technische universität münchen - Mathematische Physik

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. S. Warzel
Dr. M. Prähofer
Mathematik für Physiker 2
(Analysis 1) MA9202
Wintersem. 2014/15
Blatt 2
(15.10.2014)
http://www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9202 2014W
Zentralübung
Z2.1. Multiplikation in Polardarstellung
0
0
Für r, r0 , ϕ, ϕ0 ∈ R gilt reiϕ · r0 eiϕ = rr0 ei(ϕ+ϕ ) .
Z2.2. Die Argumentfunktion
Die Argumentfunktion arg : C \ {0} → (−π, π] ordnet jeder komplexen Zahl z 6= 0
denjenigen Winkel ϕ ∈ (−π, π] zu, für den z = |z|(cos ϕ+i sin ϕ) gilt. Geben Sie arg(x+iy)
explizit mit Hilfe der inversen trigonometrischen Funktionen an.
Z2.3. Linearfaktorabspaltung und Nullstellenzahl
(a) In jedem Körper K gilt: Ist p ein Polynom vom Grad n ∈ N mit der Nullstelle z0 ∈ K,
so gibt es ein Polynom q vom Grad n − 1, so dass ∀z ∈ K : p(z) = (z − z0 )q(z).
(b) In jedem Körper K gilt: Ein Polynom vom Grad n ∈ N besitzt höchstens n Nullstellen.
Z2.4. Eigenschaften von Konjugation und Betrag
Man zeige für w, z ∈ C, ϕ ∈ R:
(a) eiϕ = e−iϕ =
1
,
eiϕ
(b) |eiϕ | = 1,
(c) z̄ = z,
(e) w̄ · z̄ = wz,
(g) |z| = |z|,
(d) w̄ + z̄ = w + z,
(f) |z|2 = z · z,
(h) z −1 =
z
,
|z|2
z 6= 0.
Tutoraufgaben
T2.1. Darstellung komplexer Zahlen
Geben Sie folgende komplexe Zahlen jeweils in kartesischer und Polardarstellung an:
a) 1 + i,
b)
1
i,
c) (1 + i)2 ,
d)
√
i,
e)
√
−5 + 12i.
T2.2. n-te Wurzeln komplexer Zahlen
Skizzieren und notieren Sie jeweils alle
(a) Quadratwurzeln von 2i, (c) vierten Wurzeln von 1, (e) 17. Wurzeln von 1,
(b) dritten Wurzeln von −1, (d) vierten Wurzeln von −4, (f) 17. Wurzeln von 1 + i.
T2.3. Faktorisierung komplexer Polynome
Für jedes komplexe Polynom vom Grad n ∈ N gibt es c, z1 , . . . , zn ∈ C, so dass
p(z) = c(z − z1 ) · · · (z − zn )
(wobei die zk genau die, nicht notwendigerweise verschiedenen, Nullstellen von p sind).
Hausaufgaben
H2.1. Darstellung komplexer Zahlen
Geben Sie folgende komplexe Zahlen jeweils in kartesischer und Polardarstellung möglichst
explizit an:
√
√
π
a) (1 + 1i )−1 ,
c) 3 + 4i
d) 4 + 3i.
b) (1 + i) ei 3 ,
Hinweis: In (c) und (d) hilft der Ansatz
√
x + iy = u + iv.
H2.2. Der Betrag in C
Man zeige für w, z ∈ C:
(a) |z| ≥ 0, |z| = 0 ⇔ z = 0
(c) Re(wz̄) ≤ |w||z|,
(b) |wz| = |w| · |z|,
(d) |w + z| ≤ |w| + |z|.
Hinweise: in (b) und (d) quadriere man beide Seiten, in (c) benutze man Re(z) ≤ |z|.
H2.3. Komplexe Zahlen
Gegeben ist das komplexe Polynom p(z) = z 7 − 1.
(a) Beweisen Sie die geometrische Summenformel
n
P
k=0
zk =
z n+1 −1
z−1
für z 6= 1, n ∈ N0 .
(b) Spalten Sie von p den Linearfaktor (z − 1) ab.
(c) Zerlegen Sie p vollständig in Linearfaktoren.
H2.4. Rechnen mit Ungleichungen
Man zeige nur mit Hilfe der Anordnungsaxiome P1 und P2 und den Rechenregeln für
Körper, dass in jedem angeordneten Körper K gilt:
a) x < y ⇒ −y < −x,
b) x 6= 0 ⇒
x2
> 0, insbes. 1 > 0,
c) 0 < x < y ⇒ 0 < y −1 < x−1 ,
d) v < w ∧ x < y ⇒ v + x < w + y,
e) z < 0 ∧ x < y ⇒ zx > zy,
f) 0 < x < y ⇒ 0 < x2 < y 2 ,
Hausaufgabenabgabe: Freitag, 31.10.2014, zu Beginn der Zentralübung