¨Ubungen zur Algebraischen Zahlentheorie

Georg Hein
Sommersemester 2015
Übungen zur Algebraischen Zahlentheorie
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Aufgabe 9.1. Nicht immer nur 2 · 3 = (1 + −5) · (1 − −5) als Beispiel nichteindeutiger
Zerlegungen √
in irreduzible Elemente!
Sei K = Q[ d] ein quadratischer Zahlkörper der Klassenzahl zwei. Seien nun p und q
zwei Primzahlen in Z die in OK wie folgt zerfallen:
(p) = p1 · p2
(q) = q1 · q2 ,
wobei keines der vier Primideale p1 , p2 , q1 und q2 ein Hauptideal sei. Die Produkte von
jeweils zwei dieser vier Ideale sind dann Hauptideale (warum?). Es gilt also
(f11 ) = p1 · q1
(f12 ) = p1 · q2
(f21 ) = p2 · q1
(f22 ) = p2 · q2
für geeignete fij ∈ OK . Zeigen Sie nun, dass im Ring OK die Gleichung
p · q = f11 · f22 = f12 · f21
gilt. Alle sechs Faktoren sind irreduzibel und keine zwei zueinander assoziiert.
Erstellen Sie ein Beispiel nach eigenem Gusto,
√ oder mit
√ d = −6, p = 5 und q = 11.
Warum sind in obigem Beispiel (2·3 = (1+ −5)·(1− −5)) nur zwei Produktzerlegungen
angegeben?
Aufgabe 9.2. Sei A ein Dedekindring und M ein endlich erzeugter A-Modul. Zeigen Sie,
dass eine kurze exakte Sequenz
0 → P 1 → P0 → M → 0
mit projektiven Moduln P0 und P1 existiert.
Zeigen Sie, ferner die Implikationen
P1 = 0 =⇒ M ist torsionsfrei =⇒ für P1 kann der Null-Modul gewählt werden.
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Aufgabe 9.3. Wir betrachten
den Körper K = Q[ −14], den Ring OK = Z[ −14] und
√
das Ideal a = (3, 1+ −14). Für welche natürlichen Zahlen n gibt es einen Isomorphismus
ϕn : O⊕n → a⊕n
von OK -Moduln?
Aufgabe 9.4. Wir betrachten das Polynom f = X 3 + X + 1 ∈ Z[X], den Körper
K = Q[X]/(f ). Das Bild von X in K bezeichne wir mit x. Da disc(1, x, x2 ) = −31 gilt,
ist OK = Z[x].
(i) Finden Sie alle Primideale in Z, die in OK verzweigen!
Geben Sie deren Verzeigungsverhalten an.
(ii) Stellen Sie die Primideale (2) und (3) als Produkte von Primidealen in OK dar.
(iii) Folgern Sie aus (ii), dass K/Q nicht Galois ist!
(iv) Sei L der Zerfällungskörper von f über Q.
Sei p eine Primzahl in Z mit (p) = p1 · p2 in OK .
Wie kann/muss die Zerlegung von (p) in OL aussehen?
Geben Sie alle möglichen Trägheitsgrade und Verzweigungsindizes an!