2., akt. Aufl. - *ISBN 978-3-8273-7320-5

Inhaltsverzeichnis
Vorwort
xxvii
Teil I
Mathematisches Grundwissen
1
Kapitel 1
Mengen und Aussagen
3
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundbegriffe der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was ist eine Menge? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Beschreibungen von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Teilmengenbeziehung und Gleichheit bei Mengen . . . . .
D. Die Mächtigkeit einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Eine Menge, die nicht fehlen darf . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundlegende Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Mengenbezeichnungen für Zahlbereiche . . . . . . . . . . . .
B. Zum Unterschied zwischen rationalen und reellen Zahlen
C. Ein weiterer Grund für Zahlbereichserweiterungen . . . . .
D. Eine grundlegende Eigenschaft reeller Zahlen . . . . . . . .
E. Die Lösung reeller quadratischer Gleichungen . . . . . . . .
Verknüpfungen von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Vier grundlegende Verknüpfungen von Mengen . . . . . . .
B. Die disjunkte Mengenvereinigung . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Grundgesetze bei Mengenverknüpfungen . . . . . . . . . . .
D. Regeln bei Mächtigkeiten von endlichen Mengen . . . . . .
Aussagen und deren logische Verknüpfungen . . . . . . . . . .
A. Wahrheitswerte logischer Aussagen . . . . . . . . . . . . . . .
B. Verknüpfungen von Aussagen und Wahrheitstafeln . . . .
C. Zur Äquivalenz von Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Die logische Grundlage dreier Beweismethoden . . . . . . .
E. Gesetzmäßigkeiten bei Verknüpfungen von Aussagen . . .
F. Normalformen bei aussagenlogischen Formeln . . . . . . . .
Potenzmenge und kartesische Produkte . . . . . . . . . . . . . .
A. Die Potenzmenge einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Mengensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Kartesische Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
6
6
7
7
8
9
9
9
10
12
12
13
15
15
16
17
20
21
21
22
23
24
26
27
27
27
28
29
ix
Inhaltsverzeichnis
1.6
1.7
1.8
Zur Bildung von mehrfachen Verknüpfungen . . . . . . . . . . .
A. Das Summen- und das Produktzeichen . . . . . . . . . . . . .
B. Grundregeln für das Rechnen mit Summen und Produkten
C. n-fache kartesische Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verknüpfungen bei beliebigen Indexmengen . . . . . . . . . . . .
A. Reihen – Summation unendlich vieler Zahlen . . . . . . . . .
B. Schnitte und Vereinigungen über Mengensystemen . . . . .
C. Existenz- und Allquantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exkurs: Das Auswahlaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kapitel 2
2.1
2.2
2.3
2.4
x
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Natürliche und ganze Zahlen
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Die Wohlordnungseigenschaft der natürlichen Ordnung . . .
B. Das Prinzip der vollständigen Induktion . . . . . . . . . . . . . .
C. Zwei Beispiele zur vollständigen Induktion . . . . . . . . . . . .
D. Die Fakultätsfunktion und deren Wachstumsverhalten . . . .
E. Die geometrische Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F. Die Summenregel aus der Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . .
Primfaktorzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Die Teilbarkeitsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Eine zweite Form des Prinzips der vollständigen Induktion .
D. Die Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen . . . . . . . . . . .
E. Ein naives Faktorisierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellungen ganzer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Division mit Rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die B-adische Darstellung einer ganzen Zahl . . . . . . . . . . .
C. Korrektheit und Terminierung bei Algorithmen . . . . . . . . .
D. Zur Komplexität eines Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Euklidische Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Größte gemeinsame Teiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die Berechnung des ggT zweier Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
C. Die Berechnung der Vielfachsummendarstellung eines ggT .
D. Eine Anwendung des erweiterten
Euklidischen Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
30
32
33
35
35
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62
63
63
65
67
68
69
69
70
72
74
74
75
77
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Abbildungen, Äquivalenzrelationen und partielle
Ordnungen
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundlagen über Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was ist eine Relation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Umkehrung und Verkettung von Relationen . . . . . . . . . . .
C. Gerichtete Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Abbildungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was versteht man unter einer Abbildung? . . . . . . . . . . . . .
B. Schreib- und Sprechweisen bei Abbildungen . . . . . . . . . .
C. Spezielle Eigenschaften bei Abbildungen . . . . . . . . . . . . .
D. Die Urbildpartition zu einer Abbildung . . . . . . . . . . . . . .
E. Zur Umkehrung von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F. Die Verkettung von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Besonderheiten bei endlichen Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichmächtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was bedeutet die Gleichmächtigkeit zweier Mengen? . . . . .
B. Die Gleichmächtigkeit von N, von Z und von Q . . . . . . . . .
C. Die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . .
Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Partielle Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Einige Beispiele partieller Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . .
C. Totale Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was ist eine Äquivalenzrelation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Beispiele von Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Äquivalenzklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Restklassen modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Repräsentantensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exkurs: Kontinuumshypothese und Hasse-Diagramme . . . . . .
A. Abbildungen und kartesische Produkte . . . . . . . . . . . . . .
B. Zur Kontinuumshypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Kleinste und größte Elemente in partiell
geordneten Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Wohlordnungen als spezielle Ordnungen . . . . . . . . . . . . .
E. Darstellung partieller Ordnungen durch Hasse-Diagramme .
F. Reduktion und Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
82
84
84
84
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105
107
108
108
108
109
109
110
110
112
114
xi
Inhaltsverzeichnis
Teil II
Grundlagen der Diskreten Mathematik
117
Kapitel 4
Kombinatorik
119
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
xii
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundregeln des Zählens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Die Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die Gleichmächtigkeitsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Die Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Die Potenzregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Potenzmengen und charakteristische Funktionen . . . . . . . .
B. Was ist ein Binomialkoeffizient? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Gesetzmäßigkeiten bei Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . .
D. Der Binomialsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abbildungen auf endlichen Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Die Rückführung auf Standardmengen . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die Anzahl der injektiven und bijektiven Abbildungen . . . .
C. Formale Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Inklusions-Exklusions-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Der Spezialfall bei Vereinigungen von drei Mengen . . . . . .
B. Die allgemeine Inklusions-Exklusions-Formel . . . . . . . . . .
C. Ein weiterer Beweis der Inklusions-Exklusions-Formel . . . .
D. Die Siebformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungen der Siebformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Die Euler-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die Multiplikativität der Euler-Funktion . . . . . . . . . . . . . .
C. Die Anzahl der surjektiven Abbildungen
zwischen zwei endlichen Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exkurs: Darstellung von Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Eine erste Darstellungsmöglichkeit von Permutationen . . . .
B. Die Zykelschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Multiplikation von Zyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Transpositionen – die einfachsten Permutationen . . . . . . .
E. Zur Eindeutigkeit der Darstellung von Permutationen . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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122
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143
144
144
145
147
149
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . .
A. Der Ergebnisraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Was versteht man unter einer Wahrscheinlichkeit? . . . . . . .
D. Grundregeln für das Arbeiten mit
Wahrscheinlichkeitsräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Laplace-Modelle und vier Kugel-Modelle . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was ist ein Laplace-Modell? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die vier grundlegenden Experimente als Kugel-Modelle . . .
C. Die vier Kugel-Modelle nochmals im Überblick . . . . . . . . .
Zufallsvariablen und induzierte Wahrscheinlichkeitsfunktionen
A. Laplace-Modelle im Hintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Zufallsvariable und Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Schreibweisen beim Umgang mit Zufallsvariablen . . . . . . .
D. Indikatorvariablen und relative Häufigkeiten . . . . . . . . . . .
Mehrstufige Experimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten .
A. Was versteht man unter einer bedingten
Wahrscheinlichkeit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Zwei Beispiele für den Umgang mit bedingten
Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . .
D. Die Formel von Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Ein Beispiel aus der Medizin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stochastische Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse . . . . . .
B. Stochastische Unabhängigkeit bei mehreren Ereignissen . . .
C. Die Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen . . . . . . . . . . .
Erwartungswert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . .
B. Eine alternative Formel zur Berechnung
des Erwartungswertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Die Varianz einer Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Die wichtigsten Gesetzmäßigkeiten beim Bilden von
Erwartungswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Die wichtigsten Gesetzmäßigkeiten bei der Berechnung von
Varianzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
154
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156
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170
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176
176
177
177
177
177
179
179
181
183
xiii
Inhaltsverzeichnis
5.7
Binomialverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten . . . . . . . . . . .
B. Binomial-verteilte Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Der Erwartungswert einer binomial-verteilten
Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Die Varianz einer binomial-verteilten Zufallsvariablen . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kapitel 6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
xiv
Algebraische Strukturen
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Monoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was versteht man allgemein unter einer Verknüpfung? . . . .
B. Assoziative und kommutative Verknüpfungen . . . . . . . . . .
C. Das neutrale Element: von der Halbgruppe zum Monoid . . .
D. Beispiele von Monoiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Invertierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die Definition einer Gruppe und die Einheitengruppe eines
Monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Beispiele von Einheitengruppen und Gruppen . . . . . . . . . .
Untergruppen und der Satz von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . .
A. Teilmonoide und Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die Untergruppen von (Z, +, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Zur Erzeugung von Teilmonoiden und zyklische Gruppen .
D. Linksnebenklassen von Untergruppen und der Satz von
Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Die Ordnung eines Gruppenelementes . . . . . . . . . . . . . . .
Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was versteht man unter der algebraischen Struktur
eines Ringes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Allgemeine Rechengesetze bei Ringen . . . . . . . . . . . . . . .
C. Integritätsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Die Einheitengruppe eines Ringes, Schiefkörper und Körper
E. Grundlegende Beispiele von Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . .
F. Eine Übersicht verschiedener Kategorien von Ringen . . . . .
Der Körper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Grundmenge, Verknüpfungen und Nachweis
der Körpereigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die reellen Zahlen als Teilkörper der komplexen Zahlen . . .
185
185
186
186
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193
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196
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203
203
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206
208
208
210
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213
215
217
217
219
220
221
222
224
225
225
228
Inhaltsverzeichnis
6.6
6.7
C. Imaginäre Einheit, Real- und Imaginärteil . . . . . . . . . . . . .
D. Die konjugiert Komplexe und der Betrag einer komplexen
Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Die Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten .
F. Die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus . . . . . . . . . .
Der Schiefkörper der Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Die Grundmenge und die Verknüpfungen bei Quaternionen
B. Der Nachweis der Schiefkörpereigenschaft . . . . . . . . . . . .
Exkurs: Verbände und Boole’sche Algebren . . . . . . . . . . . . . .
A. Die Definition eines Verbandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Gesetzmäßigkeiten bei allgemeinen Verbänden . . . . . . . . .
C. Einige Beispiele von Verbänden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Die Vollständigkeit eines Verbandes sowie
kleinstes und größtes Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Komplementarität und Distributivität . . . . . . . . . . . . . . . .
F. Boole’sche Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kapitel 7
7.1
7.2
7.3
Restklassenringe und Anwendungen
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modulares Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Die Kongruenz modulo n und Restklassenarithmetik . . . . .
B. Der Restklassenring Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Einheiten modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Welche Restklassenringe sind Körper? . . . . . . . . . . . . . . .
E. Effizientes Potenzieren in Restklassenringen . . . . . . . . . . .
F. Die Sätze von Euler und Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G. Die Ordnung modulo n und primitive Elemente
in Restklassenkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das RSA-Public-Key-Cryptosystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Grundbegriffe der Kryptographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Beschreibung der Schlüssel beim RSA-System . . . . . . . . . .
C. Die korrekte Arbeitsweise des RSA-Systems . . . . . . . . . . .
D. Schlüsselgenerierung und Sicherheit beim RSA-System . . .
E. Ein Beispiel zum RSA-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Grundmodell bei fehlerkorrigierenden Codes . . . . . . . . .
A. Grundbegriffe der Codierungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die Eigenschaft der ,,Linearität“ bei Codes . . . . . . . . . . . .
C. Weitere Aspekte des Grundmodells der Codierungstheorie .
D. Anforderungen an gute Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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270
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273
276
xv
Inhaltsverzeichnis
7.4
7.5
7.6
Kugelpackungsschranke und (7,4)-Hamming-Code . . . . .
A. Minimalabstand und Korrekturleistung eines Codes . .
B. Die Kugelpackungsschranke und perfekte Codes . . . .
C. Beispiele perfekter Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prüfzeichencodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Der ISBN-Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Eigenschaften des ISBN-Codes . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Der EAN-Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exkurs: Der Chinesische Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Einführendes Beispiel und allgemeine Problemstellung
B. Die Beschreibung der Lösungsmenge . . . . . . . . . . . .
C. Die Lösbarkeit bei relativ primen Restsystemen . . . . .
D. Die iterative Berechnung der Lösung . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kapitel 8
8.1
8.2
8.3
xvi
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Homomorphismen und Faktorstrukturen
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homomorphismen bei Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Strukturerhaltende Abbildungen auf Monoiden
und Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Spezielle Eigenschaften bei Gruppen-Homomorphismen . . .
C. Kern und Bild bei Gruppen-Homomorphismen . . . . . . . . .
D. Urbilder bei Gruppen-Homomorphismen . . . . . . . . . . . . .
E. Nochmals zur Ordnung eines Gruppenelementes . . . . . . . .
F. Beispiele von Gruppen-Homomorphismen . . . . . . . . . . . . .
Normalteiler und Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Äquivalenzen modulo einer Untergruppe und Normalteiler
B. Kongruenzrelationen auf Gruppen neutrale Klassen und
Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Kerne von Homomorphismen als neutrale Klassen . . . . . . .
D. Verknüpfung von Klassen und Faktorgruppen . . . . . . . . . .
E. Neutrale Klassen als Kerne von Homomorphismen . . . . . . .
Homomorphismen bei Ringen und Ideale . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was ist ein Teilring von R? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Was ist ein Ring-Homomorphismus? . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Was ist der Kern eines Ring-Homomorphismus? . . . . . . . .
D. Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Hauptidealbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F. Die Charakteristik eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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277
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281
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314
314
314
315
315
315
316
317
Inhaltsverzeichnis
8.4
8.5
Kongruenzen bei Ringen, Ideale und Faktorringe
A. Kongruenzrelationen auf Ringen . . . . . . . . .
B. Faktorringe und die Klassenmultiplikation . .
C. Maximale Ideale und Körper als Faktorringe .
Exkurs: Homomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . .
A. Der Homomorphiesatz für Gruppen . . . . . . .
B. Ein weiteres Beispiel: Alternierende Gruppen
C. Der Homomorphiesatz für Ringe . . . . . . . . .
D. Nochmals der Chinesische Restsatz . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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324
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328
Teil III
Grundlagen der Linearen Algebra
331
Kapitel 9
Vektoren und Matrizen
333
9.1
9.2
9.3
9.4
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. n-Tupelräume als Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die Axiomatik abstrakter Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . .
C. Matrixräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Spezielle Klassen quadratischer Matrizen . . . . . . . . . . . . .
E. Zeilen- und Spaltenvektoren als Matrizen . . . . . . . . . . . . .
F. Eine Übersicht über Vektoren und Matrizen . . . . . . . . . . . .
Teilräume und deren Erzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was versteht man unter einem Teilraum? . . . . . . . . . . . . .
B. Linearkombinationen, lineare Hülle und
Erzeugung von Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Endlich erzeugte Vektorräume und kanonische Basen . . . . .
Matrixalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Die Matrixmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Spezialfälle bei der Matrixmultiplikation . . . . . . . . . . . . .
C. Gesetzmäßigkeiten bei der Matrixmultiplikation . . . . . . . .
D. Die quadratischen Matrizen als K-Algebra . . . . . . . . . . . . .
E. Invertierbare Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was ist eine K-lineare Abbildung? . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Matrizen als K-lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Darstellung linearer Abbildungen als Matrizen . . . . . . . . .
D. Die Matrixmultiplikation als Hintereinanderausführung
linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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357
358
358
360
xvii
Inhaltsverzeichnis
9.5
9.6
Komplexe Zahlen und Quaternionen als Matrixalgebren . . .
A. Veranschaulichung linearer Abbildungen auf R2 . . . . . . .
B. Die komplexen Zahlen als Matrixalgebra . . . . . . . . . . .
C. Die Quaternionen als Matrixring über C . . . . . . . . . . . .
D. Die Quaternionen als Matrixalgebra über R . . . . . . . . . .
Exkurs: Kerne von linearen Abbildungen und Faktorräume .
A. Der Kern einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . .
B. Faktorräume und Kongruenzrelationen bei Vektorräumen
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Kapitel 10 Lineare Gleichungssysteme
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
xviii
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Struktur der Lösungsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was ist ein lineares Gleichungssystem? . . . . . . . . . . . . .
B. Grundproblemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Eine erste Analyse der Lösungsmenge . . . . . . . . . . . . . .
Die Lösungsmenge bei einer Gleichung . . . . . . . . . . . . . . .
A. Der einfachste Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Eine Gleichung mit zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Ein konkretes Zahlenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Die Lösungsmenge bei (1, n)-Systemen . . . . . . . . . . . . . .
E. Einige einfache Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementare Zeilenumformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die drei Arten elementarer Zeilenumformungen . . . . . . .
C. Die zu Zeilenumformungen gehörende Äquivalenzrelation
Treppenmatrizen und der Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . .
A. Normierte Treppenmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Pivotierung und Transformation in Treppengestalt . . . . . .
C. Der Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Ein Beispiel zum Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . .
Die Lösungsmenge bei allgemeinen Problemen . . . . . . . . . .
A. Ein vorbereitendes Resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die Entscheidung der Lösbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Die Beschreibung des homogenen Lösungsraumes . . . . . .
D. Zusammenfassung und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Invertierbare Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Elementarmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die Eindeutigkeit des Ergebnisses beim Gauß-Algorithmus
C. Invertierbarkeitskriterien für Matrizen . . . . . . . . . . . . . .
D. Test auf Invertierbarkeit und Berechnung der Inversen . . .
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411
Inhaltsverzeichnis
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kapitel 11 Abstrakte Vektorräume und Anwendungen
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit . . . . . . .
B. Beispiele zur linearen (Un-)Abhängigkeit . . . . . . . . . . . . .
C. Minimale Erzeugersysteme alias Basen . . . . . . . . . . . . . . .
D. Spaltenraum und Zeilenraum einer Matrix . . . . . . . . . . . .
E. Berechnung einer Basis des Spaltenraumes einer Matrix . . .
Die Dimension eines Vektorraumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Die Gleichmächtigkeit von je zwei Basen . . . . . . . . . . . . .
B. Beispiele zum Dimensionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Charakterisierungen von Basen und die Dimension
von Teilräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zur Darstellung linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Zur Existenz von injektiven, surjektiven, bijektiven
linearen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Koordinatisierung allgemeiner Vektorräume . . . . . . . . . . .
C. Darstellung allgemeiner linearer Abbildungen als Matrizen .
D. Verkettung allgemeiner linearer Abbildungen . . . . . . . . . .
E. Dimensionsformeln und die Summenbildung
bei Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was versteht man unter einem -invarianten Teilraum? . . . .
B. Darstellungen unter Berücksichtigung -invarianter
Teilräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Zur Diagonalisierbarkeit von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Die Suche nach Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Orthogonalität und Decodieren bei Hamming-Codes . . . . . . . .
A. Standard-Skalarprodukt und Orthogonalität . . . . . . . . . . .
B. Innere versus äußere Darstellung bei Teilräumen . . . . . . . .
C. Generator- und Kontrollmatrix beim (7, 4)-Hamming-Code .
D. Grundlagen zur Theorie allgemeiner linearer Codes . . . . . .
E. Ein Decodierverfahren für den (7, 4)-Hamming-Code . . . . . .
F. Die Familie der binären Hamming-Codes . . . . . . . . . . . . .
Exkurs: Nicht endlich erzeugbare Vektorräume . . . . . . . . . . .
A. Der Vektorraum aller Abbildungen von L nach K . . . . . . . .
B. Der Teilraum der Abbildungen mit endlichem Träger . . . . .
C. Basen für allgemeine Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413
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418
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451
451
452
454
456
457
xix
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 12 Polynome
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
xx
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Faltung versus punktweise Multiplikation . . . . . . . . . . . .
B. Die Algebra der formalen Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . .
C. Die Teilalgebra der Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Eine ,,Herleitung“ der Faltungsformel . . . . . . . . . . . . . . .
E. Schreibtechnische Vereinfachungen und
die Bedeutung des Symbols x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arithmetische Eigenschaften von Polynomen . . . . . . . . . . . .
A. Die Einheiten von K[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Teilbarkeit und Assoziiertheit bei Polynomen . . . . . . . . . .
C. Die Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Größte gemeinsame Teiler bei Polynomen . . . . . . . . . . . . .
E. Irreduzibilität und Faktorisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
Auswertung und Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was versteht man unter der Auswertung eines Polynoms? .
B. Nullstellen bei Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Zur Gleichheit zweier Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Effiziente Auswertung: das Horner-Schema . . . . . . . . . . . .
Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was versteht man unter Interpolation? . . . . . . . . . . . . . . .
B. Das Interpolationspolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Die Interpolationsformel nach Lagrange . . . . . . . . . . . . . .
D. Die Interpolation nach Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Interpolation und Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . .
Polynom-Restklassen und zyklische Codes . . . . . . . . . . . . . .
A. Rechnen modulo einem Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Restklassenkörper bei Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Zyklische Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diskrete und schnelle Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . .
A. Die Auswertungs-Interpolations-Methode . . . . . . . . . . . . .
B. Was ist die diskrete Fourier-Transformation? . . . . . . . . . . .
C. Die schnelle Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Die inverse Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungen in der Linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Das Minimalpolynom einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Eigenwerte als Nullstellen des Minimalpolynoms . . . . . . .
C. Zum Grad des Minimalpolynoms einer Matrix . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
461
462
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464
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500
502
503
503
504
505
506
509
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 13 Formale Potenzreihen und rationale Funktionen
13.1
13.2
13.3
13.4
513
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Ring der formalen Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Die Einheiten von K[[x]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Invertieren von Linearfaktoren – Geometrische Reihen . . . .
Der Körper der rationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Der Quotientenkörper von K[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Das Rechnen mit rationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Erster Teil der Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Der Spezialfall bei Zerfall in Linearfaktoren . . . . . . . . . . .
C. Zweiter Teil der Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . .
Exkurs: Schieberegisterfolgen und lineare Rekursionen . . . . . .
A. Was versteht man unter einer linearen Schieberegisterfolge?
B. Lineare Schieberegisterfolgen als rationale Funktionen . . . .
C. Das Lösen linearer Rekursionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teil IV
Grundlagen der Analysis
539
Kapitel 14 Die Axiomatik reeller Zahlen
14.1
14.2
14.3
14.4
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Angeordnete Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was versteht man unter einer Anordnung eines Körpers?
B. Der zu einer Anordnung gehörende Positivbereich . . . . .
C. Grundregeln bei angeordneten Körpern . . . . . . . . . . . .
D. Konsequenzen aus der Anordnung eines Körpers . . . . . .
Absolutbetrag und Bewertungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Der Absolutbetrag bei angeordneten Körpern . . . . . . . .
B. Grundregeln für das Rechnen mit Beträgen . . . . . . . . . .
C. Die komplexen Zahlen als bewerteter Körper . . . . . . . .
D. Grundregeln für das Rechnen mit Bewertungen . . . . . . .
E. Die p-adischen Bewertungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Archimedisch angeordnete Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Die Bernoulli-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Das archimedische Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Konsequenzen des archimedischen Axioms . . . . . . . . .
Vollständig angeordnete Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Beschränkte und unbeschränkte Mengen . . . . . . . . . . .
B. Intervalle in angeordneten Körpern . . . . . . . . . . . . . . .
514
516
516
517
518
518
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520
520
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544
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554
554
554
555
555
557
557
558
xxi
Inhaltsverzeichnis
14.5
14.6
C. Supremum und Infimum, Maximum und Minimum . . . . .
D. Das Vollständigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wurzeln und die Unvollständigkeit der rationalen Zahlen . .
A. Zur Existenz von Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Konsequenzen für die Existenz vollständiger Anordnungen
C. Gesetzmäßigkeiten beim Rechnen mit Wurzeln . . . . . . . .
Exkurs: Die reellen Zahlen als Dedekind-Schnitte . . . . . . . .
A. Was versteht man unter einem Dedekind-Schnitt? . . . . . .
B. Die reellen Zahlen als die Menge aller Dedekind-Schnitte .
C. Die Ausnahmestellung der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Kapitel 15 Folgen
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
xxii
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Häufungspunkte und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Fast überall geltende Eigenschaften bei Folgen . . . . . . . . .
B. Was ist ein Häufungspunkt, was ein Grenzwert? . . . . . . . .
C. Ein Grundrepertoire an konvergenten Folgen . . . . . . . . . . .
D. Uneigentliche Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beschränktheit, Monotonie und Teilfolgen . . . . . . . . . . . . . .
A. Beschränktheit bei Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Monotonie bei Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Der Begriff der Teilfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konvergenzkriterien und Charakterisierungen der
Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Intervallschachtelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Konvergenz bei monotonen und beschränkten Folgen . . . . .
C. Die Euler’sche Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Limes superior und Limes inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Zur Approximation k-ter Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Landau-Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Die O-Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die §-, die Ÿ- und die o-Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Zum Wachstumsverhalten von Funktionen . . . . . . . . . . . .
D. Zur Effizienz von Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Die Komplexität eines Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exkurs: Cauchy-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was versteht man unter einer Cauchy-Folge? . . . . . . . . . .
B. Das Cauchy-Kriterium der Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
559
561
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602
604
604
605
605
606
608
610
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 16 Reihen
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
613
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konvergenzkriterien bei Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Die zu einer Folge gehörende Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die geometrische und die harmonische Reihe . . . . . . . . . .
C. Das Leibniz- und das Cauchy-Konvergenzkriterium . . . . . .
D. Absolute Konvergenz, Majoranten- und
Minorantenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Das Quotienten- und das Wurzelkriterium bei Reihen . . . . .
F. Die Reihendarstellung der Euler’schen Zahl . . . . . . . . . . . .
Der Konvergenzbereich bei Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . .
A. Potenzreihen aus analytischem Blickwinkel . . . . . . . . . . .
B. Der Konvergenzradius bei Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . .
C. Das Quotienten- und das Wurzelkriterium bei Potenzreihen
D. Der Identitätssatz für Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Reihen mit allgemeinem Entwicklungspunkt . . . . . . . . . . .
Konvergenzverhalten bei Umordnung und Faltung . . . . . . . . .
A. Umordnungen bei Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Konvergenz bei Faltung von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reihendarstellungen rationaler und reeller Zahlen . . . . . . . . .
A. Die B-adische Darstellung einer reellen Zahl . . . . . . . . . . .
B. Zur Eindeutigkeit der B-adischen Darstellung . . . . . . . . . .
C. Rationale Zahlen mit endlicher B-adischer Darstellung . . . .
D. B-adische Darstellungen von rationalen im Vergleich zu
irrationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Zur Gleitkomma-Darstellung reeller Zahlen . . . . . . . . . . . .
Wartezeitprobleme und geometrische Verteilungen . . . . . . . . .
A. Grundlagen bei abzählbar unendlichen
Wahrscheinlichkeitsräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Ein Wartezeitproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kapitel 17 Stetige Funktionen
17.1
17.2
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Stetigkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was versteht man unter Stetigkeit? . . . . . . . . . . . .
B. Gleichmäßig stetige und Lipschitz-stetige Funktionen
Stetigkeit bei elementaren Funktionen . . . . . . . . . . . .
A. Das Folgenkriterium zur Stetigkeit . . . . . . . . . . . . .
B. Die punktweise Verknüpfung stetiger Funktionen . .
614
616
616
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654
656
656
657
659
659
660
xxiii
Inhaltsverzeichnis
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
C. Umkehrung und Verkettung bei stetigen Funktionen . . . . .
D. Stetige Fortsetzbarkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Zwischenwertsätze bei stetigen Funktionen . . . . . . . . . . .
B. Maximum und Minimum bei stetigen reellwertigen
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stetigkeit bei Funktionenfolgen und Potenzreihen . . . . . . . . .
A. Die punktweise Konvergenz bei Funktionenfolgen . . . . . . .
B. Die gleichmäßige Konvergenz bei Funktionenfolgen . . . . . .
C. Die Supremumsnorm bei beschränkten Funktionen . . . . . .
D. Die Stetigkeit von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .
A. Die Funktionalgleichung zur Exponentialfunktion . . . . . . .
B. Das Verhalten der Exponentialfunktion auf Q und auf R . . .
C. Der natürliche Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Exponential- und Logaritmenfunktionen zu allgemeinen
Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Potenzfunktionen mit reellen Exponenten . . . . . . . . . . . . .
F. Die Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Das Verhalten der Exponentialfunktion auf der imaginären
Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die Definition von Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . .
C. Funktionale Eigenschaften von Sinus und Cosinus . . . . . . .
D. Die Potenzreihendarstellung von Cosinus und Sinus . . . . .
E. Was ist ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F. Die Formel von de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exkurs: Das schwache Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kapitel 18 Differentialrechnung
18.1
xxiv
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was versteht man unter der Differenzierbarkeit
einer Funktion? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Die geometrische Interpretation der Ableitung . . . . . . . . . .
C. Differenzierbarkeitskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Einige Beispiele differenzierbarer Funktionen . . . . . . . . . .
661
663
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666
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700
700
701
701
703
Inhaltsverzeichnis
18.2
18.3
18.4
18.5
Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Die Linearität der Ableitung . . . . . . . . . . . . . .
B. Produkt- und Quotientenregel . . . . . . . . . . . . .
C. Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Die Ableitung bei Umkehrfunktionen . . . . . . . .
E. Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mittelwertsätze und Extrema . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Unterscheidung verschiedener Extremalstellen .
B. Die Mittelwertsätze der Differentialrechnung . . .
C. Kriterien für Monotonie und Extrema . . . . . . . .
D. Regeln von de l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Approximation durch Taylor-Polynome . . . . . . . .
A. Was ist ein Taylor-Polynom? . . . . . . . . . . . . . .
B. Der Satz von Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Ein weiteres Kriterium für lokale Extremalstellen
D. Taylor-Reihen und analytische Funktionen . . . .
Exkurs: Zur iterativen Lösung von Gleichungen . . .
A. Ein allgemeines Iterationsprinzip . . . . . . . . . .
B. Ein Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Die Regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Kapitel 19 Integralrechnung
19.1
19.2
19.3
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integration von Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Was versteht man unter einer Treppenfunktion? . . . . .
B. Was ist das Integral einer Treppenfunktion? . . . . . . . .
C. Ober-, Unter- und Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . .
D. Eigenschaften des Riemann-Integrals . . . . . . . . . . . . .
Riemann-integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Gleichmäßige Approximation durch Treppenfunktionen
B. Die Riemann-Integrierbarkeit stetiger Funktionen . . . . .
C. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . .
Integration als Umkehrung der Differentiation . . . . . . . . .
A. Additionsregel und Integralfunktion . . . . . . . . . . . . .
B. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . .
C. Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
705
705
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750
751
752
xxv
Inhaltsverzeichnis
19.4
19.5
19.6
xxvi
Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Substitutionsregel und Transformationsformel . . . . . . .
B. Die Regel der partiellen Integration . . . . . . . . . . . . . .
C. Integration bei rationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . .
Integration bei Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. Vertauschung von Integral und Grenzwertbildung . . . .
B. Integration und Stammfunktionen von Potenzreihen . .
C. Vertauschung von Differenzieren und Grenzwertbildung
D. Differenzieren von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . .
Uneigentliche Integrale und der zentrale Grenzwertsatz . .
A. Integration über unbeschränkten Intervallen . . . . . . . .
B. Verteilungsfunktionen und Dichten . . . . . . . . . . . . . .
C. Der zentrale Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D. Integration bei undefinierten Stellen . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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777
Literaturverzeichnis
781
Symbolverzeichnis
785
Register
793