Klausur zur Analysis I

WS 2007/2008
WWU Münster
Prof. Dr. C. Böhm
Dipl. Math. M. Amann
Klausur zur Analysis I
Die Lösungen zu den Aufgaben 1, 8, 9 und 10 schreiben Sie bitte direkt unter den
Aufgabentext. Kreuzen Sie auf dem Antwortblatt jeweils genau eine Antwort zu den
Aufgaben 2 bis 7 deutlich erkennbar an.
Sie können in jeder Aufgabe maximal zwei Punkte erreichen.
Viel Erfolg!
Name, Vorname: .........................................................................................................
Aufgabe 1.
• Wie lautet die Definition der Stetigkeit einer Funktion f : R → R?
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• Formulieren Sie den Zwischenwertsatz!
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.................................................................................................................................
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Name, Vorname: .........................................................................................................
Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Konvergenzradien r1 und r2 der reellen Potenzreihen
2
∞ k ∞
2
X
X
Re(exp( πi(k!)
e
1 −k
12340 )) · (k!)
(x − 1)k
und
· 1+
x2k
k
k
(2k)!
k=1
k=1
Für das Produkt r1 · r2 ergibt sich
a.) 1
b.) 2
c.) 3
d.) 4
Aufgabe 3. Gegeben sei die durch
an+1 :=
2a2n
1 + a2n
;
a1 :=
1
2
rekursiv definierte Folge (an )n∈N . Dann konvergiert (an )n∈N . . .
a.) nicht
b.) gegen 0
c.) gegen
1
4
d.) gegen 1
Aufgabe 4. Die Funktionenfolgen (fn )n∈N und (gn )n∈N seien definiert durch
nx
fn : [0, 1] → R ; x 7→
1 + n2 x2
n
X
(−1)k
gn : [0, ∞) → R ; x 7→
x+k
k=1
Ferner seien die folgenden zwei Aussagen gegeben:
A: Die Folge (fn )n∈N konvergiert gleichmäßig.
B: Die Folge (gn )n∈N konvergiert gleichmäßig.
Eine wahre Aussage ist:
a.) ¬(A ∨ B)
b.) ¬A ∧ B
c.) A ∧ ¬B
d.) ¬(¬A ∨ ¬B)
Aufgabe 5. Es sei die Teilmenge
1
n2
M := x ln x + (−1)
1 + 3 | x ∈ (0, e), n ∈ N
n
der reellen Zahlen gegeben. Dann besitzt M . . .
a.) Minimum und Maximum.
b.) kein Minimum, aber ein Maximum.
c.) kein Maximum, aber ein Minimum. d.) weder Minimum noch Maximum.
Name, Vorname: .........................................................................................................
Aufgabe 6. Wir betrachten den Grenzwert
arctan(x) − ln(1 + x)
x→0 ln(1 + x) · arctan(x)
L := lim
Es gilt:
a.) L =
1
4
b.) L =
1
2
c.) L =
3
4
d.) L = 1
Aufgabe 7. Es gibt unendlich viele ungerade n ∈ N, so dass die zugehörige Funktion
fn : R → R ; x 7→ xn −
n
2007 n − 1
·x+
·
n−1
2008
n
(mit n ≥ 2) genau k reelle Nullstellen besitzt für
a.) k = 1
b.) k = 2
c.) k = 3
d.) k = n
Name, Vorname: .........................................................................................................
Aufgabe 8. Beweisen Sie: Für alle n ∈ N ist die natürliche Zahl
5n + 2 · 3n−1 + 1
durch 8 teilbar.
Name, Vorname: .........................................................................................................
Aufgabe 9. Sei f : R → R eine stetige und beschränkte Funktion. Zeigen Sie, dass ein
x0 ∈ R existiert mit f (x0 ) = x0 .
Name, Vorname: .........................................................................................................
Aufgabe 10. Es sei f : (0, 1) → R eine monoton wachsende Funktion. Zeigen Sie, dass
der linksseitige Grenzwert limx→x0 − f (x) von f in x0 für alle x0 ∈ (0, 1) existiert.
Name, Vorname: .........................................................................................................
Antwortblatt
Aufgabe
Antwortmöglichkeiten
2
a.
b.
c.
d.
3
a.
b.
c.
d.
4
a.
b.
c.
d.
5
a.
b.
c.
d.
6
a.
b.
c.
d.
7
a.
b.
c.
d.
erhaltene Punkte
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg bei der Bearbeitung!
Name, Vorname: Version 1............................................................................................
Antwortblatt
Aufgabe
Antwortmöglichkeiten
2
×
3
×
4
×
×
5
×
6
×
7
a.
b.
c.
d.
erhaltene Punkte