Pierre de Fermat

Pierre de Fermat
* Ende 1607 / Anfang 1608 in Beaumont-de-Lomagne,
† 12. Januar 1665 in Castres,
war ein französischer Mathematiker und Jurist.
Fermat studierte von 1623 bis 1626 Zivilrecht an der
Universität Orléans und schloss dieses Studium im
Juli 1626 mit dem baccalaureus juris civilis ab. Im
Herbst 1626 ließ er sich als Anwalt am parlement de
Bordeaux nieder, wo er bis Ende 1630 blieb. Dann
kaufte er das Amt eines conseiller du parlement de
Toulouse und wurde 1631 in diesem Amt vereidigt.
Er lebte bis zu seinem Tode als Anwalt und Beamter
der Regierung in Toulouse. Aufgrund dieser Position
wurde er geadelt.
In den Jahren 1643 bis 1654 wüteten in Europa Bürgerkrieg und Pest. Bauernaufstände
im Languedoc und heftige kriegerische Auseinandersetzungen mit der Fronde hielten das
Parlament von Toulouse und auch Fermat in Atem. Das königstreue Parlament von Toulouse führte langwierige Verhandlungen zur Wiederherstellung des Rechtsfriedens mit den
Generalständen des Languedoc, die sich auf die Seite der Fronde geschlagen hatten. Fermat verhinderte durch mutigen persönlichen Einsatz die Zerstörung seiner Heimatstadt
Beaumont durch königliche Truppen. 1653 erkrankte er ebenfalls an der Pest und wurde
irrtümlich für tot erklärt.
Fermat war einer der bedeutendsten “Amateure” und wohl auch Autodidakt in der Geschichte der Mathematik, freilich zu einer Zeit, als sich noch kaum ein Forscher ausschließlich mit Mathematik beschäftigte. Seine Quellen waren unter anderem griechische Texte
der Mathematik, vor allem das Buch “Arithmetika” von Diophantos von Alexandria, in
dem Probleme der Mathematik des Altertums aufgeführt waren. Fermat beeinflusste die
Mathematik seiner Zeit durch seine Korrespondenz mit vielen bedeutenden Gelehrten
(z. B. Carcavi, Beaugrand, Descartes, Pascal und Mersenne) und durch die von seinem
Sohn vorgenommene Ausgabe seines Nachlasses, einschließlich der von ihm kommentierten Arithmetik des Diophant.
Fermat hat wichtige Beiträge zur Zahlentheorie geleistet. Er war einer der “Pioniere” in der Infinitesimalrechnung und befasste sich viel mit Maxima und
Minima. Von seinem Prinzip leitete er die bekannten Reflexions- und Brechungsgesetze ab. Er war es
auch, der die analytische Geometrie auf den dreidimensionalen Raum anwandte.
Fermat stellte viele Vermutungen auf und irrte sich auch manchmal. Dabei hat er seine
Resultate oft nur in Form von “Denksportaufgaben” – von Problemen ohne Angabe der
Lösung – mitgeteilt.
Darüberhinaus war Fermat ein vortrefflicher Linguist, der Latein und Griechisch beherrschte und französische und spanische Verse verfasste.
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Nach Fermat sind unter anderem benannt:
• Als Fermatsche Zahlen werden Zahlen der Form Fn = 22 + 1 bezeichnet. Fermat
vermutete 1637, dass alle Fermat-Zahlen Primzahlen sind. Dies wurde jedoch 1732
von Euler 1 widerlegt.
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 641 · 6700417
n
• Der Fermatsche Zwei-Quadrate-Satz lautet: Eine ungerade Primzahl p ist genau dann die Summe zweier Quadrate, wenn sie eine Zahl der Form 4n + 1 ist, und
diese Darstellung ist (bis auf die Reihenfolge) eindeutig. p = a2 +b2 ⇐⇒ p = 4n+1
Der erste Beweis dieses Satzes geht auf Euler zurück. Die beiden kleinsten Primzahlen mit dieser Eigenschaft sind 5(= 12 + 22 ) und 13(= 22 + 32 ).
• Der Kleine Satz von Fermat:
Für jede Primzahl p gilt: ap ≡ a mod p für alle a ∈ ZZ.
Auch in diesem Fall findet sich der erste Beweis bei Euler.
Falls a kein Vielfaches von p ist, kann man das Resultat auch wie folgt formulieren:
Für jede Primzahl p gilt: ap−1 ≡ 1 mod p für alle a ∈ ZZ, die nicht Vielfaches
von p sind.
Euler hat diesen Satz nicht nur bewiesen, sondern auch verallgemeinert. Die RSA
(nach Rivest, Shamir, Adleman) - Verschlüsselung benutzt einen Spezialfall dieses
Eulerschen Satzes:
Sei n das Produkt zweier verschiedener Primzahlen p und q, n = p · q. Dann gilt:
ak(p−1)(q−1)+1 ≡ a mod n für alle a ∈ ZZ und alle k ∈ IN .
• Fermats Letzter Satz, Fermatsche Vermutung, Großer Fermatscher Satz:
Diese berühmteste auf Fermat zurückgehende Behauptung besagt, dass die diophantische Gleichung xn +y n = z n mit x, y, z ∈ IN für keine natürliche Zahl n > 2 erfüllt
ist. Seine Berühmtheit erlangte dieser Satz dadurch, dass Fermat in einer Randnotiz
seines Exemplars der Arithmetica des Diophant behauptete, dafür einen “wunderbaren” Beweis gefunden zu haben, für den aber “auf dem Rand nicht genug Platz” sei.
Der Fall n = 4 wurde von Fermat an anderer Stelle bewiesen. In seiner Allgemeinheit blieb die Aussage bis vor kurzem eines der berühmtesten ungelösten Probleme
der Mathematik. Erst 1993 gelang es dem britischen Mathematiker Andrew Wiles,
die Fermatsche Vermutung zu beweisen.
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Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (* 1707, † 1783) hat den überwiegenden Teil seines
Lebens in Russland (Petersburg) und Deutschland (Berlin) verbracht. Er ist einer der produktivsten
Mathematiker aller Zeiten gewesen und hat zu allen damals bekannten Teilgebieten der Mathematik
wichtige Beiträge geleistet.
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