Kapitel 2 - KIT - Fakultät für Mathematik
Werbung
Nicht alles ist Zahl Pythagoras und seine Lehre 1 Pythagoras Tag der Mathematik 2 Chartres: die septem artes liberales Tag der Mathematik 3 Die septem artes liberales Quadrivium Arithmetik Grammatik Geometrie Musik Rhetorik Astronomie Dialektik/Logik Trivium Tag der Mathematik 4 Chartres: die septem artes liberales Dialektik: Rhetorik: Geometrie: Astronomie: Grammatik: Aristoteles Cicero Euklid Ptolemäus Donatus im 4. Jahrhundert n. Chr. lebender Autor einer lateinischen Grammatik Arithmetik: Boethius Verwaltungsbeamter und Philosoph am Hofe Theoderichs des Großen Musik: Pythagoras Tag der Mathematik 5 Pythagoras um 570 v. Chr. auf Samos geboren nur wenige Fakten gesichert man kennt von ihm kein einziges Werk besuchte vermutlich Phönizien, Ägypten, Babylon und Persien, wo er die Religion und die dort bekannte Mathematik studierte Tag der Mathematik 6 Pythagoras bei seiner Rückkehr nach Samos herrschte dort Polykrates (538-522 v. Chr.) Er stand auf seines Daches Zinnen, er schaute mit vergnügten Sinnen auf das beherrschte Samos hin. „Dies alles ist mir untertänig“, begann er zu Ägyptens König, „gestehe, dass ich glücklich bin.“ Schiller, Der Ring des Polykrates Tag der Mathematik 7 Pythagoras wanderte um 530 nach Kroton (Unteritalien) aus als beeindruckender und überzeugender Redner gewann er in Süditalien erheblichen politischen Einfluss starb um 480 in Metapont (am Golf von Tarent) gründete eine Sekte (Bruderschaft, Orden) Wiedergeburtslehre Pythagoreer zu strengster Geheimhaltung verpflichtet Tag der Mathematik 8 Alles ist Zahl Seit Aristoteles gilt die Erkenntnis der Zahlenhaftigkeit der Welt als der Inbegriff der pythagoreischen Philosophie. Selbst im Alten Testament haben diese Gedanken Spuren hinterlassen (Buch der Weisheit 11,20): Du aber hast alles nach Maß, Zahl und Gewicht geordnet. Zahlen meinen stets natürliche Zahlen (ohne 0). Tag der Mathematik 9 Alles ist Zahl Mathematik im heutigen Sinne haben Pythagoras und seine Anhänger weniger getrieben. Der häufigste und überzeugendste Beweis bei den “ Pythagoreern lautete angeblich „ „er selbst hat es gesagt“; lat. „ipse dixit“. Tag der Mathematik 10 Alles ist Zahl Interesse der Pythagoreer ist besser mit dem Wort Zahlenmystik umschrieben Nach Aristoteles nannten die Pythagoreer die Zahl 5 „Hochzeit, da die Hochzeit das Zusammenkommen von männlich und weiblich ist. Männlich ist nämlich nach ihrer Ansicht ungerade, weiblich gerade. Fünf aber ist die erste Zahl, die aus der Zwei als erster gerader und der Drei als erster ungerader Zahl entsteht.“ Tag der Mathematik 11 Pythagoras und die Musik Überzeugung der Zahlenhaftigkeit der Welt hat wohl ihren Ursprung in der Musik. Sie waren wohl die ersten, die eine Harmonielehre betrieben und das Verhältnis zweier Saitenlängen bei Akkorden untersuchten. - Oktave: 2 : 1 - Quinte: 3 : 2 - Quarte: 4 : 3 Tag der Mathematik 12 Raffael: Die Schule von Athen Tag der Mathematik 13 Raffael: Die Schule von Athen Tag der Mathematik 14 Raffael: Die Schule von Athen 12:6 = 2:1: Oktave 12:8 = 9:6 = 3:2: Quinte 12:9 = 8:6 = 4:3: Quarte 9:8? (4:3) (9:8) = 3:2 also: 9:8: ganzer Ton Aufgabe: 2 Halbtöne 1 Ganzton Pythagoreisches Komma Tag der Mathematik 15 Nicht alles ist Zahl Alles ist Zahl alles in ganzzahligen Verhältnissen fassbar Für beliebige Strecken(längen) s,t müsste also gelten: s : t = m : n (m,n natürliche Zahlen; o.E. teilerfremd) Solche kommensurablen Strecken(längen) s,t haben das gemeinsame Maß e= t/n = s/m wegen s = m (t/n) = m e, t = n (s/m) = n e. Mit einer Strecke der Länge e kann sowohl s als auch t restlos ausgelegt werden. Um die Mitte des 5. Jahrhunderts v. Chr. führte die Entdeckung inkommensurabler Strecken zu einer Erschütterung dieses Weltbilds. Tag der Mathematik 16 Wechselseitige Wegnahme Man kann ein gemeinsames Maß e zweier Strecken d, s (d > s) wie folgt durch wechselseitige Wegnahme finden. Wegen r := d - s = nde - nse = (nd - ns)e hat auch die Strecke r das Maß e. Um e zu finden, kann man also s, r anstelle von d, s betrachten und wieder die kleinere von der größeren abziehen. Man erhält so eine Folge immer kleiner werdender Strecken mit dem gemeinsamen Maß e. Das Verfahren endet, wenn beide Strecken gleich lang sind und damit mit dem gemeinsamen Maß e übereinstimmen. Tag der Mathematik 17 Das Fünfeck und der Goldene Schnitt MEPHISTOPHELES Gesteh ichs nur! Daß ich hinausspaziere, verbietet mir ein kleines Hindernis: der Drudenfuß an Eurer Schwelle – FAUST Das Pentagramma macht dir Pein? Ei, sage mir, du Sohn der Hölle: wenn das dich bannt: wie kamst du denn herein? Wie ward ein solcher Geist betrogen? MEPHISTOPHELES Beschaut es recht! es ist nicht gut gezogen: Der eine Winkel, der nach außenzu, ist, wie du siehst, ein wenig offen. (Goethe, Faust I, 1393-1402) Tag der Mathematik 18 DE || AC = FG || HL BC || AD = KL || FH AFHL und (Symmetrie!) GCHL sind Parallelogramme Das Fünfeck und der Goldene Schnitt d1 = s2 + 2d2 Im Parallelogramm CDEF sieht man s1 = d2 + s2 d1 - s1 = d2 , s1 - d2 = s2 Wechselseitige Wegnahme liefert also d1 , s1 s1 , d2 d2 , s2 s , d 2 3 d3 , s3 … Verfahren lässt sich unendlich oft iterieren. Somit kann kein gemeinsames Maß existieren. Tag der Mathematik 19 Das Fünfeck und der Goldene Schnitt Tag der Mathematik 20 Das Fünfeck und der Goldene Schnitt Tag der Mathematik 21 Tag der Mathematik 22 Das Fünfeck und der Goldene Schnitt Der Goldene Schnitt Tag der Mathematik 23 Das Fünfeck und der Goldene Schnitt Tag der Mathematik 24 Goldene Zirkel Tag der Mathematik 25 Zahlen, Zahlen, Zahlen Warum haben um 450 v. Chr. in Rom genau zehn Männer ein Zwölftafelgesetz (zunächst auf zehn Tafeln) formuliert? Harro Heuser: Die Magie der Zahlen Tag der Mathematik 26
