¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung “Mathematik für Physiker I” WS

Übungsaufgaben zur Vorlesung
“Mathematik für Physiker I”
WS 2017/18
Blatt 10 (Potenzreihen)
Abgabetermin: Montag, den 8. Januar 2018, in der Vorlesung
Aufgabe 1. Man berechne die uneigentlichen Integrale:
Z +∞
dx
.
a)
2
Z2 +∞ x + x − 2
b)
e−ax cos bx dx (a > 0).
0
Aufgabe 2. Man berechne:
Z ∞
dx
a) p.v.
.
2
Z0 +∞x − 3x + 2
b) p.v.
sin x dx.
−∞
Aufgabe 3. Beweisen Sie, daß die Gammafunktion Γ(x) beliebig oft differenzierbar im Intervall (0, ∞) ist.
Aufgabe 4. Zeigen Sie, daß
Z
∞
e
0
−x2
1 1
dx = Γ
.
2 2
√
(Das Integral auf der linker Seite heißt das Poisson-Integral und beträgt
π
).
2
Aufgabe 5. Man berechne mittels der Stirling-Formel:
log n!
.
n→∞ log nn
n
;
lim √
n
n→∞
n!
lim
Aufgabe 6. Mit Hilfe des Konvergenzkriteriums von Weierstraß beweisen Sie,
daß die Reihe
∞
X
(−1)k
x + 2k
k=1
für −2 < x < +∞ gleichmäßig konvergiert.
1
2
Aufgabe 7. f : [0, ∞) → R sei stetig und habe einen Grenzwert für x → ∞.
Man beweise die Froullani-Formel
Z ∞
f (ax) − f (bx)
a
dx = (f (∞) − f (0)) ln ,
x
b
0
wobei a, b > 0.
Aufgabe 8. Man bestimme die Summe der Reihe:
a)
∞
X
kxk = x + 2x2 + 3x3 + . . .;
k=1
∞
X
1
1
(−1)k 2k+1
x
= x − x3 + x5 + . . ..
b)
2k + 1
3
5
k=0
Hinweis:
Zu a): Verwenden Sie gliedweise Integration.
Zu b): Verwenden Sie gliedweise Differentiation.
Aufgabe 9. Es sei {ck }∞
k=1 eine Folge reeller Zahlen. Die Funktionenreihe
∞
X
ck
k=1
kx
heißt die Dirichletsche Reihe. Man zeige: Konvergiert die Dirichletsche Reihe
für ein x = x0 , so konvergiert sie gleichmäßig auf jedem Intervall [R, ∞) mit
R > x0 .
Viel Spaß und viel Erfolg!
Aufgabe
Punkte
1
2
3 4 5 6 7
8
9
a b a b
a b
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 48