Ubungen zur Computeralgebra — Blatt 14

Übungen zur Computeralgebra — Blatt 14 (Klausurvorbereitungsblatt)
Dr. D. Vogel
Dr. A. Maurischat
Sommersemester 2012,
Abgabe: nie, 9.00 Uhr
49. Aufgabe: (Lösen von x2 ≡ a (mod p))
Es seien p eine ungerade Primzahl, a ein quadratischer Rest modulo p und w ein quadratischer
Nichtrest modulo p. Des weiteren seien t, u ∈ N mit p − 1 = 2t · u und u ungerade.
Wir betrachten folgenden Algorithmus:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
a0 := a−1 (mod p)
v := wu (mod p)
u+1
b := a 2
k
m := min{k | (b2 a0 )2 ≡ 1 (mod p)}
Solange m > 0, wiederhole (6)–(7)
t−m−1
b := b · v 2
k
m := min{k | (b2 a0 )2 ≡ 1 (mod p)}
x := b
t−1
(a) Zeigen Sie, dass vor der Schleife (b2 a0 )2
≡ 1 (mod p) gilt und daher m ≤ t − 1.
(b) Zeigen Sie, dass in jedem Schleifendurchlauf m um mindestens 1 abnimmt.
(c) Folgern Sie, dass der Algorithmus terminiert und eine Lösung x der Kongruenz x2 ≡
a (mod p) liefert.
Hinweis zu (a): Verwenden Sie den Satz von Euler.
50. Aufgabe: Es seien f = 2T 3 + 3T 2 − 1, g = 2T 2 + 5T − 1 ∈ Z[T ].
(a) Berechnen Sie ein primitive Polynomrestfolge mit f0 = f und f1 = g.
(b) Bestimmen Sie anhand Ihrer Rechnung in (a) alle Primzahlen p, die für das Paar (f, g)
nicht geeignet sind.
51. Aufgabe:
(a) Bestimmen Sie eine primitive 4-te Einheitswurzel in F37 .
(b) Zeigen Sie, dass 15 eine Lösung der Kongruenz x4 ≡ 9 (mod 37) ist, und bestimmen Sie
mithilfe von Teil (a) alle anderen Lösungen modulo 37 dieser Kongruenz.
52. Aufgabe: (Partialbruchzerlegung)
Es seien K ein Körper und fg ein gekürzter Bruch von Polynomen f, g ∈ K[T ] mit deg(f ) <
deg(g). Des weiteren sei g = g1 g2 eine Zerlegung von g in zueinander teilerfremde Faktoren.
(a) Zeigen Sie, dass es f1 , f2 ∈ K[T ] gibt mit f = f2 g1 +f1 g2 , und dass sogar deg(f1 ) < deg(g1 )
und deg(f2 ) < deg(g2 ) erreicht werden kann.
(b) Folgern Sie, dass mit f1 und f2 aus Teil (a) die Gleichheit
f
g
=
f1
g1
+
f2
g2
gilt.
(c) Schreiben Sie einen Algorithmus (in Pseudo-Code) der eine Partialbruchzerlegung berechnet. D.h. Eingabe des Algorithmus ist ein gekürzter Bruch fg mit deg(f ) < deg(g) und
Qk
eine Zerlegung g = i=1 gi von g in paarweise teilerfremde Faktoren. Ausgabe des AlPk
gorithmus sind Polynome fi (i = 1, . . . , k) mit deg(fi ) < deg(gi ), so dass fg = i=1 gfii
gilt. Der Algorithmus soll dabei wiederholt Zerlegungen in 2 Summanden (wie in (a)/(b))
durchführen.
Hinweis zu (a): Erweiterter Euklidscher Algorithmus bzw. chinesischer Restsatz.
53. Aufgabe: Berechnen Sie, welche Zahlen a ∈ (Z/15Z)× Fermatsche Zeugen der Zerlegbarkeit
von 15, welche Eulersche Zeugen der Zerlegbarkeit und welche sogar strenge Zeugen sind.
54. Aufgabe:
(a) Bestimmen Sie mit Hilfe des erweiterten Euklidschen Algorithmus ganze Zahlen e1 und e2
mit
e1 ≡ 1 (mod 7)
e2 ≡ 0 (mod 7)
und
.
e1 ≡ 0 (mod 11)
e2 ≡ 1 (mod 11)
(b) Bestimmen Sie ein ganzzahliges Polynom f ∈ Z[T ] mit betragsmäßig möglichst kleinen
Koeffizienten, welches f ≡ T + 2 (mod 7) und f ≡ T 2 − T − 2 (mod 11) erfüllt.
55. Aufgabe: Seien a, b ∈ Q.
(a) Berechnen Sie die Diskriminante des Polynoms f (T ) = T 3 + aT + b ∈ Q[T ].
(b) Geben Sie ein Paar (a, b) 6= (0, 0) an, so dass f mehrfache Nullstellen hat.
Die Übungsblätter sowie weitere Informationen zur Vorlesung Computeralgebra finden Sie unter
http://www.iwr.uni-heidelberg.de/~Andreas.Maurischat/compalg-ss2012