(Mg I_4 Kap A IV )

§14 Auswahlaxiom
Kap. IV : Das Auswahlaxiom
§14 Auswahlaxiom und Wohlordnungssatz
In seiner einfachsten Form
(RUSSELL 1906 bzw. ZERMELO 1904/1908) besagt das
Auswahlaxiom, daß das Produkt einer Menge nicht-leerer Mengen wiederum nicht leer ist
(multiplicative axiom) :
Auswahlaxiom: (AC) ∀ x ∈ a x ≠ Ø → ∏
14.1
d.h.
x≠Ø ,
x∈ a
∀ x ∈ a ∃ y (y ∈ x) → ∃f (Fkt(f) ∧ D(f) = a ∧ ∀ x ∈ a f(x) ∈ x ) .
(ein solches f heißt Auswahlfunktion für die Menge a )
Das AC ist unabhängig von den übrigen ZF-Axiomen: Ist ZFo widerspruchsfrei, so auch
ZFo + ¬ AC
(FRAENKEL 1922)
ZF
+ AC
(GÖDEL 1938)
ZF
+ ¬ AC
(COHEN 1963),
(zur Geschichte und Problematik des Auswahlaxioms s. das Buch von MOORE: Zermelo´s axiom
of choice, Springer 1982).
14.2 Satz Das Auswahlaxiom, AC, ist äquivalent zu den folgenden Aussagen:
(AC2)
∀ x ∈ a F(x) ≠ Ø → ∏
(AC2´) ∀ x ∈ a ∃ y ϕ (x,y) →
F(x) ≠ Ø
x∈ a
∃f (Fkt(F) ∧ D(f) = a ∧ ∀ x ∈ a ϕ (x,f(x)) )
(ein solches f heißt Auswahlfunktion für ϕ)
(AC3)
∀x ∈ a x ≠ Ø ∧ ∀ x,y ∈ a ( x ≠ y → x ∩ y = Ø) → ∃z ∀ x ∈ a ∃ !u u ∈ z ∩ x
(ein solches z heißt Auswahlmenge für die nicht-leeren, disjunkten Mengen in a)
→ ∃z ∀ x ∈ a ∃ !u u ∈ z ∩ [x]r
(jede Äquivalenzrelation besitzt ein Repräsentantensystem)
(AC3´) r Äquivalenzrelation auf a
(AC4) Fkt(f)
→ ∃g (Fkt(g) ∧ inj(g) ∧ D(g) = W(f) ∧ g ⊆ f- 1 )
(jede Funktion besitzt eine Umkehrfunktion)
(AC5) Rel(r)
→ ∃ f (Fkt(f) ∧ D(f) = D(r) ∧ f ⊆ r )
Beweis: AC ⇒ AC2: Sei ∀x ∈ a F(x) ≠ Ø. Definiere eine Funktion h: a → V durch
h(x) = {x} x F(x)
für x ∈ a
und setze
b: = W(h). Dann ist
∀ y ∈ b y ≠ Ø , also
existiert nach AC eine Auswahlfunktion f mit ∀ y ∈ b f(y) ∈ y . Es ist also
∀ x ∈ a f({x} x F(x)) ∈ {x} x F(x) , also
∀ x ∈ a f({x} x F(x)) = (x,g(x))
Funktion g: a → V mit ∀ x ∈ a g(x) ∈ F(x) wie in (AC2) gefordert.
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für eine
§14 Auswahlaxiom
AC2 ⇒ AC : Setze speziell F(x) = x .
AC2 ⇒ AC2´ : Sei ∀ x ∈ a ∃ y ϕ (x,y). Definiere F : a → V durch F(x) = {y| ϕ (x,y)} min .
Dann ist ∀ x ∈ a F(x) ≠ Ø) , also existiert nach (AC2) eine Auswahlfunktion
f: a → V mit ∀ x ∈ a f(x) ∈ F(x) , so daß dann auch
AC2´ ⇒ AC2 : Definiere
∀ x ∈ a ϕ (x,f(x)) gilt.
ϕ (x,y) : ↔ y ∈ F(x) .
AC ⇒ AC3 : Es sei a eine Familie nicht-leerer, disjunkter Mengen:
∀x ∈ a x ≠ Ø ∧ ∀ x,y ( x ≠ y → x ∩ y = Ø) .
Nach AC existiert eine Auswahlfunktion für a : f: a → V mit ∀ x ∈ a f(x) ∈ x .
Ihr Wertebereich, b = W(f) , ist dann eine Auswahlmenge für a.
AC3 ⇒ AC3´: Es sei r eine Äquivalenzrelation auf a . Dann ist die Menge der Äquivalenzklassen
eine Familie nicht-leerer disjunkter Mengen, die nach AC3 eine Auswahlmenge besitzt und
zugleich ein Repräsentantensystem darstellt, wie in AC3´gefordert wird.
AC3´ ⇒ AC4 : Es sei f eine Funktion mit D(f) = a . Definiere eine Äquivalenzrelation r auf a
durch x r y ↔ x,y ∈ a ∧ f(x) = f(y) . Nach AC3´ existiert eine Funktion h: a → V mit
∀ x ∈ a h(x) ∈ [x]r , d.h. ∀ x ∈ a f(x) = f(h(x)) . Definiere g: W(f) → a mit
g(y) = h(u) , wobei u ∈ a und f(u) = y.
Es ist leicht zu sehen, daß dadurch tatsächlich eine Funktion g definiert wird, die die Bedingung
∀ x ∈ a ∀ y ∈ W(f)( g(y) = x → f(x) = y ) erfüllt.
AC4 ⇒ AC3 : Es sei wieder a eine Familie nicht-leerer, disjunkter Mengen. Wir definieren
eine Abbildung
f:
∪
a
→ > a , indem wir f(z) = dasjenige x ∈ a setzen mit z ∈ x. Eine
Umkehrfunktion g nach AC4 liefert dann als Bildbereich W(g) eine Auswahlmenge für a .
AC3 ⇒ AC : Sei
∀ y ∈ a y ≠ Ø . Dann ist auch
überdies paarweise disjunkt, so daß
∀ y ∈ a y x {y} ≠ Ø und diese Mengen sind
{y x {y}|y ∈ a} die Voraussetzungen von (AC3) erfüllt.
Also existiert eine Auswahlmenge z mit
∀ y ∈ a z ∩ y x {y} = {g(y)} für eine Funktion g : a → V , und wegen
g(y) = (f(y),y)
für eine Funktion f : a → V
mit
y x {y} = {g(y)} gilt
∀ y ∈ a f(y) ∈ y .
Ähnlich kann man beweisen:
AC3 ⇒ AC5 : Sei Rel(r) mit D(r) = a, W(r) = b . Dann ist
{{x} x {y| x r y } | x ∈ a }
eine Menge nicht-leerer, paarweise disjunkter Mengen.
Also existiert eine Auswahlmenge z mit
∀ x ∈ a z ∩ {x} x {y| x r y } = {g(x)} für eine Funktion g : a → V ,
und wegen {x} x {y| x r y } = {g(x)} gilt g(x) = (x,f(x)) für eine Funktion
f : a → V mit ∀ x ∈ a x r f(x) , also f ⊆ x .
55
§14 Auswahlaxiom
AC2´ ⇒ AC5 : Sei Rel(r) mit D(r) = a. Dann gilt: ∀ x ∈ a ∃ y (x,y) ∈ r . Also ex. nach (AC2´)
eine Funktion f: a → V mit ∀ x ∈ a (x,f(x)) ∈ r . Es ist dann also f ⊆ r .
gegeben, r = f-1 (als Relation, nicht notwendig
Funktion!). Nach (AC5) existiert eine Funktion g mit D(g) = D(r) = W(f) ∧ g ⊆ r ⊆ f-1 , u n d
AC5 ⇒ AC4 : Sei Fkt(f) mit D(f) = a
g ist offenbar injektiv.
AC5 ⇒ AC : Sei ∀ x ∈ a x ≠ Ø . Setze r = {x,y| y ∈ x ∈ a }. Nach (AC5) existiert eine Funktion
f mit D(f) = D(r) ∧ f ⊆ r . Es ist dann ∀ x ∈ a (x,f(x)) ∈ r , d.h. ∀ x ∈ a f(x) ∈ x .
14.3 Satz (ZERMELO 1904/1908)
Das Auswahlaxiom, AC, ist äquivalent zum Wohlordnungssatz:
(WO1)
(WO2)
∀ x ∃ r ( r ist Wohlordnung auf x )
, bzw.
∀ x ∃α ∃ f ( f : x ↔ α ) , d.h jede Menge a läßt sich aufzählen:
a = {aξ | ξ < α } für ein α und eine Folge (aξ | ξ < α )
Beweis: Ist r Wohlordnung auf a, so isomorph zu ∈ auf einer Ordinalzahl α (nach 9.9),
somit (WO1) ⇒ (WO2). Ist umgekehrt
f : a ↔ α für eine Ordinalzahl α , so kann man auf a
eine Wohlordnung r durch
xry ↔
f(x) < f(y)
definieren. Also gilt auch (WO2) ⇒
(WO1).
(WO1) ⇒ (AC): Sei ∀ x ∈ a x ≠ Ø . Nach (WO1) gibt es eine Wohlordnung < auf
∪ a . Damit
kann man eine Auswahlfunktion f definieren durch
f(x) = das kleinste (bzgl. <) y ∈ x
für x ∈ a.
(AC) ⇒ (WO2) : Sei a ≠ Ø . Nach dem Auswahlaxiom existiert eine Funktion
f : P(a) − {Ø} → V mit ∀ x ⊆ a (x ≠ Ø → f(x) ∈ x ) .
Damit können wir rekursiv
eine Aufzählung G von a definieren.
G( α ) =
f(a − {G(ξ )| ξ < α } ) ,
a
(i) a ∉ {G(ξ )| ξ < α } → G Á α
Für
γ < α ist
falls a − {G(ξ )| ξ < α } ≠ Ø ,
sonst.
ist injektiv:
G(γ ) = f(a − {G(ξ )| ξ < γ }) ∈ a − {G(ξ )| ξ < γ } ,
also G(γ ) ≠ G(ξ ) für alle ξ < γ .
(ii) a ∈ W(G), denn anderenfalls wäre G : On → a
nach (i) eine injektive Funktion, und
damit a keine Menge!
Sei α = µξ (G(ξ ) = a) . Dann ist G Á α : α →
(iii)
a injektiv. Es bleibt zu zeigen:
G Á α : α → a ist surjektiv.
Wäre jedoch
W(G Á α) ⊂ a , so
G(α ) = f(a − {G(ξ )| ξ < α } ) ∈ a im Widerspruch zur
56
§14 Auswahlaxiom
Definition von α !
57
§14 Auswahlaxiom
14.4 Definition
(i)
R ist eine (reflexive) partielle Ordnung auf A : ↔ R ⊆ A x A und
∀x ∈ A x R x
reflexiv
∀ x,y,z ∈ A ( x R y ∧ y R z → x R z) transitiv,
∀ x,y ∈ A ( x R y ∧ y R x → x = y)
(In Def. 9.1 (i) haben
antisymmetrisch.
wir den entsprechenden Begriff einer irreflexiven partiellen Ordnung
definiert.)
( i i ) K ⊆ A heißt R-Kette: ↔ ∀x,y ∈ K ( x R y ∨ y R x ) ,
d.h. je zwei Elemente aus K sind bzgl. R vergleichbar;
R ist also eine reflexive lineare Ordnung auf A gdw. A eine R-Kette ist.
( i i i ) a ∈ A heißt (R-)obere Schranke von B ⊆ A : ↔ ∀x ∈ B x R a ,
a ∈ A heißt (R-)maximal : ↔ ∀x ∈ A ( a R x → a = x ),
ein maximales Element besitzt also kein echt größeres, braucht aber nicht das größte Element
zu sein (zumindest nicht in einer partiellen Ordnung).
14.5 Die folgende Aussage stammt von ZORN (1935); für lineare Ordnungen ist sie trivial:
ZORNsches Lemma (ZL)
r sei partielle Ordnung auf der Menge a mit der Eigenschaft
( * ) jede r-Kette besitzt eine r-obere Schranke.
Dann hat a ein maximales Element (bzgl. r).
Ein ähnliches Prinzip stammt von HAUSDORFF:
HAUSDORFFsches Maximumprinzip (H)
r sei partielle Ordnung auf der Menge a . Dann gibt es eine (bzgl. ⊆ ) maximale r-Kette k,
d.h. ein k ⊆ a mit: k ist r-Kette ∧ ∀ y ( y r-Kette ∧ k ⊆ y → k = y ).
14.6 Satz
Das ZORNsche Lemma und das HAUSDORFFsche Prinzip sind äquivalent mit dem
Auswahlaxiom.
Beweis: (WO) ⇒ (H): r sei partielle Ordnung auf a, f : α ↔ a für ein α nach (WO) .
Wir definieren eine Funktion g : α → a durch Rekursion wie folgt:
g( β ) =
W(g)
f(β )
falls
f(0)
sonst.
{g(ξ )| ξ < β } ∪ {f( β )}
r-Kette,
ist dann eine maximale r-Kette (mit g(0) = f(0)).
Bemerkung: Statt (H) haben wir sogar bewiesen, daß jede partielle Ordnung r auf a für jedes
b ∈ a eine r-Kette k mit
b ∈ k besitzt.
58
§14 Auswahlaxiom
(H) ⇒
(ZL) : Sei
maximale r-Kette
r partielle Ordnung auf a, die (*) erfüllt. Nach (H) existiert eine
⊆
k
a. Eine obere Schranke von k ist dann ein maximales Element (sonst
könnte man k echt erweitern).
(ZL) ⇒ (AC) : Sei a ≠ Ø und ∀ x ∈ a x ≠ Ø . Setze
B: = {f| ∃ y ⊆ a (f: y →
B⊆
∪
y ∈ P(a)
(y
∪
∪a
∧ ∀ x ∈ y f(x) ∈ x } . B ist eine Menge, da
a) . Als partielle Ordnung auf b wählen wir r = ⊆ -Beziehung.
Für jede r-Kette k ist dann
∪
k eine obere Schranke, und ein nach dem ZORNschen
Lemma maximales Element in B ist dann eine Auswahlfunktion für a .
Für Anwendungen (s. den folgenden § 15) benötigt man gelegentlich nur abgeschwächte Formen
des Auswahlaxioms:
Auswahlaxiom für abzählbare Mengen:
a abzählbar ∧ ∀ x ∈ a x ≠ Ø → ∃ f ( f : a →
ACω :
∪a
∧ ∀ x ∈ a f(x) ∈ x ),
Axiom der abhängigen Auswahl:
DC:
Rel(R) ∧ ao ∈ a ∧ ∀x ∈ a ∃y ∈ a xRy
→ ∃ f [ f: ω → a ∧ f(0) = ao ∧ ∀ n < ω
f(n) R f(n+1) ]
(dependent choice)
Es gilt:
AC → DC, DC → ACω (aber die Umkehrungen sind nicht beweisbar).
Es gilt:
AC → DC, DC → ACω (aber die Umkehrungen sind nicht beweisbar).
Mit DC läßt sich z.B. beweisen:
Die Minimalitätsbedingung der Fundiertheit (s. Def. 13.4, p.50)
(F1)
a ≠ Ø → ∃x ∈ a ∀ y ∈ a ¬ y R x )
ist äquivalent zur Aussage, daß es keine unendlich-absteigenden R-Ketten gibt:
(F11)
¬ ∃ f ( f : ω → V ∧ ∀ n ∈ ω f(n+1) R f(n))
(dabei benötigt man gerade das DC, um (F11) → (F1) zu zeigen, während die umgekehrte
Richtung unmittelbar beweisbar ist).
59
§15 Anwendungen des AC
§15 Anwendungen des Auswahlaxioms
15.1 Jeder K-Vektorraum V besitzt eine Basis.
K sei ein Körper, V ein Vektorraum über dem Körper K, V und K seien Mengen (hier also
V nicht Klasse aller Mengen!). Wir wenden zum Beweis das ZORNsche Lemma an und wählen
P:= {b| b ⊆ V , b ist Menge von linear unabhängigen Vektoren } , ≤ = ⊆ auf P.
Dann ist
≤
eine partielle Ordnung auf der Menge P , und für jede Kette k ⊆ P ist ∪ k eine
obere Schranke von k in P. Nach dem ZORNschen Lemma existiert also ein maximales Element
in P; eine maximale linear unabhängige Menge von Vektoren ist aber eine Basis.
Bemerkungen:
(i) A. Blass (Existence of bases implies AC, Contempory Math. , Axiomatic Set Theory, AMS 31
(1983)) hat gezeigt, daß auch umgekehrt aus der Aussage, daß jeder Vektorraum eine Basis
besitzt, das Auswahlaxiom folgt.
(ii) Als Anwendung auf den Vektorraum ~ der reellen Zahlen, und zwar als (unendlichdimensionaler) Vektorraum über den rationalen Zahlen } aufgefaßt, besitzt dieser eine Basis,
die man Hamel-Basis nennt. Aus der Existenz einer Hamelbasis folgt insbesondere die Existenz
~ → ~ mit f(x+y) = f(x) + f(y) für alle reellen x,y , aber f ist unstetig
(sogar möglich: W(f) ⊆ } ) .
einer Funktion
f:
15.2 Der Satz von HAHN-BANACH
(Formulierung und Beweis etwa bei Friedrichsdorf-Prestel, Kap. 10, pp.66ff)
15.3 Es existiert eine Menge reeller Zahlen, die nicht Lebesgue-meßbar ist. (VITALI 1905)
Das Lebesgue-Maß ist eine Abbildung
µ : L → ~ * , wobei L ⊆ P(~ ) (Lebesgue-meßbare Teilmengen) und ~ * die Menge der
nicht-negativen reellen Zahlen, ergänzt um ∞ , ist, so daß gilt.
(L1)
L enthält die offenen und abgeschlossenen Intervalle:
(a,b), [a,b] ∈ L für alle reellen Zahlen a < b , und es ist µ (a,b) = µ( [a,b]) = b − a .
Ferner ist L ein Mengenring , d.h. A, B ∈ L → A ∪ B , A ∩ B, A − B ∈ L ,
(L2)
(L3)
µ (A ∪ B) = µ (A) + µ (B), falls
A ⊆ B → µ(A) ≤ µ ( B )
A∩ B = Ø
Additivität
Monotonie
(L4)
Ist (Ai | i<ω ) eine abzählbare Folge von Mengen in L, so ist auch ∪ i<ω Ai in L , und
µ ( ∪ i < ω Ai ) = Σ i < ω µ (A i ) , falls Ai ∩ Aj = Ø für i ≠ j σ -Additivität
(L5)
A ∈ L ∧ r ∈ ~ → A + r = {a+r|a ∈ A} ∈ L
und
µ (A) = µ (A + r)
Translationsinvarianz
Auf den reellen Zahlen definieren wir eine Äquivalenzrelation durch
x ~ y : ↔ x,y ∈ [0,1] ∧ x − y rational .
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§15 Anwendungen des AC
Nach dem Auswahlaxiom (AC3´) existiert hierzu ein Repräsentantensystem S, d.h.
S ⊆ [0,1]
∧ ∀ x ∈ [0,1] ∃ !y ∈ S (x ~ y ) .
Setzen wir Sr := {x+r|x ∈ S} = S + r , so ist ~ = ∪ r ∈ } Sr , und es ist
Sr ∩ St = Ø für r,t rational, r≠ t .
Wäre S Lebesgue-meßbar, also S ∈ L, so erhielte man im Falle
µ (S) = 0 :
µ ( ~ ) = 0, und im Falle µ (S) > 0 : 2 = µ ([0,2]) = ∞ , Widerspruch!
15.4 Äquivalenz verschiedener Stetigkeitsdefinitionen
Es sei U(ε ,x) := (x − ε , x+ ε ) = {y ∈ ~ | x − ε < y < x+ ε } die ε -Umgebung von x .
(1) Für A ⊆ ~ definiert man den Abschluß von A (die abgeschlossene Hülle von A) durch
x ∈ A : ↔ ∀ε>0 U(ε ,x) ∩ A ≠ Ø
bzw.
↔ x = limn →∞ xn für eine Folge (xn ) n< ω
(2) Es sei f: ~ → ~ , x ∈ ~ . Dann definiert man
mit ∀ n <ω xn ∈ A .
f stetig in x : ↔ ∀ε>0 ∃δ>0 ∀y ∈ ~ ( |x − y| < δ → |f(x) − f(y)| < ε ) bzw.
↔ für alle Folgen (xn ) n< ω
mit x = limn → ∞ xn gilt:
f(x) = limn → ∞ f(xn ) .
Um die Äquivalenz der jeweiligen Definitionen zu zeigen, benötigt man (in jeweils einer
Richtung) das Auswahlaxiom - tatsächlich genügt hier das ACω oder das stärkere DC.
15.5 Das Produkt quasi-kompakter Räume ist quasi-kompakt. (TYCHONOFF)
(Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom.)
15.6 Jedes echte Ideal in einer BOOLEschen Algebra läßt sich zu einem Primideal erweitern.
(BPI = BOOLEsches Primidealtheorem)
Diese Aussage (welche schwächer als das Auswahlaxiom ist) ist äquivalent mit
(i) STONEscher Repräsentsationssatz: Jede BOOLEsche Algebra ist isomorph zu einer
Mengenalgebra,
(ii) Satz von TYCHONOFF für T2-Räume,
(iii) Vollständigkeitssatz (bzw. Kompaktheitssatz) für formale Sprachen erster Stufe.
15.7 Jede partielle Ordnung läßt sich zu einer linearen Ordnung erweitern. (OE)
15.8 Jede Menge besitzt eine lineare Ordnung. (OP)
Es gilt: (AC) → (BPI) → (OE) → (OP)
(ohne Umkehrungen).
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