Grundlagen der Mathematik, Abbildungen, Funktionen, Folgen

MATHEMA
ÖKONOME
Herausgeber:
ER,
Prof.
Prof.
Prof.
Prof.
Dr. O. Beyer, Magdeburg • Prof. Dr. H. Erfurth, Merseburg
Dr. O. Greuel t • Prof. Dr. C. Großmann, Dresden
Dr. H. Kadner, Dresden • Prof. Dr. K. Manteuffel, Magdeburg
Dr. M. Schneider, Karl-Marx-Stadt • Doz. Dr. G. Zeidler, Berlin
P R O F . DR. N. S I E B E R
P R O F . DR. H.-J. SEBASTIAN
DOZ. DR. G. Z E I D L E R
Grundlagen
der Mathematik,
Abbildungen,
Funktionen, Folgen
9. A U F L A G E
Hn
LEIPZIG
BSB B . G . T E U B N E R
1990
VERLAGSGESELLSCHAFT
Inhalt
1.
Zum Anliegen des Bandes
6
2.
2.1.
2.2.
Die Entwicklung der Mathematik und ihre Beziehungen zur Praxis
Aus der Entwicklungsgeschichte der Mathematik
Zu den Anwendungen der Mathematik
8
8
10
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.3.1.
3.3.2.
3.3.3.
3.3.4.
3.4.
3.4.1.
3.4.2.
Logik
Aussagen
Variable und Aussageformen
Aussagenverbindungen
Elementare Aussagenverbindungen, w-stellige Aussagenverbindungen
Wahrheitstabellen der elementaren Aussagenverbindungen
Wahrheitstabellen «-stelliger (« > 2) Aussagenverbindungen .
Verbindungen von Aussageformen
Die wesentlichen logischen Zeichen und ihre technische Realisierung
Logische Zeichen
Technische Realisierung der logischen Zeichen
11
11
13
14
• 14
15
17
18
19
19
20
4.
4.1.
4.1.1.
4.1.2.
4.2.
4.2.1.
4.2.2.
4.2.3.
4.3.
Einige Beweisprinzipien
Logische Schlüsse
Tautologien
Logische Schlußfiguren
Beispiele zur Anwendung logischer Schlüsse beim Führen von Beweisen
Zur Anwendung der Abtrennungsregel
Direktes und indirektes Beweisen
Schluß auf eine Äquivalenz
Die Methode der vollständigen Induktion
23
23
25
27
28
28
29
31
32
5.
5.1.
5.1.1.
5.1.2.
5.1.3.
5.1.4.
5.2.
5.2.1.
5.2.2.
5.3.
5.3.1.
5.3.2.
5.3.3.
36
36.
36
36
41
43
44
44
47
48
49
50
5.3.4.
Aufbau der Zahlenbereiche
Der Bereich der reellen Zahlen
Natürliche Zahlen
Rationale Zahlen, Grundgesetze der Arithmetik
".
Reelle Zahlen
Zahlendarstellung
Rechnen mit Ungleichungen und absoluten Beträgen
Ungleichungen
Absoluter Betrag
Komplexe Zahlen
Rein imaginäre Zahlen
Komplexe Zahlen
Veranschaulichung der komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene. Trigonometrische und exponentielle Darstellung der komplexen Zahlen
Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren von komplexen Zahlen
6.
6.1.
6.1.1.
6.1.2.
6.2.
6.2.1.
6.2.2.
Kombinatorik
Einführung
Auswahl- und Anordnungsprobleme
Gebrauch des Summen- und Produktzeichens
Permutationen
Permutationen ohne Wiederholung
Permutationen mit Wiederholung
59
59
59
60
61
61
63
51
55
5
Inhalt
6.3.
6.3.1.
6.3.2.
6.4.
6.4.1.
6.4.2.
6.4.3.
6.5.
Variationen
Variationen ohne Wiederholung
Variationen mit Wiederholung
Kombinationen
Kombinationen ohne Wiederholung
Binomialkoeffizient und binomischer Lehrsatz
Kombinationen mit Wiederholung
Übersicht zu den Grundaufgaben der Kombinatorik
64
64
65
66
66
67
70
70
7.
7.1.
7.2.
7.2.1.
7.2.2.
7.2.3.
7.3.
7.3.1.
7.3.2.
7.3.3.
7.3.4.
7.4.
7.4.1.
7.4.2.
7.4.3.
7.4.4.
7.5.
7.5.1.
7.5.2.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.9.1.
7.9.2.
Mengen
Zum Begriff der Menge
,
Spezielle Mengen
Teilmengen, leere Menge
Potenzmenge
Komplementärmenge
Vereinigung, Durchschnitt und Differenz von Mengen
Vereinigungsmenge
Durchschnittsmenge
Differenzmenge.:
Rechenregeln für die Verknüpfungen Vereinigung, Durchschnitt, Komplement . . . .
Über Mächtigkeit von Mengen
Gleichmächtige Mengen
Abzählbare Mengen
Nicht abzählbare Mengen
Beispiel für die Begriffe Vereinigung, Durchschnitt, Komplement und Mächtigkeit .
Produktmengen
Geordnete Paare und geordnete n-Tupel
Produktmengen ;
Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge (System)
Operationen zwischen den Elementen einer Menge (linearer Raum)
Metriken in Mengen (metrischer Raum, Umgebungsbegriff)
Weitere Anwendungen (Graphen, konvexe Polyeder)
t..
Graphen
Konvexe Polyeder
73
73
75
75
77
78
79
79
80
80
81
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84
85
86
86
88
88
89
90
91
92
96
96
97
8.
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
Abbildungen .
Abbildungsbegriff.
Lineare Abbildungen
Umkehrabbildung
Einige spezielle Abbildungen
9.
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
Funktionen reeller Variabler
Begriff der Funktion und Arten ihrer Vorgabe
Umkehrfunktion (für eine unabhängige Variable)
Einfachste Eigenschaften von Funktionen
Grundfunktionen einer Variablen
Mittelbare und elementare Funktionen
Interpolation (Newton)
Darstellung von Funktionen mittels Parameter
Anwendungen von Funktionen
Funktionsleitern und Netze
10.
10.1.
10.2.
10.3.
Zahlenfolgen
:
150
Zahlenfolgen als Spezialfall von Abbildungen und einige ihrer besonderen Vertreter 150
Einfachste Eigenschaften von Zahlenfolgen
152
Nullfolgen und ihr Vergleich
154
99
99
103
104
105
'
109
109
115
117
. . . 122
126
131
134
136
139
6
Inhalt
10.4.
10.5.
10.6.
10.7.
10.8.
10.9.
Konvergenzbegriff für Zahlenfolgen
Eigenschaften von und Rechnen mit konvergenten Zahlenfolgen
Konvergenzkriterien
Einige spezielle Zahlenfolgen
Häufungspunkte und lim sup sowie lim inf
Bedeutung von Zahlenfolgen und Grenzwert für die numerische Mathematik ......
156
158
162
165
167
170
Lösungen der Aufgaben
173
Literatur
190
Namen- und Sachregister
191