Universität des Saarlandes Lehrstuhl für Statistik und ¨Okonometrie

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Universität des Saarlandes
Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie
Prof. Dr. Volker Steinmetz
Dipl. Kfm. Martin Becker
IV
A VIE N
5. Übungsblatt zur Vorlesung Fuzzy-Methoden WS 2003/2004
Aufgabe 25
Überprüfen Sie, ob die nachfolgenden Abbildungen T-Normen sind:
(
0 : a ≤ 12 ∧ b ≤ 21
.
(a) Ta : [0, 1]2 → [0, 1], [0, 1]2 3 (a, b) 7→
a·b :
sonst
(
a·b
: max{a, b} ≤
(b) Tb : [0, 1]2 → [0, 1], [0, 1]2 3 (a, b) 7→
min{a, b} :
sonst
1
2
.
Aufgabe 26
(a) Zeigen Sie, daß für jede T-Norm T und für alle (a, b) ∈ [0, 1]2 gilt:
TW (a, b) ≤ T (a, b) ≤ TG (a, b).
(b) Folgern Sie aus (a), daß für alle S-Normen S und alle (a, b) ∈ [0, 1]2 gilt:
SG (a, b) ≤ S(a, b) ≤ SW (a, b).
Aufgabe 27
(
2
2
Betrachten Sie die T-Norm T : [0, 1] → [0, 1], [0, 1] 3 (a, b) 7→
a·b
: a ≤ 21 ∧ b ≤
min{a, b} :
sonst
1
2
.
(a) Zeichnen Sie in ein genügend großes a – b – Diagramm die Menge aller Paare (a, b) ein, für
1
(ii) T (a, b) = 14 (iii) T (a, b) = 21 (iv) T (a, b) = 1
die gilt: (i) T (a, b) = 16
(b) Bestimmen Sie die zu T duale S-Norm S.
Aufgabe 28
Über Ω = [1, 2] seien die F-Mengen A und B durch µA (ω) := ω − 1 und
µB (ω) := 2 − ω ∀ω ∈ Ω gegeben.
(a) Bestimmen Sie für γ > 0 die Zgf. von A ∩H,γ B sowie A ∪H,γ B.
(b) Zeichnen Sie A ∩H,γ B sowie A ∪H,γ B für γ = 2 und γ = 3.
Aufgabe 29
Es seien Ω 6= ∅ eine U-Menge, T : [0, 1]2 → [0, 1] eine T-Norm und S die zu T duale S-Norm.
Für A, B ∈ FP(Ω) bezeichne A ∩T B bzw. A ∪S B die durch die Zgf.
µA∩T B : Ω → [0, 1], Ω 3 ω 7→ T (µA (ω), µB (ω))
µA∪S B : Ω → [0, 1], Ω 3 ω 7→ S(µA (ω), µB (ω))
gegebenen F-Mengen. Zeigen Sie oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel:
(a) ∀A, B ∈ FP(Ω) : A ∩T B = B ∩T A , A ∪S B = B ∪S A .
(b) ∀A, B, C ∈ FP(Ω) : (A ∩T B) ∩T C = A ∩T (B ∩T C) , (A ∪S B) ∪S C = A ∪S (B ∪S C) .
(c) ∀A, B, C ∈ FP(Ω) : A ∩T (B ∪S C) = (A ∩T B) ∪S (A ∩T C),
A ∪S (B ∩T C) = (A ∪S B) ∩T (A ∪S C).
(d) ∀A, B ∈ FP(Ω) : A ∩T (A ∪S B) = A , A ∪S (A ∩T B) = A .
(e) Es existieren bzgl. ∩T , ∪S ein Null- und Einselement.
(f) ∀A ∈ FP(Ω) : A ∩T {Ω A = ∅ , A ∪S {Ω A = Ω .
(g) ∀A, B ∈ FP(Ω) : {Ω (A ∩T B) = {Ω A ∪S {Ω B , {Ω (A ∪S B) = {Ω A ∩T {Ω B .
(h) ∀A ∈ FP(Ω) : A ∩T A = A , A ∪S A = A .
(i) ∀A, B ∈ FP(Ω) : A ∩W B ⊆ A ∩T B ⊆ A ∩ B ⊆ A ∪ B ⊆ A ∪S B ⊆ A ∪W B .
Aufgabe 30
Betrachten Sie die F-Mengen A und B aus Aufgabe 28.
(a) Bestimmen Sie die Zgf. der algebraischen γ-Verknüpfung mit dem Kompensationsgrad
γ ∈ [0, 1]: A pgγ B .
p
1 1 3
(b) Zeichnen Sie die Zgf. von A g
γ B für γ ∈ {0, 4 , 2 , 4 , 1} .
Aufgabe 31
Gegeben seien die beiden Abbildungen
f, g : R → R mit f (x) := (1 + x)3 , g(x) :=
1
∀x ∈ R .
1 + x2
Bestimmen Sie f (1), f −1 (8), f ({1}), f −1 ({8}), g(−1), g({−1, 1}), g({1}), g −1 ({0}) und geben Sie
jeweils an, ob es sich um die ursprüngliche, die induzierte, die inverse oder die induzierte inverse
Abbildung handelt.
Aufgabe 32
Die Zugehörigkeitsfunktion µA der Fuzzy-Menge der reellen Zahlen ungefähr 2 sei definiert durch


 ω−1 , 1≤ω ≤2
3−ω , 2≤ω ≤3
µA : R → [0, 1], ω 7→

 0
,
sonst
Bestimmen Sie die Fuzzy-Menge der reellen Zahlen, die Quadrate reeller Zahlen der Größe von
ungefähr 2 sind, und zeichnen Sie sie.