Systemprogrammierung (37-023)

Systemprogrammierung
(37-023)
Assemblerprogrammierung
Betriebssystemgrundlagen
Maschinenmodelle
Dozent:
Prof. Thomas Stricker
Unterrichtssprache:
Deutsch
Begleit-/Textbuch:
R. P. Paul: SPARC Architecture, Assembly Language
Programming and C, Prentice Hall, 1994
Heute:
• Fliesspunktarithmetik
• Repräsentation
• IEEE Standard 754
• Addition / Multiplikation
• FPUs und Parameterübergabe
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Repräsentation
• In vielen Applikationen müssen Nicht-Integer
Zahlen behandelt werden
• Es gibt diverse Verfahren, um Nicht-Integer
Zahlen zu repräsentieren. Einfachste Möglichkeit ist Fixpunkt-Arithmetik
• Allgemeine Repräsentation einer Zahl N durch
Verschieben des Exponenten:
N = Sdn – 1 × R

n–1
+ … + d0 + … + d– f × R
– f

(0.1)
• Die Genauigkeit ist dabei durch den Faktor f
vorgegeben, welcher die Verschiebung der
Kommastelle (Dezimal, Binär) im jeweiligen
Zahlensystem festlegt. (+/-10-f)
Beispiel: Pi in verschiedenen Zahlensystemen
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• Somit kann eine einfache binäre FixpunktRepräsentation wie folgt gegeben werden:
• Addition und Subtraktion sind ohne Änderung
des Algorithmus durchführbar, wobei sich bei
Erhöhung der Genauigkeit um ein Bit der
Bereich darstellbarer Zahlen im Register halbiert.
• Bei Multiplikation muss die zusätzliche Verschiebung des Exponenten beachtet werden:
a*2-4 *b*2-4 = a*b*2-8
• Daher muss Ergebnis auf die Genauigkeit der
Operanden begrenzt und gerundet werden.
• Dies kann durch Rechtsshift erfolgen:
smul
%o0, %o1, %o0
sra
%o0, 4, %o0
!Ergebnis auf 4 Nachkommastellen begrenzt, %Y ignoriert
oder
sll
sdiv
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%o0, 4, %o0
%o0, %o1, %o0
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!Vornormierung
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• Mantisse und Exponent müssen also getrennt
repräsentiert und behandelt werden.
• Im Binärsystem wird Mantisse (auch significand genannt) typischerweise auf 1<=f<=2
beschränkt.
• Somit liegt das Ergebnis von Addition und Multiplikation einzelner Mantissen immer zwischen 2 und 4 und die Renormierung kann
durch einen Shift implementiert werden.
• Werden zwei 32 Bit Register zur Repräsentation herangezogen und Binärpunkt rechts von
Bit 29 angesetzt, ergeben sich folgende Beispiele:
1.5
3
9
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.word
.word
.word
0x30000000, 0x0
0x30000000, 0x1
0x24000000, 0x3
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IEEE Floating Point Format
• Bei floating point Repräsentationen können
viele Parameter, wie z.B. Anzahl der Bits von
Mantisse und Exponent, Rundung etc. individuell gewählt werden.
• Führt zu einer Hardwareabhängigkeit bei der
Implementierung von Numerik-Software
• Daher Floating Point Repräsentation innerhalb IEEE 754-1985 (IEC 559) als internationaler Standard verfasst und von fast allen
Herstellern übernommen.
Wesentliche Merkmale von IEEE 754:
• Verschiedene Modi zur Rundung von Ergebnissen
• Beinhaltet Sonderzeichen für NaN, ∞ und - ∞
• Verwendet denormal numbers zur Repräsentation von Zahlen, die kleiner als
1.0x2Eminsind.
• Rundung von Zwischenwerten IMMER auf
EVEN
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Rundung
• IEEE 754 hat insgesamt 4 Rundungsmodi:
• Rundung nach NEAREST, 0, - ∞ , ∞
• Bei Zahlen, welche genau zwischen zwei möglichenWerten liegen, wird immer auf die Zahl
gerundet, deren LS Digit EVEN ist.
• Beispiel im Dezimalsystem:
3.05 wird auf 3.0 gerundet
Sonderzeichen und Denormals
• Wesentliches Merkmal des Standards ist, dass
bei Exeptions (Null-Division, Wurzel aus negativer Zahl) die Berechnung weitergeführt werden kann.
• Dazu wird in diesen Fällen ein Sonderzeichen,
NaN (Not a Number) zurückgegeben sowie
Exeption flags gesetzt.
• In der IEEE Arithmetik wird NaN als Argument
akzeptiert, wobei jede Operation auf NaN wiederum NaN zurückliefert (3 + NaN =NaN)
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• Nur sehr wenig Sonderbehandlungen in
mathematischen Routinen nötig
• Z.B. arctan(sqrt((1-x)/(1+x))) liefert NaN,
wenn x=NaN
• sqrt(-1)=NaN
• 1/0= ∞ sowie 1/ ∞ =0 oder arctan( ∞ ) =Pi/2
• Denormalized numbers verlieren graduell an
Signifikanz
Beispiel im Dezimalsystem: x = 1.234
*10Emin
• x/10 = 0.123 *10Emin, somit Verlust einer
Stelle an Genaugkeit
• x/100 = 0.012 *10Emin usw. bis schliesslich
die 0 durch Rundung erreicht wird
• Dadurch Erhöhung der Genauigkeit bei
Berechnungen
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Repräsentation von fp-Zahlen
• Insgesamt 3 Formate definiert: single, double
und quad (extended double)
• Single fp-Format wie folgt definiert:
• Bit 31 ist Sign Bit
• Bits 23-30 beinhalten den Exponenten e, welcher um 0x3f = 127 verschoben (biased) und
somit immer positiv ist.
• Bits 0 - 22 enthalten die Stellen hinter dem
Komma der Mantisse, da diese immer mit 1.
beginnt.
• Somit folgende Darstellung:
s
e – 127
N = ( – 1 ) × 1. f × 2
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• Bsp: für Zahlen im IEEE 754 fp-single Format:
• Format Parameter für IEEE 754 fp-Standard:
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• Repräsentation von Sonderzeichen:
• Biased Exponenten von 0 und 255 werden zur
Darstellung der Sonderzeichen verwendet
• NaN wird durch f!=0 sowie e=255 dargestellt.
Somit keine Eindeutigkeit.
• 0 ist aufgrund führender 1 ebenfalls als Sonderzeichen implementiert.
• Vorteile von biased Exponenten beim Vergleicher zweier Zahlen, der mittels Integer Operatoren implementiert werden kann. Ferner 0
durch 0x00000000 abgedildet
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FP-Multiplikation
• Gegeben die Operanden als x = s*2e
• Folgt für die Multiplikation:
e1
e2
e1 + e2
s × 2  × s × 2  = (s × s ) × 2
1 2
 1
  1

(0.3)
• Zur Mult. können gewöhnliche unsigned Integer Operatoren herangezogen werden
• Resultat s1 x s2 ist jeodch i.A. 2p Bits lang und
muss wieder auf p Bits gerundet werden (p=24
bei single)
• Exponent durch Addition berechenbar, wobei
jedoch der bias 0x3f subtrahiert werden muss
• Beispiel -1*23 *1*24:
1 10000010 000.....
0 10000011 000.....
Produkt der Mantissen bleibt bei 1.0
Berechne Exponent als e1 + e2 - bias:
10000010
10000011
10000001
10000110 = 134 (7+127)
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• Rundungsoperationen müssen korrekt durchgeführt werden.
• Verschiedene Fälle: Beispiel p=3 im Dezimalsystem
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FP-Addition
• Allgemein wandelt eine arithmetische fp-Operation p-Bit lange Operanden in ein p-Bit langes Ergebnis um.
• Idealerweise zunächst korrekte Berechnung,
wie bei Multiplikation, mit anschliessender
Rundung.
• Nachteil: Längere Register notwendig, mehr
Aufwand.
• Addition kann hierbei optimiert werden:
• Man beachte Addition zweier 6 Bit Zahlen, z.
B. 1.10011 und 1.10001x2-5
//ideal//
1.10011
0.0000110001
// bei 6 Bit Addierer //
1.10011
0.00001
1.10100
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• 8-stufiger Algorithmus zur Addition zweier
Zahlen a1 und a2. Mantissen s1 und s2 sowie
Exponenten e1 und e2 seien bereits decodiert
1. Wenn e1<e2 ->vertausche Operanden, so dass immer >0
2. Wenn sign1 != sign2 ersetze s2 durch Zweierkomplement
3. s2 in p-Bit Register laden und um d=e2-e1 Bits nach rechts
schieben. Falls Zweierkomplement -> 1-shift. Speichere g
als MSB, r als next MSB sowie s als OR der restlichen ausgeschobenen Bits.
4. Berechne eine vorläufige Mantisse S=s1+s2. Wenn sign1
!=sign2 UND MSB(S)=1 UND kein carry out, dann S<0
daher S->Zweierkomplement
5. Shift von S: Wenn sign1=sign2 UND carry out in 4) ->S um
1 Bit nach rechts sowie auffüllen des MSB von S mit 1.
Andernfalls Linksshift bis normiert, wobei das g Bit mit
berücksichtigt werden muss (g000000..). Exponent angleichen!
6. Neuberechnung von r und s: Wenn Rechtsshift in 5) >r:=LSB(S) vor shift. Wenn kein shift in 5) -> r:=g, s:=rORs.
Wenn Linksshift um 1 Bit ->r und s bleiben unverändert.
Wenn zwei oder mehr Linksshifts ->r:=0, s:=0.
7. Rundung von S gemäss Tabelle. Bei Eintrag inkrementieren.
Wenn carry out bei Rundung -> Rechtsshift von S sowie
Exponent anpassen.
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8. Berechnung des Vorzeichens des Ergebnisses: wenn
sign1=sign2 -> Ergebnis. Andernfalls wird gemäss Tabelle
verfahren.
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FP-Division
• Methode 1: führt fpdiv auf Int-Division zurück
e
e
e –e
 s × 2 1 /  s × 2 1 = ( s / s ) × 2 1 2
1 2
 1
  1

(0.4)
• Int. Divisionsalgorithmus wird verwendet
• Methode 2: ein iterativer Divisionsalgorithmus,
welcher auf der Newton-Methode beruht.
• Gegeben sei die Funktion f(x) = x-1 - b
• Mit f‘(x) = -1/x2erhält man die folgende Rekursion zur Berechnung von 1/b aus b:
xi + 1 = xi ( 2 – xi b )
(0.5)
• Hieraus resultiert folgender Algorithmus zur
Berechnung von a/b:
1. Skaliere b, so dass 1<=b<=2
2. Wähle Initialwert von 1/b=x0 aus lookup table
3. Iteriere gemäss obiger Gleichung bis xn eine Genauigkeitsschranke
überschreitet
4. Berechne a*xn und kehre Skalierung um
• Vorteil der Iteration: FP-Co-Prozessoren müssen keine Divisionshardware implementieren.
Weiterhin Verdopplung der Resultatziffern in
jedem Schritt
• Nachteil: Rundungsprobleme von a/b, selbst
wenn 1/b korrekt gerundet. Iteration produziert
keinen Remainder und kann somit nicht für
Integer Division herangezogen werden
• TI 8847 verwendet iterative Division in verbesserter Form
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FP-Exeptions nach IEEE 754
• Standard unterstützt insgesamt 5 exeptions:
underflow, overflow, divide by zero, inexact,
invalid
• Werden durch individuelle Flags gekennzeichnet
• Können durch einen trap handler des Systems
entsprechend behandelt werden
• Beispiel für invalid: sqrt(-1), 0/0 -> NaN
• inexact Exeption wird bei Rundung und overflow aufgerufen. Da sie häufig vorkommen
kann, beeinträchtigt Aufruf des trap handlers
die Performanz
• underflow wird ebenfalls gesondert behandelt
und bei unexakten Ergebnissen signalisiert.
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Der FP Unit der SPARC
• FPU für arithmetische Ops auf Real-Variablen
• 32 fp-Register %f0-%f31
• Keine Register Windows für die fp-Register
• Elementare Load/Store Instruktionen:
ldf
stf
lade Wort in fp-Register
speichere fp-Register auf Adresse
• Single floating point Instruktionen, wie z. B.
• Konversion von fp nach Integer und umgekehrt
• fp-Vergleichs-Operation fcmps zum Setzen der
condition codes E,L,G,U
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• Double Precision 64bit fp-Operationen basieren auf einer doubleword float Definition mit 52
Bits Mantisse und 11 Bits Exponent
• Ferner gibt es noch 80bit floats und quad floats
• 64bit weerden typischerweise von HW unterstützt
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