Elementare Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie
1. Teilbarkeit
• a teilt b (a | b) :⇔
b
a
∈ ZZ.
• a | bc, ggT (a, b) = 1 ⇒ a|c.
R
dt
• Primzahlsatz: Für Anzahl π(x) der Primzahlen ≤ x gilt: π(x) ∈ O( lnxx ), π(x) = 2x log
+R
t
P∞
Q
−1
• Riemannsche Vermutung: Sei ξ(z) := n=1 n1z = p∈IP (1 − p1 ) . Dann gilt ξ(z) 6= 0, falls <(z) >
√
• Gilt die Riemannsche Vermutung, so ist |R| < c · x log x.
1
.
2
2. Kongruenzen und Restklassenringe
• ZZm ist ein Ring, ZZ×
Zm | ggT(x, m) = 1} ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation.
m := {x ∈ Z
• ZZm ist Körper ⇔ m ∈ IP.
• Chinesischer Restsatz: Sei n := m1 · . . . · mk , wobei die mi pw. teilerfremd seien.
Dann ist f : ZZn → ZZm1 × . . . × ZZmk : x 7→ (r1 , . . . , rk ) mit x ≡ rj mod mj ∀ 1 ≤ j ≤ k bijektiv.
k verschiedene Kongruenzen lassen sich also durch genau ein 0 ≤ x < n lösen.
Qk
• f (ZZ×
Z×
Z×
Z×
Z×
n) = Z
m1 × . . . × Z
mk , ]Z
n =
mj
j=1 ]Z
3. Zahlentheoretische Funktionen
• Eine Abbildung f : IN → C nennt man eine zahlentheoretische Funktion.
Sie heißt multiplikativ, falls f (x, y) = f (x)f (y) ∀ x, y ∈ IN und f (1) = 1.
P
• F := d|n f (d) heißt summatorische Funktion von f . F ist wieder multiplikativ. (’Zahlentheoret. Integration’)
P
• τ (n) := d|n 1 ist multiplikativ. (Anzahl der Teiler von n)
P
σ(n) := d|n d ist multiplikativ. (Summe der Teiler von n)
ϕ(n) := ]ZZ×
n ist multiplikativ ( Eulersche Funktion) mit Φ(n) = n.
Sei µ(1) := 1, µ(p1 · . . . pr ) := (−1)s für verschiedene Primzahlen, µ(n) = 0 sonst.
Dann ist µ multiplikativ (Möbiusfunktion). Es ist M (n) = δ1n .
P
• Möbiussche Umkehrformel: f (n) = d|n µ(d)F ( n
)
d
Pn
Pn
3 2
•
m=1 ϕ(m) = π 2 n + O(n log n).
m=1 τ (m) = n log n + O(n),
4. Quadratische Reste
• Eine Zahl r ∈ ZZ heißt quadratischer Rest modulo, falls ggT(r, m) = 1 und es x ∈ ZZ gibt mit x2 ≡ r mod m.
• Sei m = pk1 1 · . . . · pks s ungerade. Dann gilt: r ist quadrat. Rest mod m ⇔ r ist quadrat. Rest mod pj ∀ 1 ≤ j ≤ s.
• Sei p > 2. (r|p) ist das Legendre-Symbol mit (r|p) = 1 falls r quadratischer Rest mod p, sonst (r|p) = −1.
• Eulersches Kriterium: Sei 2 < p ∈ IP ⇒ (r|p) ≡ r
• Seien p, q > 2 Primzahlen. Dann gilt:
p−1
2
mod p ∀ p - r. Es gibt also genau
p−1
2
quadrat. Reste in ZZ×
p .
p−1
a) (r|p) ≡ r 2 mod p für r ∈ ZZ×
p .
b) (rs|p) = (r|p)(s|p) für p 6 |rs
c) (r|p) = (r0 |p) für r ≡ r0 mod p.
d) (p|q) = (−1)
(p−1)(q−1)
4
(q|p). (quadratisches Reziprozitätsgesetz)
p2 −1
p−1
2
e) (−1|p) = (−1)
, (2|p) = (−1) 8 . ( Ergänzungssatz)
p
• Mp := 2 − 1 heißen Mersennesche Primzahlen.
• Sei p = 4n + 3, q = 2p + 1. Sind p und q Primzahlen so gilt: q | Mp
5. Quadratische Zahlkörper
• Sei d ∈ ZZ \ {1}, d
- frei, δ :=
√
d 6∈ Q. Q(δ) := {x + yδ | x, y ∈ Q} heißt quadratischer Zahlkörper (!).
• α ∈ C heißt algebraisch vom Grad n :⇔ ∃ f (t) ∈ Q[t] \ {0} : f (α) = 0, mit f normiert und von minimalem Grad n.
α heißt ganz algebraisch :⇔ f (t) ∈ ZZ[t].
• α (ganz) algebraisch vom Grad 1 ⇔ α ∈ Q (α ∈ ZZ), α algebraisch vom Grad 2 ⇔ α ∈ Q(δ).
• d ≡ 2, 3 mod 4 ⇒ α ∈ Q(δ) ganz ⇔ ∃ x, y ∈ ZZ : α = x + δy.
d ≡ 1 mod 4 ⇒ α ∈ Q(δ) ganz ⇔ ∃ x, y ∈ ZZ, x ≡ y mod 2 : α =
• α ∈ Q(δ) heißt Einheit :⇔ α und
1
α
x+δy
.
2
sind ganz algebraisch.
• d ≡ 2, 3 mod 4 ⇒ α ∈ Q(δ) Einheit ⇔ ∃ x, y ∈ ZZ : α = x + δy, x2 − dy 2 = ±1.
d ≡ 1 mod 4 ⇒ α ∈ Q(δ) Einheit ⇔ ∃ x, y ∈ ZZ, x ≡ y mod 2 : α = x+δy
, x2 − dy 2 = ±4.
2
• Die Einheiten der immaginärquadratischen Zahlkörper (d < 1) sind ±1 für d = −1 zusätzlich ±i.
Alle reellquadratischen Zahlkörper (d > 0) haben unendlich viele Einheiten.
1
6. Kettenbrüche
• Kettenbruch-Algorithmus: Sei α ∈ IR. Initialisiere: b0 := [α], α0 := α − [α].
Falls αi−1 > 0 : β0 := α1 > 1, bi := [βi−1 ], αi := βi−1 − [βi−1 ]. Sonst breche ab (⇒ α ∈ Q).
0
• Schreibweise: Q 3 α = [b0 , . . . , bm ], IR \ Q 3 α = [b0 , b1 , . . .], wobei α = b0 +
1
b1 + b 1
+..
.
2
• Sei (bn ) eine Folge in IN. Definiere: p0 := 0, q0 := 1, p1 := 1, q1 := b1 , pn+1 := bn+1 pn + pn−1 , qn+1 := bn+1 qn + qn−1
⇒ pqn = [0, b1 , . . . , bn ] ∀ n ∈ IN.
n
√
• Für pn = qn ∀ n ∈ IN erhalten wir die Fibonacci-Zahlen, limn→∞ pqn = 12
5−1
n
• pn−1 qn − pn qn−1 = (−1)n , pn−1 qn+1 − pn+1 qn−1 = (−1)n bn+1 ∀ n ∈ IN
• Sei an :=
pn
qn
∀ n ∈ IN ⇒ ∃ α = limn→∞ an und a2 < a4 < . . . < α < . . . < a3 < a1 . |α − an | ≤
• ∀ α ∈ IR ∃˙ Kettenbruchentwicklung α = [b0 , b1 , . . .]. [1, 1, . . .] =
√
5−1
2
√
5−1
2
2n−1
∀ n ∈ IN.
wird dabei am schlechtesten approximiert.
7. Anwendungen der Kettenbruchentwicklung
√
• Sei a ∈ IN, α := 1 + a2 ⇒ α = [a, 2a, 2a, . . .].
• α ∈ C hat periodische Kettenbruchentwicklung ⇔ α ist quadratische Irrationalzahl.
•
e+1
e−1
= [2, 6, 10, 14, 18, 22, . . .]
• Sei α ∈ (0, 1) ∩ IR \Q, n ∈ IN, ⇒ |qn α − pn | = min{bqαe | 1 ≤ q < qn+1 } ⇔ α −
• Die Approximierenden
pn qn p
qn
≤ α −
p q
q qn
≤ α −
p
q
für q ≥ qn .
der Kettenbruchentwicklung geben die bestmögliche Approximation für Nenner q ≤ qn .
• ∀ α ∈ IR \ Q ∃ pq ∈ Q mit q beliebig groß: α − pq < 2q12 .
• ∀ p, q ∈ ZZ ∀ n ∈ IN gilt: α − pq > q q1
für q > qn .
n n+2
• α ∈ IR quadratische Irrationalzahl ⇒ ∃ c > 0 : α − pq > qc2 ∀ p, q ∈ ZZ.
8. Transzendente Zahlen
• Eine Zahl α ∈ C heißt transzendent, falls sie nicht algebraisch ist.
• Es gibt abzählbar viele algebraische Zahlen und daher überabzählbar viele transzendente Zahlen (über Q).
c(α)
• Sei α ∈ IR algebraisch vom Grad n > 1 ⇒ ∃ c(α) > 0 : α − pq ≥ qn ∀ p ∈ ZZ ∀ q ∈ IN.
c(α,ε)
• Satz von These-Siegel-Roth: ∀ α ∈ C \ Q ∀ ε > 0 ∃ c(α, ε) > 0 : α − pq ≥ q2+ε .
P
bk
• Sei N ∈ IN, bk ∈ {1, . . . , N } ∀ k ∈ IN ⇒ α := ∞
k=0 2k! ist transzendent.
• Satz von Hermite - Lindemann: α ∈ C× ⇒ α oder eα sind transzendent.
9. Gleichverteilung
• Sei (xn ) eine Folge in [0, 1], Nn (a, b) := {ν ∈ {1, . . . n} | a ≤ xν ≤ b}.
• (xn ) heißt gleichverteilt in [0,1] :⇔ limn→∞
Nn (a,b)
n
= b − a ⇔ limn→∞
1
n
Pn
ν=1
e2πixν = 0
• Weierstraßscher Approximationssatz (für P
trig. Polynome): Sei f : IR → IR stetig und 1-periodisch
⇒ ∀ ε > 0 ∃ trig. Polynom g(x) = a0 + m
i=1 ak cos(2πk) + bk sin(2πk) : |f (x) − g(x)| < ε ∀ x ∈ IR.
• Sei α ∈ IR. Die Folge xn := αn − [αn] ist gleichverteilt auf [0, 1] ⇔ α 6∈ Q.
P
P
r
ν
• Sei g : [0, 1] → C, f (n) := r∈ZZ× g n
, F (n) := n
ν=1 g n ∀ n ∈ IN.
n
P
P
Dann gilt: F (n) = d | n f (d), f (n) = d | n µ(d)F n
.
d
• Sei 0 ≤ a < b ≤ 1. ⇒ limn→∞ ]{r ∈ ZZ×
n | a≤
r
b}/ϕ(n)
n
=b−a
10. Kreisteilungskörper
• Sei m ∈ IN, m ≥ 3. ζ := e
ζr
=e
r
2πi m
2πi
m
) + i sin( 2πi
) heißt m-te Einheitswurzel.
= cos( 2π
m
m
ZZ×
m
,r∈
Q
• ZZ[t] 3 Φm (t) =
heißt primitive m-te Einheitswurzel.
Q
m
(t − ζ r ) = d | m (t d − 1) heißt (m-tes) Kreisteilungspolynom.
r∈ZZ×
m
p
−1
• Φm (t) ist irreduzibel über Q p ∈ IP ⇒ Φp (t) = tt−1
= tp−1 + . . . + t + 1.
Pn−1
2πi
• Sei n = ϕ(m), ζ := e m . Dann ist ZZ[ζ] = { i=0 ai ζ i | a0 , . . . an−1 ∈ ZZ} ein Ring und
P
i
Q[ζ] := { n−1
i=0 ai ζ | a0 , . . . an−1 ∈ Q} ein Körper, der Kreisteilungskörper
• Sei p ∈ IP, p ≥ 3 ⇒ xp + y p = z p , mit p - x, y, z hat keine Lösung in ZZ.
c Daniel Schielzeth, Berlin 2003.
2