6. Tutorium zur Vorlesung Analysis I im WS 11/12

Prof. Dr. Patrizio Neff
Essen, 30. November/07. Dezember 2011
Dirk Damjantschitsch
Fakultät für Mathematik Universität Duisburg-Essen
Campus
Essen
6. Tutorium zur Vorlesung Analysis I im WS 11/12
Sei
X
eine beliebige Menge. Eine Abbildung
d : X ×X → R
heiÿt Metrik auf
X ,
wenn die
folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. Für alle
x, y ∈ X
gilt
d(x, y) ≥ 0
und
d(x, y) = 0
genau dann wenn
x = y.
Wir sagen
auch, die Metrik ist positiv denit.
2.
∀x, y ∈ X (d(x, y) = d(y, x)).
3.
∀x, y, z ∈ X (d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)).
Das Paar
(X, d)
heiÿt dann metrischer Raum. Ergibt sich aus dem Kontext, welche Metrik
wir benutzen, bezeichnen wir auch
Aufgabe 1
1. Sei
X
als metrischen Raum.
d : R × R → R, d(x, y) := |x − y|. Zeigen
d heiÿt die natürliche Metrik.
Sie, dass
(R, d)
ein metrischer Raum ist.
Die Metrik
2. Zeigen Sie:
Ist
(X, d)
Funktion
Y ⊆ X eine beliebige Teilmenge, dann ist die
durch dY (x, y) = d(x, y) für (x, y) ∈ Y × Y deniert
ein metrischer Raum und
dY : Y × Y → R ,
die
ist, eine Metrik.
3. Sei
d : X × X → R, deniere
(
0 falls x = y
d(x, y) :=
1 sonst.
X
eine beliebige Menge und sei
X, d
Zeigen Sie, dass
Metrik auf
4. Sei
X, d
ein metrischer Raum ist. Die Metrik
d
nennt man die diskrete
X.
ein metrischer Raum und sei
d˜ : X × X → R
deniert durch
d˜ := min(1, d(x, y))
. Zeigen Sie, dass
aus
5. Sei
d
˜ ein metrischer Raum ist. Wir sagen, d˜ geht durch Trunkierung
(X, d)
hervor.
NN
die Menge aller Funktionen
f : N → N.
Für
f, g ∈ NN
mit
f 6= g
setzen wir
m(f, g) := min{n ∈ N | f (n) 6= g(n)}
Zeigen Sie, dass
d : NN × NN → R
mit
(
0
d(f, g) :=
2−m(f,g)
eine Metrik auf
NN
falls
f =g
sonst
deniert. Diesen metrischen Raum nennen wir Baire-Raum.
Aufgabe 2
X ist eine Funktion f : N → X , oder, allgemeiner eine
f : {k ∈ Z | k ≥ k0 } → X , für ein k0 ∈ Z. Wir schreiben dann auch (xn )n∈N für
die Folge f : N → X mit f (n) = xn .
Sei (X, d) eine metrischer Raum, (xn )n∈N eine Folge in X und z ∈ X . Wir sagen, die Folge
(xn )n∈N konvergiert gegen z falls
Sei
X
eine Menge. Eine Folge in
Funktion
∀ε > 0∃N ∈ N∀n ≥ N (d(xn , z) < ε)
1. In der Vorlesung haben Sie die Denition der Konvergenz einer Folge reeller Zahlen
gegen eine reelle Zahl kennengelernt. Zeigen Sie, dass diese mit der oben gegebenen
Denition mit
2. Sei
sei
X=R
und der natürlichen Metrik übereinstimmt.
X eine Menge und sei d die diskrete Metrik auf X . Sei (xn )n∈N eine Folge in X
z ∈ X . Zeigen sie, dass (xn )n∈N gegen z konvergiert genau dann wenn
∃N ∈ N∀n ≥ N (xn = z)
und