Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 2015 ¨Ubungen zu “Mathematische

Prof. Dr. R. Wulkenhaar
SS 2015
Übungen zu “Mathematische Modelle der Statistischen Physik und
Quantenfeldtheorie”
Abgabe: Bis 15.07.2015, 16 Uhr
Blatt 09
Das klassische zweidimensionale Heisenberg-Modell für die Zuordnung von Spin~i ∈ S 1 ⊆ R2 zu jedem periodischen zweidimensionalen N × N- Gitter
Vektoren S
X
~i · S
~j . Summmiert
wird beschrieben durch die Hamilton-Funktion H = −J
S
hi,ji
2
wird über Paare hi, ji nächster Nachbarn in Z .
Aufgabe 1.
i) Zeigen Sie, daß die Zustandssumme aufgefaßt werden kann als
Z
X
dθ1
dθN 2
Z=
···
exp K
cos(θi − θj ) .
2π
[0,2π]N 2 2π
hi,ji
Wie üblich ist K = TJ . Diese Zustandssumme definiert das XY -Modell.
ii) Die Hochtemperaturentwicklung des XY -Modells folgt aus der Entwicklung nach modifizierten Besselfunktionen
eK cos θ = I0 (K) +
∞
X
In (K)(einθ + e−inθ ) .
n=1
Es gilt
In (K)
tn (K) :=
∼
I0 (K)
(
Kn
2n n!
n2
− 2K
e
für K → 0
für K → ∞
Für K → 0 spielen diese tn (K) die Rolle von tanh K im Isingmodell.
Führen Sie nach dieser Entwicklung die Winkelintegration aus, so daß die
Zustandssumme eine Potenzreihe in tnij (K) wird.
Aufgabe 2. Das Villain-Modell ensteht aus dem XY -Modell, indem man die
Besselfunktionen durch das Verhalten bei K → ∞ ersetzt:
Z
∞
X
dθ1
n2
dθN 2 Y
Z=
z(θi − θj ) ,
z(θ) :=
exp −
···
+ inθ .
2π
2K
[0,2π]N 2 2π
n=−∞
hi,ji
1
i) Beweisen Sie unter Verwendung von f (x) =
sche Summenformel
∞
X
f (n) =
n=−∞
∞
X
Z
∞
−∞
dk ikx ˆ
e f (k) die Poisson2π
fˆ(2πp) .
p=−∞
ii) Geben Sie eine alternative Form von z(θ) an, die aus der PoissonSummierung entsteht.
iii) Führen Sie in dieser Form die Winkel-Integration in der Zustandssumme
aus, so daß nun summiert wird über alle Zuordnungen nij ∈ Z zu nächsten
Nachbarn hi, ji mit nij = −nji . Welche Einschränkung gibt es für diese
nij ?
Aufgabe 3. i) Zeigen Sie, daß sich die Nebenbedingungen and die nij lösen
lassen durch Zuordungen von ganzen Zahlen ma zu jeder Plaquette des
Gitters:
j2
mc
j3
mb
i
md
ma
nij1 = ma − mb ,
j1
nij2 = mb − mc , . . .
j4
ii) Schlußfolgern Sie für die Zustandssumme des Villain-Modells
Z=
∞
X
m1 ,...,mN 2
1 X
exp −
(ma − mb )2
2K
=−∞
ha,bi
iii) Verwenden Sie die Identität
∞
X
m=−∞
f (m) =
Z
∞
−∞
dφ f (φ)
∞
X
m=−∞
δ(φ − m) =
Z
∞
−∞
dφ f (φ)
∞
X
e2πiqφ ,
q=−∞
um die Zustandssumme in ein Modell für Gaußsche Fluktuationen umzuschreiben.
Bemerkung: Die letzte Formel ist Ausgangspunkt für eine weitere Behandlung
mit Renormierungsgruppenmethoden.
Aufgabe 4. Nichtwechselwirkende kontinuierliche Spinvariablen
durch
Z Y
N
N
1 Y
−H(sj )
dsj e
,
Z :=
dsj e−H(sj )
Z j=1
j=1
2
definieren
ein Wahrscheinlichkeitsmaß für unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen.
Die Wahrscheinlichkeit, daß diese VerteilungR einen Gesamtspin S =
PN
S1
j=1 sj hat mit S0 ≤ S < S1 ist dann gegeben durch S0 dS PN (S) mit
1
PN (S) :=
Z
Z Y
N
−H(sj )
dsj e
j=1
δ(S −
N
X
sj ) .
j=1
Wir bestimmen
die√renormierte Grenzverteilung R∞ (S) := limN →∞ RN (S), mit
√
RN (S) := N PN ( NS), in folgenden Schritten:
i) Zeigen Sie:
P2N (S) =
Hinweis: δ S −
P2N j=1
=
Z
∞
−∞
R∞
−∞
dT PN ( S2 − T )PN ( S2 + T )
dT δ
S
2
−
PN
j=1 σj −T
δ
S
2
−
P2N
j=N +1 σj + T
ii) Führen Sie die Renormierung zu R2N und RN durch sowie den Limes N →
∞.
iii) Führen Sie in der entstehenden nichtlinearen
Integralgleichung für R∞ eine
R∞
1
Fourier-Transformation R∞ (S) = 2π −∞ dp R̂(p) eipS durch. Zeigen Sie:
(R̂( √p2 ))2 = R̂(p).
σp2
iv) Beweisen Sie, daß (R̂( √p2 ))2 = R̂(p) die einzige Lösung R̂(p) = c1 e− 2
hat. Bestimmen Sie
Sie zusammenfassend die Grenzverteilung
√
√ c1 . Geben
R∞ (S) = limN →∞ NPN ( N S) an.
3