Abgabetermin: 8.7.2005 1 Musterlösung 12 (1) Bitte

Einführung in die formale Logik
Sommersemester 2005
Übungsblatt 12
Seite 1 von 6
Abgabetermin: 8.7.2005 Musterlösung 12
(1)
X
Bitte kreuzen Sie richtige Behauptungen über den Folgerungszusammenhang zwischen
den beiden folgenden Sätzen an. (2 Punkte)
(A)
(B)
Jemand hat alle Kekse gegessen.
Alle Kekse wurden von jemandem gegessen.
(a)
(b)
(c)
A folgt aus B.
B folgt aus A.
A folgt aus B, und B folgt aus A.
Wenn Peter alle vorhandenen Kekse (Keks 1, Keks 2 und Keks 3) gegessen hat, dann
wurden sowohl Keks 1, als auch Keks 2, als auch Keks 3 von jemandem gegessen. B
folgt also aus A.
Wenn aber alle Kekse von jemandem gegessen wurden, dann könnte es auch sein, dass
Peter Keks 1 aber Anna Keks 2 und 3 gegessen hat. Dann wären alle Kekse von jemandem gegessen worden, aber niemand hätte alle Kekse gegessen. A folgt also nicht aus B.
(2)
Überprüfen Sie bei folgenden Sätzen aus PL, ob sie logisch wahr sind.
Jeweils einen Punkt für die richtige Antwort (logisch wahr oder nicht) und bis zu drei Punkte
für den Beweis durch das Wahrheitsbaumverfahren oder die Angabe eines angemessenen Gegenbeispieles. (insgesamt 16 Pkte.)
a) ((F1a → ∃xF1x) → F1a) ↔ F1a
1.
2. √
3.
6.
7.
¬ (((F1a → ∃xF1x) → F1a ) ↔ F1a)
√
¬ ((F1a → ∃xF1x) → F1a)
F1a
F1a → ∃xF1x
¬F1a
X
9.
√
11.
12.
A
4. √ (F1a → ∃xF1x) → F1a
5.
¬ F1a
(1)
(1)
(2)
(2)
¬ (F1a → ∃xF1x)
F1a
¬∃xF1x
X
(4)
10.
F1a
X
(4)
(9)
(9)
Der Satz a) ist logisch wahr.
1
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Abgabetermin: 8.7.2005 b) ∃x(F1x ∧ G1x) ∨ ∃x(¬F1x ∧ ¬G1x)
Ein Gegenbeispiel ist unsere alte Interpretation I1:
D= Menge der natürlichen Zahlen
F1 : … ist gerade.
G1 : … ist ungerade.
Dieser Satz ist also nicht logisch wahr.
c) ∃x∀y(F1y → (G1x →F1y)
1.
√
¬ ∃x∀y(F1y → (G1x →F1y)
A
2.
√
∀x ¬∀y(F1y → (G1x →F1y))
(1)
3.
√
¬∀y(F1y → (G1a →F1y))
(2)
4.
√
∃y ¬ (F1y → (G1a →F1y))
(3)
5.
√
¬ (F1b → (G1a →F1b))
(4)
√
F1b
¬ (G1a →F1b)
(5)
(5)
G1a
¬ F1b
X
(7)
(7)
6.
7.
8.
9.
Der Satz c) ist logisch wahr.
d) ∀x (F1x ∨ G1x) → ∀x F1x ∨ ∀x G1x
Auch in diesem Fall ist die Interpretation I1 ein angemessenes Gegenbeispiel, d.h. dieser
Satz ist nicht logisch wahr.
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Abgabetermin: 8.7.2005 (3)
Übersetzen Sie die folgenden Sätze optimal strukturreich und adäquat in PL. Geben Sie
die jeweilige Interpretation der Individuenkonstanten (falls vorhanden) und Prädikatsbuchstaben und einen angemessenen Bereich D an. (Bei jeder Teilaufgabe jeweils einen
Punkt für die richtige Interpretation und einen Punkt für die richtige Übersetzung; also
insgesamt 34 Punkte.)
(a)
Stühle sind Sitzgelegenheiten
Ù Wenn ein Möbelstück ein Stuhl ist, dann ist es auch eine Sitzgelegenheit.
D: Menge aller Möbelstück physischen Dinge mittlerer Größe
F1: … ist ein Stuhl
G1x : … ist eine Sitzgelegenheit
∀x (F1x → G1x)
(b)
Anton ist der Freund von Anna.
D: Menge aller Menschen
F2: … ist der Freund von --a: Anton
b: Anna
F2ab
(c)
Alle lieben Harvey.
Ù Alle Menschen lieben Harvey.
D: Menge aller Menschen
F2: … liebt --a: Harvey
∀x F2xa
(d)
Ein Leibwächter wurde erschossen.
Ù Es gibt einen Menschen, der sowohl Leibwächter ist als auch von jemandem
erschossen wurde.
D: Menge aller Menschen
F1: … ist ein Leibwächter
G2xy : … hat --- erschossen
∃x (F1x ∧ ∃y G2yx)
(e)
Im Garten steht ein Schuppen.
Ù Es gibt einen Schuppen, der in diesem speziellen Garten steht.
D: Menge aller Gärten und Schuppen
F1: … ist ein Schuppen
G2: … steht in --a: dieser Garten
∃x (F1x ∧ G2xa)
(f)
Martina ist unglücklich.
D: Menge aller Menschen
F1: glücklich
a: Martina
¬F1a
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Abgabetermin: 8.7.2005 (g)
Alles ist vergänglich.
D: Menge aller zeitlichen Dinge
F1: … ist vergänglich
∀x F1x
(h)
Selig sind die Sanftmütigen.
Ù Für alle Menschen gilt: wenn sie sanftmütig sind, dann sind sie auch selig.
D: Menge aller Menschen
F1: … ist sanftmütig
G1x : … ist selig
∀x (F1x → G1x)
(i)
Kalle hat etwas gewonnen.
D: Menge aller Menschen und gewinnbaren Dinge (Reisen, Herz einer Frau,
Wettrennen, etc.)
F2: … hat --- gewonnen
a: Kalle
∃x F2ax
(j)
Jeder Mensch betrügt sich selbst.
D: Menge aller Menschen
F2: … betrügt --∀x F2xx
(k)
Es ist nicht alles Gold, was glänzt.
D: Menge aller Dinge, die glänzen.
F1: … ist Gold
¬∀x F1x
Oder:
D: Menge aller physischen Dinge
F1: … glänzt
G1: … ist Gold
¬∀x (F1x → G1x) bzw. ∃x (F1x ∧ ¬G1x)
(l)
Alles, was Barbara interessiert, langweilt Jörg.
Ù Für alle Dinge, für die sich Barbara interessiert, gilt, dass sie Jörg langweilen.
D: Menge aller Dinge, die jemanden interessieren oder langweilen können.
F2: … interessiert sich für --G2: … langweilt --a: Barbara
b: Jörg
∀x (F2ax → G2xb)
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Abgabetermin: 8.7.2005 (m)
Zu jedem Mord gibt es ein Motiv.
Ù Hinter jedem Mord steht ein Motiv.
D: Menge aller Morde und Motive
F1: … ist ein Mord.
G1: … ist ein Motiv.
H2: … steht hinter --∀x (F1x → ∃y (G1y ∧ H2yx))
(n)
Keine Regel ohne Ausnahme.
Ù Es nicht so, dass es eine Regel gibt, die keine Ausnahme hat.
D: Menge aller Regeln und Ausnahmen.
F1: … ist eine Regel
G1: … ist eine Ausnahme
H2: … hat --¬∃x (F1x ∧ ¬∃y (G1y ∧ H2xy)) bzw. ∀x (F1x → ∃y (G1y ∧ H2xy))
(o)
Jeder liebt jeden.
Ù Alle Menschen lieben alle anderen Menschen und sich selbst.
D: Menge aller Menschen.
F2: … liebt --∀x∀y F2xy
(o)
Jeder liebt jemanden.
Ù Jeder Mensch liebt mindestens einen Menschen.
D: Menge aller Menschen.
F2: … liebt --∀x∃y F2xy
(p)
Jemand liebt jeden.
Ù Es gibt mindestens einen Menschen, der alle anderen Menschen und sich
selbst liebt.
D: Menge aller Menschen.
F2: … liebt --∃x∀y F2xy
(q)
Jemand liebt jemanden.
Ù Es gibt mindestens einen Menschen, der mindestens einen anderen Menschen
liebt.
D: Menge aller Menschen.
F2: … liebt --∃x∃y F2xy
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Einführung in die formale Logik
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Abgabetermin: 8.7.2005 (r)
Wenn jeder jeden liebt, dann wird jeder von jedem geliebt.
Ù Wenn jeder Mensch jeden anderen Menschen und sich selbst liebt, dann wird
jeder Mensch von jedem anderen Menschen und sich selbst geliebt.
D: Menge aller Menschen.
F2: … liebt --∀x∀y F2xy → ∀x∀y F2yx
(s)
Wenn jemand von jemandem geliebt wird, dann liebt einer jemanden.
Ù Wenn es mindestens einen Menschen gibt, der von mindestens einem anderen
Menschen oder sich selbst geliebt wird, dann gibt es mindestens einen Menschen, der mindestens einen anderen Menschen oder sich selbst liebt.
D: Menge aller Menschen.
F2: … liebt --∃x∃y F2yx → ∃x∃y F2xy
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