Ubungsserie 9

Technische Universität Ilmenau
Institut für Mathematik
Prof. Dr. M. Kriesell / PD Dr. E. Hexel, M. Sc. J. Schacht
Höhere Algebra
WS 2015/16
Übungsserie 9
Aufgabe 1: Es bezeichne · : G × X → X eine Aktion der endlichen Gruppe (G, ◦)
auf einer endlichen, nicht-leeren Menge X. Beweisen Sie dass die Relation ∼ auf X
mit
x ∼ y ⇐⇒ ∃g ∈ G : g · x = y
eine Äquivalenzrelation ist, wobei die Orbits Ox für x ∈ X die Äquivalenzklassen
sind.
Aufgabe 2: Es bezeichne · : G × X → X eine Aktion der endlichen Gruppe (G, ◦)
auf einer endlichen, nicht-leeren Menge X. Beweisen Sie, dass der Stabilisator Gx
von x ∈ X bezüglich G eine Untergruppe von G ist.
Aufgabe 3: Es seien (G, ◦) eine endliche Gruppe, und Z(S) der Zentralisator von
S ⊆ G. Durch g · x := g ◦ x ◦ g −1 mit g, x ∈ G ist eine Abbildung · : G × G → G
definiert. Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
1) Die Abbildung g · x ist eine Aktion von G auf G.
2) Für den Stabilisator von s ∈ G gilt: Gs = Z({s}).
3) Für das Orbit von s ∈ G gilt: |Os | = 1 ⇔ s ∈ Z(G).
4) Ist V ein Vertretersystem für die Menge der Orbits Os mit |Os | ≥ 2, dann gilt
X
|G| = |Z(G)| +
|G/Z({s})|.
s∈V
Aufgabe 4: Es sei (R, +, ·) ein Ring, wobei 0 das Nullelement und 1 das Einselement
bezeichne. Weisen Sie die Gültigkeit der folgenden Eigenschaften nach.
a) Für alle a ∈ R gilt a · 0 = 0 · a = 0.
b) Aus 0 = 1 folgt R = {0}.
Ist insbesonder R 6= {0} ein Ring mit Eins und E(R) die Menge der Einheiten, dann
zeige man weiter
1
c) 0 ∈
/ E(R), 1 ∈ E(R).
d) Für alle a ∈ E(R) gilt a · a = a ⇔ a = 1.
e) Für alle a, b ∈ R gilt
(−1) · a = −a,
(−a) · b = −(a · b) = a · (−b),
(−a) · (−b) = a · b.
Aufgabe 5: Überprüfen Sie die Körpereigenschaften für die gegebenen Mengen und
bestimmen Sie die jeweils vorliegende algebraische Struktur.
a) Z, 2Z, Z \ 2Z, Q, R bezüglich der Addition und Multiplikation reeller Zahlen
b) Z3 , Z6 bezüglich der modularen Addition und Multiplikation
c) K n×n bezüglich der Matrizenaddition und -multiplikation, wenn K ein Körper
ist.
Aufgabe 6: Welche der folgenden Mengen ist bezüglich der üblichen Addition und
Multiplikation ein Unterring oder Unterkörper des Körpers der reellen Zahlen? Begründen Sie Ihre Aussage.
√
a) M = {a + b 3 | a, b ∈ Q}
√
√
b) M = {a + b 2 + c 3 | a, b, c ∈ Z}
2