Übungsblatt 1

Analysis 3: Camillo de Lellis
HS 2007
Übungsblatt 1
Gewöhnliche Differentialgleichungen: Trennung der Variablen, Systeme linearer
Differentialgleichungen
Abgabetermin: Mittwoch, 3.Oktober bis 12 Uhr in den Briefkasten von Dominik Tasnady
Aufgabe 1.
(a) Finde alle Lösungen der Differentialgleichung
y 0 (t2 − 3t + 2) = (2t − 3)y.
(b) Finde eine Lösung des Anfangswertproblems

2t
y 0 = −
e−y
(1 + t2 )2

y(0) = 0
Aufgabe 2. Finde eine Lösung der folgenden Differentialgleichungen:
(a) y 0 +
√
t
y − 1 + t2 = 0
2
1+t
(b) y 0 +
cos t
y − sin 2t = 0.
sin t
Aufgabe 3. Wir betrachten die homogene lineare Differentialgleichung k-ter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten
y (k) + ck−1 y (k−1) + · · · + c0 y = 0,
(1)
wobei die Koeffizienten c0 , . . . , ck−1 reelle Zahlen sind.
(a) Schreibe diese Gleichung als System linearer Differentialgleichungen erster Ordnung
der Form Ẋ(t) = AX(t), wobei X = (x0 , . . . , xk−1 ) und A = [(aij )]0≤i,j≤k−1 eine
(k × k)-Matrix ist.
(b) Zeige: λ ist genau dann ein Eigenwert der Matrix A mit
m(λ), wenn
PVielfachheit
k−1
k
l
λ eine m(λ)-fache Nullstelle des Polynoms a(τ ) = τ + l=0 cl τ ist.
(c) Zeige: Ist B = diag(λ1 , . . . , λn ) eine Diagonalmatrix, dann ist eB die Diagonalmatrix diag(eλ1 , . . . , eλn ).
(d) Wir nehmen jetzt an, die Matrix A habe nur einfache, reelle Eigenwerte. Gib die
allgemeine Lösung von (1) an. (Hinweis: Es gilt für n × n-Matrizen A und B, wobei
−1
B invertierbar ist, die Beziehung eBAB = BeA B −1 .)
Aufgabe 4. Wir wollen nun die allgemeine Lösung von (1) bestimmen, ohne besondere
Annahmen an die Eigenwerte der Matrix A.
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(a) Sei k = 2 in (1). Wir nehmen zudem an, dass die Matrix A einen komplexen
Eigenwert λ hat. Wähle den Ansatz λ := α + iω mit α := spur(A)
und ω :=
2
p
2
−((a11 − a22 ) + 4a12 a21 ). Zeige nun, dass
cos(ωt) − sin(ωt)
tA
αt
e =e B
B −1
sin(ωt) cos(ωt)
gilt.
(b) Seien nun die Matrix
Matrix von der Form

λ 1

0 . . .


A =  ... . . .

 .. . .
.
.
0 ···
A eine (m × m)-Matrix und die Matrix B eine (2m × 2m)
0
..
.
..
.
..
.
···
···
..
.
..
.
..
.
0


0
A(µ) 12

.. 
..
 0
.
.



 ..
.
..
, B= .
0



 ..
..
 .
.
1
λ
0
···
0
..
.
..
.
..
.
···
···
..
.
..
.
..
.
0

0
.. 
. 


,
0 


12 
A(µ)
wobei λ ∈ R und µ ∈ C, sowie
A(µ) =
α −ω
ω α
mit α und ω wie bei (a). Zeige, dass



tm−1
t2
R tR
· · · (m−1)!
1 t
2



tm−2 
 0 12
0 1 . . . . . .


(m−2)! 

tB
αt
tA
λt  .
..  , e = e 
e = e  .. . . . . . . . . .
 ... . . .
. 



. .
. .
.. ... ...
..

 ..
 ..
t
0 ··· ··· 0
1
0 ···
t2
2R
..
.
..
.
..
.
···
···
..
.
..
.
..
.
0
tm−1
(m−1)! R

tm−2

(m−2)! R

..
.
tR
R





gilt, wobei 12 die zweidimensionale Einheitsmatrix ist und
cos(ωt) − sin(ωt)
.
R=
sin(ωt) cos(ωt)
(Hinweis: Die Matrix A bzw. B kann als Summe einer Diagonalmatrix und einer
nilpotenten Matrix geschrieben werden.)
(c) Verwende nun die Jordansche Normalform, um die allgemeine Lösung für die Gleichung (1) zu bestimmen. (Hinweis: Überlege, dass das Exponential einer Matrix in
Blockform, d.h.
C 0
A=
0 D
mit quadratischen Matrizen C und D, wieder Blockform hat, wobei auf der Diagonalen die Blöcke eC und eD stehen.)
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Aufgabe 5. Beweise, dass die Gleichung
y 00 = y 2 + (y 0 )2
keine Lösung besitzt, die auf ganz R definiert ist, ausser der trivialen Lösung y = 0.
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