Ergänzende Beispiele zu B, Teil 1

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PC1 Anhang.2
Anhang2-7
Zu Teil B:
B1.
Heißluftballon
Ein Ballon schwebt, wenn sein Gesamtgewicht gleich dem Gesamtgewicht der verdrängten Luft (Auftriebskraft) ist. Anders ausgedrückt muss seine Gesamtmasse m ges
gleich der Masse mL der verdrängten Luft sein. Die Gesamtmasse m ges setzt sich zusammen aus der Masse mF des Füllgases und der "Nettoballonmasse" mB , die sich
aus Ballonhülle, Korb, Passagieren, Geräten usw. ergibt.
Ein nach unten offener Heißluftballon vom Volumen V 4300 m3 habe die Nettoballonmasse mB 1450 kg . Da der Ballon zur Atmosphäre hin offen ist, stellt sich zwischen Gasfüllung (gegeben durch die erwärmte Luft) und Atmosphäre stets Druckausgleich ein. Der Luftdruck am Boden beträgt p1 980 hPa . Die Lufttemperatur soll unabhängig von der Höhe T0 273 K betragen. Für die mittlere molare Masse M der Luft
nehmen wir den Wert M 29 g mol 1 an. Bei allen Berechnungen kann die Gültigkeit
der idealen Gasgleichung vorausgesetzt werden.
a) Welche Temperatur T1 muss die Luft im Ballon überschreiten, damit er vom Boden
abheben kann?
b) Welche mittlere Temperatur T2 muss die Luft im Ballon haben, damit er in der Höhe
h2 3000 m gerade schwebt?
c) Gibt es für die Steighöhe des Ballons eine obere Grenze?
Lösung:
Da die Lufttemperatur T0 und das Ballonvolumen V fest gegeben sind, hängt die Masse der verdrängten Luft nur vom Luftdruck p ab: mL mL ( p) . Dagegen hängt die Masse der erwärmten Luft in der Ballonhülle außer vom Luftdruck p (Druckausgleich) von
ihrer Temperatur TF ab: mF mF ( p,TF ) . Damit lautet die Bedingung für das Schweben:
mL ( p) mF ( p,TF ) mB
Wenn man durch das Ballonvolumen teilt, folgt
mB
V
Hier ist L die Dichte der Atmosphäre und F die der Luft im Ballon. Nach Gl.(1a)
schwebt der Ballon, wenn die Differenz
dieser Dichten den durch Nettolast und
Ballonvolumen gegebenen Wert annimmt. Unter Verwendung der idealen Gasgleichung wird aus Gl.(1a)
(1a)
(1b)
L ( p)
ML
1
p
R
T0
F ( p,TF )
1
TF
mB
V
Da p mit zunehmender Höhe abnimmt, muss die Temperatur im Ballon mit zunehmender Höhe ansteigen, um die erforderliche Dichtedifferenz aufrecht zu erhalten.
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PC1 Anhang.2
a) Aus Gl.(1b) ergibt sich mit TF
(2)
1
T1
1
T0
Anhang2-8
T1 :
R mB
MLV p1
Beim Einsetzen der gegebenen Werte wird daraus
1
1
8,31 J mol 1 K 1 1450 kg
T1 273K 29 10 3 kg mol 1 4300 m3 9,8 104 N m
Also:
T1 374 K
2
2,677 10
3
K
1
Diese Temperatur versetzt den Ballon am Boden in den Schwebezustand. Damit er
abhebt, muss diese Temperatur überschritten werden.
b) Für den Luftdruck p in der Höhe h gilt die barometrische Höhenformel (s. entsprechende Übungsaufgabe):
(3)
p
p (0) e
ML gh
RT0
Bei der Höhe h2 ergibt sich daher mit den gegebenen Daten:
p2
Analog zu Gl.(2) gilt jetzt:
1
T2
oder
T2
673 hPa
1
T0
R mB
MLV p2
2,227 10
3
K
1
449 K
Wie im Anschluss an Gl.(1b) diskutiert, ist T2 größer als T1 .
c) Der temperaturabhängige Term in der runden Klammer der Gl.(1b) kann auch bei
höchster Füllgas-Temperatur nicht größer werden als 1/T0 . Daher ist der minimale
Luftdruck, bei dem der Ballon theoretisch noch schweben kann, gegeben durch
mB R
pmin
T0 264 hPa
V ML
Mit diesem Wert liefert die barometrische Höhenformel der Gl.(3)
hmax 10,5 km
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B2.
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Anhang2-9
Quantitative Analyse
Eine Substanz besteht gemäß qualitativer Analyse nur aus C, H und O. Im dampfförmigen Zustand wird unter Standardbedingungen (25°C und 1,0 bar) für 0,09 g dieser
Substanz ein Dampfvolumen von 37,2 ml gefunden.
Bei einer Elementaranalyse werden 1,20 g der Substanz im Sauerstoffstrom verbrannt.
Dabei entstehen 0,72 g Wasser und 1,76 g Kohlendioxid.
a) Welche molare Masse MS besitzt die Substanz, wenn man den Dampf als ideal betrachtet?
b) Welche Summenformel ergibt sich für diese Substanz?
c) Um welche Substanz handelt es sich wahrscheinlich?
Lösung:
a) Für die Stoffmenge der gasförmigen Probe ergibt sich
nS
pV
RT
MS
mS
nS
105 J m
3
37,2 10
1
1
8,31 J mol K
6
m3
298 K
1,50 10
3
mol
Daraus folgt:
b) Für die Verbindung C C H H O
0,09 g
1,50 10
O
3
werden die
mol
i
60 g mol
1
gesucht.
Bei einer Substanzstoffmenge nS gilt für die darin enthaltene Stoffmenge des Elementes i :
ni
(1)
i nS
Daraus folgt:
n C n CO2 m CO2 MS 1,76 60
2
C
nS
nS
M CO2 mS
44 1,2
H
nH
2 n H2O
nS
nS
2
mH2O MS
M H2O mS
2
0,72 60
18 1,2
4
Es gilt:
MS
CMC
HM H
OMO
Daraus ergibt sich der noch fehlende Koeffizient O :
1
(MS
O
CMC
HM H )
MO
1
(60 2 12 4 1)
16
Die Summenformel lautet also C2 H4O2 .
c) Es handelt sich wahrscheinlich um Essigsäure ( CH3COOH ).
2
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B3.
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Anhang2-10
Molare Wärmekapazität und Anzahl der Atome im Molekül
Ein ideales Gas der Stoffmenge 1 mol wird unter Zufuhr der Wärmemenge
Q 2,075kJ bei konstantem Volumen um 100 K erwärmt. Die Freiheitsgrade der
Translation und der Molekülrotation sind voll angeregt. Schwingungsfreiheitsgrade sind
nicht angeregt. Aus wie vielen Atomen ist das Molekül mindestens aufgebaut?
dV
Lösung:
1. HS.:
U
Ideales Gas:
U
Q
W
CV T
Q
p dV
0
Q
n cV T .
Schwingungsfreiheitsgrade sind nicht angeregt: Für die Anzahl
voll angeregter Freiheitsgrade der Translation und der Rotation gilt daher
3.
Transl .
Rot . mit Transl .
?
Rot .
( 1 k ) NL 1 R . Also
Gemäß Gleichverteilungssatz beim idealen Gas: cV
2
2
U n cV T n 1 R T
2
Q (s.o.)
Daher wegen U
2 Q
2 2075 J mol K
5,0
n R T 8,31 J 100 K 1 mol
bzw.
2
Rot .
Transl .
Da 2 Freiheitsgrade der Rotation angeregt sind, muss das Molekül mindestens aus 2
Atomen bestehen.
B4.
Ideales Gas bei adiabatischer Isolierung (Adiabatengleichung)
Wie hängen Temperatur T und Volumen V (bzw. Druck p und Volumen V) bei einem
adiabatisch isolierten idealen Gas zusammen?
Lösung:
Bei Q
(1a)
0 liefert der 1. Hauptsatz:
dU
W
p dV
Beim idealen Gas gilt zudem
(1b)
dU
CV dT
n c V dT .
Zieht man die Gleichungen voneinander ab, bleibt
(1c)
n c V dT
p dV
Dies verdeutlicht, dass die nach Gl.(1a) durch Volumenarbeit bewirkte Änderung der
inneren Energie beim idealen Gas unmittelbar zu einer Temperaturänderung führt: Erwärmung durch Kompression ( dV 0 ), Abkühlung durch Expansion ( dV 0 ).
Indem man den Druck mit Hilfe der idealen Gasgleichung ( p
eliminiert, ergibt sich
n RT / V ) aus Gl.(1c)
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c V dT
Anhang2-11
RT dV .
V
Trennung der Veränderlichen:
dT
R dV
T
cV V
Wenn man das mit den Anfangswerten To und Vo integriert und dann delogarithmiert,
bekommt man
(2a)
TV R / cV
R / cV
ToVo
const
T kann über die ideale Gasgleichung auch als Funktion von p und V ausgedrückt werden ( T / To pV /( poVo ) ). Man erhält aus Gl.(2a):
(2b)
pV
cp / cV
poVo
cp / cV
const
wobei cv R cp verwendet wurde. Gln.(2a,b) stellen in, unterschiedlicher Form, die
Adiabatengleichung des idealen Gases dar. Gl.(2b) tritt an die Stelle der Bedingung
pV const , die bei isothermen Zustandsänderungen gilt.
Man kann Gl.(2a) entnehmen, wie sich die Temperatur eines Gases bei Volumenänderungen verhält, die so schnell sind, dass für den Wärmeaustausch praktisch keine Zeit
bleibt. Eine derartige, praktisch adiabatisch verlaufende Kompression findet im Dieselmotor statt, wo die angesaugte Luft vor dem Einspritzen des Dieselkraftstoffes sehr
schnell auf ca. 1/25 des Anfangsvolumens (Verdichtungsverhältnis) komprimiert wird.
Die Temperatur der Luft erreicht dabei so hohe Werte, dass sich der Dieselkraftstoff
beim Einspritzen von selbst entzündet. Mit V / Vo 1/ 25 , To 300 K und cV (5 / 2) R
errechnet man aus Gl.(2a) für die Endtemperatur des Verdichtungsvorgangs
T
300 K 250,4
1100 K (
800 °C) !
Da cp / cV 1, variiert der Druck gemäß Gl.(2b) bei einer adiabatischen Volumenänderung stärker als im isothermen Fall (wo der Exponent 1 ist). Das ist eine direkte Folge
der durch die adiabatische Isolierung zusätzlich auftretenden Temperaturänderungen.
Ergänzung für Interessierte:
Gl.(2b) hat grundlegende Bedeutung für die Berechnung der Schallausbreitung in
Gasen. Es soll hier der in Kapitel B.3 gebrauchte Ausdruck für die Schallgeschwindigkeit hergeleitet werden. Bei der Herleitung werden elementare Beziehungen aus unterschiedlichen Gebieten - Mechanik, Kinematik (Bewegungslehre) und Thermodynamik zu einem Ganzen verknüpft. Die Herleitung ist besonders lehrreich, da sie zeigt, wie
man durch Gebrauch linearer Näherungen auch in komplexen Situationen zu überschaubaren Beziehungen kommen kann.
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Anhang2-12
Physikalisch stellt der Schall eine Ausbreitung von Druckänderungen dar. Es werden
hier kleine Auslenkungen aus dem Ruhezustand, d.h. kleine Druckänderungen und
kleine Geschwindigkeiten der Massenelemente, vorausgesetzt.
x
A
p( x, t )
p( x
x
x
x, t )
p( x, t ) p ( x, t ) x
x
In der Skizze ist angenommen, dass sich der Schall in x-Richtung ausbreitet (ebene
Schallausbreitung). Wir betrachten zur Zeit t ein Massenelement der kleinen Masse m
im Volumen V (kleine Dicke x , Querschnittsfläche A). Ein hochgestellter Strich bedeutet eine (partielle) Ableitung nach x (bei konstantem t), ein hochgestellter Punkt eine (partielle) Ableitung nach t (bei konstantem x). Für die Geschwindigkeit w w ( x, t ) 4
der momentan in V enthaltenen Masse m gilt nach Newton (Impulserhaltung) unter Berücksichtigung der Druckkräfte an den Stirnflächen ( m m ( x, t ) usw.):
(3a)
mw
A( p( x, t ) p( x
x, t ))
Wir haben hier von der linearen Näherung p( x
gemacht (Schichtdicke x klein). Wegen m V
1
(3b)
w
p
A( p ( x, t )) x
x, t ) p( x, t ) p ( x, t ) x Gebrauch
A x ergibt sich aus Gl.(3a)
Da die Abweichungen vom Ruhezustand klein sind, variiert die Dichte
kann in Gl.(3b) durch den Ruhewert o ersetzt werden5:
(3c)
w
1
nur wenig und
p
o
Weiterhin ist zu berücksichtigen, dass sich das Volumen des Massenelementes durch
die x-Abhängigkeit der Geschwindigkeit (verschiedene Geschwindigkeiten der Stirnflächen) zeitlich ändert. In linearer Näherung gilt
V
A (w ( x
x, t ) w ( x, t ))
Aw ( x, t ) x V w ( x, t )
Beziehungen dieser Art werden als Kontinuitätsgleichungen bezeichnet. Nach w aufgelöst, erhält man:
V
(4a)
w
V
Da die Volumenänderungen bei der Ausbreitung der Schallwellen sehr schnell ablaufen, finden sie praktisch unter adiabatischen Bedingungen statt (s. oben).
4
Wir bezeichnen die Geschwindigkeit mit w (und nicht mit v), um Verwechslungen mit dem molaren
Volumen v zu vermeiden.
5
Es handelt sich hier wieder um eine lineare Näherung, diesmal für den Zusammenhang zwischen
w und p mit dem Ruhezustand als Bezugszustand.
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PC1 Anhang.2
Anhang2-13
Wir können also Gl.(2b) anwenden und mit Hilfe dieser Gleichung das Volumen eliminieren. Wenn man Gl.(2b) auf beiden Seiten nach der Zeit ableitet (Produkt- und Kettenregel), erhält man zunächst:
pV
Man teilt durch pV
(4b)
( cp / cv )
cp / cv
p (cp / cv )V
und erhält V / V
w
(cV / c p )
( cp / cv ) 1
V
0
(cv / c p )( p / p) . Damit wird aus Gl.(4a):
p
po
Mit derselben Rechtfertigung, mit der in Gl.(3b) durch o ersetzt wurde, haben wir p
hier durch po ersetzt. Indem man Gl.(3c) noch einmal nach x und Gl.(4b) noch einmal
nach t ableitet, erhält man nebeneinander:
1
p
und (w )
(w )
p
(cV / c p )
po
o
Nach Schwarz sind die beiden linken Seiten gleich, also können die rechten Seiten
gleichgesetzt werden:
p
(5a)
p (c p / cV ) o p
o
Der idealen Gasgleichung entnimmt man:
po
o
po
M co
RTo
M
kTo
mo
wobei mo die Teilchenmasse ist. Somit wird aus Gl.(5a) schließlich
(5b)
p
(c p / cV )
kTo
p
mo
Gl.(5b) hat die Form einer Wellen-Differentialgleichung: 2. Ableitung nach der Zeit
proportional zur 2. Ableitung nach dem Ort. Der Proportionalitätsfaktor ist positiv und
stellt das Quadrat der Geschwindigkeit der Wellenausbreitung dar6. Also ergibt sich
aus Gl.(5b) für die Schallgeschwindigkeit wSchall :
(6a)
6
wSchall
(c p / cV )
kTo
mo
Man kann dies mit Hilfe des Wellen-Ansatzes p( x, t ) f ( x wSchall t ) zeigen. Der Ansatz besagt,
dass sich ein Anfangsdruckprofil p( x,0) f ( x ) unter Beibehaltung seiner Form mit gleichbleibender
Geschwindigkeit wSchall längs der x-Achse verschiebt. Nach der Zeit t ist das Profil um die Strecke
wSchall t in x-Richtung gewandert. Mit z x wSchall t ergibt sich aus dem Wellenansatz
2
p d2f / d z2
p (d2f / d z2 )wSchall
(Kettenregel!)
oder p
2
wSchall
p . Der Vergleich mit Gl.(5b) führt direkt auf Gl.(6a).
Man darf wSchall , die Geschwindigkeit der Druckausbreitung (Impulstransport), nicht mit w, der Geschwindigkeit des Massentransportes (s. Gln.(4a,b)), verwechseln. Erstere hat einen bestimmten
endlichen Wert (eben den der Schallgeschwindigkeit), während w eine zeit- und ortsabhängige Größe ist, die die Oszillation eines Massenelementes um die Ruheposition beschreibt.
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PC1 Anhang.2
Anhang2-14
Wie in Abschnitt B.5.4 gezeigt, gilt beim 2-atomigen idealen Gas7
cp / cV
(7 / 2)R / (5 / 2)R
7 / 5 1,4
Das führt auf die in Kapitel B.3 verwendete Beziehung
(6b)
wSchall
1,4
kT0
mo
Der Übergang von Gl.(4a) zu Gl.(4b) lässt eine interessante Verallgemeinerung zu. Mit
Hilfe der Kettenregel kann man V nämlich allgemein umformen in
(7a)
V
dV
p
d p ad
V
1 dV
p
V d p ad
V
ad
p
Der mit ad bezeichnete Ausdruck in der runden Klammer stellt die adiabatische
Kompressibilität des betreffenden Materials dar. Sie unterscheidet sich von der normalen (isothermen) Kompressibilität (s. Abschnitt B.5.4.3.2) dadurch, dass die Nebenbedingung konstanter Temperatur durch die Bedingung adiabatischer Isolierung ersetzt
wurde. Damit wird aus Gl.(4a)
(7b)
ad
w
p
Bei Vergleich mit Gl.(4b) sieht man, dass die adiabatische Kompressibilität des idealen
Gases durch ad (cV / cp ) / p gegeben ist. Die normale (isotherme) Kompressibilität
hat den Wert 1/p und ist um den Faktor c p / cV größer.
Gln.(3c) und (7b) sind von der Voraussetzung des idealen Gases unabhängig und daher für beliebige Materialien gültig. Aus ihrer Kombination ergibt sich für die Schallausbreitung statt Gl.(5a,b) die allgemeinere Beziehung
1
(7c)
p
p
ad
o
o
Man erhält für die Schallgeschwindigkeit somit die allgemeine Formel
(7d)
wSchall
1
ad
o o
Für Wasser gilt ad
5 10 10 Pa 1 und damit wSchall 1,4 km s 1 . Wegen der sehr
o
geringen Kompressibilität8 ist die Schallgeschwindigkeit im Wasser trotz höherer Dichte
um einiges größer als in Luft.
7
Luft wird hier als Gemisch aus N2 und O2 betrachtet.
8
Die Messung der Schallgeschwindigkeit ist eine viel genutzte Methode, um die Kompressibilität von
Flüssigkeiten und Festkörpern zu bestimmen. In diesen Aggregatzuständen ist der Unterschied
zwischen isothermer und adiabatischer Kompressibilität meist vernachlässigbar klein, was mit
Gl.(B.5-5d) zusammenhängt.
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B5.
PC1 Anhang.2
Anhang2-15
Durstiges Kamel
Ein durstiges (und hungriges) Kamel hat 5,0 kg Fett aus seinen Höckern verbrannt.
Wie groß ist die Masse mH2O des Wassers, das sich das Kamel auf diese Weise verschafft? Nehmen Sie als Fett vereinfachend Stearinsäure ( C18H36O2 ) an.
Lösung:
Die Reaktionsgleichung für die Verbrennung des Fettes lautet
C18H36O2
26 O2
18 CO2 18 H2O
Zwischen der Stoffmenge n SS der verbrannten Stearinsäure und der Stoffmenge n H2O
des gebildeten Wassers besteht also der stöchiometrische Zusammenhang:
nH2O 18 n SS
Da Masse m und Stoffmenge n über m Mn verknüpft sind, ergibt sich mit der molaren Masse MSS 284 g mol 1 der Stearinsäure:
m SS
5,00 kg
mH2O M H2O n H2O M H2O 18
18 g mol 1 18
5,70 kg
M SS
284 g mol 1
Die Masse des für die Durstlöschung verfügbaren Wassers entspricht also etwa der
Masse des verbrannten Fettes.
B6.
Standard-Reaktionsenthalpie
Welchen Wert hat die Standard-Reaktionsenthalpie
2 HN3(l ) 2NO(g )
H2O2
hR der Reaktion
4 N2(g )
wenn die Standardenthalpien der Stoffe folgende Werte haben:
hHN3 (l )
264kJ mol
hNO (g )
90kJ mol
hH2O2 (l )
1
1
187kJ mol
hN2 (l )
0
1
?
Lösung:
Mit den vorzeichenbehafteten stöchiometrischen Koeffizienten
hR
i
gilt
i hi
i
Im vorliegenden Fall wird daraus
hR
hH2O2
4 hN2
2hHN3
2hNO
( 187 4 0 2 264 2 90) kJ mol
895 kJ mol
1
1
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B7.
PC1 Anhang.2
Anhang2-16
Entropieeffekte beim isothermen Gefrieren von Wasser
Der isotherme Gefriervorgang ist Modellfall für einen Prozess, bei dem die Entropie
des Systems trotz der im Innern des Systems stattfindenden Entropieproduktion abnimmt. Neben Temperatur T und Druck p seien auch die molare Gefrierenthalpie hG
und die molare Gefrierentropie sG konstant9. Es gelte T To , wobei To die Gleichgewichtsgefriertemperatur ist ( ˆ 0 C) .
Lösung:
Ist n die Stoffmenge des ausgefrorenen Wassers, so sind die beim Gefrieren auftretenden Änderungen von Entropie und Enthalpie, S und H , gegeben durch
(1a)
S
sG n
(1b)
H
hG n
Da der Druck konstant ist und nur Volumenarbeit ausgetauscht wird, gilt außerdem
(1c)
Q
H
Die Gleichgewichtsgefriertemperatur To ist dadurch gekennzeichnet, dass die beim
Gefrierprozess im System erzeugte Entropie Null ist (reversibler Prozess, i S 0 ).
Daher gilt bei To
(2a)
S
aS
Q
To
Setzt man hier Gl.(1c) und dann Gln.(1a,b) ein, erhält man
(2b)
hG
sG
To
Da die molare Gefrierenthalpie hG negativ ist (exothermer Vorgang), ist auch
negativ. Nach Gl.(1a) nimmt die Entropie beim Gefrieren also ab!10
sG
Andererseits ergibt sich für die im System bei der Temperatur T erzeugte Entropie
iS
S
aS
S
Q
T
H
T
S
n
sG
hG
T
Mit Gl.(2b) wird daraus
(3a)
iS
n hG
1
To
1
T
Wegen T To und
hG 0 ergibt sich, wie es sein muss,
i S 0 . Die
Entropieabnahme beim Gefrieren rührt also daher, dass mehr Entropie in die Umgebung exportiert (
aS ) wird als im System entsteht ( i S ).
In Übereinstimmung mit der Erfahrung verbietet Gl.(3a) ein Gefrieren bei T To , da
i S dann negativ würde.
9
Analog zur Definition von
sigem Wasser.
10
Details und Deutung der Entropiebilanz werden in Kapitel B.7 besprochen.
hG ist
sG die Differenz aus den molaren Entropien von Eis und flüs-
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B8.
PC1 Anhang.2
Anhang2-17
Entropieänderung beim idealen Gas
Wir betrachten ein abgeschlossenes System ( U, V konstant ) aus zwei Gasräumen I
und II, welche die gleiche Stoffmenge n eines gegebenen idealen Gases enthalten. Sie
sind durch eine wärmeleitende und reibungsfrei verschiebbare Wand getrennt. Die Anfangstemperaturen und –volumina der beiden Phasen seien TIo , TIIo und VIo , VIIo . Die
molare Wärmekapazität cV sei temperaturunabhängig. Wie groß ist die
Entropieänderung S des Systems bis zum Erreichen des Gleichgewichtes?
CV , n
CV , n
TI, pI, VI
TII, pII, VII
Lösung:
Da beide Gasvolumina die gleiche Stoffmenge enthalten, ist die Wärmekapazität
CV n cV beider Phasen gleich. Analog zum Beispiel Wärmeleitung des Abschnitts
B.6.3.3 folgt hier aus Energieerhaltung und dUI,II CV dTI,II , dass die Gleichgewichtstemperatur gleich dem Mittelwert Tm 0,5( T Io T IIo ) der Anfangstemperaturen ist. Da
im Gleichgewicht der Druck in beiden Phasen gleich sein muss (sonst käme – aus mechanischer Sicht - die Wand nicht zur Ruhe), sind auch die Gleichgewichtsvolumina
der Phasen gleich (ideale Gasgleichung!) und durch den Mittelwert Vm der Anfangsvolumina gegeben: Vm 0,5( VIo VIIo ) .
Gemäß Gl.(B.7-4a) gilt mit S
dS
dSI
S II :
SI
d S II
(CV d lnTI
nR d lnVI ) (CV d lnTII
nR d lnVII )
und
Tm
S
Vm
n ( cV d lnTI
TIo
Tm
R d lnVI ) n (
VIo
Vm
cV d lnTII
TIIo
R d lnVII )
VIIo
Daraus wird
S
Mit
(1)
To
n cV ln
T IIo T Io und
Tm2
TIoTIIo
n R ln
Vm2
VIoVIIo
Vo
V IIo V Io kann man das umformen in
S
n cV ln 1
To 2
Tm
2
n R ln 1
Vo 2
Vm
2
Der temperaturabhängige Term ist in analoger Form im Beispiel Wärmeleitung des
Abschnitts B.6.3.3 aufgetreten (s. dortige graphische Darstellung). Wir sehen, dass die
Volumenänderung beim vorliegenden System einen analogen Beitrag liefert.
Wie die Erörterungen des Abschnitts B.7.2 zeigen, beschreibt der erste Term von
Gl.(1) die Zunahme der Unordnung im Geschwindigkeitsraum, der zweite die Zunahme
im Ortsraum.