Analysis - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU, CAMPUS LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Gunter Dufner
Dr. Dominik Faas
Analysis
Sommersemester 2011
Blatt 3
Abgabetermin: 09.05.2011
Aufgabe 6
((1+2)+(1+1)=5 Punkte)
Für eine Menge M ⊂ R definiert man das Innere von M als
def
Int(M ) = {x ∈ M ; x ist innerer Punkt von M }
(a) Zeigen Sie für eine beliebige Menge M ⊂ R:
• M ist offen ⇔ M = Int(M )
• Int(M ) ist immer offen.
(b) Zeigen oder widerlegen Sie für A, B ⊂ R die folgenden Aussagen:
Int(A ∩ B) = Int(A) ∩ Int(B) ,
Int(A ∪ B) = Int(A) ∪ Int(B)
(jeweils Beweis oder Gegenbeispiel)
Aufgabe 7
(1+1+3=5 Punkte)
Eine Zahl C ∈ R heißt obere Schranke einer Menge M ⊂ R, falls x ≤ C für alle x ∈ M gilt.
Die Menge M heißt nach oben beschränkt, falls eine obere Schranke von M existiert. Falls M
nach oben beschränkt ist, nennt man die kleinste obere Schranke S von M das Supremum von
M (man schreibt dann S = sup M ). Falls sup M ∈ M ist, heißt sup M auch Maximum von M .
(a) Definieren Sie analog die Begriffe untere Schranke, nach unten beschränkt, Infimum
und Minimum.
(b) Das Vollständigkeitsaxiom in R besagt: “Jede nach oben beschränkte Menge besitzt
ein Supremum.“(Dies brauchen Sie nicht zu zeigen.) Finden Sie ein Beispiel für eine
nach oben beschränkte Teilmenge M ⊂ Q, die in Q kein Supremum besitzt.
(c) Welche der folgenden Mengen sind nach oben bzw. nach unten beschränkt. Bestimmen
Sie gegebenenfalls Supremum und Infimum und entscheiden Sie, ob es sich jeweils auch
um Maximum bzw. Minimum handelt.
1
m+n
[−1, 2)
; n∈N
; m, n ∈ N
n
n
Aufgabe 8
(4×1.5=6 Punkte)
Bestimmen Sie für die nachstehenden Folgen jeweils den Grenzwert und weisen Sie die
Konvergenz anhand der ε-n0 -Definition nach. Geben Sie hierfür zu einem beliebigen ε > 0
jeweils konkret ein n0 ∈ N an (so dass |an − a| < ε für alle n ≥ n0 gilt).
2
1
3n − 1
sin(n) · cos(n)
n
2
n + 1 n∈N
5n + 2 n∈N
n
3n n∈N
n∈N
Hinweis: Bei der letzten Folge ist die Abschätzung n2 ≤ 2n (n ∈ N, n ≥ 2) hilfreich. Diese
Ungleichung kann leicht mit einem Induktionsbeweis gezeigt werden, Sie können sie hier aber auch
ohne Beweis verwenden.
Aufgabe 9
(1+1.5+1.5=4 Punkte)
Gegeben sei eine Folge (an )n∈N in R und Zahlen a, b ∈ R. Zeigen Sie unter Verwendung
der Definition von Folgenkonvergenz:
lim an = a ⇒
n→∞
lim an = a ⇒
n→∞
lim an = 0 ⇒
n→∞
lim (an + b) = a + b
n→∞
lim (an · b) = a · b
lim an 2 = 0
n→∞
n→∞
Falls Sie in den Übungen insgesamt über alle Blätter mindestens 40 Prozent der möglichen
Punkte erreichen, erhalten Sie Bonuspunkte für die Klausur.
Übungspunkte (in Prozent)
Bonuspunkte für die Klausur
<40 40-50
0
0.5
50-60
1
60-70 70-80
1.5
2
80-90
2.5
90-100
3
(In der Klausur werden 32 Punkte erreichbar sein.)
Diese Übungsblätter finden Sie unter
http://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/gunter-dufner/material/analysis