Aussagenlogik

Aussagenlogik
I Motivation
I Syntax
I Semantik
I Erfüllbarkeit
I SAT-Solver
I Kompaktheit
I Beweiskalküle
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.1 Aussagenlogik – Syntax
Einführendes Beispiel
Rätsel
Norbert sagt “Martin sagt die Wahrheit”.
Martin sagt “Bahareh lügt”.
Bahareh sagt “Norbert und Martin sagen entweder beide die
Wahrheit oder lügen beide”.
Wer lügt, und wer sagt die Wahrheit?
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3.1 Aussagenlogik – Syntax
Syntax der Aussagenlogik
Wir setzen eine Menge V = {A, B, C , . . .} von Aussagenvariablen
voraus.
Formeln der Aussagenlogik (über V) sind induktiv definiert durch:
• Jeder Aussagenvariable A ist eine Formel.
• Die Konstanten tt und ff sind Formeln.
• Sind ϕ und ψ Formeln, so sind auch
• (ϕ ∧ ψ)
• (ϕ ∨ ψ)
• ¬ϕ
• (ϕ → ψ)
• (ϕ ↔ ψ)
Formeln.
(“und”)
(“oder”)
(“nicht”)
(“wenn-dann”)
(“genau-dann-wenn”)
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3.1 Aussagenlogik – Syntax
Präzedenzregeln
zur besseren Lesbarkeit lassen wir auch Klammern weg (z.B. ganz
außen)
Bindungskraft der Operatoren (auch Junktoren genannt) in
absteigender Reihenfolge:
¬, ∧, ∨, →, ↔
soll heissen:
((A ∨ ¬(B ∧ ¬C )) ↔ (C → A))
schreiben wir auch als
A ∨ ¬(B ∧ ¬C ) ↔ C → A
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3.1 Aussagenlogik – Syntax
Präzedenzen für Eindeutigkeit
Klammern werden nur benutzt, um Formeln eindeutig zu machen
vgl.:
if x==0 {
x = x+1;
}
y = y-1;
if x==0 {
x = x+1;
y = y-1;
}
genauso: A ∨ ¬B ∧ C ist nicht eindeutig
wichtig: Unterscheidung notwendig, weil verschiedene
Klammerungen eine verschiedene Bedeutung haben sollen
Semantik
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3.1 Aussagenlogik – Syntax
Syntaxbäume
beachte: Menge aller syntaktisch korrekten aussagenlogische
Formeln ist kontext-freie Sprache
was ist das zugrundeliegende Alphabet?
eindeutige Darstellung von Formeln über Syntaxbäume
Bsp.:
(A ∨ ¬B) ∧ C
vs.
A ∨ (¬B ∧ C )
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3.1 Aussagenlogik – Syntax
Induktion über Formelaufbau
falls |V| ≥ 1, dann gibt es unendlich viele verschiedene Formeln
man stelle sich vor, jeder Formel sollte eine Farbe zugeordnet
werden; wie ginge so etwas?
• unendliche Tabelle
(gibt es vielleicht überabzählbar viele Formeln?)
• Rückführung auf endlich viele Fälle
• “alle sind rot”
• “alle der Länge ≤ 27 sind grün, die anderen blau”
• Induktion
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3.1 Aussagenlogik – Syntax
Induktion über Formelaufbau
induktive Definition:
• Induktionsanfang: definiere Farbe für kleinste Formeln; welche
sind das?
• Induktionsschritt: definiere Farbe in Abhängigkeit von
äußerstem Junktor und Farben seiner Teilformeln
Bsp.: nur rot und schwarz als Farben
• A schwarz, B schwarz, C rot
• Konjunktion schwarz, falls ein Konjunkt schwarz; Disjunktion
rot, falls ein Disjunkt rot; Negation vertauscht Farbe
was sind die Farben von (A ∨ ¬B) ∧ C und A ∨ (¬B ∧ C )?
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3.1 Aussagenlogik – Syntax
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Unterformeln
Aufgabe: definiere allgemein eine Menge Sub(ϕ) aller in ϕ
vorkommenden Unterformeln
Bsp.: Sub(A ∨ (¬B ∧ C )) =
allgemein:
Def.:
Sub(A) := {A}
Sub(ϕ ∧ ψ) :=
für A ∈ V
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3.1 Aussagenlogik – Syntax
Formelgröße
um die Güte von Algorithmen abzuschätze, die auf Formeln
arbeiten, müssen wir die Größe von Formeln messen
Def.: die Größe von ϕ ist |ϕ| := |Sub(ϕ)|
was ist die Größe von (A → ¬B) → (¬A ∨ B) → ¬(B ∨ ¬A)?
beachte: Größe ist nicht dasselbe wie syntaktische Länge
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3.1 Aussagenlogik – Syntax
Formellänge
anderes Maß für Formeln: syntaktische Länge = (Anzahl der
Zeichen in der Zeichenkette)
was ist die Größe von (A → ¬B) → (¬A ∨ B) → ¬(B ∨ ¬A)?
wie stehen Größe und Länge zueinander?
lassen sich Größe und Länge anhand von Syntaxbäumen
interpretieren?
Aufgaben:
• definiere induktiv die Länge einer Formel
• finde eine Folge ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 , . . ., bei der die Länge exponentiell
stärker wächst als die Größe
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