Lineare Algebra und analytische Geometrie - informatik.uni

Lineare Algebra und analytische
Geometrie
J. Apel
Vorlesung WS 2001/02
Preliminary version – 8. Januar 2002
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
2 Grundlagen der Mathematik
2.1 Logische Symbole und Formeln . .
2.2 Mengenoperationen . . . . . . . . .
2.3 Binäre Relationen . . . . . . . . . .
2.4 Korrespondenzen und Abbildungen
2.5 Algebraische Strukturen . . . . . .
3 Lineare Gleichungssysteme I
3.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Äquivalenz von Matrizen . .
3.1.2 Der Gauß-Algorithmus . . .
3.2 Lösung linearer Gleichungssysteme
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4 Klassische algebraische Strukturen
4.1 Strukturen mit einer binären Operation – Halbgruppen, Monoide und Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Die symmetrische Gruppe Sn . . . . . . . . . . . . .
4.2 Algebraische Strukturen mit zwei binären Operationen – Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Der Körper C der komplexen Zahlen . . . . . . . . .
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5 Lineare Gleichungssysteme II
5.1 Determinaten . . . . . . . . . . . . .
5.2 Cramersche Regel zum Lösen linearer
5.3 Berechnung inverser Matrizen . . . .
5.4 Determinantensatz . . . . . . . . . .
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Gleichungssysteme
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5.5
Algebraische Struktur der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Geometrische Deutung der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen im Raum . . . .
5.8 Durchschnitte linearer geometrischer Objekte . . . . . . . .
6 Vektorräume und lineare Abbildungen
6.1 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren . . . . . . . . . .
6.2 Untervektorräume und Basen . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Koordinatendarstellung von Vektoren . . . . . . . . . .
6.4 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Basistransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer linearen Abbildung
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7 Euklidische Räume
7.1 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Schmidtsches Orthonormierungsverfahren . . . . . . . . . .
7.3 Isomorphismen Euklidischer Vektorräume . . . . . . . . . .
7.4 Euklidische affine Räume und Bewegungen . . . . . . . . .
7.4.1 Bewegungen in Ebene und Raum . . . . . . . . . .
7.5 Abstände und Schnittwinkel Euklidischer affiner Teilräume
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Kapitel 1
Einleitung
Der Titel dieser ersten von vier Vorlesungsreihen der Mathematik-Ausbildung
für Informatiker wird von zwei Grunddisziplinen, der Algebra und der Geometrie geprägt.
Klassisches Anliegen der Algebra war das Rechnen mit Buchstabenausdrücken,
insbesondere das Auflösen algebraischer Gleichungen. Daraus entwickelte
sich die moderne Algebra, als die Lehre von den algebraischen Strukturen,
d.h. von Mengen auf denen Operationen und Relationen erklärt sind. Die
allgemeinste Theorie der universellen Algebra, dabei werden keine weiteren
Einschränkungen an die Operationen und Relationen gemacht, wird Ihnen
noch in diesem Semester in der zur theoretischen Informatik zählenden Vorlesungsreihe zur Mengenlehre wieder begegnen.
Eine algebraische Gleichung als das klassische Objekt der Algebra besteht
aus zwei durch ein Gleichheitszeichen getrennte Ausdrücke, die nur mittels
Addition und Multiplikation aus Zahlen und Variablen gebildet sind. Die
Auflösung einer derartigen Gleichung besteht in der Suche nach einer (oder
allen möglichen) Ersetzung(en) der Variablen durch Zahlen, so daß beide Seiten der Gleichung bei Auswertung den gleichen Wert ergeben. Eine Vielzahl
praktischer Probleme läßt sich durch algebraische Gleichungen beschreiben
und lösen.
Nicht zuletzt dadurch kommt den algebraischen Strukturen mit Addition
und Multiplikation, oder allgemeiner den algebraischen Strukturen mit einer
oder zwei binären Operationen, eine besondere Bedeutung zu. Die wichtigsten derartigen Strukturen sind Halbgruppen, Gruppen, Ringe und Körper.
Häufig bezieht sich die Bezeichnung Algebra ohne das Adjektiv “universell”
auf die Untersuchung gerade dieser Strukturen.
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Man unterscheidet die uns hier vorrangig interessierende lineare Algebra, deren Anliegen die Lösung und das Studium linearer Gleichungssysteme ist.
Eine lineare Gleichung zeichnet sich gerade dadurch aus, daß in jedem auftretenden Produkt höchstens ein Faktor Variablen enthalten darf. Läßt man
diese Einschränkung fallen, so gelangt man zur ungleich schwerer beherrschbaren nichtlinearen Algebra, auf die wir nur in sehr speziellen Fällen zu
sprechen kommen werden.
Als zweite mathematische Disziplin interessiert uns die Geometrie, welche ursprünglich als die Lehre vom Raum und den räumlichen Objekten entstand.
Mit der Axiomatisierung der Geometrie löste sich die Theorie immer weiter
von der räumlichen Anschauung ab. Heute können aus den Axiomen der
Geometrie abgeleitete Aussagen über Objekte getroffen werden, die augenscheinlich nicht mehr viel mit den klassischen Vorstellungen zu tun haben.
Unsere Untersuchungen werden auf die klassische Geometrie beschränkt bleiben.
Die analytische Geometrie beschreibt geometrische Objekte mit Hilfe der Koordinatenmethode. Aus dem Schulunterricht ist Ihnen bekannt, wie man die
geometrischen Grundobjekte, Punkte und Gerade, anhand von Ortsvektoren und Gleichungen zwischen den Koordinaten beschreiben kann. Ebenso
führen geometrische Aktionen wie Verschiebungen, Drehungen oder Spiegelungen auf Koordinatenrechnungen. Das Wechselspiel zwischen Geometrie
und Algebra macht man sich ebenso beim Studium komplizierterer geometrischer Objekte nutzbar. Faßt man ein Polynom als Abbildungsvorschrift
einer Funktion auf, dann lassen sich die Nullstellen als Koordinaten von
Punkten deuten. Die algebraische Geometrie beschäftigt sich mit dem Wechselspiel zwischen Mengen von Polynomen und dem geometrischen Ort ihrer
gemeinsamen Nullstellen.
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Kapitel 2
Grundlagen der Mathematik
Will man beim Behandeln eines beliebigen Gebietes der Mathematik über
den naiven Standpunkt hinauskommen, so benötigt man zunächst einiges
Rüstzeug aus Logik und Mengenlehre. Diese beiden in ihrer strengen axiomatischen Form erst in diesem Jahrhundert entwickelten Disziplinen nennt
man auch die Grundlagen der Mathematik. Logik und Mengenlehre sind
für Mathematik und Informatik, und damit auch für jede andere ernsthafte
Wissenschaft, gleichermaßen wichtig. Seien Sie also nicht erstaunt darüber,
daß die Vorlesungen zu den Grundlagen der Mathematik heute der theoretischen Informatik zugeordnet werden. Wenngleich Logik und Mathematik besonders abstrakt erscheinen, so stellen doch gerade sie die wesentliche
Schnittstelle zwischen der materiellen Realität und der abstrakten Welt der
Mathematik dar. Beide Wissenschaften sind daher eng mit philosophischen
Fragestellungen verbunden.
2.1
Logische Symbole und Formeln
Das Anliegen der Mathematik besteht in der Formulierung und dem Beweisen von Aussagen. Dazu bedarf es zunächst einmal einer geeigneten formalisierten Sprache. Warum reicht eine menschliche Sprache nicht immer
aus? Menschliche Sprachen sind zu umständlich, die Formulierung mathematischer Aussagen wird leicht sehr lang und unübersichtlich. Außerdem
besitzen menschliche Sprachen eine Reihe von Mehrdeutigkeiten, deren man
sich beim ersten Blick nicht einmal bewußt ist. Außerdem sind menschliche Sprachen stark kontextabhängig. Betrachten Sie beispielsweise den Satz
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An diesem Treffen nahmen berühmte Frauen und Männer teil. Bezieht sich
berühmt nur auf die Frauen oder auch auf die Männer? Die Antwort ist nicht
klar, die umliegenden Sätze können aber zur Klärung beitragen. Wer sich
für dergleichen Phänomene interessiert, dem empfehle ich den Besuch der
Vorlesungen zur automatischen Sprachverarbeitung in späteren Semestern.
Um diesen Problemen aus dem Wege zu gehen, haben sich die Mathematiker eine eigene kompakte Sprache, die Logik, geschaffen, deren Sätze, d.h.
Formeln, keine Mehrdeutigkeiten zulassen.
Nun ist es nicht so, daß die Mathematiker nur auf dem Niveau der Logik
miteinander komunizieren. Würden Sie ein Mathemtiklehrbuch komplett in
die Logik übertragen, so wäre es für einen Menschen praktisch nicht mehr
zu verstehen. Üblich ist ein Zwischenweg, man formuliert die Theorie in
einer menschlichen Sprache (oft Englisch) und formalisiert nur kurze überschaubare Stücke, nämlich solche wo man eine kurze prägnante Formulierung anstrebt, die jeder Mathematiker sofort überblickt, oder solche wo man
Mehrdeutigkeiten vorbeugen möchte.
Ebenso wollen wir es in dieser Vorlesung halten. Dafür wollen wir jetzt die
notwendige Symbolik und die Erklärung ihrer Bedeutung bereitstellen. Dabei werden wir aber auf einem naiven Niveau verharren, die exakte Theorie
werden Sie in einem späteren Semester in der theoretischen Informatik kennen lernen.
Unter einer Aussage versteht man ein spachliches Konstrukt, welches entweder wahr oder falsch ist. In diesem Sinne sind 3 ist eine Primzahl und 5 ist
größer als 8 Aussagen, die erste ist wahr die zweite falsch. Keine Aussage ist
dagegen a ist Teiler von b, denn der Wahrheitswert dieses Konstrukts hängt
davon ab, für welche Zahlen die Variablen a und b stehen. Bezeichnen die
Variablen A und B Aussagen, so sind auch
(¬A)
(A ∧ B)
(A ∨ B)
(A → B)
(A ↔ B)
nicht A
A und B
A oder B
aus A folgtB
A genau dann, wenn B
Aussagen und der Wahrheitswert der Gesamtaussage läßt sich allein aus den
Wahrheitswerten der Teilaussagen bestimmen. Insbesondere werden keine
inhaltlichen Bezüge zwischen den Teilaussagen A und B verlangt. So ist A∨B
wahr, wenn wenigstens eine der beiden Aussagen A oder B (möglicherweise
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aber auch beide) wahr sind. Sind sowohl A als auch B falsch, so ist auch
A ∨ B falsch.
Die nach den obigen Regeln aus Aussagenvariablen, den Funktoren ¬, ∧, ∨,
→ und ↔ sowie den Klammern gebildeten Zeichenketten1 nennt man aussagenlogische Formeln.
Mittels der aussagenlogischen Formeln lassen sich Beziehungen zwischen Aussagen formulieren und untersuchen. Die Feinstruktur, d.h. die inhaltliche
Bedeutung, der Aussagen selbst bleibt jedoch im Dunkeln, da man auf dem
Grundniveau nur Aussagenvariablen zur Verfügung hat. Diese können wahr
oder falsch sein, eine inhaltliche Bedeutung kommt ihnen aber nicht zu. Um
die Feinstruktur zu beschreiben, muß man zur Prädikatenlogik übergehen.
Dort spiegelt eine elementare Aussage eine Beziehung zwischen Elementen
oder Verknüpfungen von Elementen einer oder mehrerer Mengen wider. Läßt
man anstelle der Elemente auch Variablen für Elemente zu, so gelangt man
zu sogenannten Aussageformen, deren Wahrheitsgehalt noch von der Belegung der Variablen abhängen kann. Ein elementare prädikatenlogische Formel, diese übernimmt nun die Rolle der Aussagenvariablen, hat die Gestalt
P (t1 , . . . , tn ). Dabei sind die t1 , . . . , tn Terme, sie entstehen durch möglicherweise geschachtelte Anwendung von Funktionen auf Elemente und Variablen.
Beispiele für Terme sind 4, x oder (a + 1)3 . P ist ein Prädikatensymbol,
welches eine Beziehung zwischen den Termen t1 , . . . , tn beschreibt. Typische Prädikatensymbole sind <, ≤, =, ≥, > oder auch das Teilbarkeitssymbol
| (man schreibt a | b für a teilt b). Dazu verbleibt anzumerken, daß man
binäre Prädikatensymbole häufig in Infix-Notation verwendet, die Gestalt ist
dann also (t1 P t2 ), oft läßt man die äußeren Klammern auch noch weg.
Aus prädikatenlogischen Formeln kann man durch Anwendung der logischen
Funktoren ¬, ∧, ∨, → und ↔ und durch Quantifizierung weitere prädikatenlogische Formeln bilden. Die Anwendung der logischen Funktoren verläuft
analog zum Aufbau der aussagenlogischen Formeln, aber die elementaren
prädikatenlogischen Formeln übernehmen die Rolle der Aussagenvariablen.
Außerdem kann man durch Quantifizierung vollfreier2 Variablen neue prädikatenlogische Formeln konstruieren. Sei A(x) eine prädikatenlogische Formel,
in der die Variable x vollfrei vorkommt. Man unterscheidet die Generalisie1
Anstelle der Aussagenvariablen können auch auf die obige Weise gebildete Formeln in
die Bildung eingehen.
2
Man sagt, x kommt vollfrei in A vor, wenn x in A frei, aber nicht gebunden vorkommt.
Letzteres heißt, kein Quantor in A darf sich auf die Variable x beziehen.
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rung von x:
(∀x A(x))
für alle x gilt A(x)
und die Partikularisierung von x:
(∃x A(x))
es existiert (mindestens) ein x, für welches A(x) gilt
Zuweilen verwendet man weitere Quantoren, wie ∃! in
(∃!x A(x))
es existiert genau ein x, für welches A(x) gilt
Kommt in einer prädikatenlogischen Formel keine freie Variable mehr vor,
d.h. alle Variablen stehen im Wirkungsbereich eines auf sie bezogenen Quantors, dann ist die durch sie beschriebene Aussageform sogar eine Aussage,
d.h. ihr Wahrheitswert hängt nicht mehr von der Belegung von Variablen
ab. Die Anwendung der Funktoren ¬, ∧, ∨, → und ↔ und der Quantoren
∀ und ∃ kann beliebig geschachtelt werden. Natürlich leidet die Übersichtlichkeit unter der Vielzahl der Klammern, aber vollständiger oder unkontrollierter Verzicht führt zu Mehrdeutigkeiten des Wahrheitswertes. Z.B. darf
man äußere Klammern weglassen, muß sie aber gegebenenfalls wieder hinzufügen, wenn man den Ausdruck in einen komplizierteren Ausdruck einbaut.
Ähnlich der aus der Schulmathematik bekannten Regel “Punktrechnung geht
vor Strichrechnung” legt man auch in der Logik Regeln zur Einsparung von
Klammern fest. So binden die Funktoren ¬, ∧, ∨, → und ↔ von links nach
rechts immer schwächer. Wir vereinbaren, daß die Quantoren schwächer als
alle Funktoren binden. Bei manchen Funktoren hängt der Wert des zusammengesetzten Ausdrucks gar nicht von der Klammerung ab, auch dann kann
man darauf verzichten. Dabei handelt es sich um die assoziativen Funktoren ∧ und ∨. Bei aufeinanderfolgenden Quantoren oder Negationen ist
überhaupt nur eine Klammerung sinnvoll, also kann man auch dort auf die
Klammersetzung verzichten. Klammern, deren Weglassen zu Mehrdeutigkeiten führen würde, müssen gesetzt werden. So ist die Implikation nicht
assoziativ und bei mehreren aufeinanderfolgenden Pfeilen ist eine Klammersetzung unumgänglich.
Aber es besteht keineswegs die Pflicht, alle anderen Klammern wegzulassen. Im Zweifelsfall ist man auf der sicheren Seite und oft erhöht es das
Verständnis, wenn man einige strukturprägende Klammern setzt, obwohl sie
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weggelassen werden dürften. Zum Beispiel sind folgende Interpretationen
vorzunehmen:
A∧B∨C
∀x A ∧ ∃yB
∃x A → B
A∧B∧C
¬¬A
=
b
=
b
=
b
=
b
=
b
(A ∧ B) ∨ C
∀x (A ∧ (∃yB))
∃x (A → B)
A ∧ (B ∧ C) oder (A ∧ B) ∧ C
¬(¬A)
Schließlich sei noch angemerkt, daß die Regeln zum Weglassen der Klammern
nicht in jedem Buch auf die gleiche Weise festgelegt seien müssen. Insbesondere die Regeln im Zusammenhang mit den Quantoren sind durchaus auch
anders anzutreffen. Im Zweifelsfalle sollte man immer nach den Festlegungen
suchen, die im entsprechenden Buch erwähnt werden.
Übungen zur Selbstkontrolle
1. Welche der folgenden Sätze sind Aussagen?
(a) Am 31.12.1999 um 13 Uhr wird es auf dem Leipziger Marktplatz
schneien.
(b) Lauf langsamer!
(c) x ist gerade und x + 1 ist ungerade.
(d) Wenn 3 durch 5 teilbar ist, dann ist 24 eine Primzahl.
(e) Wenn 15 ein Vielfaches der Summe von 3 und 2 ist, dann ist die
Differenz von 19 und 8 größer als 7.
(f) Wie komme ich zum Bahnhof?
(g) Für alle natürlichen Zahlen x gilt, wenn x gerade ist, so ist x durch
2 teilbar.
(h) Vielen wird es besser gehen.
2. In den folgenden aussagenlogischen Formeln sind gemäß unserer Vereinbarungen Klammern weggelassen wurden. Setzen Sie die weggelassenen
Klammern wieder ein und stellen Sie den Wahrheitwert der Aussagen
fest, wenn A und C für wahre sowie B und D für falsche Aussagen
stehen.
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(a) A ∨ B ∧ C ∨ D
(b) A ∧ B ∨ C ∧ D
(c) ¬A ∧ C
(d) A ∧ B → D ∨ ¬D
3. Welche der folgenden Zeichenketten sind (unter Berücksichtigung der
eingführten Regeln zum Weglassen von Klammern) prädikatenlogische
Formeln? Bei welchen der Formeln handelt es sich um eine Aussage
und bei welchen um eine Aussageform? Geben Sie für jede Formel
die Mengen der in ihr auftretenden freien, gebundenen und vollfreien
Variablen an.
(x, y, a, b, bezeichnen Variablen für Elemente des Grundbereichs, P , Q,
<, >, | sind Prädikatensymbole.)
(a) P (x) ∨ (x > 3) ∨ (x = 3)
(b) (b < a) → (a < b) → (b < a)
(c) ∀a (2 | a) → ¬(2 | (a + 1))
(d) ∀x (P (x) ∨ ∃y ¬Q(x, y))
(e) (∃x (3 | x)) ↔ (∀y ¬Q(x, y))
(f) ∀y (x < y) ∨ ∀y (x < y)
(g) (∀y (x < y)) ∨ (∀y (x < y))
2.2
Mengenoperationen
Der grundlegenste Begriff der Mathematik ist der der Menge. In der theoretischen Informatik erhalten Sie zur Zeit eine Einführung in die axiomatische
Mengenlehre, uns soll hier eine naive Vorstellung genügen. Wir nehmen an,
es gibt ein Universum3 U aller uns interessierenden Objekte. Als Menge
bezeichnen wir dann eine Zusammenfassung gewisser Objekte aus dem Universum, diese werden die Elemente der Menge genannt. Ist a zur Menge
M gehöriges Objekt aus U , so schreibt man a ∈ M . Ist a ein Objekt aus
U , welches nicht zu M gehört, so drückt man das durch die Schreibweise
a∈
/ M aus. Da wir das Universum selbst als Menge vereinbart haben, gilt
3
Manchmal spricht man auch von der Allmenge.
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∀a (a ∈ U ). Faßt die Menge M gerade die Objekte a1 , . . . , am des Universums zusammen, so schreiben wir dafür M = {a1 , . . . , am }. Ist M Zusammenfassung unendlich vieler Objekte, so ist eine einfache Aufzählung aller
Elemente nicht mehr möglich. Kann man aber die Elemente von M dadurch
auszeichnen, daß sie eine Bedingung B(x) erfüllen, welche von allen nicht zu
M gehörigen Objekten des Universums nicht erfüllt wird, so schreibt man
M = {x ∈ U : B(x)} oder, wenn das zugrundeliegende Universum klar
ist, einfach M = {x : B(x)}. Den Sachverhalt M = {x : B(x)} kann
man auch durch die Formel ∀x (x ∈ M ←→ B(x)) beschreiben. Die Bedingung B(x) kann auch einfach in deutscher Sprache formuliert werden, z.B.
M = {x : x ist eine Primzahl}, wobei die Menge der natürlichen Zahlen als
Universum dient.
Mittels der speziellen Bedingung x 6= x definieren wir die Menge
∅ := {x : x 6= x} .
Da jedes Objekt zu sich selbst gleich ist, gilt ∀x ∈ U (x ∈
/ ∅). Die sodefinierte
Menge ∅ wird leere Menge genannt.
Zwei Mengen M und N sind per definitionem genau dann gleich, wenn sie
die gleichen Objekte umfassen, d.h.
M = N :⇐⇒ ∀a (a ∈ M ↔ a ∈ N ) .
Aus dieser Gleichheitsdefinition folgt, daß die Elemente einer Menge weder
einer Ordnung (einer Reihenfolge) unterliegen, noch mehrfach in die Menge
eingehen können.
So überprüft man nach der obigen Gleichheitsdefinition, daß {a, b, a}, {b, a}
und {a, b} drei verschiedene Schreibweisen für die gleiche Menge sind. Ebenso beschreiben {x ∈ N : x ist eine einstellige ungerade Primzahl}, {x :
x ist eine natürliche Zahl zwischen 2 und 8, welche nicht durch 2 teilbar ist}
und {3, 5, 7} die gleiche Menge. Man beachte die Ungleichheit ∅ =
6 {∅}, denn
es gilt ∅ ∈ {∅} aber ∀x (x ∈
/ ∅), also insbesondere auch ∅ ∈
/ ∅.
Eine Menge N wird als Teilmenge der Menge M (symbolisch N ⊆ M ) bezeichnet, wenn jedes Element von N auch zu M gehört, d.h.
N ⊆ M :⇐⇒ ∀a (a ∈ N → a ∈ M ) .
Für jede Menge M gilt ∅ ⊆ M , denn für N = ∅ ist die linke Seite der
Implikation für jedes Objekt a des Universums falsch und folglich ist die
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Gesamtimplikation unabhängig vom Wahrheitswert der rechten Seite immer
wahr. Auf änliche Weise weist man N ⊆ U für beliebiges N nach, denn
für M = U wird die rechte Seite der Implikation für jedes Objekt a des
Universums U wahr.
Sind M und N Mengen, dann ist auch die Gesamtheit der Elemente von M
und N eine Menge, welche Vereinigung M ∪ N von M und N genannt wird.
In mathematischer Notation sieht die Definition wie folgt aus
M ∪ N := {x : x ∈ M ∨ x ∈ N } .
Analog zur Vereinigung definiert man den Durchschnitt M ∩ N als die Gesamtheit aller zu beiden Mengen gehörigen Objekte, d.h.
M ∩ N := {x : x ∈ M ∧ x ∈ N }
ein. Die Mengendifferenz M \ N ergibt sich als
M \ N := {x : x ∈ M ∧ x ∈
/ N} .
Die spezielle Mengendifferenz U \ M besteht aus allen Objekten des Universum, welche nicht der Menge M angehören, man nennt sie auch Komplement
von M (bezüglich U ) und bezeichnet sie mit M .
Wichtige Rechenregeln für Mengenoperationen sind:
1. (M ∪ N ) ∪ K = M ∪ (N ∪ K) Assoziativgesetz der Vereinigung
2. M ∪ N = N ∪ M Kommutativgesetz der Vereinigung
3. M ∪ ∅ = M , M ∪ U = U
4. (M ∩ N ) ∩ K = M ∩ (N ∩ K) Assoziativgesetz des Durchschnitts
5. M ∩ N = N ∩ M Kommutativgesetz des Durchschnitts
6. M ∩ ∅ = ∅, M ∩ U = M
7. (M ∪ N ) ∩ M = M , (M ∩ N ) ∪ M = M Verschmelzungsgesetze
8. (M ∪ N ) ∩ K = (M ∩ K) ∪ (N ∩ K),
(M ∩ N ) ∪ K = (M ∪ K) ∩ (N ∪ K) Distributivgesetze
9. M = M
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10. M ∪ N = M ∩ N , M ∩ N = M ∪ N DeMorgansche Regeln
Beweis: Exemplarisch wollen wir das erste Distributivgesetz aus Punkt 8.
beweisen. Dazu führen wir die Bezeichnungen L := (M ∪ N ) ∩ K und R :=
(M ∩ K) ∪ (N ∩ K) für die Mengen der linken beziehungsweise rechten Seite
der Gleichung ein. L und R sind genau dann gleich, wenn L ⊆ R und R ⊆ L
gelten. Beginnen wir also mit dem Beweis von L ⊆ R. Dazu muß gezeigt
werden, daß jedes Element x ∈ L auch Element von R ist.
Für alle x des Universums gilt x ∈ L =⇒ x ∈ (M ∪ N ) ∧ x ∈ K =⇒
(x ∈ M ∨x ∈ N )∧x ∈ K =⇒ (x ∈ M ∧x ∈ K)∨(x ∈ N ∧x ∈ K). Der letzte
Schritt entspricht der Anwendung des entsprechenden Distributivgesetzes der
Funktoren ∧ und ∨ der Logik. Dieses läßt sich mittels Wertetabelle einfach
nachrechnen. Wir setzen nun die obige Schlußkette fort. (x ∈ M ∧ x ∈
K) ∨ (x ∈ N ∧ x ∈ K) =⇒ (x ∈ M ∩ K) ∨ (x ∈ N ∩ K) =⇒ x ∈ (M ∩ K) ∪
(N ∩ K) = R. Also folgt L ⊆ R. Auf analoge Weise zeigt man die zweite
Inklusion R ⊆ L und die behauptete Gleichheit folgt.
Die restlichen Beweise verbleiben zur Übung, siehe auch Übungsaufgabe 4 2
Das Grundprinzip, Gesetze der Mengenlehre auf entsprechende Sätze der
Aussagenlogik zurückzuführen, führt häufig zum Erfolg. Den Grund dafür
werden Sie besser verstehen, wenn Sie in der theoretischen Informatik Boolsche Verbände untersuchen. Ohne auf diese Ursachen einzugehen, sei aber der
Vorzug dieser Vorgehensweise hervorgehoben. Während eine Mengenvariable sehr viele Mengen als Wert annehmen kann4 , können Aussagenvariablen
nur die Werte wahr oder falsch annehmen. Ein Beweis in der Aussagenlogik erfordert daher nur das Nachrechnen endlich vieler Möglichkeiten, zum
Beispiel durch Aufstellen einer Wertetabelle.
Unter der Potenzmenge Pow(M ) versteht man die Menge aller Teilmengen
von M , also
Pow(M ) := {N : N ⊆ M } .
Hier stoßen wir auf eine Menge, deren Elemente ebenfalls Mengen sind. Stellt
man sich das Universum als eine flache Menge atomarer Objekte vor, z.B.
U = N, dann führt das zu Verständnisproblemen. Leider liegt das Problem
viel tiefer, als uns lieb sein kann, denn nimmt man formal beliebige Mengen, Mengen von Mengen, usw. in das Universum auf, dann stellt man sich
schließlich die Frage, ob denn das Universum U selbst zu U gehören soll,
und man kommt in große Schwierigkeiten. In der Tat sind wir hier bei einer
4
Welche und wieviele hängt noch dazu vom Universum ab.
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Fundamentalkrise angelangt, in die die Mathematik zu Beginn dieses Jahrhunderts geriet. Die axiomatische Mengenlehre schuf schließlich einen Ausweg, dabei muß allerdings in letzter Konsequenz die Existenz von Unmengen
in Kauf genommen werden. Gerade das Universum ist dann im allgemeinen
eine solche Unmenge. Wir werden die Schachtelung von Mengen nicht beliebig weit in die Tiefe treiben, daher reicht für uns ein Mengenuniversum aus
welches tatsächlich alle uns interessierenden Objekte, wenn auch nicht alle
konstruierbaren, enthält.
Das Kreuzprodukt, oder kartesische Produkt, M × N zweier Mengen M und
N ist die Menge aller geordneten Paare5 (a, b) mit a ∈ M und b ∈ N , also
M × N := {(a, b) : a ∈ M und b ∈ N } .
Zwei geordnete Paare (a, b), (c, d) ∈ M × N sind genau dann gleich, wenn
a = c und b = d gelten. Selbst im Falle M = N ist also die Reihenfolge der
Komponenten eines Paares von entscheidender Bedeutung. Haben M und
N einen nichtleeren Durchschnitt, so können erste und zweite Komponente
natürlich auch übereinstimmen. Im Gegensatz zu Mengen ist das Weglassen
einer Komponente des Paares dennoch nicht erlaubt.
Analog führt man das Kreuzprodukt endlich vieler Mengen M1 , . . . , Mk als
Menge
M1 × M2 × · · · × Mk := {(a1 , a2 , . . . , ak ) : a1 ∈ M1 , a2 ∈ M2 , . . . , ak ∈ Mk }
geordneter k-Tupel ein. Per definitionem sei das Kreuzprodukt M1 × M2 ×
· · · × Mk für k = 0 die leere Menge und für k = 1 gleich M1 .
M1 × M2 × M3 ließe sich auch als (M1 × M2 ) × M3 definieren. Dazu wäre die
vorhandene Definition des Falles k = 2 bereits ausreichend. Diese Definition
könnte rekursiv auf beliebige natürliche Zahlen k ≥ 2 fortgesetzt werden. Das
Tripel (a, b, c) wäre dann aber genau genommen als geordnetes Paar ((a, b), c)
anzusehen. Außerdem ist das Kreuzprodukt kein assoziativer Operator und
M1 × M2 × M3 wäre dann von M1 × (M2 × M3 ) zu unterscheiden.
5
An dieser Stelle wird der Begriff des geordneten Paares im Vertrauen auf das Vorstellungsvermögen des Lesers nicht mathematisch genau gefaßt. Eine exakte Definition über
die axiomatische Mengenlehre, z.B. durch (a, b) := {{a, b}, {a}}, erfolgt im Grundkurs
zur theoretischen Informatik. Man beachte, auch jetzt müssen wir wieder fordern, daß
der neue Objekttyp der geordneten Paare zum Universum gehört. Betrachtet man die
Mengendarstellung eines geordneten Paares, so stellt aber diese Annahme keinen weiteren
qualitativen Sprung im Vergleich zur Potenzmenge mehr dar.
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Aus diesem Grund ziehen wir hier die explizite Definition des k-fachen Kreuzproduktes vor und nehmen darüberhinaus die Gültigkeit von (M1 ×· · ·×Mr )×
(Mr+1 × · · · × Mk ) = M1 × · · · × Mk für alle 1 ≤ r ≤ k an.
Im Falle der Gleichheit aller Faktoren M1 = . . . = Mk =: M schreibt man
auch kürzer M k := M
× · · · × M}. Gemäß unserer Festlegungen gelten
| × M {z
k Faktoren
M 0 = ∅ und M 1 = M .
2.3
Binäre Relationen
Ganz allgemein versteht man unter einer Relation R eine Teilmenge eines
Kreuzproduktes R ⊆ M1 × M2 × · · · × Mk . k heißt die Stelligkeit der Relation. Relationen besitzen eine große Bedeutung in der praktischen Informatik,
denn ihre Theorie stellt eine der wesentlichen Grundlagen der Datenbanken
dar. In diesem Sinne sind die Elemente von R Datensätze, deren einzelnen
Komponenten geordnet und getypt sind. Die Typung kommt in den unterschiedlichen Mengen Mi zum Ausdruck. Ein typisches Beispiel wäre eine
Relation R ⊂ N atZahl × Buchstabenf olge × Buchstabenf olge × Datum ×
Adresse zur Führung einer Studentenkartei. Für (n, w, v, d, a) ∈ R soll n
die Matrikelnummer, w der Name, v der Vorname, d das Geburtsdatum und
a die Anschrift eines Studenten sein. Als angehenden Informatikern sollte
Ihnen sofort klar sein, daß die Typung der Relation bei der Syntaxkontrolle
zur Eingabezeit von entscheidender Bedeutung ist.
In der Logik stießen wir auf den Begriff des Prädikatensymbols. Die Bedeutung eines k-stelligen Prädikatensymbols ist eine k-stellige Relation. Typische Beispiele für Relationen sind also beispielsweise <, ≤, =, ≥, >, |.
Aus mathematischer Sicht sind die binären Relationen R ⊆ M × M über
einer Menge M besonders interessant, alle obigen Beispiele sind von dieser
Bauart. Anstelle von (a, b) ∈ R verwendet man in Anlehnung an die obigen
Beispiele häufig die kompaktere Infixschreibweise aRb.
Für binäre Relationen mit ausgewählten Eigenschaften führt man spezielle
Begriffe ein:
Definition 1 Sei M eine Menge und R ⊆ M 2 eine binäre Relation über M .
R heißt
• reflexiv, falls ∀a ∈ M aRa,
• irreflexiv, falls ∀a ∈ M ¬(aRa),
14
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• symmetrisch, falls ∀a, b ∈ M (aRb → bRa),
• antisymmetrisch, falls ∀a, b ∈ M (aRb ∧ bRa → a = b),
• asymmetrisch, falls ∀a, b ∈ M (aRb → ¬(bRa)),
• vollständig, falls ∀a, b ∈ M (aRb ∨ a = b ∨ bRa),
• transitiv, falls ∀a, b, c ∈ M (aRb ∧ bRc → aRc).
Kombination dieser Eigenschaften führt uns auf die Definition zweier Klassen
besonders bedeutsamer Relationen, auf die wir immer wieder stoßen werden.
Definition 2 Ein reflexive, symmetrische und transitive binäre Relation R
über einer Menge M nennt man Äquivalenzrelation.
Ein Beispiel für eine Äquivalenzrelation ist die Gleichheit = über einer beliebigen Menge M . Aber auch die durch a ≡n b :⇐⇒ n | (a − b) definierte
Relation ≡n ⊆ Z × Z über den ganzen Zahlen ist für jedes feste n > 0 eine
Äquivalenzrelation.
Definition 3 Eine reflexive, antisymmetrische und transitive binäre Relation R wird als reflexive Halbordnung bezeichnet.
Unter einer irreflexiven Halbordnung versteht man eine asymmetrische, transitive binäre Relation R.
Eine vollständige6 reflexive oder irreflexive Halbordnung heißt auch einfach
reflexive oder irreflexive Ordnung.
Reflexive Halbordnungen sind ≤ oder ≥ über den (z.B.) reellen Zahlen oder
die Teilmengenbeziehung ⊆ über der Potenzmenge einer Menge M . Während
≤ und ≥ sogar Ordnungen sind, ist ⊆ in der Tat nicht vollständig. Zum Beispiel gilt für zwei Einermengen {a} und {b} mit a 6= b keine der geforderten
Beziehungen {a} ⊆ {b}, {a} = {b} oder {b} ⊆ {a}. Ein eher exotisches
Beispiel einer reflexiven Halbordnung ist die Gleichheit = über einer Menge.
Entsprechend sind <, > und ⊂ über den entsprechenden Mengen Beispiele
für irreflexive Halbordnungen. Ähnlich zu oben, sind < und > vollständig,
⊂ jedoch nicht.
6
In Verbindung mit Halbordnungen verwendet man anstelle von vollständig auch den
Begriff linear.
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Übungen zur Selbstkontrolle
4. Beweisen Sie eine der DeMorganschen Regeln und eines der Verschmelzungsgesetze für Mengen.
5. Die symmetrische Differenz A4B zweier Mengen A und B ist als die
Menge A4B := (A \ B) ∪ (B \ A) definiert. Stellen Sie die Menge
(A4B)4C nur unter Verwendung von Vereinigung, Durchschnitt und
Komplement dar und beweisen die das Assoziativgesetz (A4B)4C =
A4(B4C) der symmetrischen Differenz.
6. Eine Menge N nichtleerer, paarweise disjunkter Teilmengen von M
deren Vereinigung gleich der Menge M ist, nennt man eine Zerlegung
von M . In formalisierter Form kann eine Zerlegung N von M wie folgt
beschrieben werden:
N ⊆ Pow(M )
∀K ∈ N : (K 6= ∅)
∀K, K 0 ∈ N : (K = K 0 ∨ K ∩ K 0 = ∅)
[
K = M
K∈N
Durch
a ∼N b :⇐⇒ ∃K ∈ N (a ∈ K ∧ b ∈ K)
kann man einer Zerlegung N eine binäre Relation ∼N ⊆ M 2 zuordnen.
(a) Beweisen Sie, daß ∼N eine Äquivalenzrelation ist.
(b) Gegeben sei eine beliebige Äquivalenzrelation ≡. Konstruieren
Sie eine Zerlegung N≡ von M derart, daß die von ihr beschriebene
Äquivalenzrelation ∼N≡ mit ≡ übereinstimmt.
2.4
Korrespondenzen und Abbildungen
Um Beziehungen zwischen den Elementen zweier Mengen zu charakterisieren, führt man den Begriff der Korrespondenz ein. Sei A die Menge der
anwesenden Studenten und B die Menge der Stühle in diesem Hörsaal. Offensichtlich korrespondieren A und B durch die Beziehung, wer auf welchem
Stuhl sitzt, zueinander. Ebenso korrespondiert jede natürliche Zahl n ∈ N
vermöge n 7→ m = n2 zu einer Quadratzahl m ∈ {0, 1, 4, 9, . . . }.
16
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Definition 4 Eine Korrespondenz f : A → B aus der Menge A in die Menge
B besteht aus dem Vorbereich A, dem Nachbereich B und einer Abbildungsf
vorschrift A 3 a 7→ b ∈ B zur Beschreibung, welche Elemente aus A mit
welchen Elementen aus B korrespondieren.
Eine Korrespondenz f : A → B aus A in B nennt man auch eine Korrespondenz
• von A in B, falls zu jedem Element a ∈ A wenigstens ein Element
f
b ∈ B mit a 7→ b existiert,
• aus A auf B, falls zu jedem Element b ∈ B wenigstens ein Element
f
a ∈ A mit a 7→ b existiert,
• von A auf B, falls f sowohl Korrespondenz von A in B als auch Korrespondenz aus A auf B ist.
f
Gibt es zu jedem a ∈ A höchstens ein b ∈ B mit a 7→ b, dann heißt die
Korrespondenz f : A → B eindeutig.
Eine eindeutige Korrespondenz f : A → B von A in B wird Abbildung (oder
Funktion) von A in B genannt.
Durch die hier verwendete Darstellungsweise der Abbildungsvorschrift erhalten Korrespondenzen und Abbildungen einen dynamischen Charakter, was
der Intuition entgegenkommt. Der Nachteil besteht darin, daß etwas im Dunkeln bleibt, was eigentlich eine Abbildungsvorschrift ist. Versuchen wir also
im Nachhinein eine Präzisierung. Dazu führen wir den Graph der Korrespondenz f : A → B als die Menge
f
Graph(f ) := {(a, b) ∈ A × B : a 7→ b}
ein, Graph(f ) ist eine binäre Relation aus A×B. Dann beschreibt das Tripel
(A, B, Graph(f )) die Korrespondenz f vollständig und unmißverständlich.
Durch den Graphen haben wir jeder Korrespondenz eine binäre Relation zugeordnet. Umgekehrt kann man auch jede binäre Relation R ⊆ A × B als
Graph einer Korrespondenz aus A in B deuten. Der einzige Unterschied
zwischen Korrespondenz und binärer Relation besteht darin, daß die Korrespondenz den dynamischen und die Relation den statischen Charakter des
Objektes hervorhebt. Aus mathematischer Sicht sind beide Konzepte jedoch
gleich.
17
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Aus streng axiomatischer Sicht ist der Zugang über die Relationen zu bevorzugen, da damit die Unschärfe der Abbildungsvorschrift beseitigt wird.
Allerdings sollte man nicht soweit gehen und eine Korrespondenz einfach mit
ihrem Graphen identifizieren. Denn bereits die Frage, ob eine Korrespondenz
von A oder auf B vorliegt, ist aus der Menge Graph(f ) allein nicht mehr
erkennbar. Betrachten wir zum Beispiel den Graphen {(0, 2), (1, 1), (2, 0)}.
Gilt A = B = {0, 1, 2}, so handelt es sich um eine Korrespondenz, genauer
sogar um eine Abbildung, von A auf B. Gilt dagegen A = B = N, so liegt keine Abbildung mehr vor und es handelt sich nur noch um eine Korrespondenz
aus A in B.
f
Definition 5 f : A → B sei eine Korrespondenz aus A in B. Gilt a 7→ b,
so nennt man b ein Bild von a und a ein Urbild von b. Die Menge aller
Urbilder von b ∈ B nennt man das vollständige Urbild von b.
Die Teilmenge der Elemente von A, die wenigstens ein Bild besitzen nennt
man den Definitionsbereich
f
Def(f ) := {a ∈ A : ∃b ∈ B a 7→ b}
von f . Entsprechend heißt die Teilmenge
f
Bild(f ) := {b ∈ B : ∃a ∈ A a 7→ b}
der Bildbereich von f .
Ist f sogar eine Abbildung, so besitzt jedes Element a ∈ A genau ein Bild
und es ist üblich, dafür f (a) zu schreiben. Für Korrespondenzen verwendet
man diese Schreibweise gelegentlich ebenfalls, allerdings ist f (a) dann als die
Menge aller Bilder von a zu verstehen. In diesem Sinne ist die Schreibweise
f −1 (b) für das vollständige Urbild von b ∈ B üblig.
Vorsicht mit diesen Vereinbarungen ist allerdings bei Abbildungen geboten,
denn dann ist f (a) = b im Sinne der Abbildung ein Element von B, nämlich
f
das eindeutig bestimmte b ∈ B mit a 7→ b, aber im Sinne der Korrespondenz7
gilt f (a) = {b}.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten der Veranschaulichung der Abbildungsvorschrift einer Korrespondenz. Ist der Graph endlich, so kann man die zu
7
Gemäß Definition ist jede Abbildung erst recht eine Korrespondenz.
18
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ihm gehörigen Paare explizit angeben oder eine graphische Darstellung der
Gestalt
verwenden. Die Blasen stellen Vor- und Nachbereich dar, die Punkte deren
Elemente und die Pfeile die Zuordnungsvorschrift. Abbildungen zeichnen
sich in dieser Veranschaulichung gerade dadurch aus, daß von jedem Punkt
des Vorbereichs genau ein Pfeil startet.
Bei den Ihnen aus der Schule geläufigen Funktionen, besteht die Abbildungsvorschrift in einer Formel zur Berechnung des Bildes, z.B. entspricht
f
y = f (x) = sin(x) der Abbildungsvorschrift x 7→ sin(x). Weitere Möglichkeiten sind das Aufstellen einer Wertetabelle oder die geometrische Veranschaulichung des Graphen.
Zwei Korrespondenzen f : A → B und g : B → C können zu einer Korrespondenz f ◦ g : A → C verkettet werden8 . Vor- und Nachbereich sind A
beziehungsweise C, die Abbildungsvorschrift lautet
f ◦g
f
g
a 7→ c :⇐⇒ ∃b ∈ B (a 7→ b ∧ b 7→ c) .
Darüberhinaus kann man jeder Korrespondenz f : A → B ihre Umkehrkorrespondenz f −1 : B → A zuordnen, deren Abbildungsvorschrift ist
f −1
f
b 7→ a :⇐⇒ a 7→ b .
8
Anstelle der Schreibweise f ◦g wird in manchen Büchern auch g ◦f verwendet. Das hat
den Vorteil, daß für Abbildungen f und g die Gleichheit (g ◦f )(x) = g(f (x)) gilt. Dagegen
hat die hier gewählte Schreibweise den Vorteil, daß die Abbildungen hintereinander in der
in unserem Kulturkreis üblichen Lesereihenfolge von links nach rechts angewandt werden.
Ein gutes Buch wird, sofern es derartige Verkettungen benötigt, immer eine verbindliche
Vereinbarung über die Schreibweise treffen. Diese ist gegebenfalls zu beachten.
19
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Zu jeder Menge A kann man die Korrespondenz idA : A → A mit der Abbildungsvorschrift
id
a 7→A b :⇐⇒ a = b
definieren. Diese Korrespondenz ist sogar eine Abbildung und man nennt sie
üblicherweise die identische Abbildung von A.
Satz 1 Für alle Korrespondenzen f : A → B, g : B → C und h : C → D
gelten
i) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h),
ii) f ◦ idB = f und idA ◦ f = f .
Beweis: i) Zunächst überzeugt man sich leicht von (f ◦ g) ◦ h : A → D und
f ◦ (g ◦ h) : A → D, also reicht es die Gleichheit der Abbildungsvorschriften
zu überprüfen.
Seien a ∈ A und d ∈ D so, daß a
f ◦g
a 7→ c und
(f ◦g)◦h
7→
d. Dann existiert ein c ∈ C mit
h
c 7→ d .
(2.1)
Weiter ergibt sich die Existenz eines b ∈ B mit der Eigenschaft
f
a 7→ b
(2.2)
und
g
b 7→ c .
(2.3)
g◦h
Aus (2.3) und (2.1) schließt man auf b 7→ d und mittels (2.2) ergibt sich
f ◦(g◦h)
weiter a 7→ d.
f ◦(g◦h)
(f ◦g)◦h
Analog zeigt man, daß a 7→ d auch a 7→ d impliziert.
ii) verbleibt zur Übung.
2
Die Schreibweise der Umkehrabbildung mag f ◦ f −1 = idA und f −1 ◦ f = idB
suggerieren. Beide Gleichungen treffen jedoch im Allgemeinen nicht zu. So
gilt für die f (n) = n2 genügende Abbildung f : N → N zwar die Gleichheit f ◦
f −1 = idN , nicht jedoch die Gleichheit f −1 ◦ f = idN , denn 2 ∈ Def(idN ) aber
20
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2∈
/ Def(f −1 ◦f ). Wir haben aber wenigstens noch die Inklusion Graph(f −1 ◦
f ) ⊂ Graph(idN ) der Graphen. Schlimmer wird es für die Abbildung f : Z →
Z mit gleicher Abbildungsvorschrift f (a) = a2 . In diesem Falle gelten weder
f ◦f −1
f ◦ f −1 = idZ noch f −1 ◦ f = idZ , beispielsweise haben wir a 7→ −a für alle
a ∈ Z.
Definition 6 Eine Abbildung f : A → B wird injektiv (oder auch eineindeutig) genannt, wenn jedes Element von B höchstens ein Urbild besitzt.
Eine Abbildung f : A → B von A auf B nennt man surjektiv.
Ist die Abbildung f : A → B sowohl injektiv als auch surjektiv, so spricht
man auch von einer bijektiven Abbildung.
Satz 2 Für Abbildungen f : A → B und g : B → C gelten die folgenden
Aussagen:
i) sind f und g injektiv, so ist auch f ◦ g injektiv,
ii) sind f und g surjektiv, so ist auch f ◦ g surjektiv,
iii) sind f und g bijektiv, so ist auch f ◦ g bijektiv,
iv) die Umkehrkorrespondenz f −1 ist genau dann eine Abbildung, wenn f
bijektiv ist, darüberhinaus ist f −1 dann sogar ebenfalls bijektiv,
v) ist f injektiv, so gilt f ◦ f −1 = idA ,
vi) ist f surjektiv, so gilt f −1 ◦ f = idB ,
vii) ist f bijektiv, so gelten f ◦ f −1 = idA und f −1 ◦ f = idB .
Beweis: i) Sei c ∈ Bild(f ◦ g) ein beliebiges Element des Bildbereiches der
Verkettung und a, a0 ∈ A zwei Urbilder von c bei der Abbildung f ◦ g, also
f ◦g
f ◦g
f
a 7→ c und a0 7→ c. Folglich existieren Elemente b und b0 aus B mit a 7→ b,
g
f
g
b 7→ c sowie a0 7→ b0 , b0 7→ c. Insbesondere erkennt man, daß b und b0 zum
vollständigen Urbild von c bei der Abbildung g gehören. Da diese als injektiv
vorausgesetzt wurde, folgt b = b0 . Dann sind aber a, a0 zwei Urbilder von b
bei der ebenfalls als injektiv vorausgesetzten Abbildung f , daher müssen sie
gleich sein. Damit haben wir gezeigt, daß das vollständige Urbild von c bei
der Verkettung f ◦ g nur aus einem einzigen Element besteht. Also ist f ◦ g
injektiv.
21
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ii) Zu zeigen ist Bild(f ◦ g) = C. Zu jedem c ∈ C existiert wegen der
g
Surjektivität von g ein b ∈ B mit b 7→ c. Aufgrund der Surjektivität von f
f
f ◦g
existiert dann ein a ∈ A mit a 7→ b. Daraus ergibt sich aber a 7→ c, also
c ∈ Bild(f ◦ g) und wir sind fertig.
iii) folgt sofort aus i) und ii).
iv) - vii) Übungsaufgabe 7.
2.5
2
Algebraische Strukturen
Definition 7 Sei M eine Menge. Unter einer k-stelligen Operation ◦ auf
M versteht man eine Abbildung ◦ : M k → M . Im Falle von k = 1 spricht
man auch von einer unären und im Falle k = 2 von einer binären Operation.
Zu einer 0-stellige Operation sagt man Konstante.
Gemäß Definition ist eine Konstante c : M 0 → M eine Abbildung mit leerem
Vorbereich, man faßt c als ein ausgezeichnetes Element von M auf.
Definition 8 Eine (homogene9 ) algebraische Struktur M = (M ; f1 , . . . , fn ;
R1 , . . . , Rm ) ist ein geordnetes Tupel bestehend aus einer nichtleeren Trägermenge M , Operationen f1 , . . . , fn über M und Relationen R1 , . . . , Rm über
M . Das (n + m)Tupel (r1 , . . . , rn ; q1 , . . . , qm ) der Stelligkeiten der Operationen und Relationen wird Typ von M genannt.
Die Verwendung der Semikolon anstelle von Kommata dient ausschließlich
der Übersichtlichkeit der Schreibweise. Wenn Operationen und Relationen
aus dem Kontext heraus klar sind, bezeichnet man algebraische Struktur und
Trägermenge der Einfachheit halber mit dem gleichen Symbol.
Ein Beispiel einer algebraischen Struktur ist N = (N; +, ∗, 0; =, ≤), also die
natürlichen Zahlen mit den binären Operationen Addition und Multiplikation, der Konstanten 0, der (binären) Gleichheitsrelation = und der (binären)
Ordnungsrelation ≤. Der Typ der soeben eingeführten algebraischen Struktur N ist (2, 2, 0; 2, 2). Mit dem Symbol N bezeichnet man üblicherweise die
9
Man kann auch sogenannte inhomogene algebraische Strukturen betrachten. Bei diesen hat man es mit einer endlichen Familie von Trägermengen zu tun. Operationen und
Relationen treten dann ebenfalls in der allgemeinen Form auf. Damit reicht die Angabe
der Stelligkeiten im Typ nicht mehr aus. Stattdessen führt man sogenannte Signaturen
ein.
22
Preliminary version – 8. Januar 2002
bloße Menge der natürlichen Zahlen ebenso wie die Menge gemeinsam mit
Operationen und Relationen.
Definition 9 M = (M ; f1 , . . . , fn ; R1 , . . . , Rm ) und N = (N ; g1 , . . . , gn ;
S1 , . . . , Sm ) seien zwei algebraische Strukturen gleichen Typs (r1 , . . . , rn ;
q1 , . . . , qm ).
Eine Abbildung ϕ : M → N mit den Eigenschaften der Operationstreue
∀a1 , . . . , ari ∈ M ϕ(fi (a1 , . . . , ari )) = gi (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(ari ))
für alle i ∈ {1, . . . , n} sowie der Relationstreue
∀b1 , . . . , bqj ∈ M (b1 , . . . , bqj ) ∈ Rj → ϕ(b1 ), . . . , ϕ(bqj ) ∈ Sj
für alle j ∈ {1, . . . , m} nennt man Homomorphismus von M nach N . Ist
ϕ surjektiv, so heißen ϕ auch Epimorphismus und N ein homomorphes Bild
von M. Für injektives ϕ spricht man von einem Monomorphismus. Ist ϕ
bijektiv und ϕ−1 ebenfalls ein Homomorphismus, so wird ϕ als Isomorphismus
bezeichnet.
Für algebraische Strukturen ohne Relationen, d.h. m = 0, ist jeder bijektive
Homomorphismus ein Isomorphismus.
Satz 3 M = (M ; f1 , . . . , fn ; R1 , . . . , Rm ) und N = (N ; g1 , . . . , gn ; S1 , . . . , Sm )
seien zwei algebraische Strukturen gleichen Typs (r1 , . . . , rn ; q1 , . . . , qm ) und
ϕ : M → N ein Homomorphismus von M nach N .
Die durch
a ≡ϕ b :⇐⇒ ϕ(a) = ϕ(b)
(2.4)
definierte Relation der Bildgleichheit unter ϕ ist eine Äquivalenzrelation.
Darüberhinaus gilt für alle 1 ≤ i ≤ n und a1 , . . . , ari , b1 , . . . , bri die Implikation:
(∀j ∈ {1, . . . , ri } aj ≡ϕ bj ) −→ fi (a1 , . . . , ari ) ≡ϕ fi (b1 , . . . , bri ) .
(2.5)
Beweis: Zum Nachweis der Äquivalenzrelationseigenschaft reicht die Betrachtung der Abbildung ϕ : M → N aus, die Homomorphieeigenschaft wird gar
nicht benötigt. Es ist zu zeigen, daß die binäre Relation ≡ϕ die drei Eigenschaften einer Äquivalenzrelation aufweist.
23
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Reflexivität: Für alle a ∈ M gilt ϕ(a) = ϕ(a), also a ≡ϕ a.
Symmetrie: Für alle a, b ∈ M gilt:
(2.4)
(2.4)
=
a ≡ϕ b ⇐⇒ ϕ(a) = ϕ(b) ⇐⇒ ϕ(b) = ϕ(a) ⇐⇒ b ≡ϕ a
Transitivität: Für alle a, b, c ∈ M gilt:
(2.4)
=
(2.4)
a ≡ϕ b ∧ b ≡ϕ c ⇐⇒ ϕ(a) = ϕ(b) ∧ ϕ(b) = ϕ(c) =⇒ ϕ(a) = ϕ(c) ⇐⇒ a ≡ϕ c
Die mit dem Gleichheitszeichen gekennzeichneten Schlußfolgerungen beruhen
auf den Eigenschaften der identischen Gleichheit in N .
Beweis der Beziehung (2.5): Wir halten ein beliebiges i ∈ {1, . . . , n} fest.
Aus der Operationstreue von ϕ folgt
ϕ(fi (a1 , . . . , ari )) = gi (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(ari ))
Aus der Prämisse der zu zeigenden Implikation ergeben sich die Gleichheiten
ϕ(aj ) = ϕ(bj ), 1 ≤ j ≤ ri , und daher
gi (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(ari )) = gi (ϕ(b1 ), . . . , ϕ(bri )) .
Nochmalige Anwendung der Operationstreue in der umgekehrten Richtung
liefert schließlich
gi (ϕ(b1 ), . . . , ϕ(bri )) = ϕ(fi (b1 , . . . , bri )) .
Damit ist die Bildgleichheit von fi (a1 , . . . , ari ) und fi (b1 , . . . , bri ) gezeigt und
es folgt Eigenschaft (2.5). 2
Im Beweis haben wir gesehen, daß die Äquivalenzrelationseigenschaft von ≡ϕ
allein aus der Bildgleichheit folgt. Es gilt auch die Umkehrung, jede Äquivalenzrelation auf M entspricht der Bildgleichheit einer Abbildung von M in
eine geeignete Menge N . Keinesfalls braucht jedoch zu einer Äquivalenzrelation R von M eine geeignete algebraische Struktur N zu existieren, so daß
R sogar die Bildgleichheit unter einem Homomorphismus von M in N ist.
Das gilt nur für solche Äquivalenzrelationen mit der zusätzlichen Eigenschaft
(2.5). Eine Äquivalenzrelationen mit Eigenschaft (2.5) heißt Kongruenzrelation von M.
24
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Übungen zur Selbstkontrolle
7. Beweisen Sie die Eigenschaften iv)-vii) aus Satz 2.
8. N = (N, +) bezeichne die algebraische Struktur der natürlichen Zahlen mit der Addition und R = (R, ∗) die der reellen Zahlen mit der
Multiplikation. Beide haben den Typ (2). Beweisen Sie, daß die durch
exp(a) := ea definierte Exponentialabbildung exp : N → R ein Homomorphismus von N nach R ist. Handelt es sich dabei sogar um einen
Epimorphismus, Monomorphismus oder Isomorphismus?
9. Betrachten Sie die algebraische Struktur M mit der Trägermenge M =
˙ ∧. ∨˙ bezeichnet die Verknüpfung
{wahr, f alsch} und den Operation ∨,
des exklusiven Oders und ∧ die Und-Verknüpfung. Geben Sie einen
Homomorphismus von Z = (Z, +, ∗), Menge der ganzen Zahlen mit
Addition und Multiplikation, nach M an und weisen Sie dessen Homomorphieeigenschaft nach.
25
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Kapitel 3
Lineare Gleichungssysteme I
Zunächst beschränken wir uns auf den Fall linearer Gleichungssysteme über
den reellen Zahlen. Später werden wir noch feststellen, daß alle Untersuchungen genauso durchgeführt werden können, wenn wir über einem beliebigen
Körper rechnen. Eine (reelle) lineare Gleichung in n Unbekannten hat die
Gestalt
a1 x 1 + a2 x 2 + · · · + an x n = b .
(3.1)
Dabei bezeichnen a1 , a2 , . . . , an und b beliebige reelle Zahlen und x1 , x2 , . . . , xn
Variablen. Man beachte, die Variablen sind keine reellen Zahlen, sondern
einfach Symbole oder Zeichenketten. Die Zahl aj , 1 ≤ j ≤ n, heißt der
Koeffizient der Variablen xj . b nennt man das Absolutglied der Gleichung.
Im Falle b = 0 spricht man von einer homogenen linearen Gleichung, sonst
nennt man die Gleichung inhomogen. Man sagt, daß ein geordnetes n-Tupel
(β1 , β2 , . . . , βn ) ∈ Rn reeller Zahlen die obige lineare Gleichung erfüllt, wenn
die Gleichheit
a1 β1 + a2 β2 + · · · + an βn = b
(3.2)
reeller Zahlen gilt. In diesem Falle nennt man (β1 , β2 , . . . , βn ) auch eine
Lösung der Gleichung. Man beachte den qualitativen Unterschied zwischen
den Gleichungen 3.1 und 3.2. Im ersten Fall handelt es sich um ein formales
Objekt, auf dessen linker Seite keine reelle Zahl, sondern ein sogenanntes
Polynom, steht. Dagegen handelt es sich im zweiten Fall um einen Vergleich
zweier reeller Zahlen. Auf beiden Seiten stehen reellwertige Ausdrücke und
Gleichung 3.2 ist eine elementare prädikatenlogische Aussage. Die Lösungen
26
Preliminary version – 8. Januar 2002
von 3.1 sind gerade die n-Tupel, bei deren Einsetzung für die Variablensymbole wahre Aussagen 3.2 entstehen. Eine weitere Bemerkung gilt der Numerierung der Variablen. Diese ist als fest gewählt vorausgesetzt. Numeriert
man die Variablen um, so ändern sich die Lösungen der Gleichung, genauer
gesagt: die Komponenten der Lösungen werden vertauscht. Betrachten wir
beispielsweise die Gleichung x − 2y = 0. Für x1 = x und x2 = y erhält
man die Paare reeller Zahlen als Lösungen, deren zweite Komponente halb
so groß wie die erste Komponente ist ({(t, 12 t) | t ∈ R} ist die Menge aller
Lösungen). Für x1 = y und x2 = x sind die Paare Lösungen, deren zweite
Komponente doppelt so groß wie die erste ist ({(s, 2s) | s ∈ R} ist die
Menge aller Lösungen).
Das Nulltupel O := (0, . . . , 0) der Länge n ist genau dann Lösung der linea| {z }
nStück
ren Gleichung 3.1, wenn diese homogen ist, also b = 0 gilt.
Die Lösungen einer linearen Gleichung zu bestimmen ist sehr einfach, wir
wollen uns daher sofort mit dem simultanen Lösen von m linearen Gleichungen in n Variablen befassen. Für den Spezialfall m = 1 haben wir damit
auch den einfachen Fall nur einer Gleichung mit erledigt.
Ein (reelles) lineares Gleichungssystem bestehend aus m Gleichungen in n
Variablen x1 , . . . , xn kann in der Form
a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,n xn = b1
a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · · + a2,n xn = b2
..
..
.
.
am,1 x1 + am,2 x2 + · · · + am,n xn = bm
(3.3)
geschrieben werden. Die ai,j sowie die bi , (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n),
sind reelle Zahlen. Der Index i gibt die Nummer der Gleichung an, der
Index j der Koeffizienten bezieht sich auf die zugehörige Variable. Unter
einer Lösung des linearen Gleichungssystems 3.3 versteht man ein n-Tupel
(β1 , β2 , . . . , βn ) ∈ Rn reeller Zahlen, welches alle m Gleichungen des Systems
erfüllt, also:
a1,1 β1 + a1,2 β2 + · · · + a1,n βn = b1
a2,1 β1 + a2,2 β2 + · · · + a2,n βn = b2
..
..
.
.
am,1 β1 + am,2 β2 + · · · + am,n βn = bm
27
Preliminary version – 8. Januar 2002
Die Menge
L := {(β1 , β2 , . . . , βn ) ∈ Rn | (β1 , β2 , . . . , βn ) ist Lösung von 3.3}
(3.4)
nennt man die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems 3.3. Li bezeichne die Lösungsmenge der i-ten Gleichung allein, d.h. die Menge aller
Lösungen der i-ten Gleichung. Dann gilt
L = L1 ∩ L2 ∩ · · · ∩ Lm .
(3.5)
Im Spezialfall, daß alle Gleichungen des Systems homogen sind, d.h. b1 =
b2 = · · · = bm = 0, spricht man von einem homogenen linearen Gleichungssystem, andernfalls von einem inhomogenen linearen Gleichungssystem. Ein
homogenes lineares Gleichungssystem ist stets lösbar, denn es gilt wenigstens
O ∈ L.
Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem kann auch unlösbar sein, man
betrachte zum Beispiel
2x1 + x2 = 1
4x1 + 2x2 = −1
Die erste Gleichung hat genau alle geordneten Paare (t, 1 − 2t), wobei t eine
beliebige reelle Zahl ist, als Lösungen. Die zweite Gleichung wird dagegen
genau von den geordneten Paaren (s, − 21 − 2s), wobei s eine beliebige reelle
Zahl ist, erfüllt. Daher gilt
1
L = {(t, 1 − 2t) | t ∈ R} ∩ {(s, − − 2s) | s ∈ R} = ∅ .
2
Betrachtet man die Definition der Lösung eines linearen Gleichungssystems,
so erkennt man, daß die Namen der Variablen für die Lösungsmenge keine
Rolle spielen. Die wesentliche Information der Variablen steckt in ihrem
Index, also in der Angabe der Position der sie betreffenden Summanden in
den Gleichungen. Dadurch wird insbesondere die Komponente der Lösungen
festgelegt, die für diese Variable eingesetzt werden muß. Stellt man sicher,
daß die Angabe der Variablenpositionen nicht verloren geht, so reicht die
Angabe der Koeffizienten und Absolutglieder aus, um das gesamte lineare
Gleichungssystem zu beschreiben. Eine gebräuchliche Beschreibung ist


a1,1 a1,2 · · · a1,n b1
 a2,1 a2,2 · · · a2,n b2 


(3.6)
 ..
..
..
.. 
 .
.
··· .
. 
am,1 am,2 · · · am,n bm
28
Preliminary version – 8. Januar 2002
Der senkrechte Strich dient nur der optischen Abgrenzung der Koeffizienten
von den Absolutgliedern, man kann auch auf ihn verzichten. Denkt man sich
den senkrechten Strich weg, so handelt es sich bei diesem Schema um eine
Matrix.
3.1
Matrizen
Im Moment wollen wir den Bezug zum linearen Gleichungssystem 3.3 zurückstellen, insbesondere brauchen die ai,j vorerst nicht unbedingt Koeffizienten
eines linearen Gleichungssystems zu sein. Ein Schema


a1,1 a1,2 . . . a1,n
 a2,1 a2,2 . . . a2,n 


A =  ..
..
.. 
 .
.
. 
am,1 am,2 . . . am,n
mit reellen Zahlen ai,j , i = 1, . . . , m und j = 1, . . . , n, nennt man eine (reellwertige) Matrix vom Type (m, n). Abkürzend spricht man auch von einer
m × n - Matrix oder (m, n)-Matrix. Wir halten fest, die erste Komponente
des Typs gibt die Anzahl der Zeilen und die zweite Komponente gibt die
Anzahl der Spalten der Matrix an. Für eine m × n - Matrix schreibt man
auch kurz
A = (ai,j )i=1,... ,m
j=1,... ,n
oder wenn der Typ klar ist auch noch kürzer A = (ai,j ). ai,j heißt der Eintrag
(oder das Element) von A in der i-ten Zeile und j-ten Spalte. Stimmen
Zeilen- und Spaltenzahl überein, d.h. m = n, dann nennt man die Matrix A
quadratisch und n-reihig. Zwei Matrizen A und B sind genau dann gleich,
wenn sie den gleichen Typ haben und ihre Einträge in jeder Zeile und jeder
Spalte übereinstimmen.
Einige spezielle Matrizen werden häufig benötigt und wir wollen daher Symbole dafür vereinbaren.
• Die n-reihige quadratische Matrix

1 0 ...
0 1 . . .

En =  .. ..
. .
0 0 ...

0
0

..  ,
.
1
29
Preliminary version – 8. Januar 2002
die auf der Hauptdiagonale Einsen und außerhalb der Hauptdiagonale
Nullen enthält, heißt n-reihige Einheitsmatrix.
• Die (m, n)-Matrix, deren sämtliche Einträge Null sind bezeichnen wir
mit Om,n .
• Mit In(i,j) bezeichnen wir die (n, n)-Matrix, deren Element in der i-ten
Zeile und j-ten Spalte eine 1 ist und die ansonsten nur Nulleinträge
aufweist.
Falls der Typ der Matrizen aus dem Kontext klar ist, so werden wir die
Angaben von Zeilen- und Spaltenzahl weglassen.
Zwischen Matrizen sind folgende Operationen erklärt:
• Zwei Matrizen A = (ai,j ) und B = (bi,j ) können addiert werden, sofern
sie vom gleichen Typ sind. Die Addition erfolgt dann elementweise, d.h.
sind A und B vom Typ (m, n), dann ist ihre Summe C = A+B ebenfalls
eine (m, n)-Matrix und es gilt C = (ci,j )i=1,... ,m , wobei ci,j = ai,j + bi,j
j=1,... ,n
für alle i = 1, . . . , m und j = 1, . . . , n.
• Eine Matrix kann elementweise mit einer reellen Zahl vervielfacht werden. Für β ∈ R und A = (ai,j )i=1,... ,m gilt β · A = B = (bi,j )i=1,... ,m ,
j=1,... ,n
j=1,... ,n
wobei bi,j = βai,j für alle i = 1, . . . , m und j = 1, . . . , n. Die Operation
der Vervielfachung nennt man auch Skalarmultiplikation.
• Zwei Matrizen A und B können miteinander multipliziert werden, sofern sie verkettet sind, d.h. die Anzahl der Spalten von A muß gleich der
Anzahl der Zeilen von B sein. Seien also A vom Typ (m, n) und B vom
Typ (n, k), dann ist das Produkt C = AB = (ci,j ) eine (m,
Pk)-Matrix
und ihr Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte ist ci,j = nl=1 ai,l bl,j ,
für alle 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ k.
• Schließlich kann man eine (m, n)-Matrix A = (ai,j )i=1,... ,m transponiej=1,... ,n
ren, indem man die Rolle ihrer Zeilen und Spalten vertauscht. Die
transponierte Matrix AT = a0i,j i=1,... ,n ist vom Typ (n, m) und es gilt
j=1,... ,m
a0i,j = aj,i für alle 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ m.
Wir halten also fest, daß Matrizen nur dann addiert oder multipliziert werden
können, wenn ihre Typen gleich beziehungsweise verkettet sind. Die Multiplikation von Matrizen unterscheidet sich in einem Punkt wesentlich von der
30
Preliminary version – 8. Januar 2002
Muliplikation von Zahlen, sie ist nämlich nicht kommutativ. So folgt aus der
Verkettung von A und B nicht einmal die Verkettung von B und A. Nur
wenn in der obigen Definition der Spezialfall m = k vorliegt, dann existiert
überhaupt das Produkt BA. Selbst für n-reihige quadratische Matrizen A
und B, wo AB und BA wenigstens erstmal den gleichen Typ aufweisen
(nämlich ebenfalls (n, n)), brauchen
die beiden Produkte
nicht übereinzu2 3
0 1
stimmen, z.B. ergibt sich für A =
und B =
die Ungleichheit
0
1
1
0
3 2
0 1
AB =
6=
= BA.
1 0
2 3
Für jede (m, n)-Matrix A gelten die Gleichungen
A + O(m,n) = O(m,n) + A = A
AEn = Em A = A
Eine (m, 1)-Matrix nennt man auch Spaltenvektor, entsprechend heißt eine
(1, n)-Matrix Zeilenvektor. Die Namensgebung

 folgt einfach der Anschauung,
a1,1


ein Spaltenvektor ist von der Gestalt  ...  und ein Zeilenvektor hat die
am,1
Form a1,1 · · · a1,n . In den kompakten Schreibweisen verzichtet man oft auf
die Angabe desjenigen Index, der nur von 1 bis 1 “läuft”.
Kommen wir nun auf das Gleichungssystem 3.3 zurück. Die Matrix


a1,1 a1,2 . . . a1,n
 a2,1 a2,2 . . . a2,n 


A =  ..
..
.. 
 .
.
. 
am,1 am,2 . . . am,n
nennt man Koeffizientenmatrix des

a1,1
 a2,1

(A bT ) =  ..
 .
am,1
Gleichungssystems und

a1,2 . . . a1,n b1
a2,2 . . . a2,n b2 

..
..
.. 
.
.
. 
am,2 . . . am,n bm
erweiterte Koeffizientenmatrix von 3.3. Die erweiterte Koeffizientenmatrix
ist das früher bereits erwähnte Schema 3.6, den dort verwendeten senkrechten Strich zur Abgrenzung der Koeffizienten und Absolutglieder werden wir
31
Preliminary version – 8. Januar 2002
zuweilen einfügen. Er dient aber nur der Übersichtlichkeit, es handelt sich
um eine ganze normale (m, n + 1)-Matrix. b bezeichnet den Zeilenvektor
b1 . . . bm der Absolutglieder und (A bT ) ist als Blockschreibweise zu verstehen, der erste Block ist die Matrix A, an diese wird die Spalte bT angefügt.
Eine derartige Blockschreibweise verwendet man häufig. Zu beachten ist,
daß aneinanderstoßende Reihenanzahlen gleich sein müssen. Betrachten wir
dazu noch ein Beispiel, A sei eine (m, n)-Matrix, B eine (k, l)-Matrix und C
eine (m− k, l)-Matrix, wobei 1 ≤ k < m. Dann kann man die Blockmatrix
A
B
C
bilden und diese ist vom Typ (m, n + l).
Schließlich führen wir noch den Zeilenvektor x1 . . . xm der Variablen ein
und betrachten die Matrizengleichung
AxT = bT .
(3.7)
Formales Ausmultiplizieren der linken Seite und elementweiser Vergleich der
Einträge der beiden Zeilenvektoren auf der linken und rechten Seite führt
genau auf unser Gleichungssystem 3.3. Jedes n-Tupel (β1 , . . . , βn ) reeller
Zahlen kann in natürlicher Weise als Zeilenmatrix c = (β1 . . . βn ) aufgefaßt
werden. In diesem Sinne ist β genau dann Lösung des linearen Gleichungssystems 3.3, wenn es die Matrizengleichung AcT = bT erfüllt.
Wir halten also fest:
Merksatz 1 Das Lösen eines linearen Gleichungssystems ist gleichbedeutend mit dem Lösen einer einzelnen linearen Matrizengleichung.
Hätten wir b und x gleich als Spaltenvektoren eingeführt, so würden sich
die obigen Gleichungen etwas vereinfachen, da wir dann auf das Transponieren verzichten könnten. Das man dennoch häufig Zeilenvektoren verwendet,
liegt zum einen an der platzsparenderen Schreibweise und zum zweiten an
der natürlicheren Identifizierung der n-Tupel reeller Zahlen mit den Zeilenvektoren.
Übungsaufgaben, Serie 1
1. Gegeben seien die Matrizen




4 3
0
2 0 −1 4
3 −3 −2


2 4 2 3 und B = 
A=
5 6
2
−2 5 0 0
6 2 −1
32
Preliminary version – 8. Januar 2002
Berechnen Sie, sofern diese existieren, die Matrizen
AT + 10 · B, A − B, BA und (AB)T
2. A sei eine (m, n)-Matrix und B sei eine (n, k)-Matrix. Beweisen Sie
die Gleichung
(AB)T = BT AT .
3. Berechnen Sie das Produkt AB der (3, n)-Matrix A = (ai,j ) und der
(n, 2)-Matrix B = (bj,k ), wobei n eine gerade natürliche Zahl ≥ 6 ist
und die Einträge der Matrizen A und B wie folgt definiert sind:

j+1
 1 : falls j ungerade und i ≤ 2
ai,j =
2 : falls j gerade und i ≤ 2j

0 : sonst
für i = 1, 2, 3 und j = 1, . . . , n, sowie
j−1
j
2
: falls j ungerade
bj,1 =
und bj,2 =
j
2j−2 : falls j gerade
2
:
:
falls j ungerade
falls j gerade
für j = 1, . . . , n.
Die Matrizen können folgendermaßen veranschaulicht werden:


1
1
 1
1 


 4
3 





 4
2
1 2 1 2 1 2 ··· 1 2



5 
A = 0 0 1 2 1 2 · · · 1 2 B =  16

 16
3 
0 0 0 0 1 2 ··· 1 2



 ..
.
.

 .
.

 n−2
2
n − 1
n
2n−2
2
33
Preliminary version – 8. Januar 2002
3.1.1
Äquivalenz von Matrizen
Zunächst betrachten wir drei weitere Matrixoperationen zur Manipulation
einer (m, n)-Matrix


a1,1 a1,2 . . . a1,n
..
.. 
 ..
 .
.
. 


 ak,1 ak,2 . . . ak,n 
 .
..
.. 
.
A = (ai,j )i=1,... ,m = 
.
.
. 

 .
j=1,... ,n
a

 l,1 al,2 . . . al,n 
 .
..
.. 
 ..
.
. 
am,1 am,2 . . . am,n
In die Matrix haben wir die k-te und die l-te Zeile mit eingezeichnet, da sich
unsere Manipulationen auf diese beiden Zeilen beziehen werden. Das Bild
zeigt nur den Spezialfall 1 ≤ k < l ≤ m, die Operationen gelten aber genauso
für 1 ≤ l < k ≤ m.
1. Die Matrix Azk ↔zl entsteht durch Vertauschung der k-ten und der l-ten
Zeile von A. Für die oben abgebildete Matrix ergibt sich also


a1,1 a1,2 . . . a1,n
..
.. 
 ..
 .
.
. 


 al,1 al,2 . . . al,n 
 .
..
.. 
.
Azk ↔zl = 
.
. 
 .

a

a
.
.
.
a
 k,1
k,2
k,n 
 .
..
.. 
 ..
.
. 
am,1 am,2 . . . am,n
2. λ sei eine beliebige reelle Zahl. Dann wollen wir die Matrix, die durch
Addition des λ-fachen der k-ten Zeile zur l-ten Zeile von A entsteht,
34
Preliminary version – 8. Januar 2002
mit Azl +λ·zk bezeichnen, also

a1,1
a1,2
..
..


.
.


ak,1
ak,2

.
..

..
Azl +λ·zk = 
.
a + λa
a
+
λak,2
 l,1
k,1
l,2

.
.
..
..

am,1
am,2
...
a1,n
..
.





...
ak,n

..

.

. . . al,n + λak,n 


..

.
...
am,n
3. Schließlich betrachten wir die Matrix Aλ·zl , die durch Multiplikation der
Elemente der l-Zeile von A mit einer festen, von Null verschiedenen,
reellen Zahl λ 6= 0 entsteht.


a1,1 a1,2 . . . a1,n
..
.. 
 ..
 .
.
. 


 ak,1 ak,2 . . . ak,n 
 .
..
.. 
.
Aλ·zl = 
.
.
. 


λa

 l,1 λal,2 . . . λal,n 
 .
..
.. 
 ..
.
. 
am,1 am,2 . . . am,n
Die Operationen 1)-3) bezeichnen wir als elementare Zeilenoperationen. Ganz
analog lassen sich elementare Spaltenoperationen einführen, die dabei entstehenden Matrizen bezeichnen wir mit Ask ↔sl , Asl +λ·sk und Aλ·sl . In diesem
Falle sind k und l zwei verschiedene natürliche Zahlen zwischen 1 und n, sie
geben die Nummern der Spalten an, auf die die jeweilige Operation wirkt.
Die elementaren Zeilen- und Spaltenoperationen lassen sich mit Hilfe von Matrixprodukten beschreiben. Dabei wird die entsprechende elementare Zeilenoder Spaltenoperation auf die Einheitsmatrix passenden Typs angewandt und
von links (bei Zeilenoperationen) beziehungsweise rechts (bei Spaltenoperationen) mit A multipliziert. Wir fassen zusammen, für eine (m, n)-Matrix A
gilt:
Azk ↔zl = (Em )zk ↔zl · A
Ask ↔sl = A · (En )sk ↔sl
Azl +λ·zk = (Em )zl +λ·zk · A
Asl +λ·sk = A · (En )sl +λ·sk
35
Preliminary version – 8. Januar 2002
Aλ·zl = (Em )λ·zl · A
Aλ·sl = A · (En )λ·sl
Definition 10 Zwei Matrizen A und B heißen äquivalent (Schreibweise:
A ∼ B), wenn B durch sukzessive Anwendung endlich vieler elementarer
Zeilen- oder Spaltenoperationen aus A gewonnen werden kann.
Satz 4 Die Äquivalenz ∼ von (m, n)-Matrizen ist eine Äquivalenzrelation.
Beweis: Reflexivität: Für jede (m, n)-Matrix A gilt wegen A = A1·z1 die
Beziehung A ∼ A.
Transitivität: A, B, C seien (m, n)-Matrizen mit A ∼ B und B ∼ C. Dann
gibt es eine Folge von (m, n)-Matrizen A1 , . . . , Ar , so daß A1 = A und
Ar = B gelten und Ai+1 für jedes i = 1, . . . , r − 1 durch eine elementare
Zeilen- oder Spaltenoperation aus Ai hervorgeht. Analog wird B durch Anwendung von elementaren Zeilen- und Spaltenoperationen über eine Folge
B = B1 , . . . , Bs = C von (m, n)-Matrizen in C überführt.
Dann ist A = A1 , . . . , Ar = B1 , . . . , Bs = C eine Folge von Matrizen, wobei der Nachfolger jeweils durch Anwendung einer elementaren Zeilen- oder
Spaltenoperation aus seinem Vorgänger in der Folge entsteht. Also A ∼ C.
Symmetrie: Wir beginnen mit der Betrachtung zweier Matrizen A ∼ B,
wobei B durch Anwendung einer einzigen elementaren Zeilenoperation aus
A entsteht. Für B = Azk ↔zl gilt A = Bzk ↔zl . Für B = Azl +λ·zk gilt A =
Bzl −λ·zk . Schließlich gilt für B = Aλ·zl die Beziehung A = B 1 ·zl . In allen drei
λ
Fällen konnten wir demnach B ∼ A zeigen. Analog folgt B ∼ A auch dann,
wenn B durch Anwendung einer einzigen elementaren Spaltenoperation aus
A entsteht.
Betrachten wir nun beliebige m × n-Matrizen A und B mit A ∼ B. Dann
gibt es eine Folge von elementaren Zeilen- und Spaltenoperationen, die A in
B überführt. Die Folge der in den Zwischenschritten entstehenden Matrizen
sei A = A1 , . . . , Ar = B. Mit Hilfe der eben gezeigten Aussagen schließt
man auf Ai+1 ∼ Ai für alle i = 1, . . . , r − 1 und nach Anwendung der bereits
gezeigten Transitivität von ∼ folgt schließlich B ∼ A.
2
Auf völlig analoge Weise läßt sich auch beweisen, daß die Relation ∼Z , bei der
nur elementare Zeilenoperationen zur Überführung der Matrizen zugelassen
sind, ebenfalls eine Äquivalenzrelation ist. Entsprechendes gilt für die unter
Beschränkung auf elementare Spaltenoperationen definierte binäre Relation
∼S . Offensichtlich gelten die Folgerungen
A ∼Z B ⇒ A ∼ B und
A ∼S B ⇒ A ∼ B .
36
Preliminary version – 8. Januar 2002
Lemma 1 m, n, s und r seien natürliche Zahlen mit m, n > 0 und s, r ≤
min(n, m). Dann gilt genau dann
Er
Or,n−r
Es
Os,n−s
∼
,
Om−r,r Om−r,n−r
Om−s,s Om−s,n−s
wobei eventuell auftretende Matrizen mit einer Null im Typ als nicht vorhanden zu betrachten sind, wenn r = s vorliegt.
Die Äquivalenz im Falle r = s ist trivial. Den Beweis der Nichtäquivalenz
im Falle r 6= s werden wir später im Rahmen der Behandlung der linearen
Unabhängigkeit von Vektoren noch nachreichen. Für heute wollen wir es
mit einer Plausibilitätserklärung bewenden lassen. Intuitiv sollte klar sein,
daß es unmöglich ist, nur durch Anwendung elementarer Zeilen- und Spaltenoperationen in einer Matrix der obigen Gestalt eine weitere Nullzeile oder
-spalte zu erzeugen. Das wäre aber Voraussetzung für die Äquivalenz der
beiden Matrizen.
3.1.2
Der Gauß-Algorithmus
Der nach Carl Friedrich Gauß (1777-1855) benannte Algorithmus ist die zentrale Methode der gesamten konstruktiven, linearen Algebra. Später im Kurs
zur Numerik werden wir auf jeden Fall noch einmal darauf zurückkommen.
Sein Ziel ist es, eine beliebige vorgegebene (m, n)-Matrix A durch Anwendung
elementarer Zeilenoperationen in eine äquivalente, Zeilenstufenform aufweisende (m, n)-Matrix B umzuformen. Dabei sagen wir, daß B in Zeilenstufenform ist, wenn die Spaltennummern der jeweils ersten von Null verschiedenen
Elemente jeder Zeile (wir werden diese Einträge in Zukunft auch Stufenecken
der Matrix nennen) von oben nach unten streng monoton ansteigen. Die folgende Skizze soll die Zeilenstufenform einer (m, n)-Matrix veranschaulichen.
Alle Einträge unterhalb der Stufenlinie sind 0, die mit + gekennzeichneten
Einträge (dabei handelt es sich gerade um die Stufenecken) in den Ecken der
Stufenlinie sind von Null verschieden und die restlichen, oberhalb der Stufenlinie und auf den langen Stufen befindlichen und mit ∗ gekennzeichneten
Elemente sind beliebige reeller Zahlen. Die Zeilenstufenform zeichnet sich
dadurch aus, daß sämtliche Stufen die Höhe 1 haben müssen, wogegen deren
Länge jedoch beliebig ist.
37
Preliminary version – 8. Januar 2002
Der Gauß-Algorithmus läuft wie folgt ab:
1. i := 1
Initialisierung des Zählers auf die erste Zeile.
2. Falls i > m gilt oder alle Zeilen mit Index ≥ i nur Nullen enthalten, so
sind wir fertig und die aktuelle Matrix wird als Ergebnis B ausgegeben.
3. Andernfalls suche man die Spalte von A mit kleinstem Index, in der in
einer Zeile mit Index k ≥ i ein von Null verschiedenes Element steht.
Setze j auf die Nummer dieser Spalte.
4. Tausche die i-te und die k-te Zeile von A. In der entstehenden Matrix
gilt ai,j 6= 0.
a
l,j
5. Für l = i + 1, . . . , m addiere das (− ai,j
)-fache der i-ten zur l-ten Zeile von A. Im Ergebnis dessen gilt in der dann aktuellen Matrix die
Gleichheit al,j = 0 für alle i < l ≤ m.
38
Preliminary version – 8. Januar 2002
6. i := i + 1, Gehe zu Schritt 2.
Das der obige Algorithmus irgendwann anhält ist klar, denn spätestens nach
m Durchläufen der Hauptschleife gilt die erste Abbruchbedingung i > m.
Falls die zweite Bedingung vorher eintritt, so kann es aber auch bereits vorher zum Anhalten kommen. Es bleibt zu überlegen, daß das Resultat B
tatsächlich in Zeilenstufenform ist. Die Elemente ai,j , die im Laufe des Algorithmus in Schritt 4 entstehen, sind die mit + gekennzeichneten, von Null
verschiedenen Elemente der Zeilenstufenform. Die Stufenhöhe 1 wird durch
Schritt 4 garantiert. Das sich in der i-ten Zeile in allen Spalten mit Index
< j und allen Zeilen mit Index größer i sogar in allen Spalten mit Index
≤ j nur Nullen befinden, folgt aus den Schritten 3 und 5. Tritt in der mten Zeile keine Stufe mehr auf, dann erfolgte der Abbruch nach der zweiten
Bedingung und alle Zeilen unterhalb der letzten Stufe enthalten nur Nullen.
Mehr Bedingungen waren aber an die Zeilenstufenform nicht gestellt.
Folgerung 1 aus dem Gauß-Algorithmus: Zu jeder (m, n)-Matrix A gibt es
eine Matrix in Zeilenstufenform, die in der Relation ∼Z zu A steht, also erst
recht äquivalent zu A ist.
Folgerung 2 aus dem Gauß-Algorithmus: Eine Matrix in Zeilenstufenform
kann durch Anwendung elementarer Spaltenoperationen in die Gestalt
Er
Or,n−r
(3.8)
Om−r,r Om−r,n−r
überführt werden. Also ist jede (m, n)-Matrix sogar zu einer Matrix der Gestalt 3.8 äquivalent. Die strengere Äquivalenz im Sinne von ∼Z braucht allerdings nicht mehr vorzuliegen.
Zum Beweis wende man den Gauß-Algorithmus auf die transponierte Matrix
an. und transponiere das Ergebnis im Anschluß noch einmal. Zum Abschluß
mulipliziert man jede Spalte, die nicht nur Nullen enthält noch mit a1i,i , um in
jeder Stufenecke eine 1 zu erhalten. Der beschriebene Algorithmus zeigt auch,
daß die natürliche Zahl r gleich der Anzahl der Stufen der Ausgangsmatrix
in Zeilenstufenform ist.
Unter Berufung auf Lemma 1 schlußfolgern wir, daß
Satz 5 Sei A eine (m, n)-Matrix. Jede zu A äquivalente Matrix in Zeilenstufenform weist die gleiche Anzahl von Stufen auf.
39
Preliminary version – 8. Januar 2002
Dieser Satz rechtfertigt die folgende
Or,n−r
Definition 11 A sei eine (m, n)-Matrix und
die einOm−r,r Om−r,n−r
deutig bestimmte Matrix der Gestalt 3.8, die äquivalent zu A ist. Dann nennen wir die Zahl r den Rang der Matrix A (Bezeichnung Rang A).
Er
Später werden wir noch sehen, daß sich der Begriff des Ranges einer Matrix
auch in einer eleganteren Form erklären läßt. Wir halten fest:
Merksatz 2 Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, kann man sie mit
Hilfe des Gauß-Algorithmus in eine äquivalente Matrix in Zeilenstufenform
umformen und deren Stufenanzahl zählen.
Übungsaufgaben, Serie 2


1 −1 1 0 −2 0 0
2 1 8 2 −1 7 0 



4. Formen Sie die Matrix 
3 0 9 4 −3 11 0  mittels elemen1 −1 1 2 −2 4 2 
1 2 7 0 1 3 −2
tarer Zeilenoperationen in eine äquivalente Matrix in Zeilenstufenform
um.
5. Welche der Matrizen






1 0 0
1 0 0 0
3 1 0 0
0 1 0





A1 = 
0 0 0 , A2 = 0 1 0 0 , A3 = 0 −2 0 0 ,
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0






3 0 1 0
1 0 0 0
1 0 −1 0
A4 = 1 0 0 0 , A5 = 0 0 0 0 , A6 =  0 0 0 0
0 0 0 0
0 1 0 0
−1 0 1 0
sind bezüglich den in der Vorlesung eingeführten Relationen ∼, ∼Z
beziehungsweise ∼S äquivalent zueinander?
40
Preliminary version – 8. Januar 2002

2
3

4

1
6. Bestimmen Sie den Rang der Matrix 
0

1

5
2
3.2

3 1
5 2

0 −4

2 1
.
1 1

3 2

7 2
2 0
Lösung linearer Gleichungssysteme
Im weiteren werden wir die kompaktere Matrizenschreibweise für lineare Gleichungssysteme bevorzugen.
Befindet sich die erweiterte Koeffizientenmatrix (A bT ) des linearen Gleichungssystems AxT = bT in Zeilenstufenform, dann kann auf einfache Weise
seine Lösungsmenge L bestimmt werden.
Wir beginnen mit der Betrachtung der letzte Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix, die nicht nur Nullen enthält. Angenommen, die Stufenecke
dieser Zeile steht in der letzten, d.h. in der zu bT gehörigen, Spalte, dann
gehört dem Gleichungssystem eine Gleichung der Gestalt 0x1 + · · · + 0xn = b
an. Einsetzen beliebiger reeller Zahlen für die xi ergibt auf der linken Seite
0. Die rechte Seite ist als Stufenecke allerdings von Null verschieden. Das ist
ein Widerspruch, also besitzt die Gleichung und damit erst recht das gesamte
System keine Lösung.
Betrachten wir nun den Fall, daß die Stufenecke der letzten Zeile weiter vorn,
sagen wir in der j-ten Spalte der Koeffizientenmatrix A, steht. Dann steht
diese Zeile für eine Gleichung der Bauart
aj xj + · · · + an xn = b .
(3.9)
Geben wir beliebige reelle Werte βj+1 , . . . , βn vor und setzen dann
βj :=
b − aj+1 βj+1 − · · · − an βn
,
aj
so ist (βj , . . . , βn ) eine Lösung der obigen Gleichung 3.9. Andererseits hat
aber auch jede Lösung der Gleichung diese Gestalt, denn das von uns gewählte βj ist natürlich die einzige reelle Zahl, die das vorgegebene (n − j)-Tupel
(βj+1 , . . . , βn ) zu einer Lösung von 3.9 ergänzt.
41
Preliminary version – 8. Januar 2002
Betrachten wir nun die vorletzte, nicht nur Nullen enthaltende Zeile der
erweiterten Koeffizientenmatrix. Diese hat die Gestalt
a0k xk + · · · + a0j xj + · · · + a0n xn = b0
(3.10)
und es gilt k < j. Wir geben beliebige reelle Zahlen βk+1 , . . . , βj−1 , βj+1 , . . . βn
vor und berechnen zunächst
βj :=
b − aj+1 βj+1 − · · · − an βn
aj
und anschließend
βk :=
b0 − a0k+1 βk+1 − · · · − a0n βn
.
a0k
Wichtig ist dabei die Beziehung k < j. Daher kann βj ohne Kenntnis von
βk berechnet werden und für beliebige βk+1 , . . . , βj−1 , βj , βj+1 , . . . βn (also
insbesondere auch für die mit den vorher berechneten speziellen Werten für
βj ) ist tatsächlich die Existenz von βk gesichert.
(βk , . . . , βn ) ist Lösung der beiden Gleichungen 3.9 und 3.10 und analog zu
oben überlegt man sich, daß sogar alle gemeinsamen Lösungen beider Gleichungen so gewonnen werden können. Fährt man auf diese Weise mit der
sukzessiven Einbeziehung immer weiterer Gleichungen von unten nach oben
fort, dann gelangt man schließlich zu den Lösungen des linearen Gleichungssystems AxT = bT . Diese Lösungsmenge ist mit Sicherheit nicht leer, denn
die letzte Gleichung war lösbar und bei unserem Verfahren kann es nicht passieren, daß sich eine gemeinsame Lösung aller Gleichungen unterhalb einer
bestimmten Gleichung nicht auch auf diese nächsthöhere Gleichung fortsetzen läßt.
Fassen wir noch einmal zusammen:
Merksatz 3 Ist die erweiterte Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems AxT = bT in Zeilenstufenform, so ist das Gleichungssystem genau
dann lösbar, wenn keine Stufenecke der erweiterten Koeffizientenmatrix in
der letzten Spalte steht.
Seien 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n die Nummern der Spalten, denen keine Stufenecke angehört. Dann existiert zu beliebig vorgegebenen Werten βi1 , . . . , βik
genau eine Lösung (β1 , . . . , βn ) des linearen Gleichungssystems, die diese
42
Preliminary version – 8. Januar 2002
vorgegebenen Werte in den entsprechenden Komponenten aufweist. Die Werte der restlichen Komponenten lassen sich sukzessive ergänzen. Ist ar,j eine
Stufenecke der erweiterten Koeffizientenmatrix und alle βj 0 mit j 0 > j und
j0 ∈
/ {i1 , . . . , ik } wurden bereits berechnet, so bestimmt man βj mit Hilfe von
βj :=
br − ar,j+1 βj+1 − · · · − ar,n βn
.
ar,j
Als nächstes werden wir beweisen, daß sich jedes lineare Gleichungssystem in
ein äquivalentes Gleichungssystem in Zeilenstufenform umformen läßt. Dabei
nennen wir zwei lineare Gleichungssysteme äquivalent, wenn sie die gleiche
Lösungsmenge besitzen.
Satz 6 Falls die erweiterten Koeffizientenmatrizen zweier linearer Gleichungssysteme AxT = bT und A0 xT = b0 T zueinander in der Äquivalenzrelation ∼Z
stehen, dann haben beide Gleichungssysteme die gleiche Lösungsmenge.
Beweis: Zunächst betrachten wir den Spezialfall, daß B0 = (A0 , b0 T ) durch
Anwendung einer einzelnen elementaren Zeilenoperation auf B = (A, bT )
entsteht. Für diesen Fall wollen wir die Inklusion L ⊆ L0 der Lösungsmengen
L von AxT = bT und L0 von A0 xT = b0 T nachweisen.
1. Fall: B0 gehe durch eine Zeilenvertauschung aus B hervor. Dem entspricht
nur eine Vertauschung zweier Gleichungen des Gleichungssystems. Unter
Verwendung der Kommutativität der Durchschnittsbildung ergibt sich aus
3.5 sogar sofort die Gleichheit der Lösungsmengen L = L0 .
2. Fall: B0 gehe durch Multiplikation der j-ten Zeile mit einer von Null verschiedenen reellen Zahl λ aus B hervor. Aus aj,1 β1 + · · · + aj,n βn = bj folgt
durch Multiplikation beider Seiten mit λ sofort, daß jede Lösung (β1 , . . . , βn )
der j-ten Gleichung des Ausgangssystems auch die j-te Gleichung des umgeformten Systems erfüllt und unter Verwendung 3.5 ergibt sich L ⊆ L0 .
3. Fall: B0 gehe durch Addition des λ-fachen der i-ten Zeile zur j-ten Zeile
aus B hervor. Für jedes (β1 , . . . , βn ) ∈ L gelten insbesondere die beiden
Gleichungen
ai,1 β1 + · · · + ai,n βn = bi
aj,1 β1 + · · · + aj,n βn = bj .
Dann gilt aber auch die Gleichheit
λ(ai,1 β1 · · · ai,n βn ) + (aj,1 β1 · · · aj,n βn ) = λbi + bj
43
Preliminary version – 8. Januar 2002
(man beachte: hier handelt es sich einfach um Operationen zwischen reellen
Zahlen) und Ausklammern der βk zeigt, daß (β1 , . . . , βn ) die j-te Gleichung
des gestrichenen Systems befriedigt. Da alle weiteren Gleichungen des gestrichenen Systems sogar Gleichungen des Ausgangssystems sind, haben sie
(β1 , . . . , βn ) natürlich auch als Lösung. Folglich L ⊆ L0 .
Für den Fall, daß B0 erst nach Anwendung mehrerer elementarer Zeilenoperationen auf B entsteht, d.h. B = C1 , . . . , Ck = B0 und Cl ensteht durch Anwendung einer einzelnen elementaren Zeilenoperation auf Cl−1 (l = 2, . . . , k),
erhält man eine aufsteigende Kette der Lösungsmengen L = L1 ⊆ · · · ⊆
Lk = L0 der Gleichungssysteme, deren erweiterte Koeffizientenmatrix gerade
Cl (l = 1, . . . , k) ist. Also ergibt sich L ⊆ L0 .
Umgekehrt gilt aber auch L0 ⊆ L, denn da ∼Z eine Äquivalenzrelation und
daher insbesondere symmetrisch ist, kann auch B0 durch Anwendung endlich
vieler elementarer Zeilenoperationen in B überführt werden.
Zusammenfassend ergibt sich die behauptete Gleichheit L = L0 der Lösungsmengen der beiden linearen Gleichungssysteme.
2
Fassen wir Merksatz 3 und Satz 6 zusammen, dann erhalten wir zunächst ein
notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Lösbarkeit und darüberhinaus einen Algorithmus zum Ermitteln der Lösungsmenge eines linearen
Gleichungssystems.
Satz 7 Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems AxT = bT ist
genau dann nicht leer, wenn die Koeffizientenmatrix und die erweiterte Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems
den gleichen Rang aufweisen,
T
d.h. wenn Rang A = Rang A b gilt.
T
Beweis:
Bei
äquivalenter
Umformung
von
A
b
in eine Zeilenstufenform
0 0T
A b
bleibt der Rang der Matrix der erweiterten Koeffizientenmatrix
erhalten. Außerdem hat aber der Vektor b der rechten Seiten der Gleichungen bei Anwendung von ausschließlich elementaren Zeilenoperationen keinen
Einfluß auf die Elemente der Untermatrix A0 . Anwendung der gleichen Zeilenoperationen auf die Koeffizientenmatrix A liefert die gleiche Matrix A0 ,
welche sich ebenfalls in Zeilenstufenform befindet.
0 0T
Aus diesem Grund ist die Anzahl der Stufen der Matrix A b
gleich
T
0
Rang A b und die Anzahl der Stufen der Untermatrix A gleich Rang A.
Daher gilt
Rang A ≤ Rang A bT ≤ 1 + Rang A .
44
Preliminary version – 8. Januar 2002
Die Gleichheit
Rang A bT = 1 + Rang A liegt genau dann vor, wenn
A0 b0 T in der letzten Spalte eine Stufenecke hat, wenn also das Gleichungssystem unlösbar ist.
2
Algorithmus zum Lösen eines linearen Gleichungssystems AxT = bT :
1. Bilde die erweiterte Koeffizientenmatrix (A bT ).
2. Forme die Koeffizientenmatrix mittels des Gauß-Algorithmus in eine
äquivalente Matrix (A0 b0 T ) in Zeilenstufenform um.
3. Löse das so erhaltene äquivalente lineare Gleichungssystem A0 xT = b0 T .
mit Hilfe von Hilfssatz 3.
Läßt man neben elementaren Zeilenoperationen zusätzlich noch Spaltenvertauschungen der Koeffizientenmatrix zu, d.h. die letzte Spalte darf nicht
in die Spaltenvertauschungen einbezogen werden, so kann man die erweiterte Koeffizientenmatrix (A bT ) in eine spezielle Zeilenstufenform umformen.
Eine Matrix der folgenden Gestalt wollen wir in Trapezform nennen:
45
Preliminary version – 8. Januar 2002
Die Einträge a1,1 , . . . , ar,r sind mit + gekennzeichnet und von Null verschieden. Die mit Null gekennzeichneten Gebiete enthalten nur Nullen, in den
mit ∗ gekennzeichneten Gebiete können beliebige Elemente stehen. Ebenso
ist das durch ? gekennzeichnete Element br+1 nicht näher bestimmt. Sicher
ist aber, es ist genau dann gleich 0, wenn das Gleichungssystem lösbar ist.
Das Vertauschen der Spalten der Koeffizientenmatrix entspricht einer Umnumerierung der Variablen des Gleichungssystems. Man darf also Spaltenvertauschungen bei der Umformung eines Gleichungssystems einsetzen, muß
allerdings die Umnumerierungen der Variablen beim Aufstellen der Lösungsmenge rückgängig machen.
Egal ob Spaltenvertauschungen zugelassen sind oder nicht, kann man durch
Addition geeigneter Vielfacher der Stufenzeilen zu den jeweiligen darüberliegenden Zeilen erreichen, daß jede Spalte, in der sich eine Stufenecke befindet, außer diesem von Null verschiedenen Element nur noch Nullen aufweist.
Durch Multiplikation jeder Stufenzeile mit dem Inversen ihrer Stufenecke erreicht man, daß sämtliche Stufenecken den Wert 1 haben. Wendet man diese
46
Preliminary version – 8. Januar 2002
zusätzlichen elementaren Zeilenoperationen und Spaltenvertauschungen an,
so erhält man eine Matrix der Gestalt
Er
C
b1
(3.11)
Om−r,r Om−r,n−r b2
Die Einträge der (r, n − r)-Matrix C und des Spaltenvektors b1 sind beliebig und der Spaltenvektor b2 ist genau dann der Nullvektor, wenn das
Gleichungssystem lösbar ist. Die eben beschriebene Erweiterung des GaußAlgorithmus zur Erzeugung einer Matrix der Form 3.11 bezeichnet man auch
als Gauß-Jordan-Algorithmus.
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems in der speziellen Trapezgestalt 3.11 läßt sich besonders einfach bestimmen:
Merksatz 4 Hat die erweiterte Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems AxT = bT die Gestalt 3.11, dann ist es genau für b2 = Om−r,1 lösbar
und
n
n
X
X
L=
b1 −
a1,j βj , . . . , br −
ar,j βj , βr+1 , . . . , βn |
j=r+1
j=r+1
βr+1 , . . . , βn ∈ R
ist in diesem Falle die Lösungsmenge des Gleichungssystems.
Der Vorteil gegenüber Merksatz 3 besteht darin, daß die Komponenten der
Lösung nun unabhängig voneinander berechnet werden dürfen.
Um eine Lösung zu erhalten, kann man die Werte βr+1 , . . . , βn der Variablen
xr+1 , . . . , xn frei wählen. Daher bezeichnet man diese Variablen auch als die
Parameter der Lösungsmenge.
Merksatz 5 Die Lösungsmenge eines lösbaren linearen Gleichungsystems
AxT = bT in n Variablen x1 , . . . , xn besitzt genau (n − Rang A) Parameter.
Insbesondere gilt im Fall Rang A = Rang (A bT ) = n, daß die Lösungsmenge
keine Parameter hat und das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt,
das Gleichungssystem ist also eindeutig lösbar.
Man beachte aber, daß man nicht immer die Variablen xr+1 , . . . , xn als Parameter wählen kann. Das funktioniert nur dann, wenn man ohne Anwendung
47
Preliminary version – 8. Januar 2002
von Spaltenvertauschungen auf Gestalt 3.11 kommen kann. Darüberhinaus
ist festzustellen, daß es mehrere Möglichkeiten der Parameterauswahl geben kann. Wenigstens die Anzahl der Parameter ist allerdings eindeutig
bestimmt.
Später werden wir uns noch einmal genauer mit der Struktur der in Merksatz
4 angegebenen Lösungsmenge beschäftigen. Außerdem wird es in sehr speziellen Fällen möglich sein, mit Hilfe sogenannter Determinanten einfachere
Lösungsmethoden als den Gauß-Algorithmus zu finden.
Zunächst benötigen wir aber noch einige Grundkenntnisse über klassische
algebraische Strukturen.
Übungsaufgaben, Serie 3
7. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem!
x1 + 2x2 − x3 + 3x4 + x5
2x1 + 3x2 − 3x3 + 4x4 + x5
x2 + x3 + x4
−x1 + 3x3 − x4 − x5
=
=
=
=
0
−3
1
2
8. Welche der folgenden linearen Gleichungssysteme sind lösbar und wieviele Parameter haben ihre Lösungsmengen?
(a)

   
1 0 1
x
1
0 2 1 y  = 2
2 −2 1
z
5
(b)
 
 
x
1 0 1 0  1
1
0 2 1 −1 x2  = 2
x 3 
2 −2 1 −1
5
x4


(c)


 
1 0 1  
1
0 2 1 x
2

   
2 −2 2 y = 5
z
3 0 4
8
48
Preliminary version – 8. Januar 2002
9. Gibt es eine Matrix A, welche die Matrizengleichung




1 2 3 4
1 0 0 0
 2 3 4 5



 ∗ A = 0 1 0 0
 1 1 0 2
0 0 1 0
−1 0 −1 3
0 0 0 1
erfüllt? Falls ja, so geben Sie eine derartige Matrix A an. Was können
Sie über die Anzahl geeigneter Matrizen A aussagen?
49
Preliminary version – 8. Januar 2002
Kapitel 4
Klassische algebraische
Strukturen
4.1
Strukturen mit einer binären Operation
– Halbgruppen, Monoide und Gruppen
Algebraische Strukturen G = (G, ◦) mit nichtleerer Trägermenge G und nur
einer binären Operation bezeichnet man als Gruppoide. Wir wollen immer
voraussetzen, daß die Operation ◦ wenigstens assoziativ ist, also
∀a, b, c ∈ G : a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c (Assoziativgesetz) ,
gilt. In diesem Fall nennt man G eine Halbgruppe, wir halten fest, eine Halbgruppe ist ein Gruppoid mit assoziativer Operation. Typische Beispiele für
Halbgruppen sind die natürlichen Zahlen mit entweder Addition oder Multiplikation, die Menge Σ∗ der Wörter über einem Alphabet Σ mit der Wortverkettung oder auch die Menge der n-Tupel positiver natürlicher Zahlen mit
komponentenweiser Addition.
Aber auch die Menge der reellen (m, n)-Matrizen bilden mit der Addition
ein Halbgruppe. Die Menge der reellen n-reihigen quadratischen Matrizen
bildet darüberhinaus auch mit der Matrizenmultiplikation eine Halbgruppe.
Um nur ein Beispiel eines Gruppoids zu erwähnen, welches keine Halbgruppe
ist, verweisen wir auf die natürlichen Zahlen mit der Potenzierung.
Gilt für die Operation ◦ einer Halbgruppe G = (G, ◦) das Kommutativgesetz
∀a, b ∈ G : a ◦ b = b ◦ a (Kommutativgesetz) ,
50
Preliminary version – 8. Januar 2002
so spricht man von einer kommutativen oder abelschen1 Halbgruppe. Natürliche, ganze, rationale oder reelle Zahlen mit Addition oder Multiplikation sind
abelsche Halbgruppen. Dagegen bilden die (n, n)-Matrizen (n > 1) mit der
Multiplikation ebenso wie die Wortmenge Σ∗ (|Σ| > 1) mit der Verkettung
nur eine Halbgruppe aber keine kommutative Halbgruppe.
Ein Element e ∈ G heißt neutrales Element oder auch Einselement von G,
wenn die Beziehung
∀g : e ◦ g = g ◦ e = g
erfüllt ist. Besitzt die Halbgruppe G ein Einselement, so nennt man sie ein
Monoid. Die Bezeichnung des Einselementes ist der multiplikativen Vorstellung geschuldet, so ist 1 das Einselement der natürlichen, ganzen, rationalen
oder reellen Zahlen mit Multiplikation. Ebenso ist die Einheitsmatrix En
Einselement der quadratischen n-reihigen Matrizen mit der Matrizenmultiplikation. Etwas merkwürdig mutet die Bezeichnung Einselement an, wenn
man additiv geschriebene Halbgruppen betrachtet, so ist 0 das Einselement
der natürlichen Zahlen mit der Addition und das Nulltupel (0, . . . , 0) ist
| {z }
n Stück
Einselement der n-Tupel reeller Zahlen mit der Addition. In additiv geschriebenen Halbgruppen ist daher die Bezeichnung neutrales Element üblicher. Auch wenn über die Schreibweise der Operation nichts vorausgesetzt
wird, ist diese Bezeichnung durchaus einzusehen. Denn in additiven Halbgruppen vielleicht näherliegenden Begriff des Nullelementes wollen wir nicht
verwenden, um ihn für eine andere Bedeutung aufzusparen.
Lemma 2 Eine Halbgruppe G = (G, ◦) besitzt höchstens ein neutrales Element.
Beweis: Angenommen, es gäbe zwei neutrale Elemente e1 , e2 ∈ G. Dann
folgt e1 ◦ e2 = e1 aus der ersten Eigenschaft des neutralen Elementes e1 sowie
e1 ◦ e2 = e2 aus der zweiten Eigenschaft des neutralen Elementes e2 . Daraus
ergibt sich aber sofort e1 = e2 .
2
An dieser Stelle ist eine kurze Anmerkung angebracht. Zuweilen trennt man
den Begriff des Einselementes auf und nennt ein e ∈ G mit ∀g ∈ G : e◦g = g
ein Linkseinselement und ein e ∈ G mit ∀g ∈ G : g ◦ e = g ein Rechtseinselement. Wir sehen, daß wir im obigen Beweis von e1 nur die Linkseinseigenschaft und von e2 nur die Rechtseinseigenschaft ausgenutzt haben. Demzufolge folgt aus der Existenz einer Links- und einer Rechtseins die Gleichheit
1
benannt nach dem norwegischen Mathematiker Nils Hendrik Abel (1802-1829)
51
Preliminary version – 8. Januar 2002
beider Elemente und die Nichtexistenz weiterer davon verschiedener Linkseinsen oder Rechtseinsen. In der Tat kann eine nichtkommutative Halbgruppe aber mehrere verschiedene Linkseinselemente oder mehrere verschiedene
Rechtseinselemente besitzen, sofern in ihr überhaupt kein Einselement der
jeweils anderen Seitigkeit existiert. Ich möchte dafür ein Beispiel angeben.
G sei eine beliebige Menge und die Operation ◦ sei durch a ◦ b = b für alle
a, b ∈ G definiert. Wegen (a ◦ b) ◦ c = c und a ◦ (b ◦ c) = b ◦ c = c ist die
Operation assoziativ, also liegt eine Halbgruppe vor. In dieser Halbgruppe
ist jedes Element Linkseinselement, Rechtseinselemente gibt es dagegen keine. Diese Halbgruppe mag auf den ersten Blick exotisch anmuten, sie hat
aber sogar eine Realisierung in der Informatik. Betrachten wir ein HTMLFormular zum Treffen einer Auswahl, dabei ist genau eine der angegebenen
Möglichkeiten zu wählen. Zu diesem Zweck richtet man eine Knopfleiste ein.
Zu Beginn ist eine Standardvorauswahl getroffen, die Auswahl kann aber
durch Drücken eines Knopfes noch beliebig oft geändert werden, bevor das
Formular dann endgültig bestätigt wird. Die Elemente unserer Grundmenge
sind die gedrückten Knöpfe. Zwei gedrückte Knöpfe werden dadurch verknüpft, daß man angibt, welcher Knopf zum Schluß gedrückt ist, wenn man
zuerst den ersten und dann den zweiten Knopf betätigt. Das Ergebnis ist
natürlich immer der zuletzt gedrückte Knopf.
Sei G ein Monoid mit dem Einselement e. Ein Element g ∈ G heißt invertierbar, wenn es ein Element g 0 ∈ G mit der Eigenschaft g ◦ g 0 = g 0 ◦ g = e
gibt. Das Element g 0 nennt man in diesem Falle das Inverse, insbesondere in
additiv geschriebenen Monoiden auch entgegengesetztes Element, von g und
schreibt dafür g 0 = g −1 .
Lemma 3 Jedes Element eines Monoids G = (G, ◦) mit Einselement e ∈ G
besitzt höchstens ein Inverses.
Beweis: Seien g10 und g20 zwei Inverse des Elementes g ∈ G. Aus g ◦ g10 = e,
g20 ◦ (g ◦ g10 ) = g20 ◦ e folgt e ◦ g10 = g20 ◦ e und daraus schließlich die Gleichheit
2
g10 = g20 der beiden Inversen.
Das Einselement eines Monoids ist immer invertierbar, nämlich e = e−1 .
Sind alle Elemente eines Monoids invertierbar, so nennt man es eine Gruppe.
Wir wollen die Eigenschaften einer Gruppe noch einmal in einer Definition
zusammenfassen:
Definition 12 Eine algebraische Struktur G = (G, ◦) des Typs (2) heißt
eine Gruppe, wenn die Operation ◦ die folgenden Eigenschaften aufweist:
52
Preliminary version – 8. Januar 2002
1. ∀a, b, c ∈ G : a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c
2. ∃e ∈ G ∀a ∈ G : e ◦ a = a ◦ e = a
(Assoziativgesetz) ,
(Existenz eines Einselements) .
3. ∀a ∈ G ∃a−1 ∈ G : a−1 ◦a = a◦a−1 = e (Existenz inverser Elemente) .
Im 3. Axiom bezeichnet e das Einselement, dessen Existenz im 2. Axiom
geforderte wurde. Gilt darüberhinaus
4. ∀a, b ∈ G : a ◦ b = b ◦ a
(Kommutativgesetz) ,
so spricht man von einer kommutativen oder abelschen Gruppe.
Besteht die Trägermenge G nur aus endlich vielen Elementen, dann nennt
man die Anzahl |G| die Ordnung Ord (G) der Gruppe G. G wird dann auch
als endliche Gruppe bezeichnet.
Diese Definition trägt eine gewisse Redundanz in sich. Es reicht bereits aus,
die Existenz eines Linkseinselementes und die Existenz von Linksinversen
(diese müssen nur die Bedingung a−1 a = e erfüllen) zu fordern. Der Nachweis, daß es sich dann dabei gleichzeitig um Rechtseins und Rechtsinverse
handelt bleibt zur Übung. Der Begriff der Gruppenordnung kann unter Verwendung unendlicher Kardinalzahlen auch auf unendliche Gruppen übertragen werden. Darauf wollen wir verzichten, im Falle einer unendlichen Gruppe
G schreiben wir einfach formal Ord (G) = ∞.
Satz 8 In einer Gruppe G = (G, ◦) ist jede Gleichung der Form a ◦ x = b,
a, b ∈ G, eindeutig lösbar.
Beweis: Seien a, b ∈ G beliebig. Nach dem 2. Gruppenaxiom und Lemma 3
gibt es ein eindeutig bestimmtes a−1 ∈ G mit a−1 ◦ a = a ◦ a−1 = e. Für x =
a−1 b ist die Gleichung a ◦ x = b erfüllt, also besitzt die Gleichung mindestens
eine Lösung. Nehmen wir nun an, es gäbe zwei Elemente c1 , c2 ∈ G mit
a ◦ c1 = a ◦ c2 = b, Multiplikation der Gleichung von links mit a−1 führt auf
a−1 ◦ (a ◦ c1 ) = a−1 ◦ (a ◦ c1 ) = a−1 ◦ b ,
also c1 = c2 = a−1 ◦ b und damit gibt es nur höchstens eine Lösung der
Gleichung.
2
Von diesem Satz gilt sogar eine gewisse Umkehrung, denn jede Halbgruppe
G, in der alle Gleichungen der Gestalten a ◦ x = b und x ◦ a = b eindeutig
lösbar sind, ist sogar eine Gruppe.
53
Preliminary version – 8. Januar 2002
Beispiele und Gegenbeispiele für Gruppen
1. (Z, +) ist eine abelsche Gruppe. Neutrales Element ist die 0, das zu
a ∈ Z entgegengesetzte Element ist −a. Die Menge der geraden Zahlen
bildet eine Untergruppe von (Z, +).
2. (Zn , + mod n ) ist für jede natürliche Zahl n > 0 eine abelsche Gruppe
der Ordnung n. Zn besteht aus den Divisionsresten modulo n, d.h.
den Zahlen 0, 1, . . . , n − 1. Zwei Elemente von Zn werden addiert und
dann der Rest modulo n als Ergebnis genommen. Das zu m ∈ Zn
entgegengesetzte Element ist n − m. Man nennt diese Gruppe die
zyklische Gruppe der Ordnung n und bezeichnet sie mit Zn . Der Begriff
der zyklischen Gruppe beruht darauf, das bei wiederholtem Addieren
von 1 zu sich selbst, alle Elemente der Gruppe durchlaufen werden.
3. (Z, ∗) ist keine Gruppe, sondern nur ein abelsches Monoid. Es gibt zwar
ein Einselement, nämlich 1, aber beispielsweise besitzt 2 kein Inverses.
4. (Zn \ {0}, ∗ mod n ) ist für jede Primzahl n eine abelsche Gruppe der
Ordnung n − 1.
5. (N, +) ist nur abelsches Monoid mit 0 als neutralem Element. Kein
Element mit Ausnahme von 0 besitzt in N ein entgegengesetztes Element.
6. Die Menge S(M ) der bijektiven Abbildungen einer Menge M ist mit
der Hintereinanderausführung von Korrespondenzen eine (nichtkommutative) Gruppe. Zunächst einmal ist die Hintereinanderausführung
tatsächlich eine Operation auf der Menge S(M ), denn in Satz 2(iii))
wurde nachgewiesen, daß die Verkettung zweier Elemente von S(M )
nicht aus S(M ) herausführt. In Satz 1 wurde die Assoziativität der Hintereinanderausführung von Korrespondenzen gezeigt, also ist (S(M ), ◦)
eine Halbgruppe. Die identische Abbildung idM ist bijektiv, gehört also zu S(M ), nach Satz 1 ist sie Einselement und damit ist (S(M ), ◦)
sogar Monoid. Schließlich wurde in Satz 2(iv)) (also Übungsaufgabe
7) nachgewiesen, daß die Umkehrkorrespondenzen aller Elemente von
S(M ) ebenfalls zu S(M ) gehören. Gemäß Satz 2(vii)) ist f −1 das zu
f ∈ S(M ) inverse Element. Also ist (S(M ), ◦) eine Gruppe. Wenn M
aus mehr als zwei Elementen besteht, dann ist ◦ nicht kommutativ.
54
Preliminary version – 8. Januar 2002
7. Die Menge der reellen (m, n)-Matrizen bilden mit der Matrizenaddition
eine abelsche Gruppe.
8. Die Menge der reellen (n, n)-Matrizen bilden für n > 1 keine Gruppe
mit der Matrizenmultiplikation.
9. Die Menge aller reellen (n, n)-Matrizen vom Rang n bilden eine (nichtkommutative) Gruppe mit der Matrizenmultiplikation. Zum Beweis
dieser Aussage muß insbesondere gezeigt werden, daß das Produkt zweier (n, n)-Matrizen des Ranges n stets auch den Rang n aufweist. Ein
derartiger Beweis kann mit den uns bisher zur Verfügung stehenden
elementaren Mitteln bereits erbracht werden. A und B seien n-reihige
quadratische Matrizen vom Rang n. Die Matrizengleichung CX = A
ist genau dann lösbar, wenn Rang(C A) = Rang(C) gilt, denn genau
dann sind alle n simultanen Gleichungen CxT = a mit den Spalten
von A als rechten Seiten lösbar. Wegen Rang(C A) ≥ RangA = n
existiert eine derartige Lösung also nur für Matrizen C vom Rang n.
Wegen RangB = n ist die Gleichung BX = E auf jeden Fall lösbar,
die Lösung X = B−1 ist gerade die zu B inverse Matrix. Multiplikation von AB = C von rechts mit B−1 ergibt ABB−1 = CB−1 , also
A = CB−1 . Das heißt für RangA = RangB = n existiert in jedem Fall
eine Lösung der Gleichung A = CX, wobei C = AB ist. Damit muß
nach den obigen Überlegungen RangC = n gelten.
Die Einheitsmatrix En ist natürlich Einselement, die Existenz der Inversen wurde oben bereits mit gezeigt, also handelt es sich tatsächlich
um eine Gruppe.
Dieser Beweis verwendet nur elementare Argumente, ist jedoch nicht
elegant. Alternative Beweismethoden werden wir später noch kennenlernen.
10. Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems bildet
mit der komponentenweisen Addition eine abelsche Gruppe. (siehe
Übungsaufgabe 10)
Definition 13 Ist G = (G, ◦) eine Gruppe und H ⊆ G eine das Einselement
e enthaltende Teilmenge von G, so daß auch H = (H, ◦|H ) mit der auf H
eingeschränkten Operation von G eine Gruppe bildet, dann nennt man H
eine Untergruppe von G. Üblicherweise schreibt man für die Einschränkung
◦|H kurz ◦.
55
Preliminary version – 8. Januar 2002
Jede Gruppe besitzt zwei triviale Untergruppen, nämlich für H = G und für
H = {e}. Der Nachweis der Gruppeneigenschaften vereinfacht sich, wenn
man weiß, daß H Teilmenge einer Gruppe ist. Es gilt das folgend Untergruppenkriterium:
Satz 9 (Untergruppenkriterium) H = (H, ◦) ist genau dann Untergruppe von G = (G, ◦), wenn H ⊆ G nicht leer ist und für alle a, b ∈ H die
Beziehung
a ◦ b−1 ∈ H
erfüllt ist.
Beweis: H ist nicht leer, also gibt es wenigstens ein a ∈ H. Also folgt aus dem
Kriterium die Enthaltenseinsbeziehung a ◦ a−1 ∈ H, also e ∈ H. Darüberhinaus gehört für jedes a ∈ H auch das Inverse a−1 zu H, denn e ∈ H wurde
bereits gezeigt und Anwendung des Kriteriums liefert e ◦ a−1 = a−1 ∈ H.
Seien nun a, b ∈ H beliebig. Aus dem vorangegangenen folgt b−1 ∈ H, also
−1
a ◦ (b−1 ) = a ◦ b ∈ H. Letzteres bedeutet, daß die Einschränkung von ◦ auf
H nicht aus H hinausführt, daß also eine Operation auf H vorliegt. Damit
haben wir die Gruppoideigenschaft von (H, ◦) nachgewiesen. Die Assoziativität ergibt sich unmittelbar aus der von G. Damit ist (H, ◦) Halbgruppe,
Existenz von Einselement und Inversen wurde oben bereits gezeigt, also liegt
eine Gruppe vor.
2
Merksatz 6 Sei G eine Gruppe. Dann ist der Durchschnitt beliebig vieler Untergruppen von G wieder eine Untergruppe von G. Dagegen ist die
Vereinigung zweier Untergruppen im allgemeinen keine Untergruppe.
Beweis: H1 und H2 seien zwei Untergruppen von G. Zunächst ist H1 ∩H2 6= ∅,
da beide Untergruppen das Einselement enthalten. Für beliebige Elemente
a, b ∈ H1 ∩H2 gilt a◦b−1 ∈ H1 ∩H2 , also ist der Durchschnitt nach dem obigen
SatzTeine Untergruppe von G. Analog verläuft der Untergruppennachweis
von i∈I Hi für beliebige Indexmengen I.
Zum Nachweis, daß die Vereinigung im allgemeinen keine Untergruppe wieder
ist, reicht die Angabe eines Gegenbeispiels aus. Wir betrachten G = (Z, +)
die additive Gruppe der ganzen Zahlen. Die gerade Zahlen H1 = (2Z, +)
bilden ebenso eine Untergruppe von G, wie die durch drei teilbaren Zahlen
H2 = (3Z, +). Wäre H1 ∪ H2 eine Untergruppe, so müsste die Vereinigungsmenge nach dem obigen Satz auch das Element 3 − 2 = 1 enthalten, was
jedoch offensichtlich nicht der Fall ist.
2
56
Preliminary version – 8. Januar 2002
Definition 14 Sei G = (G, ◦) und U ⊆ G eine beliebige Teilmenge von G.
Die kleinste Untergruppe H = (H, ◦) mit U ⊆ H nennt man, die von U
erzeugte Untergruppe von G (Bezeichung H(U )).
Kleinste Untergruppe bedeutet, für jede Untergruppe H0 = (H 0 , ◦) mit U ⊆
H 0 muß H ⊆ H 0 gelten.
Merksatz 7 Insbesondere gelten die Gleichheiten H(∅) = {e}, H(G) = G.
Außerdem haben wir H(H) = H für jede Untergruppe H = (H, ◦) von G.
Für beliebige nichtleere Teilmengen U ⊆ G besteht H(U ) gerade aus allen
endlichen Produkten von Elementen und Inversen von Elementen aus U , d.h.
aus allen Elementen der Bauart u1 ◦ u2 ◦ · · · ◦ um mit uj ∈ U oder u−1
j ∈ U
für alle 1 ≤ j ≤ m. Läßt man formal m = 0 zu und sieht das Produkt von 0
Faktoren als das Einselement e an, so gilt die Beziehung
H(U ) = u1 ◦ u2 ◦ · · · ◦ um | uj ∈ U ∨ u−1
j ∈ U für alle j = 1, . . . , m
auch für U = ∅.
Definition 15 Seien G = (G, ◦) eine Gruppe und a ∈ G ein Element davon. Dann nennen wir n = Ord H({a}) die Ordnung des Elementes a und
schreiben dafür Ord (a).
Ord (a) ist die kleinste positive natürliche Zahl n mit an := a
· · ◦ a} = e,
| ◦ ·{z
nMal
falls denn solch eine Zahl n überhaupt existiert, was genau dann der Fall
ist, wenn H({a}) eine endliche Gruppe ist. Eine von einem Element a der
Ordnung n erzeugte Gruppe nennt man zyklische Gruppe und bezeichnet sie
auch mit Zn . Entsprechend schreibt man Z∞ für die unendliche (bis auf
Isomorphie gibt es nur eine solche, nämlich (Z, +)) zyklische Gruppe. Diese
liegt immer dann vor, wenn H({a}) nicht endlich ist.
Satz 10 (Satz von Lagrange) Für jede endliche Gruppe G und jede Untergruppe H von G gilt Ord H | Ord G. Darüberhinaus gilt für jedes a ∈ G
die Beziehung Ord (a) | Ord G.
Auf den Beweis des Satzes wollen wir verzichten. Aber man erkennt sofort,
daß die zweite Aussage eine einfache Folgerung aus der ersten ist. Aus diesem
Satz kann man insbesondere auch folgern, daß eine Gruppe von Primzahlordnung nur die beiden trivialen Untergruppen besitzt, denn jedes Element
a ∈ G \ {e} muß bereits die ganze Gruppe G erzeugen.
57
Preliminary version – 8. Januar 2002
Definition 16 Seien G und H zwei Gruppen, dann nennt man einen Homomorphismus ϕ : G → H der beiden algebraischen Strukturen vom Typ (2)
einen Gruppenhomomorphismus. Entsprechend spricht man von Gruppenmonomorphismen, Gruppenepimorphismen und Gruppenisomorphismen.
Wir halten folgende Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen fest:
Satz 11 G = (G, ◦) und H = (H, •) seien zwei Gruppen. Für jeden Gruppenhomomorphismus ϕ : G → H gilt:
i) Ist ϕ bijektiv, so ist ϕ sogar Gruppenisomorphismus,
ii) das Einselement von G wird auf das Einselement von H abgebildet, d.h.
ϕ(eG ) = eH ,
iii) das Bild des Inversen eines Elementes a von G ist gleich dem Inversen
des Bildes von a, d.h. ∀a ∈ G : ϕ(a−1 ) = ϕ(a)−1 ,
iv) der Bildbereich Bild(ϕ) ist eine Untergruppe von H,
v) das vollständige Urbild ϕ−1 (eH ) des Einselementes von H ist eine Untergruppe von G, diese nennt man auch den Kern (Kern(ϕ)) des Homomorphismus,
vi) ϕ ist genau dann sogar ein Gruppenmonomorphismus, wenn ϕ−1 (eH ) =
{eG } gilt.
Beweis: i) ist klar, denn Gruppen beinhalten keine Relationen.
ii) Wir betrachten ein beliebiges a ∈ G. Es gilt a◦eG = a, also ϕ(a)•ϕ(eG ) =
ϕ(a). Da H eine Gruppe ist, ist die Gleichung h • x = h für jedes h ∈ H,
also auch für h = ϕ(a), eindeutig lösbar und diese eindeutige Lösung ist
offensichtlich x = eH . Da ϕ(eG ) Lösung der Gleichung ϕ(a) • x = ϕ(a) ist,
muß ϕ(eG ) = eH gelten.
Mit Hilfe analoger Argumente zeigt man iii).
iv) Seien u, v ∈ Bild(ϕ). Dann gibt es a, b ∈ G mit ϕ(a) = u und ϕ(b) = v.
Wegen u•v −1 = ϕ(a)•ϕ(b)−1 = ϕ(a◦b−1 ) ergibt sich folglich u•v −1 ∈ Bild(ϕ).
Damit erfüllt Bild(ϕ) das Untergruppenkriterium 9, ist also Untergruppe von
H.
v) Für beliebige Elemente a, b ∈ G mit ϕ(a) = ϕ(b) = eH gilt ϕ(a ◦ b−1 ) =
ϕ(a) • ϕ(b)−1 = eH • e−1
H = eH , also ist Kern(ϕ) nach Untergruppenkriterium
9 eine Untergruppe von G.
58
Preliminary version – 8. Januar 2002
vi) Falls ϕ ein Monomorphismus, also injektiver Homomorphismus, ist, dann
besitzt jedes Element von H, also insbesondere auch eH , ein höchstens einelementiges Urbild. Mit ii) folgt Kern(ϕ) = {eG }.
Sei nun andererseits ϕ nicht injektiv, dann gibt es ein u ∈ H sowie Elemente
a, b ∈ G mit a 6= b und ϕ(a) = ϕ(b) = u. Ist u = eH , so gilt {a, b} ⊆
Kern(ϕ) 6= {eG } und wir sind fertig. Andernfalls wählen wir ein beliebiges
c ∈ G mit ϕ(c) = u−1 . Damit ergibt sich a ◦ c, b ◦ c ∈ Kern(ϕ). Da die
Gleichung y ◦ c = eG eine eindeutig Lösung besitzt, muß wenigstens eines der
Elemente a ◦ c und b ◦ c von eG verschieden sein.
2
Übungsaufgaben, Serie 4
10. Beweisen Sie, daß die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems
AxT = OT
in n Variablen mit der komponentenweisen Addition der n-Tupel reeller
Zahlen eine Gruppe bildet.
11. Geben Sie alle Untergruppen der symmetrischen Gruppe S3 an!
12. Welche Ordnung haben die ganzen Zahlen 4 und 12 jeweils in den
Gruppen
(a) (Z17 , +
mod 17 ),
(b) (Z17 \ {0}, ∗
4.1.1
mod 17 )
?
Die symmetrische Gruppe Sn
Für Mn = {1, 2, . . . , n} nennt man die in Beispiel 6 definierte Gruppe S(Mn )
aller bijektiven Abbildungen von Mn auf Mn die symmetrische Gruppe von
Mn und schreibt dafür Sn . Die Elemente von Sn nennt man Permutationen.
Es gilt die Beziehung Ord (Sn ) = n!. Sn und ihre Untergruppen nennt man
Permutationsgruppen.
Eine Element der Sn läßt sich durch Angabe seiner Zuordnungsvorschrift
eindeutig charakterisieren. Da der Vorbereich eine endliche Menge ist, kann
man die Zuordnungsvorschrift mit Hilfe einer Wertetabelle beschreiben.
59
Preliminary version – 8. Januar 2002
Schauen wir uns das an einem Beispiel an: Sei n = 4 und π : M4 → M4 die
durch die Zuordnungsvorschrift
1
2
3
4
7→
7
→
7
→
7
→
2
3
1
4
(4.1)
gegebene bijektive Abbildung von M4 auf M4 . Eine Wertetabelle für π hat
die Gestalt
x
1 2 3 4
π(x) 2 3 1 4
Die erste Spalte und die Tabellenlinien tragen keine Information, wenn man
diese Art der Anordnung verbindlich vereinbart. Auf dieser Grundlage erhält
man eine der geläufigsten Standardschreibweisen für Permutationen, nämlich
1 2 3 4
2 3 1 4
in unserem Beispiel oder ganz allgemein
1
2
···
n
.
π(1) π(2) · · · π(n)
Permutationen werden multipliziert, indem man ihre Hintereinanderausführung
als Abbildungen bildet. Für das Produkt π ◦ σ ergibt sich auf diese Weise
1
2
···
n
1
2
···
n
π◦σ =
◦
π(1) π(2) · · · π(n)
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
1
2
···
n
=
.
σ(π(1)) σ(π(2)) · · · σ(π(n))
Eine einfache Methode, um das Produkt praktisch auszurechnen, besteht im
Umsortieren der Spalten der Permutation σ, so daß die erste Zeile genauso
aussieht, wie die zweite Zeile von π. Schreibt man dann die zweite Zeile der
umsortierten Tabelle von σ unter die erste Zeile der Permutation π, so erhält
man die Permutation π ◦ σ.
60
Preliminary version – 8. Januar 2002
Eine zweite häufig verwendete Darstellungsart für Permutationen ist die Zyklendarstellung. Ein Zyklus der Länge k hat die Gestalt (i1 i2 . . . ik ) mit
1 ≤ i1 , i2 , . . . , ik ≤ n. Die Permutation π = (i1 i2 . . . ik ) hat die Abbildungsvorschrift

 ij+1 : für i = ij , 1 ≤ j < k
i1 : für i = ik
π(i) =
.

i
: für i ∈
/ {i1 , . . . , ik }
Beispiel: Die Wertetabellendarstellung der Permutation π = (2 4 3) ∈ S6 ist
1 2 3 4 5 6
.
1 4 2 3 5 6
Jeder Zyklus der Länge 1 beschreibt die identische Permutation. Nicht jede
Permutation kann durch einen einzelnen Zyklus beschrieben werden, man
betrachte beispielsweise
1 2 3 4 5 6
σ=
∈ S6 ,
5 4 2 3 1 6
Für Zyklen z1 = (i1 . . . ik ) und z2 = (j1 . . . jl ) mit {i1 , . . . , ik }∩{j1 , . . . , jl }
= ∅ gilt z1 ◦z2 = z2 ◦z1 . Man beachte aber, ohne die Voraussetzung paarweise
verschiedener Einträge gilt die Kommutativität im allgemeinen nicht. Jede
Permutation läßt sich als Produkt von höchstens n Zyklen darstellen, wobei
jede der Zahlen 1, . . . , n in genau einem der Zyklen vorkommt. In unserem
obigen Beispiel gilt σ = (1 5) ◦ (2 3 4) ◦ (6). Da es auf die Reihenfolge der
Zyklen und auf Zyklen der Länge 1 nicht ankommt, führt man die kürzere
Schreibweise
σ = (1 5)(2 4 3)
ein. An dieser Schreibweise werden zwei Sachverhalte deutlich, zum einen
muß bei Verwendung der Zyklenschreibweise im explizit festgehalten werden, in welcher symmetrischen Gruppe Sn man sich befindet. Zum zweiten
erkennt man, daß sich die symmetrische Gruppe Sn auf natürliche Weise als
Untergruppe jeder symmetrischen Gruppe Sm mit m > n auffassen läßt.
Jeder Permutation π ∈ Sn wird ein Signum (oder Vorzeichen) sgn(π) zugeordnet. Sei s die Anzahl der Paare (i, j) ∈ Mn × Mn mit der Eigenschaft
i < j und π(i) > π(j), dann gilt per definitionem
sgn π := (−1)s .
61
Preliminary version – 8. Januar 2002
(4.2)
Eine Permutation π heißt gerade Permutation, falls sgn π = 1 und ungerade
Permutation sonst. Ohne Beweis halten wir fest:
Satz 12 Die Abbildung sgn : Sn → {1, −1}, n > 1, ist ein Gruppenepimorphismus der symmetrischen Gruppe Sn auf die zyklische Gruppe Z2 =
({1, −1}, ∗ mod 3 ), d.h. das Produkt der Signen zweier Permutationen ist
gleich dem Signum der Verkettung der beiden Permutationen.
Anmerkung: Anstelle der Reste 0, 1, 2 bei Division modulo 3 kann man wegen
2 = −1 mod 3 auch das Restesystem 0, 1, −1 verwenden.
Gemäß diesem Satz kann man das Signum einer Permutation dadurch bestimmen, daß man sie in Zyklendarstellung aufschreibt und die Signen der
einzelnen Zyklen multipliziert. Für Zyklen gilt die einfache Rechenregel
sgn (i1 i2 . . . ik ) = (−1)k+1 .
Also haben wir zum Beispiel
sgn (1) = 1
sgn (1 5)(2 4 3) = −1 ∗ 1 = −1
Satz 13 Die Teilmenge aller geraden Permutationen von Sn bildet eine Untergruppe der Sn , man nennt sie alternierende Gruppe und bezeichnet sie mit
An .
Beweis: Die Behauptung folgt sofort aus Satz 12 und Satz 11(v)
4.2
2
Algebraische Strukturen mit zwei binären
Operationen – Ringe und Körper
Wir betrachten nun algebraische Strukturen die entstehen, indem man zu einer (additiv geschriebenen) abelschen Gruppe noch eine weitere binäre Operation hinzunimmt. Zur Vereinfachung der Schreibweise vereinbaren wir, daß
das Malzeichen ∗ stets stärker bindet als das Pluszeichen + (Punktrechnung
geht vor Strichrechnung).
Definition 17 Unter einem (assoziativen) Ring versteht man eine algebraische Struktur R = (R; +, ∗) des Typs (2, 2) mit folgenden Eigenschaften:
62
Preliminary version – 8. Januar 2002
1. (R; +) ist eine abelsche Gruppe,
2. (R; ∗) ist eine Halbgruppe, d.h. es gilt das Assoziativgesetz der Multiplikation,
3. die beiden Operationen + und ∗ erfüllen die Distributivgesetze
∀a, b, c ∈ R : (a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c
∀a, b, c ∈ R : c ∗ (a + b) = c ∗ a + c ∗ b
und
(Distributivgesetze)
Ist (R, ∗) eine kommutative Halbgruppe, so spricht man von einem kommutativen Ring.
Ist (R, ∗) ein Monoid, d.h. es existiert ein neutrales Element bezüglich der
Multiplikation, dann heißt R ein Ring mit Einselement.
Entsprechend spricht man von einem kommutativen Ring mit Einselement,
wenn (R, ∗) kommutatives Monoid ist.
Man beachte: nicht üblich ist die Namensgebung abelscher Ring für einen
kommutativen Ring. Hingewiesen sei auch auf die Bedeutung der richtigen
Reihenfolge der Operationen + und ∗. Schreibt man (Z, ∗, +) so ist das im
strengen Sinn kein Ring, wohl aber ist (Z, +, ∗) einer.
Beispiele für Ringe sind:
1. die ganzen Zahlen (Z; +, ∗) sind ein kommutativer Ring mit Einselement,
2. ebenso sind die rationalen Zahlen (Q; +, ∗) und die reellen Zahlen (R; +, ∗)
kommutative Ringe mit Einselement,
3. die Menge der reellen (n, n)-Matrizen bildet einen (nichtkommutativen)
Ring mit Einselement,
4. (Zn ; +
mod n , ∗ mod n )
ist ein kommutativer Ring mit Einselement.
5. (R[x]; +, ∗) bezeichnet die Menge aller Polynome in einer Variablen x
mit Koeffizienten aus R (reelle Zahlen) mit der bekannten Addition und
Multiplikation von Polynomen. Man nennt R[x] einen Polynomring.
Hierbei handelt es sich um einen kommutativen Ring mit Einselement.
63
Preliminary version – 8. Januar 2002
6. (R[x1 , x2 , . . . , xn ]; +, ∗) ist ebenfalls ein Polynomring, nämlich der, welcher aus allen Polynomen in den Variablen x1 , x2 , . . . , xn mit reellen
Koeffizienten besteht. Es handelt sich wiederum um einen kommutativen Ring mit Einselement.
Wenngleich es auch Ringe ohne Einselement gibt, ein Beispiel dafür ist
(2Z; +, ∗), d.h. die geraden ganzen Zahlen mit Addition und Multiplikation, so sind diese doch nicht von Interesse für uns. Wir vereinbaren daher,
daß wir in Zukunft abkürzend von Ringen sprechen, aber immer Ringe mit
Einselement meinen werden.
Definition 18 Ein Körper K = (K, +, ∗) ist ein Ring mit der zusätzlichen
Eigenschaft, daß (K \ {0}, ∗) eine abelsche Gruppe ist.
In einem Körper kann man also uneingeschränkt Addieren, Subtrahieren,
Multiplizieren und man kann durch alle Elemente mit Ausnahme von 0 dividieren. Beispiele für Körper sind:
1. der Körper Q = (Q, +, ∗) der rationalen Zahlen,
2. der Körper R = (R, +, ∗) der reellen Zahlen,
3. der Körper Zp = (Zp , +
Primzahl p,
mod p , ∗ mod p )
der ganzen Zahlen modulo einer
4. der Körper (R(x), +, ∗) der rationalen Funktionen mit reellen Koeffizienten in einer Variablen,
5. der Körper (R(x1 , . . . , xn ), +, ∗) der rationalen Funktionen mit reellen
Koeffizienten in n Variablen.
Die ersten beiden Beispiele sind Ihnen bereits aus der Schule bekannt, Beispiel 3 haben wir schon in den vergangenen Kapiteln mehrfach aufgegriffen und insbesondere die erforderlichen Gruppeneigenschaften bereits festgestellt. Die beiden letzt genannten Körper bestehen gerade aus Brüchen
von Polynomen. Besonders im Falle nur einer Variablen verlaufen die Rechnungen darin ganz ähnlich zu denen in den rationalen Zahlen. Bei mehr
als zwei Variablen enstehen zusätzliche (aber keine unüberwindlichen) Probleme beim Berechnen des größten gemeinsamen Teilers (ggT) von Zähler
und Nenner. Das Bestimmen des ggT von Zähler und Nenner benötigt man,
64
Preliminary version – 8. Januar 2002
um die Brüche in vollständig gekürzter Form darstellen zu können. In den
ganzen Zahlen ebenso wie im Polynomring R[x] kann das Berechnen größter
gemeinsamer Teiler mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus geschehen. Diesen Algorithmus werden Sie in den einzelnen Übungsgruppen besprechen,
denn er ist auch die Grundlage der Inversen-Berechnung in Zp .
Der Homomorphiebegriff algebraischer Strukturen läßt sich auch für Ringe
präzisieren. Aber zusätzlich zur Homorphieeigenschaft für Strukturen des
Typs (2, 2) verlangt man von Ringhomomorphismen, daß das Einselement
des Vorbereichsringes auf das Einselement des Nachbereichsringes abgebildet wird. Im Gegensatz zu den Gruppen (siehe Satz 11(ii)) folgt ϕ(1) = 1
nicht automatisch aus den Ringeigenschaften. Da jeder Ringhomomorphismus ϕ : (R, +, ∗) → (S, +, ∗) insbesondere auch Gruppenhomomorphismus
der additiven Gruppen (R, +) und (S, +) ist, gelten die in Satz 11 aufgeführten Eigenschaften in Bezug auf die Operation +. Eigenschaft (i) gilt natürlich
auch für Ringe, denn diese beinhalten ebenfalls keine Relationen. In Bezug
auf die Multiplikation mussten wir Eigenschaft (ii) explizit fordern, dann
ergibt sich jedoch Eigenschaft (iii) wieder von selbst, sofern denn a ∈ R
überhaupt ein multiplikatives Inverses besitzt. Eigenschaften (iv) und (v)
gelten in der schärferen Form, daß Bildϕ und Kernϕ = ϕ−1 (0) sogar Unterringe von S beziehungsweise R sind. Das Injektivitätskriterium (vi) gilt
natürlich auch für Ringe.
Ein Beispiel für einen Ringhomomorphismus ist
ϕn : (Z, +, ∗) → (Zn , +
mod n , ∗
mod n )
mit ϕn (a) = a mod n.
Handelt es sich bei beiden Ringen sogar um Körper, so sprechen wir auch
von Körperhomomorphismen. Ein Beispiel für einen Körpermonomorphimus
ist die natürliche Einbettung ϕ : Q → R, wobei ϕ(a) = a für alle rationalen
Zahlen a. Im Vorgriff auf den nächsten Abschnitt sei bereits der durch ϕ(a +
ib) = a − ib definierte Körperisomorphimus ϕ : C → C der komplexen Zahlen
mit genannt.
4.2.1
Der Körper C der komplexen Zahlen
Im Laufe des Aufbaus der Zahlenbereiche von den natürlichen bis zu den reellen Zahlen wurden durch sukzessive Hinzunahme neuer Elemente Unzulänglichkeiten beseitigt. Die reellen Zahlen haben schließlich die Eigenschaft, daß
65
Preliminary version – 8. Januar 2002
Addition, Subtraktion und Multiplikation ohne Einschränkung ausführbar
sind. Außerdem kann durch beliebige von Null verschiedene Zahlen dividiert
werden und jede Chauchy-Folge reeller Zahlen besitzt eine reelle Zahl als
Grenzwert. Letzteres bedeutet grob gesprochen, daß die reelle Zahlengerade
keine Lücken hat.
Wir wollen jetzt eine Zahlenbereichserweiterung vornehmen, die eine weitere
Unzulänglichkeit beseitigt. In den reellen Zahlen ist nicht jede Gleichung der
Gestalt
xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 ,
wobei an−1 , . . . , a0 reelle Zahlen sind, lösbar. Zum Beispiel hat die einfache
Gleichung x2 + 1 = 0 keine reelle Lösung. Wir legen fest, daß diese Gleichung
in unserem neuen Zahlenbereich die Lösung i haben soll, i heißt die imaginäre
Einheit und zeichnet sich durch die Eigenschaft i2 = −1 aus.
Die Menge C = {a + ib | a, b ∈ R} der komplexen Zahlen besteht aus allen
formalen Summen a+ib, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre
Einheit ist. Für eine komplexe Zahl z = a + ib nennt man a den Realteil
Re z und b den Imaginärteil Im z von z. Vereinbarungsgemäß schreibt man
abkürzend a für a + i0, b für 0 + ib und a − ib für a + i(−b).
Für komplexe Zahlen z = a + ib und s = c + id gelten folgende Rechenregeln:
z + s = (a + c) + i(b + d)
−z = −a − ib
z ∗ s = (ac − bd) + i(ad + bc)
b
a
−i 2
für z 6= 0 .
z −1 = 2
2
a +b
a + b2
Diese ergeben sich einfach dadurch, daß man mit den komplexen Zahlen so
rechnet, als wären sie Polynome oder Brüche von Polynomen in der Variablen
i und im Anschluß daran die Beziehung i2 = −1 ausnutzt. Bei Addition und
Negation sind die Regeln einfach einzusehen. Betrachten wir Multiplikation
und Inverses noch etwas genauer. Die Multiplikationsregel ergibt sich aus
(a + ib)(c + id) = ac + i2 bd + iad + ibc = ac − bd + i(ad + bc) .
Entsprechend berechnen wir
1
a − ib
a − ib
a − ib
a − ib
=
= 2
= 2
= 2
.
2
2
2
a + ib
(a + ib)(a − ib)
a − (ib)
a −i b
a + b2
66
Preliminary version – 8. Januar 2002
Die komplexen Zahlen mit + und ∗ bilden einen Körper. Neutrales Element
der Addition (Nullelement) ist 0 = 0 + i0 und neutrales Element der Multiplikation (Einselement) ist 1 = 1+i0. Durch Nachrechnen sieht man, daß die
oben angegebenen Elemente −z und z −1 entgegengesetztes beziehungsweise
multiplikatives Inverses von z sind.
Darüberhinaus gilt der
Satz 14 (Fundamentalsatz der Algebra, Gauß) Jede Gleichung
xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0
mit n ≥ 1 und komplexen Koeffizienten an−1 , . . . , a0 besitzt mindestens eine
komplexe Lösung.
x = α ist genau dann eine Lösung der Gleichung
xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 ,
wenn das Polynom xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 durch das Polynom x − α
teilbar ist. Es gilt also xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (x − α)(xn−1 +
bn−2 xn−2 + · · · + b1 x + b0 ). Im Falle n > 1 kann man nun den obigen Satz
auf die Gleichung xn−1 + bn−2 xn−2 + · · · + b1 x + b0 = 0 anwenden. Mittels
vollständiger Induktion zeigt man, daß es (nicht notwendigerweise paarweise
verschiedene) komplexe Zahlen α1 , . . . , αn gibt, so daß
xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = Πnj=1 (x − αj ) .
Man sagt dazu auch, über den komplexen Zahlen zerfällt jedes Polynom in
einer Variablen in Linearfaktoren, d.h. in ein Produkt von Polynomen vom
Grad 1.
Bei der Herleitung der Rechenregel für z −1 für z = a + ib wurde der Bruch
1
mit der komplexen Zahl a − ib erweitert, diese Zahl nennt man die konjuz
giert komplexe Zahl z̄ = a − ib von z. Die konjugiert komplexe Zahl besitzt
eine besondere Bedeutung, beispielsweise hatten wir im vorangegangen Abschnitt festgestellt, daß z 7→ z̄ einen Automorphismus der komplexen Zahlen,
d.h. einen Isomorphismus der komplexen Zahlen in sich, beschreibt. Dabei
handelt es sich neben dem identischen Automorphismus um den einzigen Automorphismus komplexer Zahlen, welcher den Teilkörper der reellen Zahlen
festläßt. Letzteres bedeutet, jede reelle Zahl a = a + i0 hat sich selbst als
Bild.
67
Preliminary version – 8. Januar 2002
Eine komplexe Zahl läßt sich als geordnetes Paar zweier reeller Zahlen, nämlich
bestehend aus ihrem Real- und ihrem Imaginärteil, schreiben. Dieses Paar
kann als Koordinaten eines Punktes der Ebene bezüglich eines kartesischen
Koordinatensystems gedeutet werden. Dabei vereinbart man, daß die horizontale Achse (reelle Achse) den Real- und die vertikale Achse (imaginäre
Achse) den Imaginärteil angibt. Ähnlich der Darstellung der reellen Zahlen
auf einer Zahlengerade erhält man so eine Darstellung der komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene. Wie die reellen Zahlen die Zahlengerade
lückenlos bedeckten, so bedecken die Zahlenebene ebenfalls lückenlos.
Aus der geometrischen Veranschaulichung lassen sich zwei weitere Bestimmungsstücke einer komplexen Zahl z = a + ib ablesen. Betrachtet man
ihren Ortsvektor, damit meint man die gerichtete Strecke vom Koordinatenursprung zur komplexen Zahl, so wird dieser durch seine Länge und den
Winkel ϕ, den er entgegen des Uhrzeigersinns mit der reellen Achse einschließt, eindeutig beschrieben.
Die Länge des Ortsvektors
berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras
√
2
2
nach der Formel a + b , man nennt sie den Betrag von z und bezeichnet
68
Preliminary version – 8. Januar 2002
sie mit |z|. Es gilt
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)
und diese Darstellung nennt man die trigonometrische Darstellung der komplexen Zahl z. Durch Betrachtung der Taylorreihenentwicklungen zeigt man
die Eulersche Formel eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ und gelangt zur Exponentialdarstellung
z = |z|eiϕ
der komplexen Zahl z. Die Exponentialdarstellung eignet sich besonders zum
Berechnen von Produkten, Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen.
Für beliebige komplexe Zahlen z, s ∈ C gelten die Beziehungen
1
= −i
i
1
Re z =
(z̄ + z)
2
i
(z̄ − z)
Im z =
2
|z|2 = z z̄
|z| = |z̄|
z̄
z −1 =
für z 6= 0
|z|2
|zs| = |z| ∗ |s|
|z + s| ≤ |z| + |s| (Dreiecksungleichung)
69
Preliminary version – 8. Januar 2002
Übungsaufgaben, Serie 5
13. Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in Exponentialdarstellung
dar!
(a) 3 + 4i
(b)
1
2
− 23 i
(c) 1 + i
(d) 3i
(e) π − πi
14. Berechnen Sie Betrag, Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen
Zahlen!
(a) 1 − i
√
√
(b) 17 + 2i 2
π
(c) 4ei 4
(d) e−2i
√
(e) 2(cos π2 + i sin π2 )
15. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem




i
1+i
2
3
 −1 2 − i
3  ∗ xT = 1 + i
1 − 3i
0
2 + 3i
0
über dem Körper C der komplexen Zahlen.
70
Preliminary version – 8. Januar 2002
Kapitel 5
Lineare Gleichungssysteme II
Die in Kapitel 3 für reelle Zahlen eingeführten Matrizen und die darauf aufbauenden Algorithmen und Methoden benutzen nichts als die vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durch von
Null verschiedene Zahlen. Sie können daher auf beliebige Körper übertragen
werden. Die Menge der (m, n)-Matrizen mit Einträgen aus dem Körper K
werden wir in Zukunft mit Km,n bezeichnen. Eine Reihe von Ergebnissen
und Methoden bedürfen nicht einmal der Division und lassen sich sogar auf
Matrizen mit Einträgen aus einem kommutativen Ring R übertragen. Den
Raum der (m, n)-Matrizen über dem kommutativen Ring R mit Einselement
bezeichnen wir mit Rm,n , mit der Addition bildet dieser wiederum eine abelsche Gruppe. Ebenso bildet Rn,n mit Matrizenaddition und -multiplikation
einen (nichtkommutativen) Ring.
Wir wollen nun den Begriff der Determinante einer quadratischen Matrix
einführen, damit wird es uns zum einen möglich werden, einige Ergebnisse
aus Kapitel 3 eleganter auszudrücken und zum anderen werden wir in Spezialfällen zu alternativen Algorithmen zum Lösen von Gleichungssystemen gelangen. Außerdem wollen wir in Zukunft die Einschränkung auf reelle Zahlen
auch begrifflich aufgeben und davon ausgehen, daß unsere Rechnungen über
einem beliebigen Körper, manchmal sogar über einem kommutativen Ring,
ablaufen.
71
Preliminary version – 8. Januar 2002
5.1
Determinaten
Definition 19 (Nach Leibniz)
1
Sei A = (ai,j ) i=1,... ,n ∈ Rn,n eine quadraj=1,... ,n
tische, n-reihige Matrix mit Einträgen aus dem kommutativen Ring R mit
Einselement. Dann definiert man die Determinante |A| (alternative Bezeichnung det A) von A als
a1,1 a1,2 . . . a1,n a2,1 a2,2 . . . a2,n X
|A| = ..
sgnπ a1,π(1) a2,π(2) · · · an,π(n)
..
.. =
.
.
. π∈Sn
an,1 an,2 . . . an,n X
=
sgnπ Πni=1 ai,π(i)
π∈Sn
Für die Berechnung zwei- und dreireihiger Determinaten lassen sich leicht
Formel angeben.
a b (5.1)
c d = ad − cb
a b c d e f = aei + bf g + cdh − ceg − bdi − af h
(5.2)
g h i Verbal kann man formulieren, die Determinante einer zweireihigen Matrix
ist die Differenz des Produktes der Elemente der Hauptdiagonalen und des
Produktes der Elemente der Nebendiagonalen. Für dreireihige Matrizen kann
man sich die Berechnung der Determinanten mittels der Regel von Sarrus
verdeutlichen.
Dazu schreibt man die ersten zwei Spalten noch einmal rechts neben die
Matrix. Die Determinante ergibt sich dann als die Summe der Produkte
der drei von links oben nach rechts unten verlaufenden Diagonalen (Hauptdiagonalen) minus die Summe der Produkte der drei von rechts oben nach
links unten verlaufenden Diagonalen (Nebendiagonalen). Ganz analog zu
den zweireihigen Determinanten kann man die Rechenvorschrift grob durch
Hauptdiagionalen - Nebendiagonalen umschreiben.
1
Diese Definition geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), einen der bedeutensten Söhne unserer Stadt Leipzig, zurück.
72
Preliminary version – 8. Januar 2002
Das folgende Bild verdeutlicht die Sarrussche Regel, die Produkte der Elemente der durchgezogenen Diagonalen werden addiert, die der gepunkteten
Diagonalen subtrahiert. Man erkennt leicht die Übereinstimmung mit Formel
(5.2).
Auf Matrizen mit mehr als 3 Reihen läßt sich die Regel Hauptdiagonalen
- Nebendiagonalen leider nicht übertragen. Auch die direkte Anwendung
der Leibnizschen Definition wird sehr schnell unpraktikabel, denn die Anzahl
der Summanden wächst rasend schnell mit der Zeilenzahl (n!).
Zunächst wollen wir uns einen rekursiven Algorithmus zur Determinantenberechnung überlegen.
Definition 20 Sei A = (ai,j ) i=1,... ,n ∈ Rn,n eine quadratische Matrix mit
j=1,... ,n
Einträgen aus dem kommutativen Ring R. Wir bezeichnen die Unterdeterminante von |A|, welche durch Streichen der k-ten Zeile und l-ten Spalte
entsteht, mit Dk,l , d.h.
Dk,l
a1,1
.
.
.
a
= k−1,1
ak+1,1
.
..
a
n,1
...
a1,l−1
..
.
a1,l+1
..
.
. . . ak−1,l−1 ak−1,l+1
. . . ak+1,l−1 ak+1,l+1
..
..
.
.
. . . an,l−1
an,l+1
. . . ak−1,n .
. . . ak+1,n .. . . . . an,n ...
a1,n
..
.
Weiterhin wird Ak,l := (−1)k+l Dk,l die zum Element ak,l gehörige Adjunkte
von |A| genannt.
73
Preliminary version – 8. Januar 2002
Lemma 4 (Spezialfall des Entwicklungssatzes von Laplace) Für jede
quadratische Matrix A = (ai,j ) i=1,... ,n ∈ Rn,n gilt
j=1,... ,n
|A| =
n
X
(−1)j+1 a1,j D1,j =
j=1
n
X
a1,j A1,j
(5.3)
j=1
Beweis: Es gilt
D1,j
a2,1 . . . a2,j−1 a2,j+1 . . . a2,n ..
.
.
.
.
.
.
= .
.
.
.
an,1 . . . an,j−1 an,j+1 . . . an,n X
=
sgnσa2,σ(1) · · · an,σ(n−1)
σ∈S({1,2,... ,j−1,j+1,... ,n})
Also kommen in a1,j Di,j bis auf das Vorzeichen gerade alle Summanden der
Gestalt a1,π(1) · · · an,π(n) mit π ∈ Sn und π(1) = j vor. Wir haben also das
Verhältnis von sgnσ und sgnπ für einander entsprechende Permutationen
σ ∈ S({1, 2, . . . , j − 1, j + 1, . . . , n}) und π ∈ Sn zu untersuchen. Jede
Fehlstellung in σ ist auch Fehlstellung in π, dazu kommen aber noch die
Fehlstellungen, die durch π(1) = j hervorgerufen werden. Dabei handelt es
sich um genau j − 1 Stück, denn j steht vor allen Zahlen 1, . . . , j − 1. Also
unterscheiden sich sgnπ und sgnσ gerade um den Faktor (−1)j−1 = (−1)j+1
und dieser wird in der Entwicklungsformel ausgeglichen.
Die Gleichheit der zweiten und der dritten Summe sind klar, denn die Adjunkten enthalten die notwendige Vorzeichenkorrektur bereits.
2
Gleichung (5.3) nennt man auch die Entwicklung der Determinante |A| nach
der 1. Reihe. Mit Hilfe der folgenden zwei Lemmata läßt sich der Laplacesche
Entwicklungssatz noch etwas verallgemeinern.
Lemma 5 Für alle A ∈ Rn,n gilt |A| = |AT |.
74
Preliminary version – 8. Januar 2002
Beweis: Es gilt
a1,1 a2,1 . . . an,1 a1,2 a2,2 . . . an,2 |AT | = ..
..
.. .
.
. a1,n a2,n . . . an,n X
=
Πni=1 sgnπ aπ(i),i
π∈Sn
=
X
Πni=1 sgnπ ai,π−1 (i)
(5.4)
π∈Sn
Aufgrund
der in Satz 12festgestellten Homomorphieeigenschaft von sgn gilt
1 2 ··· n
1 = sgn
= sgn(π ◦ π −1 ) = sgn(π)sgn(π −1 ) und daraus folgt
1 2 ··· n
sgn(π) = sgn(π −1 ) für alle π ∈ Sn . Außerdem können die in (5.4) auftretenden Summanden beliebig umsortiert werden. Damit ergibt sich schließlich
X
X
|AT | =
Πni=1 sgnπ −1 ai,π−1 (i) =
Πni=1 sgnπ ai,π(i) = |A|
π∈Sn
π∈Sn
2
Lemma 6 Für alle A ∈ Rn,n und 1 ≤ k < l ≤ n gilt
|Azk ↔zl | = −|A| .
Beweis: Azk ↔zl entsteht aus A durch Vertauschen der k-ten und l-ten Zeile.
Bis auf das Vorzeichen treten in der Leibnizschen Formel für |Azk ↔zl | die gleichen Summanden auf, wie in der für |A|. Allerdings gehören die Summanden
nicht zur gleichen Permutation. Der zu π gehörige Summand a1,π(1) · · · an,π(n)
aus |A| gehört bei |Azk ↔zl | zur Permutation σ = (k l)◦π und nach Satz 12 gilt
sgnσ = −sgnπ. Demzufolge werden die Vorzeichen sämtlicher Summanden
der Leibnizschen Formel gerade umgedreht und es folgt die Behauptung. 2
Schließlich können wir sofort schlußfolgern:
Satz 15 (Entwicklungssatz von Laplace) Für jede quadratische Matrix
75
Preliminary version – 8. Januar 2002
A = (ai,j ) i=1,... ,n ∈ Rn,n und jede natürliche Zahl i, 1 ≤ i ≤ n, gelten
j=1,... ,n
|A| =
=
n
X
j=1
n
X
i+j
(−1)
ai,j Di,j =
(−1)j+i aj,i Dj,i =
j=1
n
X
j=1
n
X
ai,j Ai,j
(5.5)
aj,i Aj,i
(5.6)
j=1
Beweis: Formel (5.5) folgt, indem man zunächst die i-te Zeile von A mit
allen vorherigen Zeilen vertauscht, bis sie ganz oben steht. Dazu sind i − 1
Vertauschungen erforderlich, also ändert sich die Determinante um (−1)i−1 .
Multipliziert man damit die Entwicklung (5.3) der nach dem Vertauschen
erhaltenen Matrix, so erhält man Formel (5.5).
Formel (5.6) ergibt sich, indem man zur transponierten Matrix AT übergeht
und darauf Formel (5.5) anwendet.
2
(5.5) nennt man Entwicklung der Determinante nach der i-ten Zeile und
(5.6) heißt Entwicklung der Determinante nach der i-ten Spalte. Mit Hilfe
des Laplaceschen Entwicklungssatz kann man die Berechung einer n-reihigen
Determinante auf die Berechnung von (höchstens) n (n − 1)-reihigen Determinanten zurückführen. Durch wiederholtes Anwenden des Laplaceschen
Entwicklungssatzes gelangt man schließlich zu einem rekursiven Algorithmus,
der die Berechnung einer n-reihigen Determinanten (für n ≥ 4) auf die Berechnung von (schlimmstenfalls) n!6 dreireihigen Determinanten zurückführt.
Letztere lassen sich mit der Regel von Sarrus bestimmen. Betrachtet man
diese Aufwandsabschätzung, so hat man den Eindruck, daß der Entwicklungsaufwand auch nicht geringer ist als bei Anwendung des Leibnizschen
Verfahrens. Im schlimmsten Fall ist das leider ebenso richtig wie unvermeidlich, sind nämlich die Einträge der Matrix paarweise verschiedene Variablen
eines Polynomringes, so ist das Ergebnis in der Tat ein Polynom bestehend
aus n! Summanden und allein der Aufwand, um das Ergebnis aufzuschreiben, gehört der Komplexitätsklasse O(n!) an. Andererseits nimmt der Entwicklungsaufwand aber deutlich ab, wenn die Matrix Nullen enthält. Es ist
vorteilhaft, nach einer Zeile oder Spalte zu entwickeln, welche möglichst viele
Nullen enthält. Die zu den Nullen gehörigen Adjunkten brauchen nicht berechnet zu werden, da sie im Anschluß ohnehin mit Null multipliziert werden
würden und daher keinen Einfluß auf die Determinante haben.
76
Preliminary version – 8. Januar 2002
Damit kommen wir zu einer Reihe von Folgerungen aus den vorangegangenen
Lemmata und dem Laplaceschen Entwicklungssatz. Diese erlauben es in vielen Fällen, Determinanten sofort abzulesen oder wenigstens so umzuformen,
daß sie mehr Nullen enthalten.
Folgerung 3 Sei A = (ai,j ) i=1,... ,n ∈ Rn,n eine quadratische Matrix.
j=1,... ,n
1. Enthält eine Zeile oder Spalte von A ∈ Rn,n nur Nullen, so gilt |A| = 0.
2. Enthält A eine Zeile oder Spalte doppelt, so gilt |A| = 0.
3. Gilt ai,j = 0 für alle 1 ≤ i < j ≤ n, dann haben wir |A| = a1,1 · · · an,n .
4. |A| = a1,1 · · · an,n , falls ai,j = 0 für alle 1 ≤ j < i ≤ n.
5. Jeder Eintrag der k-ten Zeile von A sei eine Summe ak,j = bk,j + ck,j .
Dann gilt
a1,1
...
a1,n a1,1 . . . a1,n a1,1 . . . a1,n .
.. ..
.. ..
..
.
. .
.
.
.
.
...
ak−1,n ak−1,1 . . . ak−1,n ak−1,1 . . . ak−1,n ak−1,1
|A| = bk,1 + ck,1 . . . bk,n + ck,n = bk,1 . . . bk,n + ck,1 . . . ck,n ...
ak+1,n ak+1,1 . . . ak+1,n ak+1,1 . . . ak+1,n ak+1,1
.. ..
..
.. ..
...
.
. .
.
.
a
...
an,n
an,1 . . . an,n
an,1 . . . an,n n,1
6. Aussage 5) gilt in entsprechender Weise auch für Spalten.
7. Sei 1 ≤ k ≤ n. Für beliebige λ ∈ R gelten |Aλzk | = λ|A| sowie
|Aλsk | = λ|A|.
8. Für beliebiges λ ∈ R gilt |λA| = λn |A|.
9. Für alle k 6= l und λ ∈ R gilt |Azk +λzl | = |Ask +λsl | = |A|.
Beweis: 1) Entwicklung nach der Nullzeile beziehungsweise -spalte liefert eine
Summe von Produkten, wobei jeweils einer der Faktoren 0 ist. Also sind alle
Produkte und damit die Summe 0.
2) Nehmen wir an, die k-te und die l-te Zeile seien gleich (k 6= l), dann gilt
Azk ↔zl = A. Außerdem gilt nach Lemma 6 |A| = −|Azk ↔zl |. Also |A| = −|A|
und folglich |A| = 0. Analog zeigt man die Behauptung für gleiche Spalten.
77
Preliminary version – 8. Januar 2002
3) Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion über die Zeilenzahl
n.
Induktionsanfang: Für n = 1 ist die Behauptung richtig, denn für A = (a1,1 )
gilt nach Leibnizscher Definition |A| = a1,1 .
Induktionsvoraussetzung: Für jede (n − 1)-reihige Matrix A mit ai,j = 0 für
alle 1 ≤ i < j ≤ n − 1 gilt |A| = a1,1 · · · an−1,n−1 .
Induktionsbehauptung: Für jede n-reihige Matrix A mit ai,j = 0 für alle
1 ≤ i < j ≤ n gilt |A| = a1,1 · · · an,n .
Induktionsbeweis:
A sei n-reihig. Entwicklung nach der n-ten Zeile liefert
P
|A| = nj=1 an,j An,j = an,n An,n = an,n Dn,n , da an,j = 0 für alle j = 1, . . . , n−
1 und An,n = (−1)2n Dn,n = Dn,n . Die Unterdeterminante An−1,n−1 ist (n−1)reihig und genügt der Induktionsvoraussetzung, also An,n = a1,1 · · · an−1,n−1 .
Einsetzen liefert die Induktionsbehauptung |A| = a1,1 · · · an,n .
4) Könnte man analog zu 3 beweisen. Andererseits hat aber AT die unter
3 vorausgesetzte Gestalt und daher folgt die Behauptung auch sofort aus 3
und Lemma 5.
5) Entwicklung von A nach der k-ten Zeile liefert
A=
n
X
(bk,j + ck,j )Ak,j =
j=1
n
X
bk,j Ak,j +
j=1
n
X
ck,j Ak,j
j=1
Die Summen auf der rechten Seite sind gerade die Entwicklungen der auf der
rechten Seite der Behauptung auftretenden Matrizen nach der k-ten Zeile.
Also gilt die behauptete Gleichheit.
6) Folgt durch Transponieren von A aus 5).
7) Entwickeln nach der k-ten Zeile zeigt
|Aλzk | =
n
X
λak,j Ak,j = λ
j=1
n
X
ak,j Ak,j = |A| .
j=1
Analog folgt die Behauptung für Vervielfachung einer Spalte.
8) Folgt sofort aus 7).
9) Anwendung von 5 zeigt |Azk +λzl | = |A| + |B|, wobei sich B aus A dadurch
ergibt, daß man die k-te Zeile durch das λ-Fache der l-ten Zeile ersetzt.
Mittels 7 kann der Faktor λ aus |B| herausgezogen werden. Die l-te und
die k-te Zeile der dabei entstehenden Determinante sind gleich, also ist diese
Determinante und damit auch |B| nach 2 gleich 0.
2
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Preliminary version – 8. Januar 2002
Wir haben beim Beweis von Eigenschaft 3 das Beweisprinzip der vollständigen Induktion gewählt, um diese wichtige Prinzip einmal aufzufrischen. Alternativ kann man die Eigenschaft aber auch wie folgt nachweisen. Mit
Ausnahme der identischen Permutation gilt für jede Permutation π ∈ Sn ,
daß wenigstens einer der Faktoren des Produktes a1,π(1) · · · an,π(n) gleich Null
ist. Demnach ergibt sich aus der Leibnizschen Determinantendefinition |A| =
sgn(1) a1,1 · · · an,n = a1,1 · · · an,n und wir sind fertig.
Im Vorfeld von Folgerung 3 hatten wir angedeutet, daß man häufig durch
Umformung erreichen kann, daß in einer Determinante mehr Nulleinträge
vorkommen. Diesem Zweck dienen vorrangig die Folgerungen 5) und 7).
Ist R sogar ein Körper und nicht einfach nur ein kommutativer Ring mit
Einselement, so kann man Determinanten mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus berechnen. Der Aufwand dafür ist nur von der Komplexitätsordnung
O(n3 ), was sehr viel kleiner als O(n!) ist. Lemma 6 sowie die Eigenschaften
7) und 9) aus Folgerung 3 zeigen auf, wie sich die Determinante einer Matrix
bei Anwendung elementarer Zeilenoperationen verändert.
Wendet man den Gaußalgorithmus genau nach der in Abschnitt 3.1.2 angegebenen Vorschrift an, so benötigt man gar keine Zeilenvervielfachungen.
Die Determinante der letztendlich enthaltenen Zeilenstufenform stimmt also
bis auf das Vorzeichen mit der der Ausgangsmatrix überein. Ob ein Vorzeichenwechsel erfolgt, richtet sich nur danach, wieviele Zeilenvertauschungen
im Laufe der Abarbeitung in Schritt 4 des Algorithmus ausgeführt wurden.
Ist die Anzahl gerade, so haben Ausgangsmatrix und Zeilenstufenform die
gleiche Determinante andernfalls unterscheiden sie sich gerade um den Faktor −1. Die Determinante einer quadratischen Matrix in Zeilenstufenform
berechnet sich aber gemäß Folgerung 3(3) ganz einfach als das Produkt der
Hauptdiagonalelemente. Insbesondere ist die Determinante genau dann Null,
wenn weniger als n Stufen vorliegen, die Matrix also einen Rang kleiner n
besitzt.
Merksatz 8 Sei A ∈ Kn,n eine n-reihige quadratische Matrix mit Einträgen
aus einem Körper K.
Es gilt |A| = 0 genau dann, wenn RangA < n.
Ist B = (bi,j ) eine zu A äquivalente Matrix in Zeilenstufenform, welche mit
Hilfe des in Abschnitt 3.1.2 angegebenen Gaußalgorithmus berechnet wurde,
so gilt
|A| = (−1)p |B| = (−1)p b1,1 · · · bn,n ,
79
Preliminary version – 8. Januar 2002
wobei p die Anzahl der bei der Berechnung von B vorgenommenen Zeilenvertauschungen ist.
Führt man den Gaußalgorithmus in allgemeinerer Form durch, wobei man die
Verwendung beliebiger elementarer Zeilen- und Spaltenoperationen zuläßt, so
gilt
(−1)p+q
(−1)p+q
|A| =
|B| =
b1,1 · · · bn,n ,
λ1 · · · λ k
λ 1 · · · λk
wobei p wieder die Anzahl der vorgenommenen Zeilenvertauschungen, q die
Anzahl der vorgenommenen Spaltenvertauschungen bezeichnen sowie k Vervielfachungen von Zeilen oder Spalten mit den von Null verschiedenen Faktoren λ1 , . . . , λk−1 sowie λk aufgetreten sind.
Da die n-reihigen quadratischen Matrizen mit Rang n besonders bedeutsam
sind, führt man für sie einen Namen ein:
Definition 21 Besitzt eine n-reihige quadratische Matrix A den Rang n, so
sagt man A hat Vollrang und nennt A eine reguläre Matrix. Gilt dagegen
RangA < n, so nennt man A eine singuläre Matrix.
Gemäß dem obigen Merksatz ist die Regularität der quadratischen Matrix A
gleichbedeutend zu der Bedingung
|A| =
6 0.
Entsprechend ist eine quadratische Matrix A genau dann singulär, wenn ihre
Determinante gleich 0 ist.
Übungsaufgaben, Serie 6
16. Berechnen Sie die Determinante
3 2 −1 5 6
−3 0 1 0 1
2 2 1 1 0 .
4 0 0 0 1
1 2 3 0 2
80
Preliminary version – 8. Januar 2002
17. Berechnen Sie die Determinante
x
0
0
0 x − 2
3
0
3
x
+
1
0
0
1
0 0 .
2 x
18. Berechnen Sie in Abhängigkeit von der Zeilenzahl n ≥ 1 die Determinante der Matrix A = (ai,j ) i=1,... ,n mit den reellen Einträgen
j=1,... ,n
ai,j
5.2

 i + j falls i + j < n + 1
1 falls i + j = n + 1 .
=

0 falls i + j > n + 1
Cramersche Regel zum Lösen linearer Gleichungssysteme
In speziellen Situation kann lineare Gleichungssysteme
AxT = bT
auf direkte Weise mittels Determinanten lösen. Bedingung ist, daß das Gleichungssystem eine nullparametrige Lösungsmenge besitzt, d.h. die Lösungsmenge ist einelementig also ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, und
daß seine Koeffizientenmatrix A quadratisch ist.
Sei also A quadratisch n-reihig. Die Parameteranzahl sollte 0 sein, also gilt
n − RangA = 0. Es ergibt sich RangA = n, was gleichbedeutend zur Regularität der Matrix A ist. Die Lösbarkeit des Gleichungsystems ist klar,
denn da die erweiterte Koeffizientenmatrix (A bT ) nur n Zeilen aufweist,
muß Rang(A bT ) ≤ n gelten, wegen RangA = n ≤ Rang(A bT ) ergibt sich
damit RangA = Rang(A bT ) = n.
Ai bezeichne die Matrix, die entsteht, wenn man die i-te Spalte der Koeffizientenmatrix A durch den Spaltenvektor bT der Absolutglieder ersetzt.
Dann gilt
Satz 16 (Cramersche Regel) Sind A ∈ Kn,n eine n-reihige reguläre Matrix und b ∈ Kn ein beliebiges n-Tupel von Absolutgliedern, dann hat das
lineare Gleichungssystem
AxT = bT
81
Preliminary version – 8. Januar 2002
die einelementige Lösungsmenge
|An |
|A1 | |A2 |
L=
,
,... ,
.
|A| |A|
|A|
Beweis: Zunächst ist klar, daß das Gleichungssystem genau eine Lösung
besitzt, diese sei (β1 , β2 , β3 ) ∈ Kn . Es gilt die Matrizengleichung


  

a1,1
a1,n
b1
 .. 
 ..   .. 
β1  .  + · · · + βn  .  =  . 
an,1
an,n
bn
Die Matrix Ai hat also die Gestalt

Pn
a1,1 · · · a1,i−1
a1,n
j=1 βj a1,j a1,i+1 · · ·

..
..
..
.. 
Ai =  ...
.
.
.
. 
Pn
an,1 · · · an,i−1
j=1 βj an,j an,i+1 · · · an,n

und aus Folgerung 3 ergibt sich für ihre Determinante
|Ai | = βi |A| ,
folglich βi =
|Ai |
,
|A|
wie im obigen Satz behauptet.
Betrachten wir abschließend noch ein Beispiel dazu:
3x + 2y − z = 4
−x − y + 2z = −3
x+z = 5
Es gilt
3
2
−1
|A| = −1 −1 2 = 2 .
1
0
1
82
Preliminary version – 8. Januar 2002
2
Somit sind die Voraussetzungen der Cramerschen Regel erfüllt, und die eindeutig bestimmte Lösung des Gleichungssystems ist
4
2 −1
1
17
−3 −1 2 =
x =
2
2
5
0
1
3
4 −1
1
25
−1 −3 2 = −
y =
2
2
1
5
1
3
2
4 7
1
−1 −1 −3 = −
z =
2
2
1
0
5
Merke: Für Gleichungssysteme mit mehr als drei Variablen ist der Gaußalgorithmus der Cramerschen Regel, vorausgesetzt diese ist überhaupt anwendbar, im allgemeinen vorzuziehen.
5.3
Berechnung inverser Matrizen
Früher (siehe Übungsaufgabe 9) hatten wir einen Algorithmus zum Berechnen der inversen Matrix einer n-reihigen regulären Matrix A angegeben. Dazu war das parallele Lösen von n Gleichungssystemen mit gleicher Koeffizientenmatrix A und Absolutgliedvektoren (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)T erforderlich.
Eine alternative Berechnungsvorschrift, welche darüberhinaus nicht nur in
Körpern sondern beliebigen kommutativen Ringen anwendbar ist, lautet:
Satz 17 Sei A ∈ Rn,n eine n-reihige quadratische Matrix mit Einträgen
aus dem kommutativen Ring R mit Einselement. A besitzt genau dann eine
inverse Matrix in Rn,n , wenn ihre Determinante in R invertierbar ist, d.h.
|A| | 1.
Insbesondere muß A also regulär sein und wenn R sogar ein Körper ist, so
reicht die Regularität auch bereits für die Existenz der inversen Matrix aus.
Im Falle der Existenz der inversen Matrix A−1 von A gilt
A−1 =
1
(Ai,j )T ,
|A|
(5.7)
oder in Worten, die inverse Matrix ist gleich die transponierte Matrix der
Adjunkten von A vervielfacht mit dem Inversen der Determinante von A.
83
Preliminary version – 8. Januar 2002
Beweis: Daß die Bedingung der Invertierbarkeit der Determinanten |A| hinreichend für die Existenz von A−1 ist, wird klar, wenn man nachprüft, daß die
rechte Seite von (5.7) tatsächlich die zu A inverse Matrix ist. Ihre Existenz
ist dann auf jeden Fall gesichert.
Die Notwendigkeit der Bedingung wollen wir hier ohne Beweis festhalten.
Wir weisen aber darauf hin, daß die Notwendigkeit nicht unmittelbar aus
der Formel (5.7) folgt, denn es könnte ja jede Adjunkte Vielfaches der Determinante |A| sein.
Kommen wir nun schließlich zum Nachweis, daß die rechte Seite von (5.7) im
Falle seiner Existenz tatsächlich die inverse Matrix von A darstellt.
Der Eintrag bk,l , 1 ≤ k, l ≤ n, der Produktmatrix
A · (Ai,j )T = (bk,l )k=1,... ,n
l=1,... ,n
P
lautet bk,l = nr=1 ak,r Al,r . Im Falle k = l handelt es sich dabei genau um
die Entwicklung von |A| nach der k-ten Zeile, also gilt bk,k = |A| für alle
k = 1, . . . , n. Gilt dagegen k 6= l, so kann man bk,l als Entwicklung der
Matrix nach der l-ten Zeile auffassen, die entsteht, wenn man in A die lte Zeile durch die k-te Zeile ersetzt. Diese Matrix enthält also die k-te Zeile
doppelt und daher ist ihre Determinante 0. Somit bk,l = 0 für alle 1 ≤ k, l ≤ n
mit k 6= l. Zusammenfassend erkennt man sofort
1
T
(Ai,j )
= En ,
A·
|A|
also wie behauptet A−1 =
1
|A|
(Ai,j )T .
2


2 1 0
Zum Abschluß betrachten wir wieder ein Beispiel dafür. A = 1 0 1 
3 4 −4
Wegen |A| = −1 besitzt A wenigstens dann eine inverse Matrix, wenn wir die
Einträge als zum Körper der rationalen Zahlen, oder auch der reellen oder
komplexen Zahlen, betrachten. Wir erkennen aber sogar noch mehr. Wegen
(−1) ∗ (−1) = 1 ist −1 bereits im Ring der ganzen Zahlen invertierbar.
Aus diesem Grund besitzt A sogar dann eine inverse Matrix, wenn man die
Einträge als zu Z gehörig betrachtet, mit anderen Worten – in der inversen
Matrix von A treten keine Brüche auf.
84
Preliminary version – 8. Januar 2002
Anwendung von Satz 17 liefert
T
 0 1 − 1 1 1 0
3 4 
 4 −4


 3 −4

4
−4
−1

1 
− 1 0 2 0 − 2 1 = −7 8
2 .
A−1 =


3 −4 −1  4 −4
3 4 
−4 5
1
2 0
2 1 
 1 0
−
0 1
1 1
1 0
5.4
Determinantensatz
In Abschnitt 4.1 hatten wir als Beispiel 9 die multiplikative Gruppe der
regulären reellen (n, n)-Matrizen angegeben. Wir wollen uns nun einen weiteren (eleganteren) Beweis der Gruppeneigenschaft anschauen.
Satz 18 (Determinantensatz) Die durch det A = |A| definierte Abbildung det : Kn,n → K ist ein surjektiver Homomorphismus multiplikativer
Monoide. Insbesondere gilt die Gleichheit
det (A · B) = det A ∗ det B für alle A, B ∈ Kn,n .
Beweis: A kann mittels Zeilenvertauschungen und Addition von Vielfachen
einer Zeile zu einer anderen in eine obere Dreiecksmatrix, d.h. unterhalb der
Hauptdiagonalen stehen nur Nullen, überführt werden. Sollte die Anzahl der
vorgenommenen Zeilenvertauschungen ungerade sein, so vervielfachen wir
zum Schluß die erste Zeile der Ergebnismatrix noch mit −1, die letztendlich
auf diese Weise erhaltene Dreiecksmatrix nennen wir A0 . Nach Merksatz 8 gilt
die Gleichheit |A| = |A0 | der Determinanten. Elementare Zeilenoperationen
entsprechen Matrixmultiplikationen von links, also gilt A0 = UA für eine
geeignete (n, n)-Matrix U.
Analog überführt man B mittels elementarer Spaltenoperationen in eine obere Dreiecksmatrix B0 = BV mit der Eigenschaft |B| = |B0 |. Das Matrixprodukt C = A0 B0 ist wieder eine obere Dreiecksmatrix und das i-te Hauptdiagonalelement ci,i von C ist gleich dem Produkt a0i,i b0i,i der i-ten Hauptdiagonalelemente von A0 und B0 . Für jede der oberen Dreiecksmatrizen A0 , B0
und C berechnet sich die Determinante gerade als das Produkt der Hauptdiagonalelemente, also gilt |C| = |A0 | ∗ |B0 | = |A| ∗ |B|.
Die Argumente aus Merksatz 8 können auch auf die Anwendung der durch U
und V beschriebenen elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen auf die
85
Preliminary version – 8. Januar 2002
Produktmatrix AB angewandt werden. Daher gilt |C| = |UABV| = |AB|
und insgesamt folgt die im Satz behauptete Operationsverträglichkeit der
Determinantenabbildung mit der Matrizenmultiplikation.
Die zweite Forderung an einen Monoidhomomorphismus besteht darin, daß
das Einselement auf das Einselement abgebildet wird, wegen |En | = 1 ist das
offensichtlich erfüllt.
Die letzte noch offene Behauptung besteht in der Surjektivität von det . Sei
α ∈ K beliebig, ein Beispiel für eine Matrix mit Determinante α ist die Matrix, die links oben den Eintrag α hat, deren weiteren Hauptdiagonaleinträge
alle 1 sind und die außerhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen enthält.
2
1
für alle regulären Matrizen A ∈ Kn,n .
Insbesondere ergibt sich |A−1 | = |A|
Daraus und aus dem obigen Satz folgt, daß Produkte und Inverse regulärer
Matrizen wieder regulär sind. Zieht man die Existenz des Einselementes
En und der inversen Matrix zu jeder regulären Matrix hinzu, so folgt unter Berücksichtigung der Assoziativität der Matrizenmultiplikation, daß die
Menge der regulären Matrizen aus Kn,n eine multiplikative Gruppe bilden.
Diese Gruppe bezeichnet man auch als Allgemeine lineare Gruppe und bezeichnet sie mit Gl(n, K) (für General linear group).
Schränkt man die Determinantenabbildung auf die Teilmenge der regulären
Matrizen aus Kn,n ein, so erhält man einen Gruppenepimorphismus auf die
multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Elemente von K. Der Kern
des Gruppenepimorphismus, d.h. die Menge aller Matrizen aus Kn,n , deren
Determinante 1 ist, bildet gemäß Satz 11(v) eine Untergruppe der Gl(n, K).
Man nennt sie Spezielle lineare Gruppe und bezeichnet sie mit Sl(n, K) (für
Special linear group).
5.5
Algebraische Struktur der Lösungsmenge
eines linearen Gleichungssystems
Wir betrachten eine Matrix A ∈ Km,n und ein m-Tupel b ∈ Km von Elementen aus dem Körper K. Die Lösungsmenge L des homogenen linearen
Gleichungssystems AxT = OT bildet mit der komponentenweisen Addition
eine abelsche Gruppe (für den Spezialfall K = R siehe auch Übungsaufgabe
10).
Am einfachsten läßt sich diese Aussage dadurch nachweisen, daß man das
Untergruppenkriterium 9 auf L als Teilmenge der abelschen Gruppe (Kn , +)
86
Preliminary version – 8. Januar 2002
anwendet. O ist Lösung jedes homogenen linearen Gleichungssystems, also
ist L nicht leer. Für beliebige a, c ∈ L gilt A(a − c)T = AaT − AcT =
OT − OT = OT , also a − c ∈ L.
Neben der Gruppeneigenschaft besitzt die Lösungsmenge L eines homogenen
linearen Gleichungssystems noch eine weitere strukturelle Eigenschaft. Für
alle λ ∈ K und a ∈ L ist auch das skalare Vielfache λa Lösung des Systems.
Es gilt
A(λa)T = λ AaT = λOT = OT .
Eine derartige algebraische Struktur ist für eine Vielzahl von Anwendungen,
z.B. in der Robotertechnik, der Kodierungstheorie, der Kryptographie und
der Physik, von großer Bedeutung. Man führt daher einen eigenen Namen
für sie sein.
Definition 22 Sei K ein Körper. Unter einem K-Vektorraum2 V versteht
man eine additiv geschriebene abelsche Gruppe über welcher der Körper K
operiert, d.h. zusätzlich zur Gruppenoperation + gibt es eine skalare Multiplikation · : K × V → V mit den Eigenschaften
1. 1 · a = a für alle a ∈ V,
2. λ · (µ · a) = (λµ) · a für alle λ, µ ∈ K und a ∈ V (Assoziativgesetz),
3. λ · (a + b) = λ · a + λ · b für alle λ ∈ K und a, b ∈ V (Distributivgesetz),
4. (λ + µ) · a = λ · a + µ · a für alle λ, µ ∈ K und a ∈ V (Distributivgesetz)
Die Elemente von V nennt man Vektoren.
Die skalare Multiplikation nennt man auch Vervielfachung. Dabei handelt es
sich nicht um eine Operation von V, denn ihr Vorbereich ist keine Potenz
von V, sondern es geht neben einem Vektor auch ein Körperelement in die
Abbildung · ein. In diesem Sinne treffen die Bezeichnungen Assoziativ- und
Distributivgesetz für die Eigenschaften 2–4 nicht ganz zu, die Begriffe stellen
aber naheliegende Verallgemeinerungen dar. Man beachte, daß der Ausdruck
a · λ streng genommen nicht gebildet werden kann, da das erste Argument
von · aus K und das zweite aus V sein muß.
2
Wenn der Körper K aus dem Kontext heraus klar ist, dann sprechen wir häufig
abkürzend von einem Vektorraum.
87
Preliminary version – 8. Januar 2002
Will man einen Vektorraum als abstrakte algebraische Struktur darstellen,
so muß man zu inhomogenen Strukturen, d.h. solchen mit mehr als einer
Trägermenge, übergehen. Man kann dann schreiben V = ({V, K} ; +, ·).
Die Angabe eines Typs (2, 2) reicht zur Beschreibung der Abbildungen nicht
mehr aus. An ihre Stelle tritt die Signatur (VVV, KVV), welche nicht nur
die Anzahl der Argument angibt, sondern auch die Typen der Argumente
und des Funktionswertes beschreibt.
Was passiert nun aber, wenn man ein inhomogenes Gleichungssystem mit
rechter Seite bT betrachtet? Für b 6= O ist die Differenz zweier Lösungen
a, c von AxT = bT sicher keine Lösung dieses inhomogenen linearen Gleichungssystems, denn analog zu oben überzeugt man sich von A(a − c)T =
AaT − AcT = bT − bT = OT . Aber man stellt fest, die Differenz zweier
Lösungen des inhomogenen linearen Gleichungssystems
AxT = bT
ist in jedem Fall Lösung des zugeordneten homogenen linearen Gleichungssystems
AxT = OT .
Ist c eine beliebige Lösung des inhomogenen Systems, so läßt sich nach der
obigen Überlegung jede weitere Lösung c0 des inhomogenen Systems als Summe c0 = c + a aus c und einer geeigneten Lösung a (= c0 − c) des homogenen
Systems darstellen. Umgekehrt ist die Summe c + a für jede Lösung a des
homogenen Systems eine Lösung des inhomogenen Systems. Daraus ergibt
sich der folgende
Merksatz 9 Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem
AxT = bT
läßt sich lösen, indem man zunächst die Lösungsmenge Lhom des zugehörigen
homogenen linearen Gleichungssystems
AxT = OT
berechnet, dann eine spezielle Lösung c des inhomogenen Gleichungssystems
ermittelt (sofern es eine solche Lösung c überhaupt gibt, andernfalls gilt aber
ohnehin Linhom = ∅) und daraus die Lösungsmenge
Linhom = {c + a | a ∈ Lhom }
des inhomogenen Systems zusammensetzt.
88
Preliminary version – 8. Januar 2002
Der Satz zeigt, auch wenn die Lösungsmenge eines inhomogenen linearen
Gleichungssystems selbst kein Vektorraumist, so ist sie doch eng mit einem
Vektorraum verbunden, da die Menge aller möglichen Differenzen zweier
Lösungen einen solchen bildet. Etwas allgemeiner definiert man derartige
Räume:
Definition 23 Unter einem affinen Raum A über dem Körper K versteht
man ein Paar (A, V) bestehend aus einer Menge A von Punkten und einem
K-Vektorraum V, die folgendermaßen zusammenhängen:
1. jedes geordnete Paar (P, Q) ∈ A2 von Punkten bestimmt eindeutig
−→
einen Vektor aus V, diesen bezeichnet man mit P Q,
2. zu jedem Punkt P ∈ A und jedem Vektor v ∈ V gibt es einen Punkt
−→
Q ∈ A, so daß P Q = v gilt,
−→ −→ −→
3. für drei Punkte P, Q, R gilt stets P Q + QR = P R.
Anmerkung: Zuweilen werden Bezeichner für Vektoren in der Literatur mit
Pfeilen überstrichen. Wir wollen das hier nicht tun, da die Vektoreigenschaft
bereits aus der Zugehörigkeit zu einem Vektorraum deutlich wird. So schrei→
ben wir in Eigenschaft 2) v und nicht −
v . Wegen v ∈ V handelt es sich
dennoch um einen Vektor. Anders verhält es sich dagegen mit der Schreib−→
weise P Q aus Eigenschaft 1). Hier dient die Pfeilüberstreichung im Grunde
→ : A×A→V.
genommen als Symbol einer Abbildung −
Überlegen wir uns, daß die Lösungsmenge Linhom eines inhomogenen linearen
Gleichungssystemen in n Variablen über dem Körper K tatsächlich ein affiner
Raum gemäß dieser Definition ist. Dazu setzen wir A = Linhom und V =
Lhom . Zwei beliebigen Lösungen a, c ∈ Linhom = A ordnen wir den Vektor
−
→ := c−a ∈ V = L
ac
hom zu. Dabei steht auf der rechten Seite die gewöhnliche
Subtraktion von Elementen aus Kn . Auf diese Weise haben wir der Forderung
1 Genüge getan. Andererseits ist für beliebige a ∈ Linhom und v ∈ Lhom
auch c := a + v ∈ Linhom , wobei sich die Summe wiederum auf Kn bezieht.
→ = (a + v) − a = v gemäß der Rechenregeln in Kn ist somit auch
Wegen −
ac
Eigenschaft 2 erfüllt. Betrachten wir schließlich die Punkte a, c, d ∈ Linhom .
Mittels der Rechenregeln in Kn überzeugen wir uns leicht von der Gültigkeit
→
−
→
→+−
der Gleichung −
ac
cd = (c − a) + (d − c) = d − a = ad, also Eigenschaft 3.
89
Preliminary version – 8. Januar 2002
5.6
Geometrische Deutung der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems
Ein geordnetes Paar reeller Zahlen kann als Punkt der Ebene gedeuted werden, indem man es als Koordinaten bezüglich eines fest gewählten kartesischen Koordinatensystems der Ebene auffaßt. In diesem Sinne beschreibt
die Menge R2 die Punkte der reellen Ebene. Ebenso kann man Tripel reeller Zahlen als Punkte des Raumes deuten, indem man sie als Koordinaten
bezüglich eines festen kartesischen Koordinatensystems des Raumes ansieht.
Allgemein beschreiben die Elemente der Menge Rn durch Deutung als Koordinaten bezüglich eines festen kartesischen Koordinatensystems die Punkte des n-dimensionalen Raumes. Aus diesem Grund bezeichnet man den
n-dimensionalen Raum auch mit Rn . Für n ≥ 4 geht die geometrische Anschauung bereits verloren, noch weiter löst man sich davon, wenn man Räume
Kn für beliebige Körper K in die Untersuchung einbezieht. Dennoch haben
auch diese interessante Anwendungen, z.B. für K = Zp in der Kodierungstheorie. Wenngleich wir die allgemeinere Schreibweise K für den zugrundeliegenden Körper wählen, so können Sie sich, wenn nicht ausdrücklich anders
hervorgehoben, immer die reellen Zahlen als Grundkörper vorstellen. Damit
entsprechen die geometrischen Objekte im 1,2 und 3-dimensionalen Raum
tatsächlich der üblichen Anschauung.
Die Nullstellenmenge eines Polynoms in n Variablen mit Koeffizienten aus
K ist eine Teilmenge des n-dimensionalen Raumes Kn . Die Lösungsmenge L
des polynomialen (nicht unbedingt linearen) Gleichungssystems
p1 (x1 , . . . , xn ) = 0
..
.
pm (x1 , . . . , xn ) = 0
besteht gerade aus dem Durchschnitt der Nullstellengebilde der Polynome
p1 , . . . , pm ∈ K[x1 , . . . , xn ]. Auf diese Weise lassen sich eine Vielzahl geometrischer Objekte durch eine Menge polynomialer Gleichungen beschreiben,
deren Lösungsmenge gerade genau aus den Punkten des Objektes besteht.
Derartige geometrische Objekte nennt man auch algebraische Punktmengen.
Betrachten wir nun die algebraischen Mengen, die als Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme, d.h. alle Polynome p1 , . . . , pm sind vom Grad 1,
auftreten können. Wir wollen uns auf die Untersuchung nichtleerer Lösungs90
Preliminary version – 8. Januar 2002
mengen beschränken. Da es zu jedem linearen Gleichungssystem ein äquivalentes Gleichungssystem (also insbesondere mit gleicher Lösungsmenge) gibt,
welches Zeilenstufenform aufweist, können wir uns auf die Diskussion linearer
Gleichungssysteme in Zeilenstufenform beschränken.
Zunächst einmal ist intuitiv klar, daß die Anzahl der Parameter der Lösungsmenge von entscheidender Bedeutung für die geometrische Gestalt der durch
L beschriebenen Menge ist. Ist die Parameteranzahl 0, so ist das geometrische Objekt ein einzelner Punkt des Kn . Auch den Fall der n-parametrigen
Lösungsmenge können wir schnell abhandeln. n Parameter bedeutet, der
Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist 0, also lautet das Gleichungssystem einfach 0 = 0 und der gesamte Raum Rn ist die Lösungsmenge des
Systems. Den nichttrivialen parametrigen Fall wollen wir uns anhand einiger
Spezialfälle verdeutlichen.
Beginnen wir dazu mit dem einfachen Fall n = 2 und einem Parameter.
Ein lineares Gleichungssystem mit diesen Eigenschaften in Zeilenstufenform
besitzt nur eine Stufe, besteht also nur aus einer von 0 = 0 verschiedenen
Gleichung. Das System hat somit die Gestalt
αx + βy = γ
und wenigstens einer der Koeffizienten α oder β ist von Null verschieden.
Das beschriebene Objekt ist eine Gerade in der Ebene.
Im Fall n = 3 können 1 oder 2 Parameter auftreten. Die Anzahl der
von 0 = 0 verschiedenen Gleichungen in einer Zeilenstufenform ist gleich
Rang(A bT ) = n − Parameteranzahl. Also entsprechen 2 Parameter einer
Gleichung und 1 Parameter zwei Gleichungen. Eine Gleichung beschreibt
eine Ebene im Raum. Befinden sich zwei Gleichungen in Zeilenstufenform,
so beschreiben sie nichtparallele Ebenen und diese schneiden sich stets in einer Geraden, diese wird gerade durch die einparametrige Lösungsmenge des
Gleichungssystems beschrieben.
Allgemein gilt, eine m-parametrige Lösungsmenge beschreibt ein m-dimensionales geometrisches Objekt. Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystem ist stets ein ungekrümmtes geometrisches Objekt. So handelt es sich
bei eindimensionalen Objekten nur um Geraden und nicht um gekrümmte Kurven. Die zweidimensionalen geometrischen Objekte sind Ebenen und
keine gekrümmten Flächen. Für höhere Parameterzahlen sind nicht zuletzt
aufgrund der fehlenden geometrischen Anschauung keine speziellen Begriffe
gebräuchlich. Nur für (n − 1)-parametrige Lösungsmengen, also für solche,
91
Preliminary version – 8. Januar 2002
die zu Zeilenstufenformen bestehend aus einer einzigen Gleichung
α1 x1 + · · · + αn xn = β ,
wobei wenigstens ein αj von Null verschieden ist, gehören, führt man den
Begriff der Hyperebene ein. Dabei folgt man der Anschauung, daß es sich
um eine Verallgemeinerung einer Ebene im Raum handelt. Die Verallgemeinerung besteht darin, daß es sich um ein lineares Objekt handelt, dessen
Dimension genau um 1 niedriger als die des Gesamtraumes ist.
Auf diese Weise erhalten wir jeweils zwei Möglichkeiten zur Beschreibung
ungekrümmter algebraischer Mengen. Eine Möglichkeit ist die Angabe eines
linearen Gleichungssystems mit genau dieser Lösungsmenge, die zweite ist
die direkte Angabe der Lösungsmenge. Erinnern wir uns an die in Merksatz
4 angegebenene (n − r)-parametrige Lösungsmenge
n
n
X
X
L=
b1 −
a1,j βj , . . . , br −
ar,j βj , βr+1 , . . . , βn |
j=r+1
j=r+1
βr+1 , . . . , βn ∈ R
des linearen Gleichungssystems AxT = bT , wobei sich die erweiterte Koeffizientenmatrix (A bT ) in Dreiecksgestalt (3.11) befindet. Das allgemeine
Lösungstupel kann unter Verwendung der Rechenregeln des Kn als Summe
der Gestalt
 T


T
T
a1,n
b1
a1,r+1
 .. 
 .. 
 .. 
.
 . 
 . 
 




 br 
ar,r+1 
ar,n 
 




(5.8)
 0  − βr+1  1  − · · · − βn  0 


 . 
 
0
0
 .. 
 


.
 . 


 .. 
 .. 
 0 
0
0
1
aufgeschrieben werden. Durch die an das Gleichungsystem gestellten Bedingungen, trägt diese Darstellung einige spezielle Züge. Darüber hinaus ist die
Darstellung als Spaltenvektoren ohne Angabe der Transponierung üblich.
Der Grund für die Verwendung von Spaltenvektoren besteht in der besseren Überschaubarkeit der Koordinaten des allgemeinen Lösungstupels in der
92
Preliminary version – 8. Januar 2002
Summendarstellung. Dieser Vereinbarung werden wir in der Folge dadurch
Rechnung tragen, daß wir die Elemente der Lösungsmengen Lhom und Linhom
transponieren werden, da diese vereinbarungsgemäß Zeilenvektoren sind.
Allgemein kann man ein lineares d = (n − r)-dimensionales geometrisches
Objekt in der Form
xT = aT + λ1 vT1 + . . . + λd vTd
(5.9)
darstellen. Man spricht auch von der Parameterdarstellung des Objektes.
Gemäß Definition 23 werden wir die durch die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems beschreibbaren geometrischen Objekte auch als affine
Teilräume des Kn bezeichnen. In der Parameterdarstellung bezeichnet a ein
beliebiges Element aus Linhom , d.h. einen beliebigen, auf dem Objekt liegenden Punkt und die v1 , . . . , vd sind Vektoren3 aus Lhom , sie beschreiben die
Richtungen, in denen sich das Objekt vom Punkt a aus ausdehnt. Schließlich
sind λ1 , . . . , λd reelle Parameter und x der Koordinatenvektor (x1 , . . . , xn ).
Einsetzen reeller Werte für die Parameter liefert in eineindeutiger Weise die
Punkte des affinen Teilraumes Linhom .
An der Parameterdarstellung wird noch einmal die Aussage von Merksatz
9 deutlich. a ist spezielle Lösung des inhomogenen Systems und λ1 vT1 +
. . . + λd vTd durchläuft die allgemeine Lösung des homogenen Systems. Aus
Sicht des affinen Lösungsraumes des inhomgenen Gleichungssystems ist a ein
Punkt, während die v1 , . . . , vd Vektoren sind. Sowohl Punkte als auch Vektoren gehören zur Menge Kn . Folglich lassen sich beide Typen von Objekten
als Koordinaten eines Punktes bezüglich eines kartesisches Koordinatensystems auffassen und auf diese Weise als Punkt des n-dimensionalen Raumes
kenntlich machen. Bezogen auf ein Punkt aus Linhom ist diese Darstellung
als Punkt des Raumes sicher zufriedenstellend. Die Natur eines Vektors aus
Lhom wird dagegen nur unzureichend reflektiert. Man ordnet einem n-Tupel
daher nicht nur den Punkt P mit diesen Koordinaten sondern darüberhinaus auch die gerichtete Strecke vom Koordinatenursprung zum Punkt P zu.
−→
Diese nennt man auch den Ortsvektor OP von P . Ein Vektor v ∈ Lhom kann
−→
als Ortsvektor v = OP des Punktes P mit den Koordinaten von v graphisch
dargestellt werden. Ebenso wird der Vektor aber auch durch jede gerichtete Strecke, die durch Parallelverschiebung aus diesem Ortsvektor ensteht,
repräsentiert. Ein Vektor v ∈ Lhom ist also eine Äquivalenzklasse paralle3
Die Vektoren müssen linear unabhängig sein, wir werden später auf den Inhalt und
die Bedeutung dieser Bedingung zu sprechen kommen.
93
Preliminary version – 8. Januar 2002
ler gerichteter Strecken gleichen Richtungssinnes und gleicher Länge und der
Ortsvektor des Punktes mit den Koordinaten von v ist nur ein Repräsentant
davon. Das folgende Bild soll die beschriebenen Sachverhalte verdeutlichen.
Zum Punkt P wird der Vektor v addiert, beide durchgezogenen Pfeile repräsentieren den Vektor v. Die gepunkteten Pfeile sind die Ortsvektoren der
Punkte P beziehungsweise Q = P + v. Den Punkt P + v erhält man als
Endpunkt, wenn man den zu v gehörigen Ortsvektor so verschiebt, daß sein
Anfangspunkt auf P liegt. Der Punkt R und der Vektor v werden durch das
gleiche Tupel aus Kn beschrieben.
−→
R mit OR = v
v
Q=P +v
v
P
Die Darstellung eines linearen geometrischen Objektes durch ein beschreibendes Gleichungssystem nennt man implizite Darstellung, im Gegensatz dazu
bezeichnet man die Parameterdarstellung auch als explizite Darstellung.
Ein Vorteil der impliziten Darstellung besteht darin, daß man leicht den
Durchschnitt so gegebener geometrischer Objekte ermitteln kann. Eine Beschreibung des Durchschnitts erhält man einfach durch Vereinigung der beiden Gleichungsmengen.
Die explizite Darstellung besitzt vor allem den Vorteil, daß man das Objekt
leicht durch Variation der Parameter “durchlaufen kann”. Das ist besonders
bei der graphischen Darstellung mittels Computer von Nutzen.
Beide Darstellungen lassen sich ineinander umrechnen. Den Weg von der
impliziten zur expliziten Darstellung weist uns Merksatz 4. Den umgekehr94
Preliminary version – 8. Januar 2002
ten Weg, man könnte dazu sagen, daß man zu gegebener Lösungsmenge ein
passendes Gleichungssystem sucht, wollen wir ohne Beweis angeben. Man
stellt (5.9) zu
−λ1 vT1 − . . . − λd vTd + xT = aT
um und faßt es als lineares Gleichungssystem in den Variablen λ1 , . . . , λd
sowie x1 , . . . , xn auf. Dabei werden den λi die ersten d Spalten und den xj
die Spalten d + 1 bis d + n zugeordnet. Mittels Gaußalgorithmus überführt
man das Gleichungssystem ohne Verwendung von Spaltenvertauschungen in
eine äquivalente Zeilenstufenform. Den unteren Zeilen des Gleichungssystems
entsprechen Gleichungen der Form α1 x1 + . . . + αn xn = β, die Variablen λi
kommen also darin nicht mehr vor. Die Menge dieser Gleichungen beschreibt
den gegebenen affinen Raum implizit.
Betrachten wir dazu ein abschließendes Beispiel. Die Parameterdarstellung
   
 
 
x
1
2
1
y  =  0  + s −1 + t 4
z
−1
3
0
beschreibt eine Ebene im Raum. Zu Lösen ist das lineare Gleichungssystem
mit der erweiterten Koeffizientenmatrix


−2 −1 1 0 0
1
 1 −4 0 1 0
0 
−3
0 0 0 1 −1
Die eingezeichneten vertikalen Linien dienen nur der Verdeutlichung der Variablengruppierung und Absolutglieder. Die Zeilenstufenform enthält 2 Gleichungen mit Stufenecken in der 1. beziehungsweise 2. Spalte sowie die Gleichung
4x − y − 3z = 7 .
Letztere beschreibt die Ebene implizit.
5.7
Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen im Raum
Betrachtet man Geraden in der Ebene, so gibt es drei prinzipielle Möglichkeit
der Lage zueinander. Die Geraden können sich in (genau) einem Punkt
schneiden, zusammenfallen oder keine gemeinsamen Punkte haben.
95
Preliminary version – 8. Januar 2002
Die Fälle des Zusammenfallens und keine gemeinsamen Punkte aufweisen
haben eines gemeinsam, die Ausdehnung beider Geraden verläuft in der gleichen Richtung. Zwei Geraden
g1
g2
:
:
xT = aT1 + λvT1
xT = aT2 + λvT2
dehnen sich genau dann in der gleichen Richtung aus, wenn es ein µ ∈ K mit
v1 = µ · v2 gibt.
Liegt der Punkt a1 auf g2 , so folgt g1 = g2 . Andernfalls schneiden sich die
beiden Geraden überhaupt nicht und es liegt die Parallelität g1 kg2 vor.
Etwas vielfältiger verhält es sich mit zwei Geraden im dreidimensionalen
Raum. In diesem Fall kann es zwei Ursachen dafür geben, daß sich zwei
Geraden nicht schneiden. Zum einen die bereits im zweidimensionale vorgefundene Tatsache g1 kg2 , also v1 = µ · v2 für ein µ ∈ K, und zum zweiten die
Windschiefheit der beiden Geraden. Schaut man aus geeigneter Richtung
auf die beiden Geraden, so erhält man den Eindruck, daß sie sich schneiden. Allerdings sind die Geraden im scheinbaren Schnittpunkt in der dritten
Dimension versetzt, die eine verläuft also hinter der anderen.
Weitere als diese vier Möglichkeiten der Lage von Geraden kommen auch in
höheren Dimensionen nicht hinzu. Wir nennen zwei Vektoren v und v0 aus
Kn \{O} zueinander parallel (Bezeichnung vkv0 ), wenn ein µ ∈ K mit v = µv0
existiert.
Merksatz 10 Für je zwei Geraden
g1
g2
:
:
xT = aT1 + λvT1
xT = aT2 + λvT2
gilt eine der folgenden vier Bedingungen
1. g1 kg2 genau dann, wenn v1 kv2 ,
2. g1 = g2 genau dann, wenn g1 kg2 und g1 ∩ g2 6= ∅
4
3. g1 und g2 schneiden sich in einem Punkt, d.h. g1 ∩ g2 = {a}. Das ist
genau dann der Fall, wenn v1 6 kv2 und g1 ∩ g2 6= ∅,
4. g1 und g2 sind windschief, d.h. v1 6 kv2 und g1 ∩ g2 = ∅.
4
äquivalent zu g1 ∩ g2 6= ∅ ist in diesem Falle die Bedingung a1 ∈ g2
96
Preliminary version – 8. Januar 2002
Man beachte, 2 ist ein Spezialfall von 1.
Zwei Ebenen im Raum zeigen ein ähnliches Verhalten wie Geraden in der
Ebene.
Merksatz 11 Zwei Ebenen
e1
e2
xT = aT1 + λvT1 + µwT1
xT = aT2 + λvT2 + µwT2
:
:
im Raum fallen zusammen, sind parallel zueinander oder schneiden sich in
einer Gerade.
Die Richtigkeit dieses Satzes ist zunächst aus der Anschauung heraus klar,
auf einen Beweis werden wir später noch einmal eingehen.
Allgemein definiert man die Parallelität affiner Räume als
Definition 24 Zwei affine Räume (A1 , V1 ) und (A2 , V2 ) nennt man parallel, wenn wenigstens eine der Inklusionen V1 ⊆ V2 oder V2 ⊆ V1 gilt.
Diese Definition erlaubt es uns, auch die Lagebeziehungen einer Ebene und
einer Gerade zueinander zu beschreiben.
Merksatz 12 Eine Gerade
xT = aT1 + λvT1
g
:
:
xT = aT2 + λvT2 + µwT2
und eine Ebene
e
sind zueinander parallel, die Gerade liegt vollständig in der Ebene oder die
Gerade durchstößt die Ebene in einem Punkt.
5.8
Durchschnitte linearer geometrischer Objekte
Je nachdem, in welcher (expliziter oder impliziter) Form zwei lineare geometrische Objekte gegeben sind, gibt es verschiedene Möglichkeiten der möglichst
schnellen Beschreibung ihres Durchschnitts in expliziter oder impliziter Form.
97
Preliminary version – 8. Januar 2002
Sind beide Objekte implizit durch ein lineares Gleichungssystem, dessen
Lösungsmenge sie graphisch darstellen, gegeben, so ist die Vereinigung beider
Gleichungssysteme eine implizite Beschreibung des Durchschnitts.
Ist ein Objekt implizit durch ein lineares Gleichungssystem und eines explizit
in Form einer Parameterdarstellung gegeben, dann setzt man die Parameterdarstellung des zweiten in die Gleichungen des ersten ein und erhält auf
diese Weise ein lineares Gleichungssystem in den Parametern des zweiten
Systems. Setzt man die allgemeine Lösung dieses Gleichungssystems in die
Parameterdarstellung des zweiten Objektes ein, so erhält man eine Parameterdarstellung des Durchschnitts.
Schließlich können beide Objekte durch eine Parameterdarstellung gegeben
sein. Dann setzt man die einzelnen Komponenten beider Darstellungen
gleich. Dabei ist unbedingt zu beachten, daß zuerst die Namen der Parameter beider Objekte disjunkt gemacht werden müssen. Man erhält ein System
bestehend aus genau n linearen Gleichungen in der Vereinigung der Parameter beider Objekte als Variablen. Nach Überführen in Zeilenstufenform
mittels Gaußalgorithmus erhält man Gleichungen (diese entsprechen den unteren Stufen), die nur von den Parametern des zweiten Objektes abhängen.
Es lassen sich also gewisse Parameter des zweiten Objektes durch die anderen Parameter dieses Objektes ausdrücken. Einsetzen dieser Darstellungen
in das zweite Objekt liefert schließlich eine Parameterdarstellung des Durchschnitts.
Natürlich wäre es auch möglich, die Darstellungen vor der Durchschnittsberechnung erst in eine gewünschte Form umzuformen. Die oben beschriebenen
Algorithmen sind jedoch die jeweils schnellsten.
Übungsaufgaben, Serie 7
19. Berechnen Sie die Vandermondeschen Determinanten
1 1 1 1
x y z u
(a) 2 2 2 2 x 3 y 3 z 3 u3 x y z u 98
Preliminary version – 8. Januar 2002
1
1
x1
x
2
2
x2
x
(b) 1
2
..
..
.
.
n−1 n−1
x1
x2
n−1 · · · xn
···
···
···
1
xn
x2n
..
.
20. Überführen Sie die Parameterdarstellung
   
 
 
1
x
2
0
y  0
1
3
  =   + λ1   + λ 2  
z  1
0
2
u
0
1
1
in eine implizite Darstellung des gleichen affinen Raumes.
21. Untersuchen Sie die Lage der Geraden g1 , g2 , g3 und g4 zueinander auf
(a) Übereinstimmung,
(b) Parallelität,
(c) Schnitt in einem Punkt,
(d) Windschiefheit.
g1
:
g2
:
g3
:
g4
:
   
 
x
1
2
y  = 1 + λ 1
z
1
0
   
 
x
1
2
y  = 4 + λ  1 
z
3
−1
   
 
x
−1
−4
y  =  0  + λ −2
z
1
2
   
 
x
7
−2
y  = 4 + λ −1
z
1
0
99
Preliminary version – 8. Januar 2002
Kapitel 6
Vektorräume und lineare
Abbildungen
Im Zusammenhang mit der Struktur der Lösungsmenge L eines homogenen
linearen Gleichungssystems haben wir im vorangegangen Kapitel den Begriff des K-Vektorraumes eingeführt. Wir erinnern uns, ein Vektorraum V
war eine additiv geschriebene abelsche Gruppe über der ein Körper operiert.
Beispiele für K-Vektorräume sind:
1. Lösungsmengen homogener linearer Gleichungssysteme über K,
2. der Raum Kn der n-Tupel der Elemente von K,
3. insbesondere ist der Körper K selbst ein K-Vektorraum,
4. der Raum Kn,m der (n, m)-Matrizen mit Einträgen aus K,
5. der Polynomring K[x1 , . . . , xn ],
6. die Menge alle Polynome aus K[x1 , . . . , xn ], welche einen Grad kleiner
(beziehungsweise kleiner oder gleich) einem festen d haben.
7. die komplexen Zahlen C sind nicht nur ein C-Vektorraum, sondern z.B.
auch ein R- sowie ein Q-Vektorraum.
Vektoren können also addiert und mit Elementen aus K vervielfacht werden.
Sind v1 , . . . , vm ∈ V Vektoren und α1 , . . . , αm ∈ K Körperelemente, dann
nennt man den Vektor α1 v1 + α2 v2 + · · · + αm vm eine Linearkombination der
Vektoren v1 , . . . , vm . Ein zentraler Begriff der Theorie der Vektorräume ist
die lineare Unabhängigkeit.
100
Preliminary version – 8. Januar 2002
6.1
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
Definition 25 Sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Vektoren v1 , . . . , vm ∈
V heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung
α1 v1 + α2 v2 + · · · + αm vm = O
nur die triviale Lösung α1 = α2 = · · · = αm = 0 hat. Man sagt dazu
auch, daß {v1 , . . . , vm } ein System linear unabhängiger Vektoren ist. Dazu
ist anzumerken, daß die Anzahl der Vorkommen eines Vektors unter den
v1 , . . . , vm für die lineare Unabhängigkeit bedeutsam ist und beachtet werden
muß.1
Eine beliebige Menge U ⊆ V von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn
jede endliche Teilmenge von U linear unabhängig ist.
Ist U ⊆ V kein linear unabhängiges System, so spricht man von einem linear
abhängigen System.
Ist U linear abhängig, so ist auch jede Obermenge U 0 ⊇ U linear abhängig.
Umgekehrt ist mit U auch jede Teilmenge U 0 ⊆ U linear unabhängig.
Die Menge {O} ist wegen 1 · O = O stets linear abhängig. Nach der obigen
Bemerkungen ist also auch jede den Nullvektor enthaltende Menge U ⊆ V
linear abhängig. Kommt ein Vektor doppelt in der Folge v1 , . . . , vm vor, d.h.
es gibt i und j so, daß vi = vj und 1 ≤ i < j ≤ m, dann sind die Vektoren
v1 , . . . , vm linear abhängig, als ein Beispiel einer nichttrivialen Lösung kann
man αi = 1, αj = −1 und αk = 0 für alle k 6= i, j wählen.
Lemma 7 Ist U ein linear unabhängiges System und U ∪{v} linear abhängig,
dann läßt sich der Vektor v als Linearkombination
v = α1 u1 + · · · + αn un
von Elementen u1 , . . . , un ∈ U darstellen.
Beweis: Aus der linearen Abhängigkeit von U ∪ {v} folgt die Existenz von
Elementen u1 , . . . , un ∈ U so daß {u1 , . . . , un , v} linear abhängig ist, also hat
α1 u1 + · · · + αn un + βv = O
1
(6.1)
Streng genommen handelt es sich also nicht um Mengen sondern um sogenannte Multimengen linear unabhängiger Vektoren.
101
Preliminary version – 8. Januar 2002
eine nichttriviale Lösung, d.h. es gibt eine Lösung, in der wenigstens eine der
Zahlen α1 , . . . , αn oder β von Null verschieden ist. Angenommen β = 0, dann
gilt bereits α1 u1 + · · · + αn un = O und wenigstens einer der Koeffizienten
αi ist von Null verschieden. Damit ist {u1 , . . . , un } und folglich auch die
Obermenge U linear abhängig, im Widerspruch zur Voraussetzung. Also
muß β 6= 0 gelten, damit läßt sich Gleichung (6.1) nach v auflösen und die
Behauptung ist gezeigt.
2
6.2
Untervektorräume und Basen
Analog zu früheren Typen algebraischer Strukturen erklärt man
Definition 26 Sei V ein K-Vektorraum und U ⊆ V eine Teilmenge von V .
U heißt Untervektorraum (oder linearer Teilraum) von V , falls U ebenfalls
ein K-Vektorraum ist.
Sei M ⊆ V eine Teilmenge von V , dann nennt man den kleinsten M umfassenden Untervektorraum von V die lineare Hülle Span(M ) von M . Man
nennt Span(M ) auch den von der Menge M erzeugten (oder aufgespannten)
Vektorraum.
Sei U ⊆ V ein Untervektorraum. Man nennt die Teilmenge M ⊆ U ein
Erzeugendensystem von U , falls Span(M ) = U gilt.
Ein lineare unabhängiges Erzeugendensystem B von V heißt Basis des Vektorraums V .
Merksatz 13 V sei ein K-Vektorraum und B eine Basis von V . Dann läßt
sich jedes Element v ∈ V auf eindeutige Weise als endliche Linearkombination
X
v=
αb b
(6.2)
b∈B
2
der Elemente von B darstellen.
Darüberhinaus gilt:
1. Jede B echt enthaltende Teilmenge U von V , d.h. B ( U ⊆ V , ist
linear abhängig.
2
Die Endlichkeitsforderung der Linearkombination soll bedeuten, daß nur endlich viele
der Koeffizienten αb von Null verschieden sein dürfen.
102
Preliminary version – 8. Januar 2002
2. Keine der echten Teilmengen von B ist ebenfalls Basis von V ist.
Beweis: Sei v ∈ V beliebig. Die Existenz einer Darstellung von v als endliche
Linearkombination
X
v=
αb b
b∈B
folgt aus der Erzeugendensystemeigenschaft von B. Angenommen
X
v=
βb b
b∈B
wäre eine weitere Darstellung der Gestalt 6.2. Subtraktion beider Darstellung
liefert
X
(αb − βb )b = O
b∈B
Falls für wenigstens ein b ∈ B die Beziehung αb −βb 6= 0 gilt, so betrachten wir
die Teilsumme aller Summanden mit von Null verschiedenem Koeffizienten.
Diese Summe enthält nur endlich viele Summanden und ist eine nichttriviale
Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der involvierten Elemente
von B. Also ist die Menge der in die Summe involvierten Elemente von B linear abhängig, im Widerspruch zur vorausgesetzten linearen Unabhängigkeit
von B, also ist die Eindeutigkeit von Darstellung 6.2 nachgewiesen.
Die beiden weiteren Behauptungen ergeben sich unmittelbar daraus. Denn
falls v ∈
/ B, so besitzt v zwei verschiedene Darstellungen 6.2 in B ∪ {v},
nämlich die in B und v = 1 · v. Ebenso hat b ∈ B keine Darstellung 6.2 in
B \ {b}, da b = 1 · b die einzige Darstellung in B war.
2
Merksatz 14 U ⊆ V ist genau dann ein Untervektorraum von V , wenn U
eine Untergruppe von V ist und gegen Vervielfachung mit Elementen aus K
abgeschlossen ist. Anders formuliert lautet das Kriterium
1. u − v ∈ U für alle u, v ∈ U und
2. αu ∈ U für alle u ∈ U und α ∈ K.
Für beliebige Teilmengen U ⊆ V besteht die lineare Hülle von U genau aus
allen endlichen Linearkombinationen von Elementen aus U , d.h.
Span(U ) = {α1 u1 + · · · + αk uk | k ∈ N, α1 , . . . , αk ∈ K, u1 , . . . , uk ∈ U } .
Dabei wird die Summe von k = 0 Summanden formal als 0 angesehen.
103
Preliminary version – 8. Januar 2002
Der Beweis verbleibt als Übung. Es folgen einige Beispiele zur Erläuterung
der eben eingeführten Begriffe:
1. Die Lösungsmenge eines linearen homogenen Gleichungssystems in n
Variablen ist ein Untervektorraum des Raumes Kn .
2. Die Polynome aus K[x1 , . . . , xn ] vom Grad ≤ d bilden einen Untervektorraum des Polynomringes K[x1 , . . . , xn ].
3. Die Potenzprodukte 1, x, x2 , x3 , . . . , xd bilden eine Basis des Raumes
der Polynome vom Grad höchstens d mit reellen Koeffizienten in einer
Variablen x.
4. Die Menge aller Potenzen 1, x, x2 , . . . ist eine Vektorraumbasis des Polynomrings R[x].
5. Die n-Tupel ei = (0, . . . , 0, |{z}
1 , 0, . . . , 0) (i = 1, . . . , n), die an der
i−te Stelle
i-ten Stelle eine 1 und an allen anderen Stellen 0 aufweisen, bilden eine
Basis des Vektorraums Kn .
6. Die Menge der Matrizen In(i,j) , 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ m, die genau einen
Einseintrag und sonst nur Nulleinträge haben, bilden eine Basis des
Vektorraums Kn,m .
7. Stellt man die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems in
Parameterdarstellung dar (siehe 5.8 und 5.9), dann bilden die darin
auftretenden Vektoren eine Basis des Lösungsraumes des zugehörigen
homogenen Gleichungssystems.
8. C ist ein R-Vektorraum. Eine Basis ist {1, i}. R ist der von {1} erzeugte
R-Untervektorraum von C.
Es gilt der folgende wichtige Satz.
Merksatz 15 Jeder K-Vektorraum V besitzt eine Basis B. Alle Basen eines
Vektorraumes sind gleichmächtig. Insbesondere gilt, besitzt V eine endliche
Basis, so sind alle Basen von V endlich und besitzen die gleiche Anzahl von
Elementen.
104
Preliminary version – 8. Januar 2002
Beweis: Zunächst sei ein Erzeugendensystem M von V gegeben. Das kann
man immer voraussetzen, denn schlimmstenfalls erfüllt M = V diese Bedingung. Ist M linear unabhängig, so sind wir fertig. Andernfalls gibt es
ein Element v ∈ M , welches sich als Linearkombination endlich vieler anderer Elemente aus M darstellen läßt und M 0 := M \ {v} ist wieder ein
Erzeugendensystem von V .
Betrachten wir zunächst den Fall, daß M eine endlich Menge ist. Dann
läßt sich der obige Gedanke fortsetzen, indem man solange linear abhängige
Elemente aus M entfernt, bis ein linear unabhängiges Erzeugendensystem,
also eine Basis, vorliegt.
Schwieriger stellt sich der Beweis für unendliche Mengen M dar. In diesem
Fall folgt die Behauptung mittels des Zornschen Lemmas.
Kommen wir nun zum zweiten Teil der Aussage. Seien B = (b1 , . . . , bm ) und
C = (c1 , . . . , cn ) zwei endliche numerierte Basen von V . Unter einer numerierten Basis versteht man eine solche, in der die Reihenfolge der Elemente
festgeschrieben ist. O.B.d.A. gelte m ≤ n. Da B insbesondere Erzeugendensystem von V ist, besitzt jedes Element ci , i = 1, . . . , n, eine eindeutige
Darstellung
ci = αi,1 b1 + · · · + αi,m bm
Wegen m ≤ n ist der Rang der (n, m)-Matrix A = (αi,j ) i=1,... ,n höchstens m.
j=1,... ,m
Wenden wir nun den Gaußalgorithmus auf die Matrix A an und führen alle
Rechnungen formal als Linearkombinationbildung auch auf der letzten Spalte
der Matrix A B T aus, so beschreibt die Linearkombination der Vektoren
von B in einem Eintrag der rechten Spalte stets den gleichen Vektor, wie die
Linearkombination von C mit den Einträgen der anderen Spalten in dieser
Zeile als Koeffizienten.
Angenommen, es wäre m < n. Dann ist der Rang von A echt kleiner als n,
also enstehen bei Anwendung des Gaußalgorithmus auf A Nullzeilen, diesen
entsprechen jedoch nichtlineare Linearkombinationen von B in der zusätzlichen letzten Spalte. Folglich ist B linear abhängig, im Widerspruch zur
vorausgesetzten Basiseigenschaft von B. Somit muß n = m gelten und die
Aussage des Satzes ist bewiesen.
2
Im weiteren werden wir unsere Untersuchungen auf Vektorräume beschränken,
die eine endliche Basis besitzen. Da nach dem obigen Satz alle Basen eines
K-Vektorraumes die gleiche Anzahl von Elementen aufweisen, besitzt diese
105
Preliminary version – 8. Januar 2002
Zahl eine besondere Bedeutung für den Vektorraum. Man nennt sie die Dimension von V und schreibt dafür dimK (V ). Wenn der Körper K aus dem
Kontext heraus klar ist, schreibt man auch kurz dim(V ). Allerdings beachte
man, daß die Angabe des Körpers zuweilen von Bedeutung ist. Bereits früher
stellten wir fest, daß die komplexen Zahlen C sowohl ein Q-, ein R- als auch
ein C-Vektorraum sind. Es gilt dimC (C) = 1, eine Basis ist {1}. Außerdem
gilt dimR (C) = 2 aufgrund der Basis {1, i}. Betrachtet als Q-Vektorraum ist
C nicht einmal von endlicher Dimension.
Merksatz 16 Jede Menge M ⊆ V linear unabhängiger Vektoren eines Vektorraumes V kann zu einer Basis von V ergänzt werden.
Sei U ein linearer Teilraum des endlichdimensionalen K-Vektorraumes V .
Dann folgt aus dim U = dim V die Gleichheit U = V .
Beweis: Wir zeigen zuerst den zweiten Teil der Behauptung. Angenommen,
es würde U ( V gelten. Fügt man dann zu einer Basis von U ein Element
von u ∈ V \ U hinzu, so erhält man wieder eine linear unabhängige Menge,
diese bestünde aus mehr Elementen als die Dimension von V . Das ist aber
ein Widerspruch.
Beim Beweis der ersten Aussage beschränken wir uns auf die Betrachtung
des Falles dim V = n < ∞. Angenommen, Span(M ) = V , dann ist M
eine Basis und wir sind bereits fertig. Andernfalls fügen wir einen beliebigen
Vektor u ∈ V \Span(M ) zu M hinzu und erhalten die Menge M 0 := M ∪{u}.
M 0 ist linear unabhängig, andernfalls würde Span(M ) = Span(M 0 ) gelten,
im Widerspruch zur Auswahl von u. Aufgrund der linearen Unabhängigkeit
von M 0 gilt dim Span(M 0 ) = dim Span(M ) + 1.
Gilt Span(M 0 ) = V , so ist M 0 die gesuchte Basis, andernfalls verfahren wir
mit M 0 anstelle von M genau wie oben. Nach endlich vielen Schritten müssen
wir auf diese Weise eine Menge M̃ mit dim Span(M̃ ) = dim V erhalten.
An dieser Stelle kann der obige Algorithmus unmöglich fortsetzbar sein, so
würden wir im nächsten Schritt eine Menge linear unabhängiger Vektoren
von V konstruieren, die aus mehr Elementen als eine Basis besteht.
Also muß die Abbruchbedingung Span(M̃ ) = V erfüllt sein und M̃ ist eine
Basis von V mit den behaupteten Eigenschaften.
2
Der für Gruppen aufgestellte Merksatz 6 gilt sinngemäß auch für Vektorräume.
Merksatz 17 Der Durchschnitt beliebig vieler Untervektorräume eines KVektorraumes V ist wieder ein Untervektorraum. Die Vereinigung von Untervektorräumen ist dagegen im allgemeinen kein Untervektorraum wieder.
106
Preliminary version – 8. Januar 2002
Anstelle der Vereinigung betrachtet man die Summe U + W zweier Untervektorräume U und W von V . Diese besteht aus allen Vektoren der Gestalt
u + w, wobei u ∈ U und w ∈ W . Es gilt
U + V = Span(U ∪ V ) .
Die Summe endlich vieler Untervektorräume von V ist wieder ein Untervektorraum von V .
Es gilt die Gleichung
dim U + dim V = dim (U + V ) + dim (U ∩ V ) .
Übungsaufgaben, Serie 8
22. Überprüfen Sie die folgenden Systeme von Vektoren des R4 auf lineare
Unabhängigkeit und begründen Sie Ihre Antworten.
(a) v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (1, 1, 0, 2), v3 = (0, 1, 2, 3)
(b) v1 = (1, 0, 1, 1), v2 = (1, 1, 1, 2), v3 = (−1, 1, 2, 3)
(c) v1 = (1, 0, −1, 1), v2 = (1, 3, 1, 2), v3 = (1, 9, 5, 4)
23. V sei der von den Vektoren v1 = (1, 0, 1, 1), v2 = (1, 1, 1, 2) und v3 =
(−1, 1, 2, 3) erzeugte Untervektorraum des R4 . Welche der folgenden
Mengen von Vektoren spannen einen Untervektorraum von V auf? Begründen Sie Ihre Antworten.
(a) {(0, 1, 0, 1), (0, 2, 3, 5)}
(b) {(0, 1, 0, 1), (0, 2, 3, 5), (0, 3, 3, 6), (−1, 0, −1, −1)}
(c) {(0, 2, 0, −2), (0, −2, −3, −5)}
24. Betrachten Sie den R-Vektorraum R[x, y] der Polynome in den Variablen x und y mit reellen Koeffizienten. Jedes Polynom f ∈ R[x, y] kann
als Summe endlich vieler Summanden der Gestalt αxi y j mit der zusätzlichen Eigenschaft, daß α ∈ R \ {0} gilt und sich in je zwei verschiedene
Summanden wenigstens einer der Exponenten i oder j unterscheidet,
dargestellt werden. Die maximale Summe i + j unter allen auftretenden Summanden nennt man den Totalgrad von f (Bez. Grad f ).
Die höchste auftretende Zahl i unter allen Summanden nennt man den
Grad von f in der Variablen x (Bez. Gradx f ). Dem Nullpolynom
107
Preliminary version – 8. Januar 2002
0 ∈ R[x, y] wird formal jede natürliche Zahl als Totalgrad und als Grad
in x zugeordnet.
(a) Geben Sie eine Basis von R[x, y] an.
(b) Sei d eine natürliche Zahl größer 0. Untersuchen Sie, welche der
folgenden Mengen Untervektorräume von V sind.
i.
ii.
iii.
iv.
6.3
{f ∈ R[x, y] | Grad f < d}
{f ∈ R[x, y] | Gradx f ≤ d}
{f ∈ R[x, y] | Grad f = d}
{f ∈ R[x, y] | Grad f = d und f homogen }. Dabei heißt
ein Polynom homogen, wenn die Summe i + j für alle in
der oben beschriebenen Darstellung auftretenden Summanden gleich ist.
Koordinatendarstellung von Vektoren
Im Falle eines endlichdimensionalen Vektorraumes V kann Darstellung 6.2
in der Form
v = α1 b1 + · · · + αd bd
(6.3)
geschrieben werden, dabei gilt dim(V ) = d und B = {b1 , . . . , bd } ist eine
Basis von V . Die Eindeutigkeit von Darstellung 6.3 rechtfertigt
Definition 27 Sei B = (b1 , . . . , bd ) eine geordnete Basis3 des Vektorraumes V . Das d-Tupel (α1 , . . . , αd )B der Koeffizienten aus Darstellung 6.3 des
Elementes v ∈ V nennt man die Koordinatendarstellung von v bezüglich B.
Die Angabe der Basis als Index ist insofern wichtig, daß die Koordinatendarstellung von v natürlich von der Wahl der Basis B abhängt. Ist die gewählte
Basis aber aus dem Kontext heraus klar, so wird häufig auf die Angabe der
Basis verzichtet.
Die Zuordnungsvorschrift
v 7→ (α1 , . . . , αd )B
3
Wenn wir von einer geordneten Basis sprechen, kommt es auch auf die Reihenfolge
der Basiselemente an. Eine geordnete Basis ist daher keine Menge, sondern ein geordnetes
Tupel.
108
Preliminary version – 8. Januar 2002
beschreibt eine bijektive Abbildung von V in Kd . Diese Abbildung ist sowohl mit der Addition als auch mit der Vervielfachung mit Elementen aus K
verträglich, sie ist also ein Vektorraumisomorphismus. Wir halten fest, die
Räume Kn , n ∈ N,4 sind bis auf Isomorphie die einzigen endlichdimensionalen
K-Vektorräume und es gilt dimK Kn = n.
Merksatz 18 Die Vektoren v1 , . . . , vr des K-Vektorraumes Kd sind genau
dann linear unabhängig, wenn
Rang v1T · · · vrT = r
gilt.5
Allgemeiner gilt: Ist V ein beliebiger K-Vektorraum mit endlicher numerierter Basis B = (b1 , . . . , bd ), so sind v1 , . . . , vr ∈ V genau dann linear
unabhängig, wenn die Matrix, deren Spalten (oder Zeilen) die Koordinatendarstellungen von v1 , . . . , vr bezüglich B sind, den Rang r aufweist.
Gemäß dieses Satzes kann man den Rang einer Matrix nun auch unabhängig
vom Gaußalgorithmus definieren. Weitaus häufiger gebrauchte äquivalente
Aussagen zur Bestimmung des Ranges einer Matrix sind im folgenden Merksatz zusammengefaßt.
Merksatz 19 Der Rang einer Matrix A ∈ Kn,m ist gleich zu jeder der folgenden Zahlen
1. der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen von A,
2. der maximalen Anzahl linear unabhängiger Spalten von A,
3. der Dimension des von den Zeilen von A aufgespannten Untervektorraumes von Km ,
4. der Dimension des von den Spalten von A aufgespannten Untervektorraumes von Kn .
4
Formal setzen wir K0 = {0}.
Anmerkung: Die Matrix v1T · · · vrT hat den Typ (d, r), ihre Spalten sind gerade die
Vektoren v1 , . . . , vr .
5
109
Preliminary version – 8. Januar 2002
6.4
Lineare Abbildungen
Definition 28 V und W seien zwei K-Vektorräume. Eine Abbildung
F : V →W
heißt lineare Abbildung, falls für alle α, β ∈ K und u, v ∈ V die Beziehung
F (αu + βv) = αF (u) + βF (v)
(6.4)
gilt.
Im Sinne von Definition 9 handelt es sich bei den linearen Abbildungen genau
um die richtigen Vektorraumhomomorphismen.
Die Wirkung einer linearen Abbildung F : V → W ist durch die Bilder
einer Basis B von V unter der Abbildung F bereits völlig festgelegt. Da
sich jedes Element v ∈ V als Linearkombination v = α1 b1 + · · · αm bm von
Basiselementen b1 , . . . , bm ∈ B darstellen läßt, ist sein Bild F (v) aufgrund
der Eigenschaften einer linearen Abbildung als
F (v) = α1 F (b1 ) + · · · αm F (bm )
festgelegt. Diese Argumente gelten sogar für beliebige Erzeugendensysteme
B von V .
Für Basen B kommt zusätzlich hinzu, daß zu jeder beliebigen Zuordnung
b 7→ wb ∈ W auch tatsächlich eine lineare Abbildung F : V → W mit der
Eigenschaft ∀b ∈ B : F (b) = wb existiert. Der Grund besteht darin, daß
die Darstellung von v als endliche Linearkombination von Elementen aus B
eindeutig ist und F (v) durch die Forderung
F (v) = α1 F (b1 ) + · · · αm F (bm )
nur auf eine Weise festgelegt wird. Also erfüllt F in der Tat die an eine
lineare Abbildung gestellten Bedingungen.
Anders verhält es sich bei linear abhängigen Erzeugendensystemen U . Dort
gibt es ein u ∈ U , welches Linearkombination u = α1 v1 + · · · + αm vm anderer Elemente v1 , . . . , vm ∈ U \ {u} ist. Bei willkürlicher Festlegung der
Zuordnungen u 7→ w ∈ W sowie vi 7→ wi ∈ W gilt im allgemeinen
w 6= α1 w1 + · · · αm wm ,
110
Preliminary version – 8. Januar 2002
also
F (u) 6= α1 F (v1 ) + · · · αm F (vm )
für jede die Zuordnung zu U fortsetzende Abbildung.
Seien nun B = (b1 , . . . , bm ) eine geordnete Basis von V und C = (c1 , . . . , cn )
eine geordnete Basis von W und F eine lineare Abbildung von V in W . Wie
oben festgestellt wurde wird F durch die Beziehungen
F (b1 ) = w1 = α1,1 c1 + · · · α1,n cn
..
.
F (bm ) = wm = αm,1 c1 + · · · αm,n cn
(6.5)
charakterisiert. Auf der rechten Seite wurde ausgenutzt, daß sich jedes Element von W auf eindeutige Weise als Linearkombination der Elemente von
C darstellen läßt.
Definition 29 Bei festgehaltenen geordneten Basen B und C beschreibt die
Matrix
AF := (αi,j )i=1,... ,m
(6.6)
j=1,... ,n
die lineare Abbildung F vollständig. Wir nennen sie die Abbildungsmatrix
von F bezüglich der geordneten Basen B und C.
Umgekehrt ist nach den eingangs gemachten Überlegungen jede Matrix A ∈
Km,n Abbildungsmatrix einer linearen Abbildungen FA bezüglich der geordneten Basen B und C. Bei festgehaltenen geordneten Basen B und C ist die
Zuordnung zwischen linearen Abbildungen und (m, n)-Matrizen bijektiv.
Vermöge
(F + G)(u) := F (u) + G(u) und
(αF )(u) := αF (u)
kann man eine Addition und eine skalare Vervielfachung linearer Abbildungen
definieren. Auf diese Weise wird die Menge LinK (U, V ) aller linearen Abbildungen der K-Vektorräume U und V selbst zu einem K-Vektorraum. Bei
festgehaltenen geordneten Basen B und C ist die Zuordnung F 7→ AF , die
jeder linearen Abbildung F ∈ LinK (U, V ) ihre Abbildungsmatrix AF ∈ Km,n
bezüglich B und C zuweist, selbst eine bijektive lineare Abbildung, nämlich
aus LinK (LinK (U, V ), Km,n ), also ein Vektorraumisomorphismus.
111
Preliminary version – 8. Januar 2002
Merksatz 20 U und V seien endlichdimensionale Vektorräume mit geordneten Basen B = (b1 , . . . , bm ) beziehungsweise C = (c1 , . . . , cn ). Weiterhin
sei F ∈ LinK (U, V ) eine lineare Abbildung von U nach V und AF die Abbildungsmatrix von F bezüglich B und C.
u ∈ U habe die Koordinatendarstellung (β1 , . . . , βm )B bezüglich B. Dann
hängt die Koordinatendarstellung (γ1 , . . . , γn )C des Bildes F (u) bezüglich C
mit der Koordinatendarstellung von u bezüglich B und der Abbildungsmatrix
AF über die Gleichung
γ1 · · · γn C = β1 · · · βm B · AF
zusammen.
Beweis: Einsetzen der Gleichungen (6.5) in F (u) = β1 F (b1 ) + · · · βm F (bm )
ergibt
!
!
m
m
X
X
F (u) =
βi αi,1 c1 + · · · +
βi αi,n cn .
i=1
i=1
Nach Definition der Koordinatendarstellung gilt γj =
und die Richtigkeit der Behauptung folgt sofort.
Pm
i=1
βi αi,j , j = 1, . . . , n,
2
Merksatz 21 Seien U , V und W drei endlichdimensionale K-Vektorräume
mit geordneten Basen B,C beziehungsweise D. Für lineare Abbildungen F :
U → V und G : V → W gilt
AF ◦G = AF ∗ AG ,
wobei die Abbildungsmatrizen jeweils bezüglich der zugehörigen Paare geordneter Basen genommen sind. Mit anderen Worten, die Hintereinanderausführung linearer Abbildungen entspricht der Multiplikation der Abbildungsmatrizen.
Im Spezialfall U = V = W und B = C = D erkennt man, daß LinK (U, U )
und Kn,n nicht nur als K-Vektorräume isomorph sind, sondern daß es sich
sogar um isomorphe Ringe handelt.
Merksatz 22 Sei F ∈ LinK (U, V ) eine lineare Abbildung der K-Vektorräume
U und V . Das Bild eines linearen Teilraumes von U unter F ist ein linearer
Teilraum von V . Ebenso ist das vollständige Urbild eines linearen Teilraumes
von V ein linearer Teilraum von U .
Insbesondere sind Bild(F ) ⊆ V und Null(F ) := F −1 ({O}) ⊆ U lineare
Teilräume. Man nennt Bild(F ) den Bildraum und Null(F ) den Nullraum
der linearen Abbildung F .
112
Preliminary version – 8. Januar 2002
Der Beweis kann analog zum Gruppenfall geführt werden.
Merksatz 23 Eine lineare Abbildung F ist genau für dim Null(F ) = 0 injektiv und genau im Fall dim Bild(F ) = dim V surjektiv.
Beweis: Das Injektivitätskriterium linearer Abbildungen kann bereits aus
der Gruppenhomomorphismuseigenschaft und der Tatsache dim W = 0 ⇐⇒
W = {O} gefolgert werden.
Das Surjektivitätskriterium ergibt sich sofort aus Merksatz 16.
2
Die Dimension des Vektorraumes U steht in einer wichtigen Beziehung zu
den Dimensionen von Null- und Bildraum. Es gilt
Merksatz 24 (Dimensionssatz) Sei F ∈ LinK (U, V ) eine lineare Abbildung der endlichdimensionalen K-Vektorräume U und V . B und C seien
beliebig fest gewählte geordnete Basen von U beziehungsweise V und AF die
Abbildungsmatrix von F bzgl. B und C.
Dann gelten die Gleichungen
dim Bild(F ) = RangAF und
dim Null(F ) = dim U − dim Bild(F ) .
(6.7)
(6.8)
Beweis: Der Bildbereich Bild(F ) der linearen Abbildung besteht aus allen
Elementen von V , deren Koordinatendarstellung bezüglich der Basis C eine
Linearkombination der Zeilen der Transformationsmatrix AF ist. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen ist daher gleich der Dimension von
Bild(F ). Mit Merksatz 19 ergibt sich Beziehung (6.7).
Der Nullraum Null(F ) ist isomorph zur Lösungsmenge L des homogenen
linearen Gleichungssystems ATF xT = O. Der Isomorphismus besteht einfach
im Transponieren der Elemente. Die Dimension von L ergibt sich als
dimL = m − RangAF ,
wobei m die Anzahl der Spalten der Matrix ATF bezeichnet. Die Spaltenzahl
von ATF ist gleich der Zeilenzahl von AF , welche ihrerseits gleich der Dimension von U ist, denn nach (6.5) entspricht jede Zeile von AF einem Element
der Basis B.
Damit ist auch die Gültigkeit von Gleichung (6.8) nachgewiesen.
2
113
Preliminary version – 8. Januar 2002
Übungsaufgaben, Serie 9
25. Berechnen Sie für die Vektoren (1, 3, 2), (0, 2, 1), (1, 0, 0) und (1, 1, 1)
aus dem Vektorraum der Tripel reeller Zahlen die Koordinatendarstellungen bezüglich der geordneten Basis B = ((1, 1, 0), (2, 0, 0), (1, 1, 1)).
26. Welche der folgenden Vorschriften beschreiben lineare Abbildungen?
Begründen Sie Ihre Antworten!
(a) F : R3 → R3 mit Vorschrift
∀(a, b, c) ∈ R3 : F ( (a, b, c) ) := (2a, 2b, 2c)
(b) F : R2 → R mit Vorschrift
∀(a, b) ∈ R2 : F ( (a, b) ) := a − b
(c) F : R2 → R mit Vorschrift
∀(a, b) ∈ R2 : F ( (a, b) ) := a ∗ b
(d) F : R[x] → R[x] mit Vorschrift
dp
.
dx
P
dp
Hinweis: dx
bezeichnet die Ableitung von p nach x, für p = ni=0 ci xi
P
dp
gilt dx
= ni=1 (i ∗ ci )xi−1
(e) Fa : R[x] → R mit Vorschrift
∀p ∈ R[x] : F (p) :=
∀p ∈ R[x] : Fa (p) := p(a) ,
wobei a eine vorgegebene reelle Zahl ist. Hinweis: p(a) bezeichnet
p an der Stelle a. Für p =
Pn den iWert der Polynomfunktion
Pn
i
i=0 ci x gilt p(a) =
i=0 ci a
27. a sei eine fest vorgegebene reelle Zahlen. Beschreibt
dp
∀p ∈ R[x] : F (p) := p(a), (a)
dx
eine lineare Abbildung F : R[x] → R2 ? Falls ja, so
(a) Bestimmen Sie den Nullraum von F .
(b) Betrachten Sie Fd : R[x]d → R2 , wobei R[x]d := {p ∈ R[x] :
Grad(p) ≤ d}. Beschreiben Sie Fd durch eine Abbildungsmatrix
bezüglich geordneter Basen Ihrer Wahl.
114
Preliminary version – 8. Januar 2002
6.5
Basistransformationen
Betrachten wir nun den Spezialfall linearer Abbildungen F : U → U von
einem Vektorraum U in sich selbst.
Zunächst einmal ergibt sich aus dieser Forderung nicht, daß man für Vorund Nachbereich gleiche Basen B und C wählen muß. Für den Fall, daß
F die identische Abbildung ist und die Basen unterschiedlich gewählt sind,
zeigt Merksatz 20 gerade, auf welche Weise man die Koordinatendarstellung
bezüglich beider Basen umrechnen kann. Es ergeben sich die beiden Beziehungen
uC = uB AF und
uB = uC A−1
F
Dabei bezeichnet uC die Koordinatendarstellung eines beliebigen Vektors
u ∈ U bezüglich C und uB die Koordinatendarstellung des gleichen Vektors
bezüglich B. Im folgenden Merksatz fassen wir die Aussagen noch einmal
zusammen.
Merksatz 25 Seien V ein n-dimensionaler Vektorraum und B und C zwei
beliebige geordnete Basen von V .
Die Abbildungsmatrix AB→C , welche zeilenweise aus den Koordinatendarstellungen der Vektoren von B bezüglich der geordneten Basis C besteht, beschreibt die identische Abbildung von V auf V . Für u = β1 b1 +. . .+βn bn ∈ V
erhält man die Koordinaten γ1 , . . . , γn von u bezüglich C mittels
γ1 · · · γn = β1 · · · βn AB→C ,
beziehungsweise in transponierter Darstellung
 
 
γ1
β1
 .. 
 .. 
T
 .  = AB→C  .  .
γn
βn
Weiterhin gilt
AC→B = A−1
B→C .
115
Preliminary version – 8. Januar 2002
6.6
Eigenwerte und Eigenvektoren einer linearen Abbildung
Bei freier Wahl der beiden Basen B und C verbleiben große Freiheiten für
die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung F : V → V . Einzig die
Bedingung (6.7) stellt eine ernsthafte Einschränkung dar. Der Rang der Abbildungsmatrix ist durch die Dimension des Bildraumes Bild F eindeutig
bestimmt. Aber zu jeder (dim V )-reihigen quadratischen Matrix des Ranges
dim Bild(F ) gibt es geeignete Basen B und C, so daß diese Matrix Abbildungsmatrix der Abbildung F wird.
Will man aus einer Abbildungsmatrix mehr als nur die Dimension des Bildraumes der Abbildung F : V → V ablesen, so ist es vorteilhaft, sich auf eine
gemeinsame Basis des Vor- und Nachbereiches zu beschränken, also B = C
zu fordern.
Eine wichtige Frage besteht darin, festzustellen, welche linearen Teilräume
von V bei einer linearen Abbildung F : V → V invariant bleiben, d.h. in
sich selbst abgebildet werden. Man beachte aber, die Invarianz F (U ) = U
eines linearen Teilraumes U ⊆ V braucht keineswegs zu bedeuten, daß jedes
Element des Teilraumes U bei der Abbildung auf sich selbst abgebildet wird.
Trivialerweise ist der nulldimensionale Teilraum {0} ⊆ V unter jeder linearen
Abbildung F : V → V invariant. Wir wollen darüberhinaus untersuchen,
welche eindimensionalen Teilräume U ⊆ V von einem gegebenen F invariant
gelassen werden oder in einen Teilraum von sich selbst übergehen. Das heißt,
wir fragen nach linearen Teilräumen U der Dimension 1 mit F (U ) ⊆ U .
Da U eindimensional ist, ist jede einelementige Teilmenge von U \ {0} eine
Basis von U . Sei b ∈ U \ {0}, dann bedeutet die Invarianz von U unter F ,
daß es eine reelle Zahl λ 6= 0 mit bAF = λb gibt. Da {b} Basis ist, läßt
sich jedes u ∈ U als Linearkombination u = ab darstellen und aufgrund der
Linearität von F folgt uAF = (ab)AF = a(bAF ) = a(λb) = λu. Mit anderen
Worten, die Zahl λ hängt nicht von der Wahl von b ab. Die schwächere
Forderung F (U ) ⊆ U anstelle der Invarianz hat nur zur Folge, daß auch
λ = 0 zugelassen wird. In diesem Fall wird U auf seinen einzigen echten
linearen Teilraum, nämlich {0}, abgebildet.
Man definiert
Definition 30 Sei F : U → U eine lineare Abbildung des n-dimensionalen
K-Vektorraumes U in sich. Ein Skalar λ ∈ K heißt Eigenwert von F , falls
es einen von O verschiedenen Vektor u ∈ U gibt, für den F (u) = λu gilt.
116
Preliminary version – 8. Januar 2002
In diesem Falle nennt man u einen zum Eigenwert λ gehörigen Eigenvektor
von F .
Die Menge aller zu λ gehörigen Eigenvektoren bildet gemeinsam mit dem
Nullvektor einen linearen Teilraum von V , diesen nennt man den zu λ gehörigen Eigenraum von F .
Sei A ∈ Kn,n eine n-reihige quadratische Matrix. λ ∈ K heißt Eigenwert von
A, falls es ein vom Nulltupel verschiedenes c ∈ Kn mit
AcT = λcT
gibt. In diesem Falle nennt man c einen zu λ gehörigen Eigenvektor der
Matrix A. Die Menge bestehend aus allen zum Eigenwert λ gehörigen Eigenvektoren und dem Nulltupel nennt man den zu λ gehörigen Eigenraum von
A.
Ist AF eine zu F gehörige Abbildungsmatrix in Bezug auf eine gemeinsame
Basis B für Vor- und Nachbereich, so stimmen die oben eingeführten Begriffe der Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume von F und ATF überein.
Insbesondere haben sämtliche Abbildungsmatrizen zur Beschreibung von F
in Bezug auf eine gemeinsame Basis für Vor- und Nachbereich die gleichen
Eigenwerte.
Im folgenden wollen wir uns einen Algorithmus zum Berechnen der Eigenwerte einer Matrix überlegen.
Die Bedingung
AcT = λcT
kann auch in der Form
(A − λEn ) cT = OT
geschrieben werden. Die Eigenschaft, daß λ ein Eigenwert von A ist, ist also
gleichwertig dazu, daß das homogene lineare Gleichungssystem
(A − λEn ) xT = OT
nichttrivial Lösungen besitzt. Die Koeffizientenmatrix A − λEn entsteht aus
A, indem man von jedem Hauptdiagonalelement λ subtrahiert und die anderen Einträge von A unverändert läßt. Betrachten wir nun die Matrix A−xEn ,
bei welcher von jedem Hauptdiagonalelement von A die Variable x subtrahiert wird. Die Determinante |A − xEn | ist ein Polynom in der Variablen x
vom Grad n. Man nennt es auch das charakteristische Polynom der Matrix
A.
117
Preliminary version – 8. Januar 2002
Merksatz 26 λ ist Eigenwert der n-reihigen quadratischen Matrix A genau
dann, wenn
|A − λEn | = 0
gilt. Mit anderen Worten, die Eigenwerte von λ sind genau die Nullstellen
des charakteristischen Polynoms |A−xEn | von A. Daher kann eine n-reihige
Matrix höchstens n Eigenwerte besitzen.
Ist λ ein Eigenwert der Matrix A, so erhält man den zugehörigen Eigenraum
als die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems
(A − λEn ) xT = OT .
Definition 31 Sei A eine quadratische Matrix und λ ein Eigenwert von A.
Die größte natürliche Zahl ν mit der Eigenschaft, daß (x−λ)ν das charakteristische Polynom |A − xEn | teilt, nennt man die algebraische Vielfachheit und
die Dimension des Eigenraumes von A zum Eigenwert λ die geometrische
Vielfachheit des Eigenwertes λ.
Merksatz 27 Wenn für jeden Eigenwert der linearen Abbildung F (in Bezug
auf eine Abbildungsmatrix zu beliebiger gemeinsamer Basis B für Vor- und
Nachbereich) algebraische und geometrische Vielfachheit übereinstimmen und
die Summe der algebraischen Vielfachheiten gleich der Dimension von V ist6 ,
dann besitzt V eine Basis bestehend aus Eigenvektoren. Die Abbildungsmatrix
von F in Bezug auf eine solche Basis C für Vor- und Nachbereich ist eine
Diagonalmatrix


λ1 0 · · · 0
 0 λ2 · · · 0 


AF,C = 
 ,
..


.
0 0 · · · λn
auf deren Hauptdiagonale gerade die Eigenwerte von F stehen.
Eine oben beschriebene Diagonalmatrix läßt sich wie folgt konstruieren. Sei
AF,B Abbildungsmatrix von F in Bezug auf eine beliebige geordnete Basis
B.
6
D.h. alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms gehören dem Körper K an. Im
Falle K = C ist das immer der Fall, für K = R allerdings nicht.
118
Preliminary version – 8. Januar 2002
1. Man bestimme die Eigenwerte und Eigenräume von ATF,B .
2. Man nehme für jeden Eigenraum eine Basis und vereinige diese Basen
zur Menge C.
3. Falls C weniger als n Elemente enthält, so besitzt die Abbildung keine
Abbildungsmatrix in Diagonalgestalt, also breche mit Fehler ab.
4. Die Produktmatrix AF,C = BAF,B B−1 , wobei B = AC→B die Basistransformation von C nach B beschreibt, ist die Abbildungsmatrix
von F in Bezug auf C. Dabei handelt es sich um eine Diagonalmatrix.
Es gibt Matrizen (und somit lineare Abbildungen) mit “zu wenig” Eigenvektoren. In diesem Falle besitzt F keine Abbildungsmatrix in Diagonalgestalt.
Man kann dann wenigstens noch eine sogenannte Jordansche Normalform
der Abbildungsmatrix erzielen, darauf soll aber aus Zeitgründen nicht eingegangen werden.
Wenigstens in einem Spezialfall kann man aber sofort erkennen, daß es ausreichend Eigenvektoren gibt:
Merksatz 28 Seien F : V → V eine lineare Abbildung des reellen Vektorraumes V in sich selbst und B eine geordnete Basis von V . Falls die
Abbildungsmatrix AF,B = (ai,j ) i=1,... ,n ∈ Rn,n bezüglich B für Vor- und Nachj=1,... ,n
bereich symmetrisch ist, d.h. für alle 1 ≤ i, j ≤ n gilt ai,j = aj,i (gleichwertig
ist die Bedingung ATF,B = AF,B ), so sind alle Eigenwerte von F reell und für
jeden Eigenwert stimmen algebraische und geometrische Vielfachheit überein.
Mit anderen Worten, V besitzt eine Basis C, welche nur aus Eigenvektoren
von F besteht. Insbesondere ist die Abbildungsmatrix AF,C in Diagonalgestalt.
Aufgrund dieses Satzes können wir sofort

1 2

A= 2 0
0 1
schlußfolgern, daß die Matrix

0
1
2
diagonalisierbar ist. Berechnen wir zunächst das charakteristische Polynom
von A, dieses lautet p = −x3 + 3x2 + 3x − 9. Einen Eigenwert, nämlich
√
2
3
λ1 = 3, erkennt
man
sofort.
Wegen
p
=
−(x
−
3)(x
−
3)
sind
λ
=
2
√
und λ3 = − 3 die beiden anderen Eigenwerte. Da die Eigenwerte paarweise
119
Preliminary version – 8. Januar 2002
verschieden sind, ist die Diagonalisierbarkeit spätestens jetzt ersichtlich, denn
die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes ist immer mindestens 1.
Den Eigenraum zum Eigenwert 3 berechnet man als Lösung des linearen
Gleichungssystems mit der Koeffizientenmatrix

 

−2 2
0
1 0 −1
 2 −3 1  ∼ 0 1 −1
0
1 −1
0 0 0
Also ist ER(3) = Span((1, 1, 1)) der Eigenraum
zum Eigenwert
√
√ 3. Entspre√
chend berechnet
man die Eigenräume
ER(
3) = Span((1 − 3, −2 + 3, 1))
√
√
√
und ER(− 3) = Span((1 + 3, −2 − 3, 1)).
Für die Matrix


1√
1√ 1
C = 1 − √3 −2 + √3 1 ,
1 + 3 −2 − 3 1
welche spaltenweise aus den Eigenvektoren besteht, gilt:


3 √0
0
3
0  .
C−1 AC = 0
√
0 0 − 3
Überlegen wir uns nun, welche lineare Abbildung F mit der obigen Untersuchung verbunden ist. Für die ursprüngliche Abbildungsmatrix galt
AF,B = AT . Die letztendlich erhaltene Matrix C−1 AC ist die Transponierte
der Abbildungsmatrix bezüglich der aus den Eigenvektoren der Matrix A gebildeten Basis C. Bezogen auf Punkt 4 des oben beschriebenen Algorithmus
stellen wir fest:
T
T
AF,C = BAF,B B−1 = AC→B AF,B AB→C = C−1 AC = CT AF,B C−1 .
Der letzte Term zeigt, daß die Spalten von C im Sinne des oben beschriebenen
Algorithmus gerade die Rolle der Parameterdarstellungen der Eigenvektoren
aus der Basis C in Bezug auf die Ausgangsbasis B einnehmen.
Diesen Zusammenhang muß man im Auge behalten, wenn man die Transformation in Diagonalgestalt vornimmt. Die hier direkt an A vorgenommene
Transformation erfordert die Anordnung der Eigenvektoren als Spalten und
Multiplikation mit der nichtinvertierten Matrix von rechts. Dagegen bezieht
120
Preliminary version – 8. Januar 2002
sich die Anweisung in Punkt 4 des obigen Algorithmus auf AF,B = AT und
erfordert daher folgerichtig die zeilenweise Anordnung der Eigenvektoren und
die Multiplikation mit der nichtinvertierten Matrix von links.
Streng genommen führen beide Vorgehensweise auf unterschiedliche Ergebnisse, nämlich a) auf die transponierte Abbildungsmatrix bezüglich der neuen
Basis beziehungsweise b) direkt auf die Abbildungsmatrix bezüglich der neuen Basis. Da die Abbildungsmatrix bezüglich der neuen Basis jedoch eine
Diagonalmatrix ist, sind natürlich beide Ergebnisse gleich.
121
Preliminary version – 8. Januar 2002
Kapitel 7
Euklidische Räume
In unseren bisherigen Untersuchungen haben wir gezeigt, daß sich jeder ndimensionale K-Vektorraum V über die (bijektive lineare) Koordinatenabbildung FB : V → Kn isomorph als Raum der n-Tupel von Elementen aus K
darstellen läßt.
Daraus ergibt sich eine Möglichkeit der Deutung der Elemente v ∈ V als
Ortsvektoren. Dazu betrachtet man den Vektor FB (v) ∈ Kn als Punkt P
bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems. Der v zugeordnete Ortsvektor verläuft dann vom Koordinatenursprung zu diesem Punkt P .
Da eine algebraische Struktur, insbesondere auch ein Vektorraum, nur bis auf
Isomorphie eindeutig bestimmt werden kann, lassen sich zwischen den Vektoren nur solche Beziehungen erklären, die bei Anwendung eines beliebigen
Isomorphismus unverändert bleiben.
Betrachten wir dazu folgendes Beispiel: V = R2 und B = ((1, 0), (1, 1)).
Da V selbst R2 ist, kann man direkt eine geometrische Deutung vornehmen
und erhält √einen Winkel von 45◦ zwischen den beiden Basisvektoren und
die Länge 2 für den Vektor (1, 1). Unter der Koordinatenabbildung FB
ändert sich die Basis allerdings zu FB (B) = ((1, 0)B , (0, 1)B ). Legen wir
nun die gleiche geometrische Deutung zugrunde, so stellen wir fest, daß die
beiden Bildbasisvektoren einen Winkel von 90◦ einschließen und die Länge
des Bildvektors (0, 1)B von (1, 1) nunmehr 1 beträgt.
Aus diesem Grund lassen sich wesentliche geometrische Eigenschaften, wie
Winkel zwischen oder Längen von Vektoren, nicht aus der beschriebenen geometrischen Deutung eines Vektorraumes bestimmen. Um derartige Größen
definieren zu können, bedarf es zusätzlicher Operationen und/oder Relation, so daß der Vektorraum eine reichhaltigere Struktur aufgeprägt bekommt.
122
Preliminary version – 8. Januar 2002
Im Ergebnis dessen wird die Klasse der Isomorphismen kleiner, denn zusätzlich zu den Eigenschaften einer linearen Abbildung ist nun auch noch die
Verträglichkeit mit den neuen Operationen und Relationen erforderlich. Die
verbleibenden Isomorphismen müssen so beschaffen sein, daß sie Winkel und
Längen nicht ändern.
7.1
Das Skalarprodukt
Definition 32 V sei ein Vektorraum über dem Körper R der reellen Zahlen.
Unter einem Skalarprodukt von V versteht man eine Abbildung h , i : V ×
V → R mit folgenden drei Eigenschaften:
1. Bilinearität, d.h. für alle u, v, w ∈ V und α, β ∈ R gilt
hαu + βv, wi = α hu, wi + β hv, wi
hw, αu + βvi = α hw, ui + β hw, vi
2. Symmetrie, d.h. für alle u, v ∈ V gilt hu, vi = hv, ui.
3. positive Definitheit, d.h. für alle v ∈ V gilt
hv, vi ≥ 0
und
hv, vi = 0 ⇐⇒ v = O
Unter einem Euklidischen Vektorraum versteht man einen R-Vektorraum V
zusammen mit einem Skalarprodukt h , i.
Die Schreibweise mit den eckigen Klammern soll das Skalarprodukt vor allem
von einem eventuell auch noch vorhandenen Produkt (z.B. in Polynom- oder
Matrizenringen) unterscheiden. Besteht eine derartige Verwechselungsgefahr
nicht, so findet man häufig auch die Schreibweise u · v für das Skalarprodukt
hu, vi. Eine Verwechselung mit der Vervielfachung des Vektorraumes ist niemals möglich, da man bereits an den Argumenten erkennt, ob es sich um
ein Skalarprodukt (Vektor · Vektor) oder eine Vervielfachung (Zahl · Vektor)
handelt.
Von besonderem Interesse ist der Euklidische Vektorraum bestehend aus V =
Rn und dem sogenannten inneren Produkt, welches durch
h(u1 , . . . , un ), (v1 , . . . , vn )i :=
n
X
i=1
123
Preliminary version – 8. Januar 2002
ui vi
(7.1)
definiert ist. Sieht man die Elemente von V als Zeilenvektoren, d.h. Matrizen
vom Typ (n, 1) an, und
identifiziert man die (1, 1)-Matrizen mit ihrem einzigen Eintrag (also a = a), so läßt sich die Definition des inneren Produktes
kurz in der Form hu, vi = uv T schreiben.
Es sei aber darauf hingewiesen, daß es durchaus andere Skalarprodukte gibt,
zum Beispiel definiert auch h(a, b), (c, d)i := 2ac+ad+bc+3bd ein Skalarprodukt. Ist V kein Rn , sondern beispielsweise ein von reellwertigen Funktionen
gebildeter Vektorraum, so sind auch ganz andere Definitionen. Betrachten
wir V = R[x] den Vektorraum der Polynome (die Aussage bleibt sogar für
noch allgemeinere Funktionenklassen gültig) in x mit reellen Koeffizienten
und zwei beliebige reelle Zahlen a < b. Dann definiert
Z b
∀p, q ∈ R[x] : hp, qi :=
p(x) ∗ q(x)dx
a
ein Skalarprodukt.
Es sei noch einmal an das eingangs diskutierte Beispiel erinnert. In diesem
Falle müßte der Bildraum Rn mit einem anderen Skalarprodukt als (7.1) ausgestattet werden, um FB zu einem Isomorphismus Euklidischer Vektorräume
zu machen, also auch die Skalarprodukt-Verträglichkeit der Abbildung FB
sicher zu stellen. Das korrekte Skalarprodukt für den Bildbereich wäre
h(a, b), (c, d)i := ac + 2bd + ad + bc. Verwendet man für die transformierten Vektoren dieses Skalarprodukt zur Berechung von Längen und Winkeln
im Sinne der im Anschluß angeführten Definition, so weichen diese nicht
mehr von den entsprechenden Angaben der Ausgangsgrößen ab. Siehe dazu
auch Übungsaufgabe 29.
Definition 33 Sei V ein Euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt
h , i.
p
Die Quadratwurzel hv, vi nennt man den Betrag (die Länge) des Vektors
v ∈ V und bezeichnet sie mit |v|. Einen Vektor v der Länge |v| = 1 nennen
wir Einheitsvektor.
Sind u, v ∈ V \ {O} vom Nullvektor verschiedene Vektoren aus V , dann
definiert man den von u und v eingeschlossenen Winkel ](u, v), als den
Winkel aus dem Bereich [0◦ , . . . , 180◦ ), dessen Kosinus der Gleichung
cos ](u, v) :=
hu, vi
|u| |v|
genügt.
124
Preliminary version – 8. Januar 2002
Zwei Vektoren u, v ∈ V heißen zueinander orthogonal (senkrecht), wenn ihr
Skalarprodukt 0 ist, d.h. hu, vi = 0.
Für den Euklidischen Vektorraum V = Rn mit dem Standardskalarprodukt
erhält man
v
u n
uX
a2i .
|(a1 , . . . , an )| = t
i=1
Legt man die gewöhnlichen Anschauung der Punkte des R2 in Bezug auf
ein kartesisches Koordinatensystem zugrunde, so ist der
√ unter Verwendung
des Skalarproduktes (7.1) erhaltene Betrag |(a, b)| = a2 + b2 gerade der
übliche Euklidische Abstand des Punktes (a, b) vom Koordinatenursprung.
Es handelt sich also um eine vernünftige Längendefinition für den Ortsvektor. Mittels Kosinussatz zeigt man, daß ähnliches auch auf den von den
Ortsvektoren (a, b) und (c, d) eingeschlossenen Winkel zutrifft. Im anderen
geometrisch anschaulichen Fall R3 treffen diese Aussagen gleichermaßen zu.
Für die Zukunft vereinbaren wir, wenn wir ohne Angabe eines Skalarproduktes vom Euklidischen Vektorraum Rn sprechen, so ist dieser immer mit dem
Standardskalarprodukt (7.1) ausgestattet.
Die Definition der Orthogonalität zweier von Null verschiedener Vektoren
steht mit der Definition des eingeschlossenen Winkels im Einklang. Zusätzlich wird durch diese Definition vereinbart, daß der Nullvektor auf jedem
Vektor senkrecht stehen soll.
Ohne Beweis halten wir zwei wichtige für jedes Skalarprodukt gültige Ungleichungen fest:
Merksatz 29 V sei ein Euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt
h , i. Für alle u, v ∈ V gelten:
1. |u + v| ≤ |u| + |v| (Dreiecksungleichung)
2. | hu, vi | ≤ |u| |v| (Schwarzsche Ungleichung)
Man beachte: Auf der linken Seite der Schwarzschen Ungleichung stehen die
senkrechten Striche für die Bildung des Absolutbetrags einer reellen Zahl,
auf der rechten Seite beziehen sich die senkrechten Striche auf die Länge von
Vektoren.
Die Gültigkeit der Schwarzschen Ungleichung ist die Rechtfertigung der in
Definition 33 vorgenommen Einführung des Winkel zwischen zwei Vektoren.
hu,vi
Durch sie ist abgesichert, daß |u|
tatsächlich dem Intervall [−1 . . . 1] an|v|
gehört, also Kosinus eines Winkels ist.
125
Preliminary version – 8. Januar 2002
Übungsaufgaben, Serie 10
28. Gegeben sind die Vektoren mit den Koordinatendarstellungen
1 2
v1 = (1, 2, 1)B , v2 = (3, −1, 0)B , v3 = −1, , −
2 3 B
bezüglich der geordneten Basis
B = ((2, −1, 3), (0, −1, 2), (−1, 1, 1))
des Vektorraumes R3 der Tripel reeller Zahlen. Berechnen Sie die Koordinatendarstellungen dieser Vektoren bezüglich der geordneten Basis
C = ((1, 1, 1), (2, 2, −2), (−3, 1, 2)) .
29. (a) Zeigen Sie, daß
h(a, b), (c, d)i := ac + 2bd + ad + bc
auf dem Vektorraum R2 der geordneten Paare reeller Zahlen ein
Skalarprodukt definiert.
(b) Berechnen Sie in Bezug auf dieses Skalarprodukt die Längen der
Vektoren (1, 0) und (0, 1)
(c) Berechnen Sie in Bezug auf dieses Skalarprodukt die eingeschlossenen Winkel der Vektoren
i. (1, 0) und (0, 1)
ii. (1, 1) und (3, 3)
iii. (1, 3) und (−7, 4)
30. Berechnen Sie Eigenwerte

1
0

0

0

0
0
und zugehörige Eigenräume der Matrix

0
0 0 1 −1
1
0 0 1 −1

−1 2 0 1 −1

−1 0 2 1 −1

−1 −1 1 3 −1
−1 −1 1 3 −1
126
Preliminary version – 8. Januar 2002
7.2
Schmidtsches Orthonormierungsverfahren
Definition 34 Wir betrachten einen Euklidischen Vektorraum V mit dem
Skalarprodukt h , i. Eine Basis B von V heißt Orthogonalbasis von V , falls
die Elemente von B paarweise orthogonal zueinander sind.
Besteht B darüberhinaus nur aus Einheitsvektoren, so spricht man von einer
Orthonormalbasis von V .
Betrachten wir den Vektorraum V = R3 mit dem Standardskalarprodukt.
Die Einheitsvektoren (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) bilden eine Orthonormalbasis
von V . Dagegen ist die Basis {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} keine solche, denn
beispielsweise stehen die Vektoren (1, 0, 0) und (1, 1, 0) wegen h(1, 0, 0), (1, 1, 0)i =
1 nicht senkrecht aufeinander.
Die Vektoren der Basis {(1, 1, 0), (1, −1, 0), (0, 0, 1)} stehen wiederum paarweise senkrecht aufeinander. Dennoch handelt es sich hierbei nur um eine
Orthogonalbasis und nicht um eine
√ Orthonormalbasis, denn die beiden ersten
Basisvektoren haben die Länge 2 und nicht wie gefordert 1. Vervielfacht
man jeden der Basisvektoren
seines
√ mit
√dem Inversen
√
√ Betrages, so erhält man
1
1
1
1
die Orthonormalbasis {( 2 2, 2 2, 0), ( 2 2, − 2 2, 0), (0, 0, 1)}. Wie in diesem Beispiel kann man aus einer beliebigen Orthogonalbasis von V sofort
eine Orthonormalbasis von V gewinnen, indem man jeden der Vektoren mit
dem Inversen seines Betrages vervielfacht.
Betrachten wir zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren u, v ∈ V und
hu,vi
bilden die Linearkombination w = v − hu,ui
u. Dann gilt
hu, wi = hu, vi −
hu, vi
hu, ui = 0 .
hu, ui
hu,vi
Diese Rechnung zeigt, daß w auf u senkrecht steht. Der Vektor hu,ui
u ist die
Projektion von v auf die durch u bestimmte Gerade durch den Nullpunkt.
Man kann die Beziehung
hu, vi
u
v=w+
hu, ui
so deuten, daß v in eine Summe bestehend aus einem zu u senkrechten und
einem zu u parallelen Vektor zerlegt wird. Insbesondere gilt im Falle ukv die
Beziehung w = 0.
Wir halten fest:
127
Preliminary version – 8. Januar 2002
Lemma 8 Für linear unabhängige Vektoren u und v ist
w=v−
hu, vi
u
hu, ui
ein vom Nullvektor verschiedener senkrecht auf u stehender Vektor. Ist u ein
Einheitsvektor, so vereinfacht sich die Bildung von w zu
w = v − hu, vi u .
Weiterhin gilt:
Lemma 9 Seien u ∈ V ein Vektor und v, w ∈ V zwei zu u orthogonale Vektoren. Dann ist jeder Vektor des von v und w erzeugten Untervektorraumes
Span(v, w) orthogonal zu u.
Beweis: Die Behauptung folgt sofort aus
hu, αv + βwi = α hu, vi + β hu, wi = 0
2
Betrachten wir nun drei linear unabhängige Einheitsvektoren u, v, z ∈ V , der
von ihnen aufgespannte lineare Teilraum von V sei U = Span{u, v, z}. Mit
Hilfe von Lemma 8 können wir zwei auf u senkrecht stehende Vektoren v 0 :=
v−hu, vi u und z 0 := z−hu, zi u konstruieren. Diese sind von Null verschieden
und daher sind ṽ := |v10 | v 0 und z̃ := |z10 | z 0 dazu parallel Einheitsvektoren. Die
Menge B = {u, ṽ, z̃} ist Basis von U , denn man überzeugt sich leicht davon,
daß sich die Vektoren u, v, z als Linearkombination von B darstellen lassen,
also B ein Erzeugendensystem ist. Da U die Dimension 3 hat, muß die
dreielementige Menge B linear unabhängig, also Basis von U , sein. Durch
Anwendung von Lemma 8 auf ṽ, z̃ erhält man einen auf ṽ senkrecht stehenden
Vektor ẑ = z̃ − hṽ, z̃i ṽ 6= O. Nach Lemma 9 steht dieser nicht nur senkrecht
auf ṽ sondern auch auf u. Durch Normierung auf die Länge 1 erhält man den
Einheitsvektor z. Die Menge B 0 = {u, ṽ, z} ist Orthonormalbasis von U .
Dann können wir zunächst einen auf u senkrecht stehenden Einheitsvektor
w konstruieren, indem wir zuerst das vorangegangene Lemma anwenden und
den Ergebnisvektor durch Vervielfachung mit dem Inversen seines Betrages
auf die Länge 1 normieren.
128
Preliminary version – 8. Januar 2002
Das eben für 2 und 3 linear unabhängige Elemente durchgeführte Verfahren,
läßt sich auf beliebige linear unabhängige endliche Mengen von Vektoren erweitern. Auf diese Weise kann man aus einer beliebigen Basis eines endlichdimensionalen Vektorraumes V eine Orthonormalbasis von V konstruieren.
Man nennt dieses Verfahren
Schmidtsches Orthonormierungsierungsverfahren.
Gegeben: Erzeugendensystem B des endlichdimensionalen Vektorraumes
V.
Gesucht: Orthonormalbasis C von V .
1 C := ∅, B := B \ {O}
2 while B 6= ∅ do
2.1
Wähle einen beliebigen Vektor c ∈ B.
2.2
B := B \ {c}
1
c
2.3
c := |c|
2.4
C := C ∪ {c}
2.5
for all b ∈ B do
2.5.1
b0 := b − hb, ci c
2.5.2
B := B \ {b}
2.5.3
if b0 6= O then B := B ∪ {b0 }
Da die Menge B in jedem Durchlauf von Schleife 2 kleiner wird ist klar,
daß das Verfahren irgendwann anhält. Daß die Menge C zum Terminationszeitpunkt eine Orthonormalbasis von V ist, kann man analog zum eingangs
beschriebenen Fall eines dreidimensionalen Raumes V mittels vollständiger
Induktion nachweisen.
Betrachten wir ein Beispiel zum Schmidtschen Orthonormierungsverfahren.
V sei der von B = {u = (0, 2, 2, −1, 0), v = (2, 2, −2, −2, 0), z = (0, 1, 1, 1, 1)}
erzeugte lineare Teilraum des R5 .
Wir wählen den Vektor z und normieren ihn auf den Betrag 1. So erhalten
wir 0, 21 , 12 , 12 , 12 als erstes Element der Orthonormalbasis C.
129
Preliminary version – 8. Januar 2002
Die verbleibenden Vektoren u und v aus B werden durch die Vektoren
1 1 1 1
3
0
u = (0, 2, 2, −1, 0) −
0, , , ,
2
2 2 2 2
5 5 7 3
=
0, , , − , −
4 4 4 4
1 1 1 1
0
v = (2, 2, −2, −2, 0) + 0, , , ,
2 2 2 2
5 3 3 1
=
2, , − , − ,
2 2 2 2
Wir normieren u0 auf den Betrag 1 und nehmen den dabei erhaltenen Vektor
ũ =
1√
3 (0, 5, 5, −7, −3)
18
in die Orthonormalbasis C auf. Dann ersetzen wir v 0 in B durch
1
1√
7√
v̂ =
(4, 5, −3, −3, 1) −
3∗
3 (0, 5, 5, −7, −3)
2
9
18
50 58 16 8
=
2, , − , − ,
27 27 27 9
Schließlich normieren wir den Vektor v̂ noch auf den Betrag 1 und fügen ihn
in C ein. Dabei erhalten wir die Orthonormalbasis
1
1√
1 √
C=
(0, 1, 1, 1, 1) ,
3 (0, 5, 5, −7, −3) ,
267 (27, 25, −29, −8, 12)
2
18
801
des Untervektorraumes V ⊂ R5 .
7.3
Isomorphismen Euklidischer Vektorräume
Eine lineare Abbildung F : V → W zweier Euklidischer Vektorräume,
welche mit dem Skalarprodukt verträglich ist, d.h.
∀u, v ∈ V : hu, vi = hF (u), F (v)i ,
ist stets injektiv. Für v ∈ Null(F ) gilt aufgrund der Skalarproduktverträglichkeit hv, vi = hF (v), F (v)i = h0, 0i = 0 und aus den Eigenschaften
130
Preliminary version – 8. Januar 2002
des Skalarprodukts folgt v = 0. Im Falle dim V = dim W < ∞ ist also jedes
derartige F ein Isomorphismus Euklidischer Vektorräume.
Die Invarianz des Skalarprodukts hat für alle u, v ∈ V die Gültigkeit von
|v| = |F (v)|
](u, v) = ](F (u), F (v))
zur Folge. Insbesondere geht eine Orthonormalbasis von V bei Anwendung
von F stets in eine Orthonormalbasis von Bild(F ) über. Im weiteren wollen
wir dim V = dim W voraussetzen, dann geht eine Orthonormalbasis von V
in eine Orthonormalbasis von W über.
Seien B = (b1 , . . . , bn ) und C = (c1 , . . . , cn ) geordnete Orthonormalbasen
von V beziehungsweise W und
F (b1 ) = a1,1 c1 + · · · + a1,n cn
..
.
F (bn ) = an,1 c1 + · · · + an,n cn
(7.2)
die Koordinatendarstellungen der Bilder der Elemente von B bezüglich C.
Aus der Invarianz des Skalarproduktes ergibt sich
hbi , bj i = hai,1 c1 + · · · + ai,n cn , aj,1 c1 + · · · + aj,n cn i =
n
n X
X
ai,k aj,l hck , cl i .
k=1 l=1
Aufgrund der Orthonormalbasiseigenschaft von C gilt
1 : falls k = l
hck , cl i =
0 : sonst
und die obige Gleichung vereinfacht sich zu
hbi , bj i =
n
X
ai,k aj,k .
(7.3)
k=1
Betrachten wir nun die Abbildungsmatrix AF = (ai,j ) i=1,... ,n von F bezüglich
j=1,... ,n
der geordneten Basen B und C. Wegen (7.3) bilden die Zeilen der Matrix
131
Preliminary version – 8. Januar 2002
AF eine Orthonormalbasis des Euklidischen Vektorraumes Rn mit dem Standardskalarprodukt (7.1). Aus dieser Tatsache ergibt sich sofort die Gültigkeit
von
AF ATF = ATF AF = En .
(7.4)
Eine Matrix mit dieser Eigenschaft nennt man Orthogonalmatrix. Orthogonalmatrizen lassen sich besonders einfach invertieren. Wir wollen hervorheben, daß insbesondere jede Koordinatentransformationsmatrix, welche die
Koordinatendarstellungen der Elemente von Rn bezüglich einer Orthonormalbasis in deren Koordinatendarstellungen bezüglich einer weiteren Orthonormalbasis umrechnet, von dieser speziellen Bauart ist. Die umgekehrte
Koordinatentransformation beruhte gerade auf der inversen Abbildungsmatrix. Wir stellen fest, daß sich diese im Falle der Transformation zwischen
Orthonormalbasen einfach durch Transponieren gewinnen läßt. Mit anderen Worten, hat man die Matrix für die Transformation in einer Richtung
gegeben, so bedarf es praktisch keines Rechenaufwandes um auch die Rücktransformation ausführen zu können.
Um Gleichung (7.3) herzuleiten, mussten wir keinen Gebrauch von den Eigenschaften der Basis B machen. Diese benötigten wir erst im nächsten Schritt,
um auf die Orthogonalität der Abbildungsmatrix schließen zu können. In
der Tat gilt
hu, vi =
n
X
αk βk .
(7.5)
k=1
für beliebige Vektoren u, v ∈ W , wobei diese die Koordinatendarstellungen
uC = (α1 , . . . , αn )C bzw. vC = (β1 , . . . , βn )C bezüglich der Orthonormalbasis C haben. Wir halten also fest, ist W ein Euklidischer Vektorraum mit
beliebigem Skalarprodukt und C eine Orthonormalbasis von W , so kann man
das Skalarprodukt hu, vi immer berechnen, indem man das Standardskalarprodukt der Koordinatendarstellungen von u und v bezüglich C berechnet.
Merksatz 30 Jeder n-dimensionale Euklidische Vektorraum W ist zu dem
Euklidischen Vektorraum Rn mit Standardskalarprodukt isomorph.
132
Preliminary version – 8. Januar 2002
7.4
Euklidische affine Räume und Bewegungen
Unter einem Euklidischen affinen Raum wollen wir einen affinen Raum (A, V )
verstehen, dessen Vektorraum V sogar Euklidischer Vektorraum ist.
Unter einem Koordinatensystem eines n-dimensionalen affinen Raumes versteht man ein (n + 1)-Tupel S = (O; e1 , . . . , en ) bestehenden aus einem beliebigen festen Punkt O ∈ A, dem sogenanten Koordinatenursprung, und
den Vektoren e1 , . . . , en einer geordneten Basis E von V . Ist V ein Euklidischer Vektorraum und E Orthonormalbasis von V , so sprechen wir von
einem kartesischen Koordinatensystem.
−→
Jeder Punkt P ∈ A läßt sich eindeutig durch den Ortsvektor OP ∈ V be−→
schreiben. Die Koordinatendarstellung (p1 , . . . , pn )E von OP bezüglich der
−→ P
geordneten Basis E, d.h. OP = ni=1 pi ei , nennt man auch die Koordinatendarstellung (p1 , . . . , pn )S von P bezüglich des Koordinatensystems S.
Sei (A, V ) ein Euklidischer affiner Raum. Als Bewegung von (A, V ) bezeichnen wir eine Abbildung G : A → A mit der Eigenschaft, daß die durch
−−−−−−−→
−→
F (P Q) := G(P ) G(Q) induzierte Abbildung F : V → V ein Isomorphismus Euklidischer Vektorräume ist. Insbesondere muß die Abbildung F
−→ −−→
wohldefiniert sein, d.h. für beliebige Punkte P, P 0 , Q, Q0 ∈ A mit P Q = P 0 Q0
−−−−−−−→ −−−−−−−−→
muß auch die Gleichheit G(P ) G(Q) = G(P 0 ) G(Q0 ) der Verbindungsvektoren im Bildraum gelten. Man sieht leicht, daß die Hintereinanderausführung
zweier Bewegungen ebenso wie die inverse Abbildung einer Bewegung wieder
Bewegungen sind.
Merksatz 31 Die Bewegungen, d.h. die abstands- und winkeltreuen Abbildungen, des Euklidischen affinen Raumes (A, V ) auf sich bilden eine Gruppe.
Eine spezielle Art der Bewegung sind die Translationen. Bei der Translation
Tv : A → A um den Vektor v ∈ V wird jedem Punkt P ∈ A der Punkt
−→
Q ∈ A mit P Q = v zugeordnet. Bei einer Translation für beliebige Punkte
−→ −−−−−−−→
P, Q ∈ A sogar die Gleichheit P Q = Tv (P ) T( Q), die induzierte Abbildung
auf dem Vektorraum V ist also einfach die Identität.
Für ein festes Koordinatensystem S von (A, V ) ergibt sich für die Koordinatendarstellungen bezüglich S die Transformationsgleichung
(Tv (P ))S = PS + vE .
133
Preliminary version – 8. Januar 2002
Hierbei bezeichnen PS und (Tv (P ))S die Koordinatendarstellung von P beziehungsweise Tv (P ) bezüglich S und vE die Koordinatendarstellung von v
bezüglich E.
Betrachten wir nun solche Bewegungen D : A → A, bei denen der Koordinatenursprung Fixpunkt ist, d.h. D(O) = O. In diesem Falle nimmt
die Transformationsgleichung der Koordinatendarstellungen bezüglich S die
Gestalt
(D(P ))S = PS · AD ,
wobei AD die Abbildungsmatrix der induzierten linearen Abbildung des Euklidischen Vektorraums V bezüglich der geordneten Basis E bezeichnet. Zu
diesem Ergebnis kommt man bei Betrachtung des Übergang O 7→ O und
−→
P 7→ D(P ), denn gemäß der Eigenschaften einer Bewegung muß F (OP ) =
−−−−−→
O D(P ) erfüllt sein. Das heißt aber gerade F (PS ) = (D(P ))S .
Jede Bewegung G von (A, V ) läßt sich also Hintereinanderausführung einer
Bewegung D mit fixem Koordinatenursprung und einer Translation T darstellen, also G(P ) = T (D(P )). In Koordinatenschreibweise erhält man
(G(P ))S = PS · AD + vE
(7.6)
in Bezug auf das Koordinatensystem S. Ist S kartesisch, so ist AD eine Orthogonalmatrix und die Bewegung G−1 genügt der Koordinatenschreibweise
G−1 (Q) S = QS · ATD − vE · ATD
(7.7)
Aus der Orthogonalitätseigenschaft AD ATD = E und dem Determinantensatz
18 schließt man sofort det AD ∗ det ATD = (det AD )2 = 1, also det AD = ±1.
Im Falle det AD = 1 spricht man von eigentlichen Bewegungen und im
Falle det AD = −1 von uneigentlichen Bewegungen. Für den durch die
Abbildungsmatrix AD gegebenen Isomorphismus Euklidischer Vektorräume
kommen nur 1 und −1 als reelle Eigenwerte in Frage, jeder andere reelle
Eigenwert würde offensichtlich die Längentreue verletzen.
7.4.1
Bewegungen in Ebene und Raum
Wir wollen nun die anschaulichen affinen Räume R2 und R3 genauer untersuchen, dabei legen wir stets ein kartesisches Koordinatensystem S zugrunde
und rechnen mit den Koordinatendarstellungen bezüglich S.
134
Preliminary version – 8. Januar 2002
Bewegungen in der Ebene R2
Beginnen wir mit der Untersuchung des R2 . Wann ist eine Matrix A ∈ R2,2
orthogonal? Da alle Vektoren als durch ihre Koordinaten bezüglich eines
Orthonormalssystems (Vektoranteil des kartesischen Koordinatensystems S)
gegeben betrachtet werden, haben wir es immer mit dem Standardskalarpro
a b
dukt 7.1 zu tun. Die Normalität der Zeilen und Spalten von A =
c d
bedeutet folglich
a2 + b2 = c2 + d2 = a2 + c2 = b2 + d2 = 1 .
(7.8)
Zieht man nun noch die Orthogonalität der Zeilen und Spalten hinzu, so
erhält man die Beziehungen
ac + bd = ab + cd = 0 .
(7.9)
Aus 7.8 ergibt sich, daß jede der Variablen a, b, c und d einen Wert zwischen
−1 und +1 hat, also als Sinus oder Kosinus eines Winkels aufgefaßt werden
kann. Mehr noch, es gibt einen Winkel 0 ≤ ϕ ≤ π, so daß a2 = d2 = cos2 ϕ
und b2 = c2 = sin2 ϕ. Wegen 7.9 und |a| = |d| sowie |b| = |c| erhalten wir,
daß einer der beiden Fälle
d = a und c = −b
oder
d = −a und c = b
vorliegen muß. Gehört A zu einer eigentlichen Bewegung, dann scheidet der
zweite Fall wegen
a b 2
2
b −a = −a − b ≤ 0
aus. Es gibt genau einen Winkel 0 ≤ ϕ < 2π, so daß die Beziehungen
a = cos ϕ und b = sin ϕ gelten.
Wir halten also fest, jede eigentliche Bewegung D des R2 , welche den Koordinatenursprung fest läßt, ist von der Art
cos ϕ sin ϕ
D(x, y)S = (x, y)S ·
.
− sin ϕ cos ϕ
In der Tat beschreibt die Gleichung gerade eine Drehung des affinen Raumes
um den Koordinatenursprung um den Winkel ϕ, d.h. ist (x, y)S ein Punkt
135
Preliminary version – 8. Januar 2002
von R2 , dann ergeben sich die Koordinaten des Bildpunktes D(x, y)S , indem
man den Ortsvektor von (x, y)S entgegen des Uhrzeigersinnes um ϕ dreht.
Hierbei beachte man: Wir hatten oben die Auswahl, ob wir a oder b als Kosinus wählen. Die von uns getroffene Entscheidung ist insofern die vernünftigere, daß nur sie die geometrische Deutung der Drehung um eben diesen
Winkel ϕ erlaubt.
Es bleibt noch die Untersuchung der uneigentlichen Bewegungen. Bereits
früher hatten wir festgestellt, daß diese durch eine Matrix
a b
A=
b −a
beschrieben werden. Ein wichtigter Spezialfall ist a = 1, b = 0, also
1 0
M (x, y)S = (x, y)S ·
.
0 −1
Hierbei handelt es sich um eine Spiegelung an der x-Achse. Eine beliebige andere uneigentliche Bewegung mit fixem Koordinatenursprung läßt sich
wegen
a b
1 0
a b
=
∗
b −a
0 −1
−b a
als Hintereinanderausführung einer Spiegelung an der x-Achse und anschließender Drehung darstellen. Der Spezialfall a = −1, b = 0 stellt natürlich eine
Spiegelung an der y-Achse dar. Nach unserer obigen Untersuchung kann man
diese auch erhalten, indem man an der x-Achse spiegelt und anschließend um
den Winkel 180◦ (wegen cos π = −1) dreht.
Betrachten
wir ein weiteres Beispiel dafür, nämlich die Bewegung mit A =
0 1
, welche x- und y-Koordinate vertauscht. Die Zerlegung in x-Achsen1 0
spiegelung und Drehung gibt
0 1
1 0
0 1
=
∗
1 0
0 −1
−1 0
Im Anschluß an die Spiegelung an der x-Achse erfolgt also eine Drehung um
90◦ .
Insgesamt halten wir fest:
136
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Merksatz 32 Jede Bewegung des affinen Raumes R2 ergibt sich als Hintereinanderausführung von optional einer Spiegelung an der x-Achse und dann
einer Drehung um einen Winkel 0 ≤ ϕ < 360◦ und einer abschließenden
Parallelverschiebung um einen Vektor v ∈ R2 .
Wenn eine Drehung reelle Eigenwerte hat, so muß es sich um einen doppelten Eigenwert 1 oder einen doppelten Eigenwert −1 handeln. Im ersten Fall
haben wir den Drehwinkel 0◦ , also die Identität. Im zweiten Fall beträgt der
Drehwinkel 180◦ , also die Punktspiegelung am Koordinatenursprung. Eine
Drehspiegelung mit reellen Eigenwerten hat die Eigenwerte 1 und −1, es
handelt sich also immer um eine Spiegelung, die Richtung der Spiegelachse
ist durch den Eigenvektor zum Eigenwert 1 festgelegt. Achtung: die Eigenvektoren zum Eigenwert −1 werden umgedreht, sie stehen daher nicht in
Richtung zur sondern senkrecht auf der Spiegelachse.
Bewegungen im Raum R3
Betrachten wir nun eine den Koordinatenursprung fest lassende Bewegung
des R3 . Die zugehörige Transformationsmatrix A besitzt immer einen reellen
Eigenwert, da ein Polynom vom Grad 3 mit reellen Koeffizienten aufgrund des
paarweisen Auftretens komplexer Eigenwerte mindestens eine reelle Nullstelle
haben muß.
Betrachten wir zuerst den Fall, daß sogar alle drei Eigenwerte reell sind.
• Eigenwert 1 mit algebraischer Vielfachheit 3, Identität.
• Eigenwert 1 mit algebraischer Vielfachheit 2 und Eigenwert −1 mit
algebraischer Vielfachheit 1, Spiegelung an der Ebene, die durch die
Eigenvektoren zum Eigenwert 1 bestimmt wird.
• Eigenwert 1 mit algebraischer Vielfachheit 1 und Eigenwert −1 mit algebraischer Vielfachheit 2, Spiegelung an der durch den Eigenvektoren
zum Eigenwert 1 bestimmten Geraden.
• Eigenwert −1 mit algebraischer Vielfachheit 3, Punktspiegelung am
Koordinatenursprung.
Wir betrachten nun den allgemeinen Fall und setzen voraus, daß der erste
Vektor der zugrundeliegenden Orthonormalbasis des zum affinen Raumes
137
Preliminary version – 8. Januar 2002
gehörigen Vektorraumes ein Eigenvektor eines reellen Eigenwertes ist. Die
Abbildungsmatrix hat dann die Gestalt


±1 0 0
A =  0 a b ,
0 c d
a b
wobei B =
eine Bewegungsmatrix des R2 ist. Ist B eine uneigentlic d
che Bewegung, also eine Drehspiegelung, dann zerlegen wir A in

 
 

±1 0 0
±1 0 0
1 0
0
b 
A =  0 a b  =  0 1 0  ∗ 0 a
0 c d
0 0 −1
0 −c −d
und andernfalls in

 
 

±1 0 0
±1 0 0
1 0 0
A =  0 a b  =  0 1 0 ∗ 0 a b 
0 c d
0 0 1
0 c d
In beiden Fällen erreichen wir so, daß der rechte Faktor eine Drehung um die
x-Achse ist. Der erste Faktor gehört zu einer der oben klassifizierten Bewegungen mit ausschließlich reellen Eigenwerten. Zusammenfassend halten wir
fest:

 

±1 0 0
1
0
0
A =  0 1 0  ∗ 0 cos ϕ sin ϕ 
0 0 ±1
0 − sin ϕ cos ϕ
und
Merksatz 33 Jede Bewegung des affinen Raumes R3 ergibt sich als Hintereinanderausführung einer Spiegelung an einer Geraden oder einer Ebene,
einer Drehung um eine Achse und einer abschließenden Parallelverschiebung.
Liegt unseren Untersuchungen eine beliebige Orthonormalbasis zugrunde,
dann wird ein Problem des obigen Satzes deutlich, denn Spiegelung und
Drehung müssen bezüglich irgendwie im Raum liegender Achsen beschrieben
werden.
Alternativ kann man eine Zerlegung der folgenden Art vornehmen:
Merksatz 34 Jede Bewegung des affinen Raumes R3 ergibt sich als Hintereinanderausführung einer optionalen Spiegelung an der x-Ebene, einer Drehung um die x-Achse, einer Drehung um die y-Achse, einer Drehung um die
z-Achse und einer abschließenden Parallelverschiebung.
138
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7.5
Abstände und Schnittwinkel Euklidischer
affiner Teilräume
Zum Abschluß wollen wir uns noch zwei geometrischen Fragestellungen zuwenden. Dabei betrachten wir zwei affine Teilräume A1 = (A1 , V1 ) und
A2 = (A2 , V2 ) des Euklidischen affinen Raumes A = (A, V ) und fragen nach
dem Abstand d(A1 , A2 ), sowie in einigen Spezialfällen nach dem Schnittwinkel ](A1 , A2 ). Unseren Untersuchungen sollen immer Koordinaten bezüglich
eines kartesischen Koordinatensystems S von A zugrunde liegen.
Definition 35 A = (A, V ) sei ein
affiner Raum. Die Länge des
rDEuklidischer
E
−−→
−−→ −−→
Verbindungsvektors P1 P2 , d.h.
P1 P2 , P1 P2 , bezeichnen wir als Abstand
d (P1 , P2 ) der Punkte P1 , P2 ∈ A.
Sind A1 = (A1 , V1 ) und A2 = (A2 , V2 ) affine Teilräume von A, dann definiert
d (A1 , A2 ) :=
min
P1 ∈A1 ∧P2 ∈A2
d (P1 , P2 )
den Abstand der beiden Teilräume.
Die Definition des Abstands zweier Punkte als Länge ihres Verbindungsvektors ist naheliegend. Wie sieht es aber mit der Definition des Abstandes
beliebiger affiner Teilräume A1 und A2 von A aus? Wenn sich A1 und A2
scheiden ist das Minimum 0, das ist sicher vernünftig. Andernfalls erhebt
sich zunächst die Frage nach der Existenz des Minimums der Punktabstände.
Falls P1 ∈ A1 und P2 ∈ A2 Punkte minimalen Abstandes sind, so muß der
−−→
Verbindungsvektor P1 P2 senkrecht auf jedem Vektor der beiden Vektorräume
V1 und V2 stehen. Nehmen wir an, daß wäre nicht der Fall, also existiert
−−→
o.B.d.A. ein Vektor v ∈ V1 , welcher nicht orthogonal zu P1 P2 ist. Mit Hilfe
des Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens finden wir einen Vektor
−−→
w, welcher senkrecht auf v steht und linear abhängig von v und P1 P2 ist.
Die in Richtung w durch P2 verlaufende Gerade g1 und die in Richtung v
durch P1 verlaufende Gerade g2 haben einen gemeinsamen Schnittpunkt P3 .
g2 ist Teilraum von A1 , also P3 ∈ A1 . Die Strecke P1 P2 ist Hypothenuse
des rechtwinkligen Dreiecks 4(P1 , P2 , P3 ), also in jedem Falle länger als die
Strecke P3 P2 . Wegen P3 ∈ A1 und P2 ∈ A2 stünde das im Widerspruch zu
−−→
d (A1 , A2 ) = d (P1 , P2 ), also konnte ein derartiger zu P1 P2 nicht orthogonaler
Vektor v ∈ V1 nicht existieren. Sind nun P1 , P10 ∈ A1 und P2 , P20 ∈ A2 zwei
139
Preliminary version – 8. Januar 2002
−−→
−−→
Punktepaare mit P1 P2 ⊥ V1 , V2 und P10 P20 ⊥ V1 , V2 . Dann gilt insbesondere
auch
→ −−→ −−→
−−→ −−
P1 P2 , P10 P20 ⊥ P1 P10 , P2 P20 .
P2 P1 P10 P20 sind demzufolge die Eckpunkte eines Rechtecks und daher folgt
−−→ −−→
P1 P2 = P10 P20 .
−−→
Wir stellen also fest, für beliebige Punkte P1 ∈ A1 und P2 ∈ A2 mit P1 P2 ⊥
V1 , V2 ist d (A1 , A2 ) = d (P1 , P2 ). Es bleibt noch zu zeigen, daß es immer
derartige Punkte gibt. Betrachtet man den in Abschnitt 5.8 angegebenen
Algorithmus zur Berechnung des Durchschnitts zweier implizit gegebener affiner Räume, so stellt man fest, daß sich A1 und A2 im Falle V1 + V2 = V
schneiden müssen. In diesem Falle ist P1 = P2 ∈ A1 ∩ A2 eine geeignete
Wahl. Schneiden sich A1 und A2 dagegen nicht, so läßt sich eine Orthonormalbasis von V1 + V2 mittels Schmidtschem Orthonormalisierungsverfahren
durch Hinzunahme mindestens eines Vektors zu einer Orthonormalbasis von
ganz V ergänzen. Wir finden demnach eine Vektor O =
6 v ⊥ V1 , V2 und ohne
−−→
Beweis merken wir an, daß es Punkte P1 ∈ A1 und P2 ∈ A2 mit P1 P2 kv gibt.
Abstandsberechnungen affiner Teilräume des R3
Es gibt drei Typen echter affiner Teilräume des R3 , nämlich Punkte, Geraden
und Ebenen. Die Abstände derartiger affiner Teilräume kann man wie folgt
berechnen.
Punkt P1 - Punkt P2 Dieser Fall ist trivial, man berechnet einfach die
Länge des Verbindungsvektors.
Punkt P - Gerade G G verlaufe in Richtung v durch den Punkt Q. Wir
−→
setzen w := QP . Ähnlich dem Schmidtschen Orthonmormierungsverfahren
v. Dieser steht senkrecht auf v und
berechnen wir den Vektor u := w − hv,wi
hv,vi
seine Länge ist gleich dem Abstand
d (P, G) = |u| .
140
Preliminary version – 8. Januar 2002
Punkt P - Ebene E E verlaufe durch den Punkt Q und dehne sich in den
Richtungen v, w ∈ V aus. Berechne mittels des Schmidtschen Orthonmormierungsverfahren einen Vektor u ∈ V , welcher senkrecht auf v und w steht.
Berechne den Durchschnitt {R} von E mit der Geraden P + λu. Dann gilt
−−→
d (P, E) = |P, R| .
Ebene E1 - Ebene E2
Wenn sich beide Ebenen schneiden, so haben wir
d (E1 , E2 ) = 0 ,
andernfalls sind sie parallel und es gilt
d (E1 , E2 ) = d (P1 , E2 )
für jeden beliebigen Punkt P1 von E1 .
Gerade G1 - Gerade G2 Es seien G1 : x = P1 + λv1 und G2 : x = P2 + µv2
explizite Darstellungen der beiden Geraden. Wenn sich G1 und G2 schneiden,
so
d (G1 , G2 ) = 0 ,
sind die Geraden parallel, so gilt
d (G1 , G2 ) = d (P1 , G2 ) .
Schließlich bleibt noch die Möglichkeit windschiefer Geraden. Dann sind E1 :
x = P1 + λv1 + µv2 und E2 : x = P2 + λv1 + µv2 zwei nicht zusammenfallende
parallele Ebenen und es gilt die Beziehung
d (G1 , G2 ) = d (E1 , E2 ) = d (P1 , E2 ) .
Gerade G - Ebene E
Im Fall GkE haben wir
d (G, E) = d (P, E)
für einen beliebigen Punkt P von G. Andernfalls haben wir
d (G, E) = 0 .
141
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Schnittwinkel von Geraden und Ebenen des R3
Von einem Schnittwinkel affiner Räume A1 und A2 kann man sinnvollerweise
höchstens dann sprechen, wenn sich A1 und A2 tatsächlich schneiden. Für
sich schneidende Geraden liegt es nahe, den von den Richtungsvektoren v1
beziehungsweise v2 beider Geraden eingeschlossenen Winkel zu verwenden.
Da mit v2 auch −v2 Richtungsvektor der zweiten Gerade ist und ](v1 , v2 ) =
180◦ −](v1 , −v2 ) gilt, bedarf es einer weiteren Präzisierung dieser Definition.
Wir verlangen, daß der Schnittwinkel im Bereich zwischen 0◦ und 90◦ liegen
soll. Also
hv1 , v2 i
cos ](G1 , G2 ) = cos ](v1 , v2 ) =
,
|v1 | |v2 |
wobei die Richtungsvektoren v1 und v2 so gewählt sind, daß hv1 , v2 i ≥ 0 gilt.
Ohne sich über den Richtungssinn der Vektoren v1 und v2 Gedanken machen
zu müssen, kann man diese Beziehung auch durch
hv1 , v2 i cos ](G1 , G2 ) = |v1 | |v2 | charakterisieren.
Nun mag man hoffen, analog zur Abstandsdefinition das Minimum oder Maximum von ](v1 , v2 ) für v1 ∈ V und v2 ∈ V als Schnittwinkel zu vereinbaren.
Beide Definitionen sind jedoch leider nicht sinnvoll.
Einen Ausweg gibt es im Falle von Hyperebenen, da man dort eine eindeutig
bestimmte Richtung hat, die senkrecht auf der Hyperebene steht.
So definiert man den Schnittwinkel zweier nicht paralleler Ebenen E1 und E2
des R3 durch
](E1 , E2 ) = ](v1 , v2 ) ,
wobei v1 ⊥ V1 , v2 ⊥ V2 und hv1 , v2 i ≥ 0.
Schließlich kann man den Winkel zwischen einer Ebene E und einer schneidenden Geraden G als
](E, G) = 90◦ − ](v, w) ,
wobei v senkrecht auf E steht, w Richtungsvektor von G ist und hv, wi ≥ 0
gilt.
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Preliminary version – 8. Januar 2002
Literaturverzeichnis
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1991. (Band 1, Kapitel I, II; Band 2, Kapitel VIII, XII,XIII,XIV)
[3] Lau. Mathematik für Informatiker. Band 1, Grundbegriffe der
Mathematik, Lineare Algebra und analytische Geometrie I, 1995.
URL: http://www.math.uni-rostock.de/~dlau, Anonymous-ftp:
ftp://ftp.math.uni-rostock.de/pub/members/lau/skripte/MfI1.ps.gz
[4] Manteuffel, Seiffart, Vetters. Lineare Algebra. MINOL (Mathematik für
Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen, Landwirte) 13, Teubner,
Leipzig, 1978.
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