Mathematik für Wirtschafts

Mathematik für
Wirtschaftswissenschaftler
Einführung
Von
Dr. Karl Bosch
Professor für angewandte Mathematik
und Statistik an der
Universität Stuttgart-Hohenheim
14., vollständig überarbeitete Auflage
R.Oldenbourg Verlag München Wien
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Kapitel 1:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
3.2
3.3
1
3
6
8
10
Reelle Zahlen, Ungleichungen und Beträge
Die natürlichen Zahlen
Die ganzen Zahlen
Die rationalen Zahlen
Die reellen Zahlen
Das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen
Aufgaben
Kapitel 3:
3.1
Grundlagen der Mengenlehre
Grundbegriffe
Mengenoperationen
Direkte Produkte von Mengen
Abbildungen von Mengen
Aufgaben
Kapitel 2:
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
IX
12
12
13
14
15
18
Finanzmathematik- arithmetische und
geometrische Zahlenfolgen und
ihre endlichen Reihen
Die arithmetische Folge und Reihe
1. Konstante absolute Produktionszunahme
2. Lineare Abschreibung
3. Zinsrechnung ohne Zinseszins
4. Rückzahlung einer Schuld mit festem Tilgungssatz und
zusätzlich anfallenden Zinsen
Die geometrische Folge und ihre endliche Reihe
1. Konstanter relativer Produktionszuwachs
2. Geometrisch-degressive Abschreibung
3. Zinseszinsrechnung bei einmaliger Einzahlung
4. Zinseszinsrechnung bei mehrmaligen Einzahlungen
. . .
5. Tilgung einer Schuld in gleichen Jahresraten
Rentenberechnung
6. Unterjährige Einzahlungen bei jährlicher Zinsgutschrift .
7. Die unterjährige vorschüssige Rente
8. Die unterjährige nachschüssige Rente
Aufgaben
19
19
19
19
21
22
22
23
24
26
28
30
32
33
34
VI
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 4:
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Konvergente Zahlenfolgen
(Unendliche) geometrische Reihen
Die Eulersche Zahl e-stetige Verzinsung-stetiges Wachstum
Irrationale Zahlen als Grenzwerte rationaler Zahlenfolgen .
Rekursiv definierte Folgen und das Prinzip
der vollständigen Induktion
Aufgaben
Kapitel 5:
5.1
5.2
5.3
5.3.1
5.3.2
5.3.3
5.4
5.5
5.6
5.6.1
5.6.2
5.6.3
5.6.4
5.6.5
5.6.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.10.1
5.10.2
5.10.3
5.10.4
5.11
Allgemeine Zahlenfolgen und stetige Verzinsung
37
41
42
44
45
49
Differenzialrechnung bei Funktionen
einer Variablen
Darstellung von Funktionen einer Variablen
Stetige Funktionen
Die Ableitungen einer Funktion - Grenzkostenfunktion . .
Die erste Ableitung
Das Differenzial einer Funktion
Höhere Ableitungen
Kurvendiskussion
1. Definitionsbereich
2. Symmetrie
3. Nullstellen
4. Monotonie
5. Krümmung
6. Relative Extremwerte
7. Wendepunkte
8. Asymptoten
Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenzfunktion. . .
Die Exponentialfunktion
Der Logarithmus
Die Ableitung des natürlichen Logarithmus
Die Ableitung eines beliebigen Logarithmus
Die Ableitung der Exponentialfunktion
Die Ableitung einer beliebigen Potenzfunktion
Die trigonometrischen Funktionen
Die Elastizität und die logarithmische Ableitung
Die Taylorentwicklung
Unbestimmte Ausdrücke - die Regel von de l'Hospital
. .
Unbestimmte Ausdrücke der Formen „ 0/0; oo/oo; — oo/oo"
Unbestimmte Ausdrücke der Form „ 0 •( ± oo)"
Unbestimmte Ausdrücke der Form „ oo — oo "
Unbestimmte Ausdrücke der Form „ 0°; 1°°; oo° " .
. . .
Aufgaben
51
53
58
58
65
67
67
68
68
68
68
68
68
69
69
73
73
73
75
77
78
78
79
79
81
86
91
91
93
94
95
96
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 6:
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.5.1
6.5.2
6.6
6.6.1
6.6.2
6.7
6.7.1
6.7.2
6.7.3
6.7.4
6.7.5
6.7.6
6.8
Funktionen von zwei Variablen
Stetige Funktionen
Partielle Ableitungen
Das totale Differenzial
Totale Differenziale höherer Ordnung - Taylorentwicklung .
Die Kettenregel und die Ableitung impliziter Funktionen . .
Richtungsableitungen und Gradient
Homogene Funktionen
Extremwerte ohne Nebenbedingungen und Sattelpunkte . .
Extremwerte unter einer Nebenbedingung
Die Eliminationsmethode
Die Methode von Lagrange
Aufgaben
Kapitel 8:
Kapitel 9:
9.1
9.2
9.3
9.4
Integralrechnung bei Funktionen einer Variablen
Das bestimmte Integral
101
Die Integralfunktion
106
Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral . . . .
107
Berechnung bestimmter Integrale
mit Hilfe einer Stammfunktion
108
Spezielle Integrationsmethoden
109
Die Substitutionsmethode
109
Partielle Integration
110
Uneigentliche Integrale
111
Integrale über unbeschränkte Intervalle
111
Integrale über unbeschränkte Funktionen
113
Anwendungen der Integralrechnung
114
Bestimmung einer Funktion aus einer
vorgegebenen Grenzfunktion
114
Bestimmung einer Funktion aus einer vorgegebenen Elastizität 114
Der Gesamtumsatz bei gestaffelten und stetigen Preissenkungenll6
Die Konsumentenrente
118
Die Produzentenrente
119
Kapitalwert eines Ertragsstromes
120
Aufgaben
121
Kapitel 7:
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.9.1
7.9.2
7.10
VII
Funktionen von mehreren Variablen
Vektorrechnung
n-dimensionale Vektoren
Darstellung von Geraden und Ebenen im R
Gleichung der Tangente an eine Fläche
Aufgaben
....
124
129
132
134
135
136
139
144
142
143
144
146
150
155
155
161
163
164
VIII
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 10: Matrizenrechnung
166
Kapitel 1 1 : Lineare Gleichungssysteme
11.1
11.2
11.3
11.4
Lösungsmöglichkeiten eines linearen Gleichungssystems
Der Gaußsche Algorithmus
Lösung mit Hilfe der inversen Matrix
Aufgaben
.
.
.
.
175
177
181
184
Kapitel 12: Lineare Ungleichungen
und lineare Programmierung
12.1
12.2
12.3
Lineare Programmierung bei zwei Variablen
Lineare Programmierung bei mehr als zwei Variablen .
Aufgaben
188
193
194
Anhang
1.
2.
3.
4.
Ableitungen häufig vorkommender Funktionen
Ableitungsregeln
Unbestimmte Integrale häufig vorkommender Funktionen
Integrationsregeln
.
198
198
199
199
Lösungen der Aufgaben
200
Sachwortverzeichnis
214