18 Wahrheitsbäume zur Beurteilung der logischen

18 Wahrheitsbäume zur Beurteilung der logischen
Eigenschaften von Sätzen der Sprache PL
Die Wahrheitsbaummethode lässt sich auch zur
Beurteilung der logischen Wahrheit von Sätzen der
Sprache PL verwenden – und zur Beurteilung des
Bestehens von logischen Folgerungsbeziehungen
zwischen Sätzen von PL.
Wir müssen nur die uns schon bekannten Regeln um
vier weitere Regeln ergänzen.
1
Wahrheitsbäume (PL)
¬¬A
A
(DN)
A→B
(S)
¬A
A∧B
A
B
(K)
B
A↔B
(B)
A
B
¬A
¬B
A∨B
(A)
A
Wahrheitsbäume (PL)
B
2
(NK)
¬ (A ∧ B)
¬A
(NA)
(NA)
¬ (A → B)
A
¬B
(NB)
¬ (A ↔ B)
¬B
¬ (A ∨ B)
¬A
¬B
A
¬B
3
Wahrheitsbäume (PL)
(U)
¬A
B
∀αA
(E)
∃αA
[A]!
[A]!
Dabei darf τ jede beliebige
Individuenkonstante sein.
Dabei muss τ eine Individuenkonstante sein, die in
dem Ast, an den [A]! angefügt werden soll, bisher
nicht vorgekommen ist.
(NU)
¬∀αA
∃α¬A
Wahrheitsbäume (PL)
(NE)
¬∃αA
∀α¬A
4
Satz 18.1
Ein Satz A der Sprache PL ist logisch wahr, wenn
jeder Ast eines Wahrheitsbaums der Negation dieses
Satzes, der nur mit Hilfe der zuvor angegebenen
Regeln entwickelt wurde, mit einem ‘x’ geschlossen
werden kann, da in ihm ein Satz von PL sowohl in
negierter wie in nicht negierter Form vorkommt.
5
Wahrheitsbäume (PL)
Beispiel 1: "PL ∀xF1x → ∃xF1x
1. √
2.
¬(∀xF1x → ∃xF1x)
A
∀xF1x
(1)
3. √
¬∃xF1x
(1)
4.
∀x¬F1x
(3)
5.
F1a
(2)
6.
¬F1a
(4)
x
Wahrheitsbäume (PL)
6
Beispiel 2: "PL ∃xF1x → ∀xF1x
???
1. √
2. √
¬(∃xF1x → ∀xF1x)
A
∃xF1x
(1)
3. √
¬∀xF1x
(1)
4.
∃x¬F1x
(3)
5.
F1a
(2)
6.
¬F1a
(4) !
Wahrheitsbäume (PL)
7
Gegenbeispiel
V(F1) darf nicht leer, aber auch nicht mit D identisch
sein.
D = die Menge der natürlichen Zahlen
V(F1) = die Menge der geraden natürl. Zahlen
D = {1, 2}
V(F1) = {1}
Wahrheitsbäume (PL)
8
Beispiel 3: "PL ¬∀x(F1x ∧ ∃y¬F1y)
1. √
2.
¬¬∀x(F1x ∧ ∃y¬F1y)
A
∀x(F1x ∧ ∃y¬F1y)
(1)
3. √
F1a ∧ ∃y¬F1y
F1a
(2)
(3)
∃y¬F1y
(3)
¬F1b
(5)
F1b ∧ ∃y¬F1y
F1b
(2)
4.
5. √
6.
7. √
8.
(7)
∃y¬F1y
x
9.
(7)
9
Wahrheitsbäume (PL)
Beispiel 4: "PL ∀x(F1x → G1x) → (∀xF1x → ∀xG1x)
1. √ ¬(∀x(F1x → G1x) → (∀xF1x → ∀xG1x))
∀x(F1x → G1x)
2.
A
(1)
¬(∀xF1x → ∀xG1x)
(1)
∀xF1x
(3)
5. √
¬∀xG1x
(3)
6. √
7.
∃x¬G1x
(5)
¬G1a
(6)
F1a
(4)
F1a → G1a
(2)
3. √
4.
8.
9. √
10.
¬F1a
x
Wahrheitsbäume (PL)
11.
G1a
x
(9)
10
Beispiel 5
"PL ∀y∃xF2xy → ∃x∀yF2xy
???
11
Wahrheitsbäume (PL)
1. √
2.
¬(∀y∃xF2xy → ∃x∀yF2xy)
A
∀y∃xF2xy
(1)
3. √
¬∃x∀yF2xy
(1)
4.
∀x¬∀yF2xy
(3)
∃xF2xa
(2)
F2ba
(5)
¬∀yF2by
(4)
∃y¬F2by
(7)
5. √
6.
7. √
8.
9.
Wahrheitsbäume (PL)
¬F2ba
(8) !
12
1. √
2.
¬(∀y∃xF2xy → ∃x∀yF2xy)
A
∀y∃xF2xy
(1)
3. √
¬∃x∀yF2xy
(1)
4.
∀x¬∀yF2xy
(3)
∃xF2xa
(2)
F2ba
(5)
¬∀yF2by
(4)
∃y¬F2by
(7)
9.
10.
¬F2bc
∃xF2xc
(8)
(2)
11.
F2bc
5. √
6.
7. √
8. √
(10) !
12
Wahrheitsbäume (PL)
1. √
2.
¬(∀y∃xF2xy → ∃x∀yF2xy)
A
∀y∃xF2xy
(1)
3. √
¬∃x∀yF2xy
(1)
4.
∀x¬∀yF2xy
(3)
∃xF2xa
(2)
F2ba
(5)
7. √
8. √
¬∀yF2by
(4)
∃y¬F2by
(7)
9.
10. √
¬F2bc
∃xF2xc
(8)
(2)
F2dc
(10)
¬∀yF2dy
(4)
∃y¬F2dy
¬F2de
...
(12)
(13)
5. √
6.
11.
12. √
13. √
14.
Wahrheitsbäume (PL)
12
Gegenbeispiel
D = die Menge der natürlichen Zahlen
V(F2) = {<x, y>; x > y}
D = {1, 2}
V(F2) = {<1, 1>; <2, 2>}
Wahrheitsbäume (PL)
...
13
Satz 18.2
Sind A1, … , An und A Sätze der Sprache PL, dann
folgt der Satz A logisch aus den Sätzen A1, …, An,
wenn jeder Ast eines Wahrheitsbaums, dessen
Stamm aus den Sätzen A1, …, An und der Negation
des Satzes A gebildet wird und der nur mit Hilfe der
oben angegebenen Regeln entwickelt wurde, mit
einem ‘x’ geschlossen werden kann, da in ihm ein
Satz von PL sowohl in negierter wie in nicht negierter
Form vorkommt.
Beispiel 1
∀x(F1x → G1x), ∃x(F1x ∧ H1x) "PL ∃x(G1x ∧ H1x)
Wahrheitsbäume (PL)
14
1.
∀x(F1x → G1x)
A
2. √
3. √
∃x(F1x ∧ H1x)
A
¬∃x(G1x ∧ H1x)
A
4.
∀x¬(G1x ∧ H1x)
(3)
F1a ∧ H1a
(2)
6.
F1a
(5)
7.
H1a
(5)
F1a → G1a
(1)
5. √
8. √
¬F1a
x
9.
10.
11. √
G1a
¬(G1a ∧ H1a)
¬G1a
x
12.
13. ¬H1a
x
(8)
(4)
(11)
15
Wahrheitsbäume (PL)
Beispiel 2
∃xF1x, G1a "PL ∃x(F1x ∧ G1x) ???
1.
∃xF1x
A
2.
G1a
A
3. √
4.
¬∃x(F1x ∧ G1x)
A
∀x¬( F1x ∧ G1x)
(3)
5. √
¬(F1a ∧ G1a)
(4)
6.
¬F1a
8.
F1a
Wahrheitsbäume (PL)
7.
(1)
!
¬G1a
x
(5)
16
Gegenbeispiel
V(F1) und V(G1) dürfen beide nicht leer sein.
‚a‘ muss ein Element von V(G1) zugeordnet werden.
V(F1) und V(G1) dürfen keine gemeinsamen Elemente haben; ihr Schnitt muss leer sein.
(V(F1) ∩ V(G1) = ∅)
D = die Menge der natürlichen Zahlen
V(F1) = die Menge der geraden natürl. Zahlen
V(G1) = die Menge der ungeraden natürl. Zahlen
V(a) = 3
D = {1, 2}
V(F1) = {1}, V(G1) = {2}, V(a) = 2
17
Wahrheitsbäume (PL)
Beispiel 3
∃x∀yF2xy "PL ∀y∃xF2xy
∃x∀yF2xy
A
¬∀y∃xF2xy
A
3. √
4.
∃y¬∃xF2xy
(2)
∀yF2ay
(1)
5. √
6.
¬∃xF2xb
(3)
∀x¬F2xb
(5)
7.
F2ab
(4)
8.
¬F2ab
(6)
1. √
2. √
x
Wahrheitsbäume (PL)
18
Beispiel 4
∀x∀y∀z(F2xy ∧ F2yz → F2xz), ∀x¬F2xx
"PL ∀x∀y(F2xy → ¬F2yx)
1.
∀x∀y∀z(F2xy ∧ F2yz → F2xz)
A
2.
∀x¬F2xx
A
3. √
4. √
¬∀x∀y(F2xy → ¬F2yx)
A
∃x¬∀y(F2xy → ¬F2yx)
(3)
5. √
¬∀y(F2ay → ¬F2ya)
(4)
6. √
7. √
∃y¬(F2ay → ¬F2ya)
(5)
¬(F2ab → ¬F2ba)
(6)
8.
F2ab
(7)
9.
¬¬F2ba
(7)
19
Wahrheitsbäume (PL)
10.
¬F2aa
(2)
11.
∀y∀z(F2ay ∧ F2yz → F2az)
(1)
12.
∀z(F2ab ∧ F2bz → F2az)
(11)
F2ab ∧ F2ba → F2aa
(12)
13. √
14. √ ¬(F2ab ∧ F2ba)
16.
¬F2ab
x
Wahrheitsbäume (PL)
17. ¬F2ba
15.
F2aa
x
(13)
(14)
x
20
Beispiel 5
∀x∀y∀z(F2xy ∧ F2yz → F2xz), ∀x∀y(F2xy → F2yx)
"PL ∀xF2xx ???
1.
∀x∀y∀z(F2xy ∧ F2yz → F2xz)
A
2.
∀x∀y(F2xy → F2yx)
A
¬∀xF2xx
A
∃x¬F2xx
(3)
5.
6.
¬F2aa
∀y∀z(F2ay ∧ F2yz → F2az)
(4)
(1)
7.
∀z(F2aa ∧ F2az → F2az)
(6)
3. √
4. √
21
Wahrheitsbäume (PL)
8. √
9.
10. √
F2aa ∧ F2aa → F2aa
(7)
∀y(F2ay → F2ya)
(2)
F2aa → F2aa
(9)
¬ F2aa
11.
13. √
¬(F2aa ∧ F2aa)
12.
F2aa
x
(10)
14.
F2aa
(8)
x
15.
¬F2aa
Wahrheitsbäume (PL)
16. ¬F2aa
(13)
22
Wenn man bei der Entwicklung der allquantifizierten
Sätze in den Zeilen 1., 2., 6., 8. und 9. die Individuenvariablen ‘x’, ‘y’ und ‘z’ alle durch die Individuenkonstante ‘a’ ersetzt, lässt sich der Wahrheitsbaum nicht
abschließen.
Aber auch bei der Verwendung anderer Individuenkonstanten kommt man nicht weiter, da sich entweder ein
ähnlicher Wahrheitsbaum ergibt oder die Zeile 5. nicht
sinnvoll eingesetzt werden kann.
Gegenbeispiel
D = {1, 2}
V(F2) = {<1, 1>}
D = {1}
V(F2) = ∅
Wahrheitsbäume (PL)
23
Tipps
Im Allgemeinen ist es am vernünftigsten, die Regeln
in der folgenden Reihenfolge anzuwenden:
•
Zuerst sollten die nicht-verzweigenden
AL-Regeln und die Regeln (NU) und (NE)
angewendet werden.
•
Danach, wenn möglich, die Regel (E).
•
Dann die verzweigenden AL-Regeln.
•
Dann erst die Regel (U).
Wahrheitsbäume (PL)
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