Aufgabe E 1 (9 Punkte) Wirft man einem Hund einen Stock ins
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Aufgabe E 1 (9 Punkte) Wirft man einem Hund einen Stock ins Wasser, den er apportieren soll, so beobachtet man Folgendes: Der Hund läuft von A aus erst ein Stück am Ufer entlang bis zu einem Punkt D und schwimmt von dort aus zum Stock bei B , um ihn aufzunehmen. An welcher Stelle D muss der Hund ins Wasser springen, wenn er den Stock schnellstmöglich erreichen will? .•..B .. ... .. .. .. .... .. .. .. . ... ... . .. ... .. .. .. . .. . .. x ... ......•.....................................................................................•.........................................•..... A D C Die kürzeste Strecke zwischen Stock und Ufer sei dabei BC, und mit x sei der Abstand von D zu C bezeichnet. Rechne mit folgenden Werten: Geschwindigkeit des Hundes an Land: vL = 10 ms , Geschwindigkeit des Hundes im Wasser : vW = 2 ms , AC = BC = 20m. Lösung An Land braucht der Hund (20 − x)/10 Sekunden, im Wasser √ x2 + 202 /2 Sekunden, insgesamt also √ x2 + 202 20 − x t= + . 10 2 Die benötigte Zeit ist minimal, wenn die Ableitung t′ = − x 1 =0 + √ 2 10 2 x + 202 ist. Dazu muss gelten √ x2 + 400 = 5x, also 400 = 24x2 oder x = r 50 . 3 Aufgabe E 2 (9 Punkte) Die fünf Gebiete A, B, C, D und E auf der abgebildeten Landkarte sollen so gefärbt werden, dass benachbarte Gebiete verschiedene Farben haben. C Auf wie viele Arten kann man die Karte färben, wenn man a) 4 Farben b) 5 Farben zur Verfügung hat. D A B E Hinweis: Es ist nicht erforderlich, alle Farben zu benutzen. Lösung a) A, B und C können auf 4 · 3 · 2 Arten gefärbt werden (die drei Farben müssen verschieden sein). Bekommt D die vierte Farbe, so muss E genau so gefärbt werden wie C . Bekommt D die gleiche Farbe wie B , so bleiben für E 2 Möglichkeiten. Es gibt also 4 · 3 · 2 · (1 + 2) = 72 Färbungen. b) A, B und C können auf 5 · 4 · 3 Arten gefärbt werden. Bekommt D die gleiche Farbe wie B , so bleiben für E 3 Möglichkeiten. Bekommt D eine der beiden noch unbenutzten Farben, so bleiben für E noch zwei mögliche Farben. Also gibt es 5 · 4 · 3 · (3 + 2 · 2) = 420 erlaubte Färbungen. Aufgabe E 3 (9 Punkte) Die Punkte (x|y) im Koordinatensystem mit |x| + |y| ≤ 1 y bilden zusammen ein Quadrat der Fläche 2 (siehe Abbildung). 6 @ @ @ Die Punkte (x|y) mit ||x| − 1| + ||y| − 1| ≤ 2 bilden auch ein Vieleck. @ @ @ a) Wie viele Seiten hat dieses Vieleck? - 1 x b) Wie groß ist seine Fläche? Lösung Das Vieleck ist symmetrisch zur x -Achse und zur y -Achse; daher genügt es, die Lösungsmenge im 1. Quadranten zu untersuchen. Dort ist |x| = x und |y| = y , wir suchen also die Punkte mit |x − 1| + |y − 1| ≤ 2 . Das ist eine Verschiebung von |x| + |y| ≤ 2 um 1 nach rechts und 1 nach oben: y 1 y 6 @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ 1 6 @ @ @ @ @ 1 @ @ @ 1 @ @ - x y 6 @ @ @ @ @ 1 @ @ @ @ @ @ 1 @ @ @ @ @ Das Vieleck hat also 12 Seiten und Fläche 24. @ @ @ @ @ @ - x - x Aufgabe E 4 (9 Punkte) Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck D , dessen drei Kanten ganzzahlige Längen haben. Zeige, dass der Flächeninhalt von D eine ganze Zahl ist. Lösung: Die Seiten des Dreiecks haben die Längen a, b, c ∈ N, dabei seien a und b die Längen der Katheten, sodass also a2 + b2 = c2 gilt. Da der Winkel zwischen den Katheten ein rechter Winkel ist, ist der Flächeninhalt F des Dreiecks gleich 1 F = ab. 2 Wir müssen also zeigen, dass ab gerade ist, was heißt, dass nicht sowohl a als auch b ungerade ist. Wären a und b beide ungerade, so wäre c2 gerade, also auch c gerade und c2 durch 4 teilbar. Andererseits ließen sowohl a2 als auch b2 bei Division durch 4 den Rest 1, denn aus a = 2k + 1 folgt a2 = (2k + 1)2 = 4(k 2 + k) + 1, und analog für b . Da die Summe zweier Zahlen, die bei Division durch 4 Rest 1 lassen, nicht durch 4 teilbar ist, können nicht sowohl a als auch b ungerade sein. Widerspruch! Also ist ab gerade und damit F eine ganze Zahl.
