3 Mengen

3 Mengen
Der Begri Menge soll hier mit Bedacht nicht präzise deniert werden. Intuitiv kann man eine Menge als Zusammenfassung derjeniger Objekte (Elemente
der Menge genannt) einer universellen Klasse vorstellen, die durch bestimmte
Eigenschaften ausgezeichnet sind.
Notationen
Ist
M
eine Menge und
x
ein Element von
M,
so schreiben wir
x ∈ M.
Wir sagen auch: x gehöre zu
M,
M
oder x liegt in
M .
Ist
x
kein Element von
so schreiben wir
x∈
/ M.
Eine Menge kann durch Aufzählung ihrer Elemente erklärt werden, z.B. ist
M = {a, b, c, d},
die Menge aus den Elermenten
a, b, c
und
d.
Meist werden Mengen aber durch
Angabe einer Eigenschaft beschrieben. Schreibweise:
M = {x | x hat Eigenschaft E}.
Beispiel 3.1 Auch wenn wir die natürlichen Zahlen noch nicht ordentlich ein-
geführt haben, nutzen wir zunächst Mengen aus natürlichen Zahlen als Beispiele.
(1) Die Menge der natürlichen Zahlen
N := {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}.
(2) Die Menge der natürlichen Zahlen einschlieÿlich
0:
N0 := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}.
(3) Die Menge der geraden Zahlen
2N := {2, 4, 6, . . .}.
11
3 Mengen
(4) Die Menge der Primzahlen
P := {p ∈ N | p = p1 p2
für
p 1 , p2 ∈ N
mit
p1 ≤ p2
impliziert
p1 = 1 < p2 },
Mengen haben aber nicht unbedingt etwas mit Zahlen zu tun. Zum Beispiel
werden wir später mit Mengen von Mengen, Mengen von Abbildungen usw.
arbeiten.
Zwei Mengen
M
und
N
sind gleich, d.h.
M = N , wenn sie dieselben Elemente
haben. D.h.
M = N bedeutet (x ∈ M ⇔ x ∈ N ).
N , d.h. M ⊂ N , falls jedes Element von M
zu N gehört. Hier sei betont, dass die Bezeichnung M ⊂ N auch erlaubt, dass
M = N ist1 . Will man ausdrücken, dass M eine echte Teilmenge von N ist, d.h.
M ⊂ N und M 6= N gilt schreibt man M $ N .
Um zu zeigen, dass eine Menge M Teilmenge einer anderen Menge N ist, muÿ
man zeigen, dass für jedes Element x ∈ M auch x ∈ N gilt. Um zu zeigen, dass
zwei Mengen M und N gleich sind, beweist man zunächst M ⊂ N und dann
N ⊂ M.
Eine Menge
M
heiÿt Teilmenge von
Die Menge
∅ := {x ∈ M | x 6= x}
heiÿt leere Menge. Sie ist eindeutig bestimmt und hängt nicht von
leere Menge
∅⊂M
Die Potenzmenge
ist Teilmenge jeder Menge;
2M
von
M
∅
M
ab. Die
enthält selbst kein Element.
ist die Menge aller Teilmengen von
M:
2M = {N | N ⊂ M }.
Beispiel 3.2
2{0,1} = {∅, {0}, {1}, {0, 1}} ,
2∅ = {∅},
∅
22 = {∅, {∅}}.
Operationen mit Mengen
Im folgenden stellen wir einige wichtige Operationen mit Mengen vor:
1 das ist leider nicht einheitlich in der Literatur. In manchen Büchern und Vorlesungen werden
die Symbole
⊆
(statt
⊂)
bzw.
⊂
(statt und
$)
12
benutzt.
3 Mengen
Die Vereinigung
Die Vereinigung
M ∪ N := {x | x ∈ M ∨ x ∈ N }
zweier Mengen
denen von
M, N
besteht sowohl aus den Elementen von
M
als auch aus
N.
Beispiel 3.3
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
Sei allgemeiner
S
eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. Die Vereini-
gung der Mengen aus
S
ist die Menge
[
M := {x | ∃ M ∈ S mit x ∈ M }.
M ∈S
S
M ∈S M ist also die Menge der Elemente, die mindestens einem M ∈ S angehören. Oft wird das Mengensystem indiziert, d.h., jedem Element von S wird ein
eindeutiger Index
i
aus einer Indexmenge
I
S = {si | i ∈ I}.
zugeordnet, d.h.,
Wir schreiben
[
Mi := {x | ∃i ∈ I mit x ∈ Mi } .
i∈I
Beispiel 3.4 Sei
I=N
und
Mi := {i, i + 1, . . . , 2i}
[
für
i ∈ N.
Dann ist
Mi = N.
i∈I
S
i∈I Mi ⊂ N. Wir
müssen also noch zeigen, dass auch N ⊂
i∈I Mi gilt.
S Sei also n ein beliebiges
Element aus N, dann ist n ∈ Mn . Folglich ist n ∈
i∈I Mi . Da n beliebig war,
S
Beweis: Da jede der Mengen
Mi
Teilmenge von
N
ist, gilt
S
gilt
N⊂
i∈I
Mi .
Der Durchschnitt
Der Durchschnitt zweier Mengen
M
und
N
M ∩ N := {x | x ∈ M ∧ x ∈ N }
ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu
M
Beispiel 3.5
2N ∩ P = {2}.
13
als auch zu
N
gehören.
3 Mengen
Allgemeiner ist
\
M := {x | ∀ M ∈ S gilt x ∈ M }
M ∈S
der Durchschnitt einer nichtleeren Menge
S
von Mengen. Er besteht aus den
M ∈ S gehören. Oder mit Indexschreibweise
\
Mi := {x | ∀i ∈ I ist x ∈ Mi }.
Elementen, die zu allen
i∈I
Beispiel 3.6 Sei
I
I =N
die Indexmenge
Dann ist
\
und
Mi := {n ∈ N | i < n < 4i}.
Mi = ∅.
i∈I
Beweisen Sie diese Gleichheit, ähnlich wie in Beispiel 3.4.
Das Komplement
Das Komplement einer Menge
N
in
M
(oder die Dierenz von
M
und
N)
ist
die Menge
M \N := {x | x ∈ M ∧ x ∈
/ N }.
M \N
besteht aus allen Elementen von
besteht
N \ 2N
M , die nicht zu N
gehören. Zum Beispiel
genau aus den ungeraden Zahlen.
Wir halten nun folgende wichtige Zusammenhänge fest.
(a)
M \M = ∅, M \∅ = M .
(b)
M ∩ M = M, M ∪ M = M .
(c) Kommutativität:
M ∪ N = N ∪ M,
M ∩ N = N ∩ M.
(d) Assoziativität:
(M ∪ N ) ∪ L = M ∪ (N ∪ L),
(M ∩ N ) ∩ L = M ∩ (N ∩ L).
(e) Distributivität:
(M ∩ N ) ∪ L = (M ∪ L) ∩ (N ∪ L),
(M ∪ N ) ∩ L = (M ∩ L) ∪ (N ∩ L).
(f ) Für die Teilmengen
M, N
einer Menge
X
gilt:
(1)
X\(X\M ) = M.
14
3 Mengen
(2)
X\(M ∩ N ) = (X\M ) ∪ (X\N )
X\(M ∪ N ) = (X\M ) ∩ (X\N )
de Morgansche Regel.
(3) Allgemeiner gilt sogar
S
T
X\ SM ∈S M = TM ∈S (X\M )
X\ M ∈S M = M ∈S (X\M )
de Morgansche Regel.
Wie beweist man solche Regeln? Wir führen dies am Beispiel der zweiten de
Morganschen Regel einmal vor:
X\(M ∪ N ) = (X\M ) ∩ (X\N )
X\(M ∪N ) ⊂ (X\M )∩(X\N ). Sei also x ∈ X\(M ∪N ).
Dann ist x ∈ X aber x ∈
/ M ∪ N . Demnach ist x weder Element von N noch
Element von M . Also ist x sowohl in X\M wie auch in X\N und damit auch
Beweis von
(i) Zunächst zeigen wir
im Schnitt dieser beiden.
X\(M ∪ N ) ⊃ (X\M ) ∩ (X\N ).
X\M wie auch in X\N . damit
X\(M ∪ N ).
(ii) Nun zeigen wir
Ist
x
ist
dann ist
N
sowohl in
und damit in
x ∈ (X\M ) ∩ (X\N ),
x weder in M noch in
Kartesisches Produkt
Das geordnete Paar (Tupel) zweier Objekte
x, y
ist das Objekt
(x, y)
mit
der Eigenschaft
(x, y) = (x′ , y ′ ) ⇔ x = x′ und y = y ′ .
Insbesondere ist
(x, y) 6= (y, x)
falls
x 6= y .
Formal kann man
(x, y)
als Menge
denieren vermöge
(x, y) := {{x}, {x, y}}.
Man zeigt dann leicht (Übungsaufgabe), dass die obige Eigenschaft erfüllt ist.
Das kartesische Produkt zweier Mengen
M, N
ist die Menge
M × N := {(x, y) | x ∈ M und y ∈ N }.
N × N besteht aus den
N × N = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), . . . }.
Beispiel 3.7 Die Menge
b ∈ N.
Also
Paaren
(a, b)
mit
a∈N
und
Eigenschaften des Produkts
(a)
(M1 ∩ M2 ) × N = (M1 × N ) ∩ (M2 × N ).
(b)
(M1 ∪ M2 ) × N = (M1 × N ) ∪ (M2 × N ).
Versuchen Sie mal, eine dieser beiden Eigenschaften zu beweisen. Zeigen Sie für
a), dass jedes Element aus
und das jedes Element aus
(M1 ∩ M2 ) × N auch in (M1 × N ) ∩ (M2 × N )
(M1 × N ) ∩ (M2 × N ) auch in (M1 ∩ M2 ) × N
15
liegt,
liegt.