbildungen A. Zur Existenz von injektiven, surjektiven, bijektiven linearen Abbildungen B. Koordinatisierung allgemeiner Vektorräume C. Darstellung allgemeiner linearer Abbildungen als Matrizen . D. Verkettung allgemeiner linearer Abbildungen E. Dimensionsformeln und die Summenbildung bei Vektorräumen 11.4 Eigenwerte und Eigenvektoren A. Was versteht man unter einem ^-invarianten Teilraum? . . . . B. Darstellungen unter Berücksichtigung ^-invarianter Teilräume C. Zur Diagonalisierbarkeit von 0 D. Die Suche nach Eigenwerten 11.5 Orthogonalität und Decodieren bei Hamming-Codes A. Standard-Skalarprodukt und Orthogonalität B. Innere versus äußere Darstellung bei Teilräumen C. Generator- und Kontrollmatrix beim (7,4)-Hamming-Code . D. Grundlagen zur Theorie allgemeiner linearer Codes E. Ein Decodierverfahren für den (7,4)-Hamming-Code F. Die Familie der binären Hamming-Codes 11.6 Exkurs: Nicht endlich erzeugbare Vektorräume A. Der Vektorraum aller Abbildungen von L nach K B. Der Teilraum der Abbildungen mit endlichem Träger C. Basen für allgemeine Vektorräume Zusammenfassung Übungsaufgaben 418 420 420 422 423 424 425 427 427 429 430 432 432 433 433 434 436 437 437 438 439 443 444 444 446 446 447 449 450 451 451 452 454 456 457 Inhaltsverzeichnis Kapitel 12 Polynome 461 Einführung 12.1 Polynomringe A. Faltung versus punktweise Multiplikation B. Die Algebra der formalen Potenzreihen C. Die Teilalgebra der Polynome D. Eine „Herleitung" der Faltungsformel E. Schreibtechnische Vereinfachungen und die Bedeutung des Symbols x 12.2 Arithmetische Eigenschaften von Polynomen A. Die Einheiten von K[x] B. Teilbarkeit und Assoziiertheit bei Polynomen C. Die Polynomdivision D. Größte gemeinsame Teiler bei Polynomen E. Irreduzibilität und Faktorisierbarkeit 12.3 Auswertung und Nullstellen A. Was versteht man unter der Auswertung eines Polynoms? B. Nullstellen bei Polynomen C. Zur Gleichheit zweier Polynome D. Effiziente Auswertung: das Homer-Schema 12.4 Interpolation A. Was versteht man unter Interpolation? B. Das Interpolationspolynom C. Die Interpolationsformel nach Lagrange D. Die Interpolation nach Newton E. Interpolation und Chinesischer Restsatz 12.5 Polynom-Restklassen und zyklische Codes A. Rechnen modulo einem Polynom B. Restklassenkörper bei Polynomen C. Zyklische Codes 12.6 Diskrete und schnelle Fourier-Transformation A. Die Auswertungs-Interpolations-Methode B. Was ist die diskrete Fourier-Transformation? C. Die schnelle Fourier-Transformation D. Die inverse Fourier-Transformation 12.7 Anwendungen in der Linearen Algebra A. Das Minimalpolynom einer Matrix B. Eigenwerte als Nullstellen des Minimalpolynoms C. Zum Grad des Minimalpolynoms einer Matrix Zusammenfassung Übungsaufgaben 462 464 464 466 468 470 . 471 473 473 474 475 477 479 481 481 483 485 485 487 487 488 489 491 492 493 493 494 495 497 497 498 500 502 503 503 504 505 506 509 Inhaltsverzeichnis Kapitel 13 Formale Potenzreihen und rationale Funktionen 513 Einführung 13.1 Der Ring der formalen Potenzreihen A. Die Einheiten von K[[x]\ B. Invertieren von Linearfaktoren - Geometrische Reihen . . . . 13.2 Der Körper der rationalen Funktionen A. Der Quotientenkörper von K[x] B. Das Rechnen mit rationalen Funktionen 13.3 Partialbruchzerlegung A. Erster Teil der Partialbruchzerlegung B. Der Spezialfall bei Zerfall in Linearfaktoren C. Zweiter Teil der Partialbruchzerlegung 13.4 Exkurs: Schieberegisterfolgen und lineare Rekursionen A. Was versteht man unter einer linearen Schieberegisterfolge? B. Lineare Schieberegisterfolgen als rationale Funktionen . . . . C. Das Lösen linearer Rekursionen Zusammenfassung Übungsaufgaben 514 516 516 517 518 518 519 520 520 524 526 527 527 529 530 534 535 Teil IV Grundlagen der Analysis 53g Kapitel 14 Die Axiomatik reeller Zahlen 541 Einführung 542 14.1 Angeordnete Körper 544 A. Was versteht man unter einer Anordnung eines Körpers? . . 544 B. Der zu einer Anordnung gehörende Positivbereich 545 C. Grundregeln bei angeordneten Körpern 547 D. Konsequenzen aus der Anordnung eines Körpers 548 14.2 Absolutbetrag und Bewertungen 550 A. Der Absolutbetrag bei angeordneten Körpern 550 B. Grundregeln für das Rechnen mit Beträgen 550 C. Die komplexen Zahlen als bewerteter Körper 551 D. Grundregeln für das Rechnen mit Bewertungen 553 E. Die p-adischen Bewertungen 554 14.3 Archimedisch angeordnete Körper 554 A. Die Bernoulli-Ungleichung 554 B. Das archimedische Axiom 555 C. Konsequenzen des archimedischen Axioms 555 14.4 Vollständig angeordnete Körper 557 A. Beschränkte und unbeschränkte Mengen 557 B. Intervalle in angeordneten Körpern 558 Inhaltsverzeichnis C. Supremum und Infimum, Maximum und Minimum D. Das Vollständigkeitsaxiom 14.5 Wurzeln und die Unvollständigkeit der rationalen Zahlen . . . A. Zur Existenz von Wurzeln B. Konsequenzen für die Existenz vollständiger Anordnungen . C. Gesetzmäßigkeiten beim Rechnen mit Wurzeln 14.6 Exkurs: Die reellen Zahlen als Dedekind-Schnitte A. Was versteht man unter einem Dedekind-Schnitt? B. Die reellen Zahlen als die Menge aller Dedekind-Schnitte . . C. Die Ausnahmestellung der reellen Zahlen Zusammenfassung Übungsaufgaben 559 561 562 562 563 564 565 565 566 568 569 570 Kapitel 15 Folgen 573 Einführung 15.1 Häufungspunkte und Grenzwerte A. Fast überall geltende Eigenschaften bei Folgen B. Was ist ein Häufungspunkt, was ein Grenzwert? C. Ein Grundrepertoire an konvergenten Folgen D. Uneigentliche Konvergenz 15.2 Grenzwertsätze 15.3 Beschränktheit, Monotonie und Teilfolgen A. Beschränktheit bei Folgen B. Monotonie bei Folgen C. Der Begriff der Teilfolge 15.4 Konvergenzkriterien und Charakterisierungen der Vollständigkeit A. Intervallschachtelungen B. Konvergenz bei monotonen und beschränkten Folgen C. Die Euler'sche Zahl D. Limes superior und Limes inferior E. Zur Approximation £-ter Wurzeln 15.5 Landau-Symbole A. Die O-Notation B. Die fi-, die 0- und die o-Notation C. Zum Wachstumsverhalten von Funktionen D. Zur Effizienz von Algorithmen E. Die Komplexität eines Problems 15.6 Exkurs: Cauchy-Folgen A. Was versteht man unter einer Cauchy-Folge? B. Das Cauchy-Kriterium der Vollständigkeit Zusammenfassung Übungsaufgaben 574 576 576 577 580 582 583 587 587 588 589 591 591 593 595 596 599 600 600 602 602 604 604 605 605 606 608 610 Inhaltsverzeichnis Kapitel 16 Reihen 613 Einführung 16.1 Konvergenzkriterien bei Reihen A. Die zu einer Folge gehörende Reihe B. Die geometrische und die harmonische Reihe C. Das Leibniz- und das Cauchy-Konvergenzkriterium D. Absolute Konvergenz, Majoranten- und Minorantenkriterium E. Das Quotienten- und das Wurzelkriteriuni bei Reihen F. Die Reihendarstellung der Euler'schen Zahl 16.2 Der Konvergenzbereich bei Potenzreihen A. Potenzreihen aus analytischem Blickwinkel B. Der Konvergenzradius bei Potenzreihen C. Das Quotienten- und das Wurzelkriterium bei Potenzreihen D. Der Identitätssatz für Potenzreihen E. Reihen mit allgemeinem Entwicklungspunkt 16.3 Konvergenzverhalten bei Umordnung und Faltung A. Umordnungen bei Reihen B. Konvergenz bei Faltung von Reihen 16.4 Reihendarstellungen rationaler und reeller Zahlen A. Die 5-adische Darstellung einer reellen Zahl B. Zur Eindeutigkeit der B-adischen Darstellung C. Rationale Zahlen mit endlicher B-adischer Darstellung . . . . D. ß-adische Darstellungen von rationalen im Vergleich zu irrationalen Zahlen E. Zur Gleitkomma-Darstellung reeller Zahlen 16.5 Wartezeitprobleme und geometrische Verteilungen A. Grundlagen bei abzählbar unendlichen Wahrscheinlichkeitsräumen B. Ein Wartezeitproblem Zusammenfassung Übungsaufgaben 614 616 616 617 618 621 623 626 628 628 628 630 632 633 634 634 635 637 637 639 640 641 643 644 644 645 648 650 Kapitel 17 Stetige Funktionen 653 Einführung 17.1 Der Stetigkeitsbegriff A. Was versteht man unter Stetigkeit? B. Gleichmäßig stetige und Lipschitz-stetige Funktionen 17.2 Stetigkeit bei elementaren Funktionen A. Das Folgenkriterium zur Stetigkeit B. Die punktweise Verknüpfung stetiger Funktionen 654 656 656 657 659 659 660 Inhaltsverzeichnis 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 C. Umkehrung und Verkettung bei stetigen Funktionen D. Stetige Fortsetzbarkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen A. Zwischenwertsätze bei stetigen Funktionen B. Maximum und Minimum bei stetigen reellwertigen Funktionen Stetigkeit bei Funktionenfolgen und Potenzreihen A. Die punktweise Konvergenz bei Funktionenfolgen B. Die gleichmäßige Konvergenz bei Funktionenfolgen C. Die Supremumsnorm bei beschränkten Funktionen D. Die Stetigkeit von Potenzreihen Exponential- und Logarithmusfunktionen A. Die Funktionalgleichung zur Exponentialfunktion B. Das Verhalten der Exponentialfunktion auf Q und auf K . . . C. Der natürliche Logarithmus D. Exponential- und Logaritmenfunktionen zu allgemeinen Basen E. Potenzfunktionen mit reellen Exponenten F. Die Poisson-Verteilung Trigonometrische Funktionen A. Das Verhalten der Exponentialfunktion auf der imaginären Achse B. Die Definition von Sinus und Cosinus C. Funktionale Eigenschaften von Sinus und Cosinus D. Die Potenzreihendarstellung von Cosinus und Sinus E. Was ist 7i? F. Die Formel von de Moivre Exkurs: Das schwache Gesetz der großen Zahlen Zusammenfassung Übungsaufgaben 661 663 666 666 667 670 670 670 672 672 674 674 675 677 678 679 680 682 682 683 684 685 685 688 689 692 694 Kapitel 18 Differentialrechnung 697 Einführung 18.1 Die Ableitung einer Funktion A. Was versteht man unter der Differenzierbarkeit einer Funktion? B. Die geometrische Interpretation der Ableitung C. Differenzierbarkeitskriterien D. Einige Beispiele differenzierbarer Funktionen 698 700 700 701 701 703 Inhaltsverzeichnis 18.2 Ableitungsregeln A. Die Linearität der Ableitung B. Produkt- und Quotientenregel C. Die Kettenregel D. Die Ableitung bei Umkehrfunktionen E. Höhere Ableitungen 18.3 Mittelwertsätze und Extrema A. Unterscheidung verschiedener Extremalsteilen B. Die Mittelwertsätze der Differentialrechnung C. Kriterien für Monotonie und Extrema D. Regeln von de l'Höpital 18.4 Approximation durch Taylor-Polynome A. Was ist ein Taylor-Polynom? B. Der Satz von Taylor C. Ein weiteres Kriterium für lokale Extremalstellen D. Taylor-Reihen und analytische Funktionen 18.5 Exkurs: Zur iterativen Lösung von Gleichungen A. Ein allgemeines Iterationsprinzip B. Ein Fixpunktsatz C. Das Newton-Verfahren D. Die Regula falsi Zusammenfassung Übungsaufgaben 705 705 706 708 710 712 713 713 714 716 718 722 722 724 726 727 729 729 729 731 733 734 736 Kapitel 19 Integralrechnung 739 Einführung 19.1 Integration von Treppenfunktionen A. Was versteht man unter einer Treppenfunktion? B. Was ist das Integral einer Treppenfunktion? C. Ober-, Unter- und Riemann-Integral D. Eigenschaften des Riemann-Integrals 19.2 Riemann-integrierbare Funktionen A. Gleichmäßige Approximation durch Treppenfunktionen . . . B. Die Riemann-Integrierbarkeit stetiger Funktionen C. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung 19.3 Integration als Umkehrung der Differentiation A. Additionsregel und Integralfunktion B. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung C. Stammfunktionen 740 742 742 743 744 746 748 748 749 750 750 750 751 752 Inhaltsverzeichnis 19.4 Integrationsregeln A. Substitutionsregel und Transformationsformel B. Die Regel der partiellen Integration C. Integration bei rationalen Funktionen 19.5 Integration bei Funktionenfolgen A. Vertauschung von Integral und Grenzwertbildung B. Integration und Stammfunktionen von Potenzreihen C. Vertauschung von Differenzieren und Grenzwertbildung . . . D. Differenzieren von Potenzreihen 19.6 Uneigentliche Integrale und der zentrale Grenzwertsatz A. Integration über unbeschränkten Intervallen B. Verteilungsfunktionen und Dichten C. Der zentrale Grenzwertsatz D. Integration bei Undefinierten Stellen Zusammenfassung Übungsaufgaben 755 755 757 759 760 760 761 763 763 768 768 768 771 773 775 777 Literaturverzeichnis 781 Symbolverzeichnis 785 Register 793
