6. Komplexe Zahlen - Mathematik, TU Dortmund

Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
6. Komplexe Zahlen
C := {z = a + bi | a, b 2 R}
In Physik und Technik (z.B. E-Technik) wird reichlich mit komplexen
Zahlen gerechnet. Bestimmte Dinge werden durch sie klarer.
i
:
Menge der komplexen Zahlen,
imaginäre Einheit.
C enthält R“ in Form der Elemente a = a + 0i.
”
Warum noch eine Zahlbereichserweiterung?
N Addieren: , aber Gleichungslösen mit +“: ✓
”
3 + x = 2 in N nicht lösbar, in Z schon.
Im praktischen Leben: Schulden als negativer Kontostand!
Satz 6.2
Z Add./Subtr./Multipl.: , aber Gleichungslösen mit ·“: ✓
”
3x = 2 in Z nicht lösbar, in Q schon.
Im praktischen Leben: Verteile 2 Äpfel auf 3 Kinder!
Denn: a + bi = c + di ) (a c) = (d b)i. Quadrieren machts rein reell:
0  (a c)2 = (d b)2 i 2 =
(d b)2  0. Damit a = c und b = d.
a + bi = c + di
Q Add./Subtr./Multipl/Division: , aber Gleichungslösen mit x 2“: ✓
”
x 2 = 2 hat in Q keine Lösung, in R schon.
Im praktischen Leben: Diagonallänge im Quadrat mit Seitenlänge 1.
R
G. Skoruppa (TU Dortmund)
Mathematik für Chemiestudierende I
Für z = a + bi, a, b 2 R, heißen
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Im
a, b 2 R
= a + bi,
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i 2 :=
w = c + di
z = 4+2i
(4,2)
(0,1)
1 z=i
Rechne hiermit nach den Regeln für R plus einer einzigen Zusatzregel:
Re
1
1
folgt dann
z +w
= (a + c) + (b + d)i
z · w
= (ac
Statt x, y erhalten die Koordinatenachsen die Bezeichner Re , Im .
bd) + (ad + bc)i.
Denn das erste ist klar und das zweite folgt so:
z ·w = (a+bi)·(c +di) = ac +adi +bci +bdi 2
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Imaginärteil von z,
Daher stelle man sich C als (x, y )-Ebene R2 , genannt komplexe Ebene
oder Gaußsche Zahlenebene vor:
Eine komplexe Zahl z ist ein Ausdruck der Form
und
b =: Im z
Eine komplexe Zahlen z = a + bi ist also identifizierbar“ mit
”
(a, b) = (Re z, Im z) 2 R2 .
Definition 6.1 (Komplexe Zahl, C)
z = a + bi
Realteil von z,
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Idee dazu erstmals:
1545 in der Ars Magna bei Cardano, 1572 in L’Algebra bei Bombelli.
Für
a =: Re z
Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl sind also reelle Zahlen!
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z
a = c und b = d.
Definition 6.3 (Real- und Imaginärteil)
x2
= a für alle a > 0 lösbar, aber nicht für a < 0:
x 2 = 1 hat in R keine Lösung, in C schon . . .
,
i 2= 1
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= (ac
bd)+(ad +bc)i.
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Satz 6.4
C genügt bzgl. Addition und Multiplikation den gleichen Regeln wie die
reellen Zahlen.
Addition und Multiplikation sind assoziativ, kommutativ und genügen den
Distributivgesetzen.
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Die 0 ist neutrales Element bzgl. der Addition, die 1 bzgl. der
Multiplikation.
Beispiele: (vgl. Vorlesung)
I
Jedes z = a + bi 2 C besitzt ein additiv Inverses
z
=
a
I
I
bi .
b
i
+ b2
Die Bestimmungsgleichung x 2 = 1 hat in R keine Lösung, da x 2 0 für
x 2 R. Wohl aber gibt es Lösungen in C, nämlich i, i.
p
Definition 6.5 (
1)
p
p
p
Schreibe
1 := i , allgemeiner
a := a · i für a 2 R, a > 0 .
z2 = 0
Achtung: Für a, b 2 R mit a < 0, b < 0 gilt nicht:
Jedes z = a + bi 2 C\{0} ein multiplikativ Inverses:
1
z
1
a
= 2
a + bi
a + b2
=
a2
Es gelten abgeleitete Regeln wie
z1 · z2 = 0 ) z1 = 0 oder
(1 + 2i) (3 2i) =
(2 3i)(5 + 4i) =
(x + iy )(x iy ) =
oder wie die Binomischen Formeln.
Satz 6.6
Im Gegensatz zu R kann man C jedoch nicht anordnen.
Sei a 2 R, a > 0. Die Gleichung
Mit letzterem sind Aussagen wie z > w zwischen echt komplexen Zahlen
z, w sinnlos.
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z1,2
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gilt (a + bi) · (
a2
a
+ b2
a2
i 2 b 2 = a2 + b 2
b
a
i) =
2
+b
a bi
b
a
bi
i=
a
a
bi
= 1.
bi
Satz 6.7
z 2 + pz + q = 0
z < 0,
z1,2 =
2. Wenn z 6= 0, dann z 2 = ( z)2 > 0.
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Beispiel:
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p p
± D
2
mit D :=
p2
4
q
NEU gegenüber Schulmathematik: Für D < 0 gibt es Lösungen (in C).
1 > 0 und 12 = 1 > 0. Das steht im
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mit p, q 2 R
ist durch quadratische Ergänzung in C lösbar. Ergebnis
Gäbe es eine Anordnung durch ein Zeichen “>”, so müsste gelten:
Aus 2. würde hier folgen i 2 =
Widerspruch zu 1.
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p
Beweis: (±i a)2 = a. Warum gibts nicht mehr Lösungen?
p
p
p
p
z 2 = a ) z 2 = (i a)2 ) z 2 (i a)2 = 0 ) (z + i a)(z i a) = 0.
p
p
p
Damit z + i a = 0 oder z i a = 0. Also z = ±i a.
p
p
Beispiel:
9 = 9 · i = 3i. Gl. z 2 = 9 hat genau die Lösungen 3i, 3i.
Zur fehlenden Anordnung in C:
1. Wenn z > 0, dann
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Die Aussagen des Satzes sind entweder klar oder leicht nachzurechnen.
Exemplarisch für das multiplikativ Inverse: Wegen
bi) = a2
z 2 = a hat genau die Lösungen
p
p
=±
a = ±i a.
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(a + bi)(a
p
p p
a b = ab.
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z2
4z + 13 = 0
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hat die Lösungen 2 ± 3i.
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Komplexe Lösungen reeller quadratischer Gleichungen, aber auch reell
formulierte Gleichungen höherer Ordnung, treten immer in Paaren auf (vgl.
oben bzw. noch folgender Satz 6.10). Partner findet man per:
Beweis: Leicht mittels Definition. Ausschnittsweise . . .
Zu 1) Sei z = a + bi. Dann
Definition 6.8 (Komplexe Konjugation)
Zu 2) Klar mit der Def.
(a, b 2 R) heißt
Für z = a + bi
komplexe Zahl.
z := a
bi
die zu z konjugiert
Veranschaulichung
in
der
komplexen Zahlenebene:
Spiegelung an Re -Achse! Animation
z = z , a + bi = a
= (a1 + b1 i)(a2 + b2 i) = a1 a2 + a1 b2 i + b1 a2 i
z ·w
= (a1
= (a1 a2
b1 i)(a2
= (a1 a2
n
P
1)
ai z 0 i =
i=0
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b1 b2
b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i
b2 i) = a1 a2
b1 b2 )
Hieraus folgt z · w = z · w .
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b , b = 0 , z 2 R.
z ·w
Zu 3) 0 =
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bi , b =
n
P
i=0
2)
ai z 0 i =
a1 b2 i
b1 a2 i
b1 b2
(a1 b2 + a2 b1 )i
n
P
ai z0 i
ai 2R, 1),2)
=
i=0
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n
P
i=0
2)
ai z 0 i =
n
P
i=0
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ai z 0 i 2
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Komplexes Konjugieren ist gut, um Quotienten komplexer Zahlen in die
(sog. kartesische) Standardform a + bi zu bringen:
Mit der komplexen Konjugation gelingt eine kurze Definition des Betrages
einer komplexen Zahl:
Beispiel 6.9 (Quotientenberechnung)
Definition 6.11
Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + bi (a, b 2 R) ist definiert als
p
p
|z| := zz =
a2 + b 2 = |(a, b)|.
Es gilt
2+3i
1 2i
z
w
zw
2
2
w w , wobei für w = a + bi folgt: w w = a + b
(2+3i)(1+2i)
(2+3i)(1+2i)
= (2 6)+(4+3)i
= 4+7i
5
5
(1 2i)(1+2i) =
12 +22
=
=
2 R. Z.B.
=
4
5
+ 75 i.
Satz 6.10
1. z = z
,
z 2 R,
2. z ± w = z ± w ,
(mit |(a, b)| als Standardvektornorm in R2 )
z · w = z · w,
(falls w 6= 0),
z/w = z/w
3. Sind a0 , . . . , an 2 R und ist z0 2 C Lösung der Gleichung
an z n + an
1z
n 1
+ . . . + a1 z + a0 = 0,
dann ist auch z0 eine Lösung dieser Gleichung. D.h.
Echt komplexe Nullstellen reeller Polynome treten nur als Paar auf!
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Das Wesen des Betrages im Komplexen wird also klar, wenn man C mit
R2 identifiziert.
Daher kann man den Betrag einer Di↵erenz komplexer Zahlen geometrisch
als Abstand dieser Zahlen sehen“.
”
So erfüllen z.B. die komplexen Zahlen auf einer Kreislinie um i vom Radius
2 die Gleichung |z i| = 2.
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