Lösungen `Aufgaben zur Wettbewerbstheorie`

Lösungen
‘Aufgaben zur Wettbewerbstheorie’
Zu Aufgabe 1)
Bei vollkommener Konkurrenz wird angenommen, daß jeder einzelne Anbieter den Preis
als gegeben hinnimmt.
Gewinn = Erlös − Kosten
⇒ π n = Pqn − cqn  Einsetzen von c = 6
⇒ π n = Pqn − 6qn
Gewinnmaximierung führt dann zu
max π n
⇒
qn
!
dπ n
= P − 6 = 0  Annahme: Symmetrie der Anbieter ( Q = Nqn ) und
dqn
Einsetzen von P = 24 − 0.5Q = 24 − 0.5 Nqn
⇒ 18 = 0.5 Nqn
⇔ qn* =
36
36
=0
⇒ Q* = Nqn* = 36 ⇒ P* = 24 − 0.5 ⋅ 36 = 6 = c ⇒ π n* = (6 − 6) ⋅
N
N
Vorbereitend auf Aufgabe 2)
Wohlfarhrt (W) = Produzentenrente (PR) + Konsumentenrente (KR)
Bei vollkommener Konkurrenz (VK) gilt im Gleichgewicht:
PRVK = Nπ n* ⇒ PRVK = 0
KRVK =
(24 − P * )Q *
(24 − 6) ⋅ 18
⇒ KRVK =
= 324
2
2
⇒ WVK = PRVK + KRVK = 324
Zu Aufgabe 2)
Im Gegensatz zur vollkomenen Konkurrenz nimmt der Monopolist den Preis nicht hin,
sondern bestimmt ihn selbst über die Ausbringungsmenge.
Gewinn = Erlös − Kosten
⇒ π M = PM QM − cQM
 Einsetzen von c = 6 und PM = 24 − 0.5QM
⇒ π M = (24 − 0.5QM )QM − 6QM
max π M
QM
⇒
!
dπ M
= 18 − QM = 0  Im Gegensatz zur VK wird hier also auch PM
dQM
mittelbar mit abgeleitet.
⇔ QM* = 18 ⇒ P * = 24 − 0.5 ⋅ 18 = 15 ≠ c ⇒ π M* =(15 − 6) ⋅ 18 = 162
(Frage: Was passiert wenn der Monopolist nicht nach der Ausbringungsmenge, sondern
nach dem Preis ableitet?)
Da die Wohlfahrt bei vollkommener Konkurrenz am größten ist, wird die Effizienz beim
Monopol an ihr gemessen:
Effizienz bei Monopol ( Eff M ) = Wohlfahrt im MonopoL (M)/ Wohlfahrt bei VK
Ausgedrückt in Prozent haben wir dann Eff M (%) =
PRM = π M* ⇒ PRM = 162
KRM =
(24 − 15) ⋅ 18
(24 − PM* )QM*
⇒ KRM =
= 81
2
2
WM = PRM + KRM ⇒ WM = 162 + 81 = 243
⇒ Eff M (%) =
243
⋅ 100 = 75
324
WM
⋅ 100 .
WVK
Zu Aufgabe 3)
Im Gegensatz zur vollkommenen Konkurrenz beeinflussen im Cournot-Duopol beide
Anbieter den Preis signifikant durch ihre Ausbringungsmengen. Anders als im Monopol
“beschränken” sie sich dabei aber gegenseitig.
Gewinn = Erlös − Kosten
⇒ π n = PC qn − cqn , n = 1,2  Einsetzen von c = 6 und PC = 24 − 0.5(q1 + q2 )
⇒ π n = [24 − 0.5(qn + q−n )]qn − 6qn , n ≠ −n
Gewinnmaximierung führt dann zu
max π n
qn
⇒
!
dπ n
= 18 − qn − 0.5q−n = 0
dqn
⇒ qn = 18 − 0.5q−n
 Dies ist die Reaktionskurve von Anbieter n .
Aufgrund der Symmetrie beider Anbieter ist q−n = 18 − 0.5qn die Reaktionskurve des
Anbieters − n . Man kann nun in die Reaktionskurven die jeweilige Reaktionskurve des
anderen Anbieters einsetzen und erhält dann
⇒ qn = 18 − 0.5[18 − 0.5qn ]
◊
⇔ qn = 9 + 0.25qn
⇔ qn* =12 , n = 1,2 ⇒ QC* = q1* + q2* = 24 ⇒ PC* = 24 − 0.5 ⋅ 24 = 12
⇒ π n* = (12 − 6) ⋅ 12 = 72 , n = 1,2
◊
Dies ist der ausführliche Weg, den man bei Nicht-Symmetrie der Anbieter gehen muß.
Bei Symmetrie, wie in unserer Aufgabe, kann man allerdings auch einfach q−n = qn
setzen, so daß nur qn = 18 − 0.5qn berechnet werden muß.
Effizienz des Cournot-Duopols ( Eff C )
= Wohlfahrt im Cournot-Duopol (C)/ Wohlfahrt bei VK
Ausgedrückt in Prozent haben wir dann:
⇒ Eff C (%) =
WC
⋅ 100
WVK
PRC = π 1* + π 2* ⇒ PRC = 72 + 72 = 144
(24 − PC* )QC*
(24 − 12) ⋅ 24
KRC =
⇒ KRC =
= 144
2
2
WC = PRC + KRC ⇒ WM = 144 + 144 = 288
⇒ Eff C (%) =
288
⋅ 100 = 88.89
324
Zu Aufgabe 4)
Wie auch im Cournot-Duopol beeinflussen beide Anbieter den Preis durch ihre
Ausbringungsmengen und, im Gegensatz zum Monopol, “beschränken” sie sich dabei
gegenseitig. Dadurch, daß im Stackelberg-Duopol der Stackelberg-Führer (Anbieter A)
zuerst über die Ausbringungsmenge entscheidet, hat er eine größere Machtstellung als der
Stackelberg-Folger (Anbieter B), der die Entscheidung des Anbieters A beobachten kann.
Man kann beide Anbieter also nicht mehr als symmetrisch betrachten. Um dieses
sequentielle Spiel zu lösen, beginnt man bei der Gleichgewichtsbestimmung von hinten
(Stufe 2), bevor man zur Stufe 1 kommt (backwards induction).
Stufe 2:
Die Reaktionskurve des Anbieter B ist dieselbe wie im Cournot-Duopol:
⇒ q B = 18 − 0.5q A
Stufe 1:
Anbieter A antizipiert die Reaktionskurve von Anbieter B und
berücksichtigt diese bei der Gewinnmaximierung.
Gewinn = Erlös − Kosten
⇒ π A = PS q A − cq A
⇒ π A = [24 − 0.5(q A + q B )]q A − 6q A  Einsetzen von c = 6 und PS = 24 − 0.5(q A + q B )
⇔ π A = 18q A − 0.5q A2 − 0.5q A q B
 Einsetzen der Reaktionskurve von Anbieter B
⇒ π A = 18q A − 0.5q A2 − 0.5q A (18 − 0.5q A )
⇔ π A = 9q A − 0.25q A2
Gewinnmaximierung führt dann zu
max π A
qA
⇒
!
dπ A
= 9 − 0.5q A = 0
dq A
⇔ q *A = 18 ⇒ q *B = 18 − 0.5 ⋅ 18 = 9 ⇒ QS* = q *A + qB* = 27
⇒
PS* = 24 − 0.5 ⋅ 27 = 10.5 ⇒ π *A = (10.5 − 6) ⋅ 18 = 81 ⇒ π B* = (10.5 − 6) ⋅ 9 = 40.5
Effizienz des Stackelberg-Duopols ( Eff S )
= Wohlfahrt im Stackelberg-Duopol (S)/ Wohlfahrt bei VK
Ausgedrückt in Prozent haben wir dann:
⇒ Eff S (%) =
WS
⋅ 100
WVK
PRS = π *A + π B* ⇒ PRS = 81 + 40.5 = 121.5
KRS =
(24 − PS* )QS*
(24 − 10.5) ⋅ 27
⇒ KRS =
= 182.25
2
2
WS = PRS + KRS ⇒ WS = 121.5 + 182.25 = 303.75
⇒ Eff S (%) =
303.75
⋅ 100 = 93.75
324
Zu Aufgabe 5)
Im Cournot-Oligopol, wie auch im Cournot-Duopol, beeinflussen Anbieter durch ihre
Ausbringungsmengen den Preis, aber “beschränken” sich dabei gegenseitig. Allerdings
nimmt der Einfluß des Einzelnen mit zunehmender Anzahl der Anbietern ab.
Gewinn = Erlös − Kosten
⇒ π n = Pqn − cqn , n = 1,2,..., N  Einsetzen von c = 6 und
PC = 24 − 0.5(q1 + ... + qn + ... + q N )
⇒ π n = [24 − 0.5(q1 + ... + qn + ... + q N )]qn − 6qn
Gewinnmaximierung führt dann zu
max π n
qn
⇒
!
dπ n
= 18 − qn − 0.5( N − 1)q−n = 0 , n ≠ −n
dqn
⇒ qn = 18 − 0.5( N − 1)q−n
 Dies ist die Reaktionskurve von Anbieter n
Aufgrund der Symmetrie aller Anbieter ist q−n = 18 − 0.5( N − 1)qn die Reaktionskurve
von Anbieter − n und man kann qn = q−n setzen [siehe auch Aufgabe 3)].
⇒ qn = 18 − 0.5( N − 1)qn
⇔
(N + 1)
qn = 18
2
⇔ qn* =
36 N
36
, n = 1,2,..., N ⇒ QC* =
⇒
N +1
N +1
PC* = 24 − 0.5 ⋅
36 N 24 + 6 N
=
N +1
N +1
 6 N + 24
 36
− 6 ⋅
⇒ π n* =
, n = 1,2,..., N
 N +1
 N +1
[Bemerkung: Wenn sie N = 2 setzen, so sehen Sie, daß das Cournot-Duopol aus Aufgabe
3) ein Spezialfall des Cournot-Oligopols ist.]
Für N → ∞ :
lim QC* = lim
N →∞
N →∞
36 N
= 36 ⇒ lim PC* = 24 − 0.5 ⋅ 36 = 6 ⇒ lim π n* =(6 − 6) ⋅ 0 = 0 ,
N →∞
N →∞
N +1
n = 1,2,..., N
Man sieht, daß sich die Lösung mit steigender Anzahl von Anbietern an die Lösung bei
vollkommener Konkurrenz angleicht.
Effizienz des Cournot-Oligopols ( Eff C )
= Wohlfahrt im Cournot-Oligopol (C)/ Wohlfahrt bei VK
⇒ Eff C (%) =
WC
⋅ 100
W*
Beispiel 1: N → ∞ :
N
PRC = ∑ π n* ⇒ lim PRC = 0
n=1
KRC =
N →∞
(24 − PC* )QC*
(24 − 6) ⋅ 36
⇒ lim KRC =
= 324
N →∞
2
2
WC = PRC + KRC ⇒ lim WM = 0 + 324 = 324
N →∞
⇒ lim Eff C (%) =
N →∞
324
⋅ 100 = 100
324
Beispiel 2: N = 6 :
PRC = 6 ⋅ 13.22 = 79.32
KRC =
(24 − 8.57) ⋅ 30.86
= 238.08
2
WC = PRC + KRC ⇒ WM = 79.32 + 238.08 = 317.40
⇒ Eff C (%) =
317.40
⋅ 100 = 97.96
324
Zu Aufgabe 6)
Im Bertrand-Duopol konkurrieren beide Anbieter unmittelbar mit dem Preis und nicht
wie z.B. im Cournot-Duopol unmittelbar mit der Ausbringungsmenge. Im Gegensatz zum
Monopol [siehe Aufgabe 2)], führt das dann zu anderen Ergebnissen. Unter der
Annahme, daß im Falle gleicher Preise die Nachfrage geteilt wird, ist der
Gleichtgewichtspreis PB* = PB*,1 = PB*, 2 = GK = 6 . Läge er über den Grenzkosten, so würde
der Anbieter mit dem niedrigeren Preis die ganze Nachfrage auf sich ziehen. Der
Anbieter mit dem höheren Preis hat dann aber den Anreiz seinen Preis knapp unterhalb
des Preises des anderen Anbieters zu wählen. Dieser (Gedanken-) Prozeß dauert solange
an, bis die Preise beider Anbieter gleich den Grenzkosten sind. Das gleiche Ergebnis gilt
übrigends auch bei mehr als 2 Anbietern. Es zeigt sich also, wenn zumindest 2 Anbieter
sich im Preiswettbewerb befinden, entsprechen die Gleichgewichtspreise und –mengen
im Bertrand-Duopol bzw. –Oligopol denen bei vollkommener Konkurrenz. Das bedeutet
aber auch, daß im Gleichgewicht die Effizienz des Bertrand-Duopols bzw. Oligopols
100% beträgt.
Zu Aufgabe 7)
Experiment zum Cournot-Duopol:
Ihre durchschnittliche Ausbringungsmenge im Experiment liegt mit 12.45 recht Nahe am
Cournot-Nash Gleichgewicht in Höhe von 12 (siehe Abbildung 1 und Tabelle 1). Aber
Ihre Entscheidungen waren nicht einheitlich. So kommt die Menge 13 mit insgesamt 8
mal am häufigsten vor, gefolgt von der gleichgewichtigen Menge 12 mit insgesamt 5
mal. Einige von Ihnen haben aber auch Mengen bestimmt, die in Richtung Kollusion
gehen. Bei Kollusion beträgt die Menge jedes Anbieters 9, wobei beide Anbieter
zusammengenommen den höchsten Gesamtgewinn erzielen. Dies entspricht der gleichgewichtigen Ausbringungsmenge 2×9 = 18 eines Monopolisten. Eine Kollusion hat einen
Wohlfahrtsverlust selbst gegenüber dem Cournot-Nash Gleichgewicht zur Folge. Eine
wohlfahrststeigernde Wirkung dagegen haben Ausbringungsmengen die größer als die
gleichgewichtige Menge 12 sind. Bei Mengen von jeweils 18 wird die maximale
Wohlfahrt erreicht. Dies entspricht der gleichgewichtigen Gesamt-Ausbringungsmenge
2×18 = 36 bei vollkommener Konkurrenz. Da Ihre Durschnittsmenge etwas größer ist als
die
im
Cournot-Nash
Gleichgewicht,
besteht
bei
Ihnen
also
eine
leicht
wohlfahrtssteigernde Tendenz. Insgesamt sind die Ergebnisse durchaus vergleichbar mir
Ergebinissen bereits veröffentlichter Experimente.
Häufigkeiten von Ausbringungsmengen im CournotDuopol Experiment
Nash GG
10
Häufigkeit
8
6
4
2
0
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Ausbringungsmengen
Abbildung 1
Markt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
∅
18
11
12
14
12
11
13
9
12
12
13
13
10
10
12
13
11
13
13
13
13
15
31
21
22
26
25
22
26
22
25
25
28
8.5
13.5
13.0
11.0
11.5
13.0
11.0
13.0
11.5
11.5
10.0
45.0
82.5
84.0
70.0
66.0
77.0
65.0
63.0
66.0
66.0
52.0
32.5
75.0
70.0
60.0
71.5
77.0
65.0
91.0
71.5
71.5
60.0
Gesamt
π
77.5
157.5
154.0
130.0
137.5
154.0
130.0
154.0
137.5
137.5
112.0
12.5
12.4
24.8
11.6
67.0
69.1
136.1
q1
q2
Q
P
πA
πB
Tabelle 1
Effizienz
%
98.1
82.6
84.9
92.3
90.7
84.9
92.3
84.9
90.7
90.7
95.1
89.5
Experiment zum Stackelberg-Duopol:
Im Vergleich zu Ihren Entscheidungen im Cournot-Duopol Experiment, variieren Ihre
Mengen im Stackelberg-Duopol deutlich mehr (siehe Abbildung 2 und Tabelle 2).
Anbieter A (Stackelberg-Führer) haben im Experiment mit durchschnittlich 11.7 eine
niedrigere Ausbringungsmenge als Anbieter B mit durchschnittlich 13.1. Interessant ist
dabei vor allem, daß Ihre Ausbringungsmengen nicht nur relativ weit enfernt sind von
denen im Stackelberg Gleichgewicht (18 für Anbieter A und 9 für Anbieter B), aber auch
die Richtung verkehrt wird: Anbieter A haben eine kleinere durchschnittliche
Ausbringungsmenge im Experiment als Anbieter B. Die wenigen bereits veröffentlichten
experimentellen Studien und auch die Resultate in der Übung von Jutta zeigen dagegen
eine Entscheidungsrichtung, die konform ist zum Gleichgewicht. Allerdings sind auch
dort die Mengen relativ weit entfernt von den gleichgewichtigen Mengen. Eine mögliche
Erklärung für die relativ niedrigen Ausbringungsmengen von Anbietern A in Ihrem
Experiment könnte sein, daß Anbieter A dadurch den Anbietern B eine Kollusion
anbieten wollten. Allerdings sind Anbieter B überwiegend nicht darauf eingegangen und
haben beispielsweise in 6 von 10 Fällen eine ‘beste Antwort’ d.h. gewinnmaximierende
Menge gegeben der Ausbringungsmenge des Anbieters A gewählt.
Häufigkeiten von Ausbringungsmengen im
Stackelberg-Duopol Experiment
Nash GG Anbieter B
3
Häufigkeit
Nash GG Anbieter A
4
2
1
0
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Ausbringungsmengen
Anbieter A
Anbieter B
Abbildung 2
Markt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∅
10
8
16
10
15
9
14
12
10
13
13
16
10
8
11
14
11
12
18
18
23
24
26
18
26
23
25
24
28
31
12.5
12.0
11.0
15.0
11.0
12.5
11.5
12.0
10.0
8.5
65.0
48.0
80.0
90.0
75.0
58.5
77.0
72.0
40.0
32.5
84.5
96.0
50.0
72.0
55.0
91.0
60.5
72.0
72.0
45.0
Gesamt
π
149.5
144.0
130.0
162.0
130.0
149.5
137.5
144.0
112.0
77.5
11.7
13.1
24.8
11.6
63.8
69.8
133.6
q1
q2
Q
P
πA
πB
Tabelle 2
Effizienz
%
87.0
88.9
92.3
75.0
92.3
87.0
90.7
88.9
95.1
98.1
89.5