Adµ - Universität Stuttgart

R
Adµ
Universität Stuttgart
Institut für Analysis, Dynamik
und Modellierung
Prof. Guido Schneider
Pfaffenwaldring 57
D–70569 Stuttgart
Analysis 1
Vorlesung im Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 10
Aufgabe 10.1 (schriftlich, 6 Punkte)
a) Entscheiden Sie, ob die folgenden Abbildungen eine Norm in R3 sind. Beweisen Sie
jeweils Ihre Entscheidung.
(i) N1 : R3 → R, (x1 , x2 , x3 ) 7→ x1 +x2 +x3 ,
3
(ii) N2 : R3 → R,
(iii) N3 : R3 → R,
(x1 , x2 , x3 ) 7→ x21 + x22 + x23 ,
p
(x1 , x2 , x3 ) 7→ x21 + 2x22 + 5x23 .
b) Sei Y eine Menge und d : Y × Y → R≥0 eine Metrik. Zeigen Sie:
d˜ : Y × Y → R≥0 ,
def
d˜ =
d
1+d
ist ebenfalls eine Metrik.
c) Seien Mn = {x ∈ R | n − n1 < x < n + n1 }, n ∈ N. Zeigen Sie, dass M =
bezüglich der euklidischen Metrik offen in R ist.
S
n∈N Mn
d) Gegeben sind die Mengen
A = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | (x1 − 1)2 + (x2 − 3)2 < 4},
B = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x1 ∈ (1, 3) ∧ x2 = 0}.
Sind diese Mengen offen in R2 ? Sind sie abgeschlossen in R2 ? Beweisen Sie jeweils
Ihre Behauptung. Geben Sie für A und B jeweils das Innere, den Abschluss und
den Rand an. Argumentieren Sie auch hier bezüglich der euklidischen Metrik.
Aufgabe 10.2 Zeigen Sie:
Jede konvergente Folge in einem normierten Vektorraum ist beschränkt.
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Prof. Guido Schneider
Pfaffenwaldring 57
D–70569 Stuttgart
Aufgabe 10.3 ...
√
a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2-ten Grades der Funktion h : x 7→ x 3 1 + 2x
zum Entwicklungspunkt x0 = 0. Mit welcher Genauigkeit wird h durch T2 (x; 0) im
Intervall |x| ≤ 81 approximiert?
b) Bestimmen Sie Zahlen a, b und c, so dass
| ln(2 + 3x) − a − bx | ≤ cx2
für alle x ∈ [− 31 , 13 ].
c) Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(i) sin(x2 ) = O(x2 ), sin(x2 ) = x2 + o(x4 ),
√
(ii) 5 + 4x2 = 2x + O(1/x) für x → +∞.
jeweils für x → 0,
Hinweis: (Landau-Symbole)
(x) Man schreibt f ∈ o(g) bzw. f = o(g) für x → a, falls lim fg(x)
= 0,
x→a (x) und f ∈ O(g) bzw. f = O(g) für x → a, falls lim sup fg(x)
< ∞.
x→a
Aufgabe 10.4 ...
a) Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen von R2 :
A = {x ∈ R2 | kxk2 ≤ 1},
B = {x ∈ R2 | kxk∞ ≤ 1},
C = {x ∈ R2 | kxk1 ≤ 1} .
b) Bestimmen Sie alle Punkte auf der Ebene E = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x3 = 5}, die
vom Punkt P = (0, 0, 2) bezüglich der Maximumsnorm den Abstand 3 haben.
c) Kann man auf jeder Menge eine Metrik definieren? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 10.5 ...
a) Sei A eine Teilmenge eines metrischen Raumes. Zeigen Sie:
A ist abgeschlossen ⇐⇒ A = Ā.
b) Seien B = {x ∈ R | x ∈ [0, 1] ∨ x ≥ 3}, C = {1 + n1 | n ∈ N} und D = {−2}. Ist
B ∪ C ∪ D abgeschlossen in R? Beweisen Sie Ihre Behauptung.
c) Geben Sie für jedes n ∈ N eine Menge Mn an, so dass alle Mn in R abgeschlossen
sind, die Vereinigung aller Mn aber nicht. Bestimmen Sie den Abschluss und den
Rand dieser Vereinigung.
Besprechung der Votieraufgaben in den Übungen am
Donnerstag, den 19.01.2017, bzw. Freitag, den 20.01.2017.
Die schriftliche Aufgabe wird in den Übungen der darauffolgenden Woche besprochen.