Aufgabe 1

Aufgabe 1
Vereinfache
123!
122!
Aufgabe 1
Vereinfache
123!
122!
123!
123 · 122!
=
= 123
122!
122!
Aufgabe 2
Wie viele dreistellige Zahlen gibt es, die mit einer ungeraden
Ziffer beginnen?
Aufgabe 2
Wie viele dreistellige Zahlen gibt es, die mit einer ungeraden
Ziffer beginnen?
5 · 10 · 10 = 500
Aufgabe 3
Wie viele Spiele sind an einem Tennisturnier zu spielen, wenn
jeder der 11 Teilnehmenden genau einmal gegen jeden anderen
spielt?
Aufgabe 3
Wie viele Spiele sind an einem Tennisturnier zu spielen, wenn
jeder der 11 Teilnehmenden genau einmal gegen jeden anderen
spielt?
11
11 · 10
=
= 55
2
2
Aufgabe 4
5! =?
Aufgabe 4
5! =?
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Aufgabe 5
Wie viele Sitzordnungen sind in einem Schulzimmer mit 12
Plätzen und 6 Schülern möglich?
Aufgabe 5
Wie viele Sitzordnungen sind in einem Schulzimmer mit 12
Plätzen und 6 Schülern möglich?
12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 =
12!
6!
Aufgabe 6
Ist die Aussage wahr oder falsch?
Bei Kombinationen ist die Reihenfolge wesentlich.“
”
Aufgabe 6
Ist die Aussage wahr oder falsch?
Bei Kombinationen ist die Reihenfolge wesentlich.“
”
falsch
Bei den Variationen ist die Reihenfolge von Bedeutung.
Aufgabe 7
Ein Multiple-Choice Test besteht aus 10 Fragen mit jeweils 4
möglichen Antworten, von denen jeweils genau eine richtig ist.
Auf wie viele Arten kann man diesen Test ausfüllen?
Aufgabe 7
Ein Multiple-Choice Test besteht aus 10 Fragen mit jeweils 4
möglichen Antworten, von denen jeweils genau eine richtig ist.
Auf wie viele Arten kann man diesen Test ausfüllen?
410 Möglichkeiten
Aufgabe 8
Auf wie viele Arten können sich 4 Krähen auf 3 Bäumen
niederlassen?
Aufgabe 8
Auf wie viele Arten können sich 4 Krähen auf 3 Bäumen
niederlassen?
Annahme: Alle Krähen sehen gleich aus.“
”
4+2
6
6·5
= 15 Möglichkeiten
=
=
2
2
2·1
Aufgabe 8
Auf wie viele Arten können sich 4 Krähen auf 3 Bäumen
niederlassen?
Annahme: Alle Krähen sehen gleich aus.“
”
4+2
6
6·5
= 15 Möglichkeiten
=
=
2
2
2·1
Annahme: wir können die Krähen unterscheiden:
3 · 3 · 3 · 3 = 34 Möglichkeiten
Aufgabe 9
Auf fünf Kärtchen stehen die Ziffern 1 , 2 , 2 , 3 , 3 .
Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich damit bilden?
Aufgabe 9
Auf fünf Kärtchen stehen die Ziffern 1 , 2 , 2 , 3 , 3 .
Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich damit bilden?
5!
2! · 2!
Aufgabe 9
Auf fünf Kärtchen stehen die Ziffern 1 , 2 , 2 , 3 , 3 .
Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich damit bilden?
5·4·3·2·1
5!
=
= 5 · 3 · 2 = 30
2·2
2! · 2!
Aufgabe 10
200
Berechne:
198
Aufgabe 10
200
Berechne:
198
200
200
=
198
2
Aufgabe 10
200
Berechne:
198
200
200
200 · 199
=
=
= 19 900
198
2
2·1
Aufgabe 11
Wie viele Diagonalen hat ein regelmässiges 20-Eck?
Aufgabe 11
Wie viele Diagonalen hat ein regelmässiges 20-Eck?
naive“ Lösung:
”
Aufgabe 11
Wie viele Diagonalen hat ein regelmässiges 20-Eck?
naive“ Lösung:
”
20 · 17
= 170
2
Aufgabe 11
Wie viele Diagonalen hat ein regelmässiges 20-Eck?
naive“ Lösung:
”
20 · 17
= 170
2
Aufgabe 11
Wie viele Diagonalen hat ein regelmässiges 20-Eck?
naive“ Lösung:
”
20 · 17
= 170
2
akademische“ Lösung:
”
Aufgabe 11
Wie viele Diagonalen hat ein regelmässiges 20-Eck?
naive“ Lösung:
”
20 · 17
= 170
2
akademische“ Lösung:
”
20
20 · 19
− 20
− 20 =
2·1
2
= 190 − 20 = 170
Aufgabe 11
Wie viele Diagonalen hat ein regelmässiges 20-Eck?
naive“ Lösung:
”
20 · 17
= 170
2
akademische“ Lösung:
”
20
20 · 19
− 20
− 20 =
2·1
2
= 190 − 20 = 170
Aufgabe 12
Aus einer Klasse mit 20 Schülern soll ein Klassenchef und sein
Stellvertreter ausgewählt werden. Auf wie viele Arten ist das
prinzipiell möglich?
Aufgabe 12
Aus einer Klasse mit 20 Schülern soll ein Klassenchef und sein
Stellvertreter ausgewählt werden. Auf wie viele Arten ist das
prinzipiell möglich?
auf 20 · 19 = 380 Arten
Aufgabe 13
Vereinfache:
(n − 2)!
n!
Aufgabe 13
Vereinfache:
(n − 2)!
n!
(n − 2)!
(n − 2)!
1
=
=
n!
n · (n − 1) · (n − 2)!
n(n − 1)
Aufgabe 14
Wie viele Sitzordnungen gibt es für 5 Personen an einem
runden Tisch?
Aufgabe 14
Wie viele Sitzordnungen gibt es für 5 Personen an einem
runden Tisch?
5! : 5 = 4! = 24
Aufgabe 15
Wie gross ist die Summe aller Binomialkoeffizienten in der
9. Zeile des Pascalschen Dreiecks?
Aufgabe 15
Wie gross ist die Summe aller Binomialkoeffizienten in der
9. Zeile des Pascalschen Dreiecks?
29 = 512
Aufgabe 16
Wie viele Faktoren 2 hat die Zahl 8!?
Aufgabe 16
Wie viele Faktoren 2 hat die Zahl 8!?
8
8
8
+
+
=4+2+1=7
2
4
8
Aufgabe 17
Aus einer Schulklasse mit 20 Schülern sollen eine
Unihockeymannschaft mit 5 Spielern ausgewählt werden.
Auf wie viele Arten ist das möglich?
Aufgabe 17
Aus einer Schulklasse mit 20 Schülern sollen eine
Unihockeymannschaft mit 5 Spielern ausgewählt werden.
Auf wie viele Arten ist das möglich?
20
auf
Arten
5
Aufgabe 18
9 Fussballmannschaften nehmen an einem Turnier teil bei der
jede Mannschaft gegen jede andere jeweils zuhause und
auswärts spielt.
Aufgabe 18
9 Fussballmannschaften nehmen an einem Turnier teil bei der
jede Mannschaft gegen jede andere jeweils zuhause und
auswärts spielt.
9
2·
2
Aufgabe 18
9 Fussballmannschaften nehmen an einem Turnier teil bei der
jede Mannschaft gegen jede andere jeweils zuhause und
auswärts spielt.
9
9·8
2·
= 72 Partien
=2·
2
2·1
Aufgabe 19
Wie viele Schnittgeraden besitzen 10 Ebenen im Raum
höchstens?
Aufgabe 19
Wie viele Schnittgeraden besitzen 10 Ebenen im Raum
höchstens?
10
10 · 9
=
= 45 Schnittgeraden
2
2·1
Aufgabe 20
67
67
Vereinfache:
+
43
44
Aufgabe 20
67
67
Vereinfache:
+
43
44
67
43
+
67
44
=
68
44
Aufgabe 20
67
67
Vereinfache:
+
43
44
67
43
+
67
44
=
68
44
k = 0 k = 1 ...
n=0
1
n=1
1
1
...
...
...
...
67
...
n = 67
1
1
68
n = 68
1
...
1
k = 43 k = 44
67
43
68
43
67
44
68
44
...
...
...
Aufgabe 21
Auf drei Karten stehen die Ziffern 1 , 2 , 2
Wie viele Zahlen lassen sich damit bilden?
Aufgabe 21
Auf drei Karten stehen die Ziffern 1 , 2 , 2
Wie viele Zahlen lassen sich damit bilden?
Motto: Erlaubt ist, was nicht verboten ist.
Aufgabe 21
Auf drei Karten stehen die Ziffern 1 , 2 , 2
Wie viele Zahlen lassen sich damit bilden?
Motto: Erlaubt ist, was nicht verboten ist.
einstellige Zahlen:
2
Aufgabe 21
Auf drei Karten stehen die Ziffern 1 , 2 , 2
Wie viele Zahlen lassen sich damit bilden?
Motto: Erlaubt ist, was nicht verboten ist.
einstellige Zahlen:
2
zweistellige Zahlen:
3
Aufgabe 21
Auf drei Karten stehen die Ziffern 1 , 2 , 2
Wie viele Zahlen lassen sich damit bilden?
Motto: Erlaubt ist, was nicht verboten ist.
einstellige Zahlen:
2
zweistellige Zahlen:
3
dreistellige Zahlen:
3
Aufgabe 21
Auf drei Karten stehen die Ziffern 1 , 2 , 2
Wie viele Zahlen lassen sich damit bilden?
Motto: Erlaubt ist, was nicht verboten ist.
einstellige Zahlen:
2
zweistellige Zahlen:
3
dreistellige Zahlen:
3
Summe
8
Aufgabe 22
Wie viele Tanzpaare können mit 10 Männern und 10 Frauen
gebildet werden, wenn jeweils ein Mann und eine Frau
zusammen tanzen.
Aufgabe 22
Wie viele Tanzpaare können mit 10 Männern und 10 Frauen
gebildet werden, wenn jeweils ein Mann und eine Frau
zusammen tanzen.
10 · 10 = 100 Tanzpaare
Aufgabe 23
Ist die Aussage wahr oder falsch?
Bei Variationen sind Wiederholungen nicht erlaubt“
”
Aufgabe 23
Ist die Aussage wahr oder falsch?
Bei Variationen sind Wiederholungen nicht erlaubt“
”
falsch
Variationen (und Kombinationen) sind sowohl mit als auch
ohne Wiederholungen möglich.
Aufgabe 24
Auf wie viele Arten kann die Zahl 8 als Summe von 3
Summanden s1 , s2 , s3 ∈ {1, 2, . . . , 6} geschrieben werden?
Aufgabe 24
Auf wie viele Arten kann die Zahl 8 als Summe von 3
Summanden s1 , s2 , s3 ∈ {1, 2, . . . , 6} geschrieben werden?
Schreibe die Zahl 8 − 3 = 5 als Summe von drei Summanden
s10 , s20 , s30 aus {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Aufgabe 24
Auf wie viele Arten kann die Zahl 8 als Summe von 3
Summanden s1 , s2 , s3 ∈ {1, 2, . . . , 6} geschrieben werden?
Schreibe die Zahl 8 − 3 = 5 als Summe von drei Summanden
s10 , s20 , s30 aus {0, 1, 2, 3, 4, 5}
5+2
7
=
= 21
2
2
Aufgabe 24
Auf wie viele Arten kann die Zahl 8 als Summe von 3
Summanden s1 , s2 , s3 ∈ {1, 2, . . . , 6} geschrieben werden?
Schreibe die Zahl 8 − 3 = 5 als Summe von drei Summanden
s10 , s20 , s30 aus {0, 1, 2, 3, 4, 5}
5+2
7
=
= 21
2
2
1+1+6
1+2+5
1+3+4
2+2+4
2+3+3
3
6
6
3
3
Arten
Arten
Arten
Arten
Arten
ohne Berücksichtigung der Reihenfolge:
mit Berücksichtigung der Reihenfolge:
5 Möglichkeiten
21 Möglichkeiten