Musterlösungen zur Serie 3

Musterlösungen zur Serie 3
1. Aufgabe Beweisen Sie durch vollständige Induktion, daß für alle natürlichen Zahlen
n ≥ 3 gilt nn+1 > (n + 1)n .
Lösung Induktionsanfang: Für n = 3 lautet die Behauptung 34 = 81 > 43 = 64, und
das ist richtig.
Induktionsschritt: Die Induktionsvorraussetzung ist nn+1 > (n + 1)n , d.h.
1
1+
n
n
< n.
(1)
Die Induktionsbehauptung ist (n + 1)n+2 > (n + 2)n+1 , d.h.
1
1+
n+1
n+1
< n + 1,
(2)
und (2) folgt aus (1) wegen
1
1+
n+1
n+1
n 1
1
1+
1+
n+1
n+1
n 1
1
1+
1+
n
n+1
1
n 1+
n+1
n
n+
n+1
n + 1.
=
<
<
=
<
2. Aufgabe Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen:
(i) Für alle Zahlen a ≥ 1 gilt
√
√
1
√ < a + 1 − a − 1.
a
(ii) Für alle positiven Zahlen a, b, c und d mit ad < bc gilt
a
a+c
c
<
< .
b
b+d
d
(iii) Für alle positiven Zahlen a und b gilt
a b
+ ≥ 2.
b a
1
(iv) Für alle nichtnegativen Zahlen a und b gilt
a+b √
≥ ab.
2
Lösung (i) Es gilt
p
√
√
1
1
√ < a+1− a−1 ⇔
< (a + 1) − 2 (a + 1)(a − 1) + (a − 1)
a
a
√
1
< 2a − 2 a2 − 1
⇔
a
√
1
⇔
a2 − 1 < a −
2a
1
1
2
2
⇔ a − 1 < a − 2a + 2
2a 4a
1
⇔ 0 < 2.
4a
Dabei haben wir zweimal benutzt, dass für nichtnegative Zahlen x und y die Ungleichungen x < y und x2 < y 2 äquivalent sind. Die letzte Ungleichung ist offenbar richtig, also
ist auch die erste richtig.
(ii) Weil die Zahlen a, b, c und d positiv sind, gilt
ad < bc ⇔ ab + ad < ab + bc ↔ a(b + d) < b(a + c) ⇔
a+c
a
<
b
b+d
und
c
a+c
< .
b+d
d
Die Annahme ad < bc impliziert also die Ungleichheitsrelationen von (ii).
ad < bc ⇔ ad + cd < bc + cd ↔ (a + c)d < c(b + d) ⇔
(iii) Weil die Zahlen a und b positiv sind, gilt
a b
+ ≥ 2 ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab ⇔ (a − b)2 ≥ 0.
b a
(iv) Weil die Zahlen a und b positiv sind, gilt
a+b √
a2 + 2ab + +b2
a2 − 2ab + +b2
≥ ab ⇔
≥ ab ⇔
≥ 0 ⇔ (a − b)2 ≥ 0.
2
4
4
3. Aufgabe Beweisen Sie, daß unter allen Rechtecken mit gegebenem Umfang dasjenige
die größte Fläche besitzt, das ein Quadrat ist.
2
Lösung Wir bezeichnen mit U > 0 den gegebenen Umfang. Dann sind U4 und U16 die
Seitenlänge und die Fläche des zugehörigen Quadrats. Wenn nun a, b > 0 die Seitenlängen
eines Rechtecks mit dem Umfang U sind, so ist 2(a + b) = U und folglich
U2
(2(a + b))2
(a + b)2
=
=
.
16
16
4
2
Wegen Aufgabe 2(iv) ist aber
(a + b)2
≥ ab,
4
also ist die Fläche des Rechtecks, nämlich ab, nicht größer als die Fläche des Quadrats,
2
nämlich U16 .
4. Aufgabe Es seien X und Y Teilmengen von R, die jeweils ein Maximum und ein
Minimum besitzen und für die X ∩ Y 6= ∅ gilt. Beweisen Sie oder widerlegen Sie (durch
Angabe eines Gegenbeispiels) die folgenden Behauptungen:
(i) Die Menge X ∩ Y besitzt ebenfalls ein Maximum und ein Minimum.
(ii) Wenn X ∩ Y ebenfalls ein Maximum und ein Minimum besitzt, so gilt max X ∩ Y ≤
min{max X, max Y } und min X ∩ Y ≥ max{min X, min Y }.
Lösung Die Behauptung (i) ist im allgemeinen falsch. Zum Beispiel für
X = ]0, 1[ ∪ {2} ∪ {−1}, Y = ]0, 1[ ∪ {3} ∪ {−2}
besitzt X ∩ Y = ]0, 1[ weder ein Maximum noch ein Minimum.
Die Behauptung (ii) ist wahr: Weil das Maximum von X ∩ Y ein Element von X ∩ Y und
folglich ein Element sowohl von X als auch von Y ist, gilt
max X ∩ Y ≤ max X und max X ∩ Y ≤ max Y.
Daraus folgt max X ∩ Y ≤ min{max X, max Y }.
Analog die andere Ungleichung: Weil das Minimum von X ∩ Y ein Element von X ∩ Y
und folglich ein Element sowohl von X als auch von Y ist, gilt
min X ∩ Y ≥ min X und min X ∩ Y ≥ min Y.
Daraus folgt min X ∩ Y ≥ max{min X, min Y }.
3