universit¨at duisburg-essen

UNIVERSITÄT DUISBURG-ESSEN
Übungsaufgaben “Mathematik 3 für Informatiker”
Dr. Flavius Guias
Klausur
11.07.07
Jede Aufgabe wird mit 10 Punkte bewertet. Mit 25 Punkten ist die Klausur bestanden.
1. (i) Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A1 , A2 , A3 unabhängige Ereignisse mit P (Ai ) = pi , i = 1, 2, 3.
Zeigen Sie, dass für das Ereignis E = (A1 ∩ A2 ) ∪ (A1 ∩ A3 )
P (E) = p1 p2 (1 − p3 ) + p1 (1 − p2 )p3 + p1 p2 p3
gilt.
(ii) Ein Gerät bestehend aus 3 Modulen funktioniert so lange Modul 1 und gleichzeitig
mindestens einer von den Modulen 2 und 3 funktionieren. Die Lebensdauer Li des
i-ten Moduls sei Exp(αi )-verteilt und diese seien unabhängig. Für die Lebensdauer S
des Gerätes berechnen Sie die Wahrscheinlichekeit P (S > t), (t ≥ 0) und die Verteilungsfunktion F S . Hinweis: Sie können Aufgabenteil (i) anwenden.
2. Die Zahl Z der Aufträge an einem Server (zwischen 12:00 Uhr und 12:01 Uhr) werde
durch die Z-Dichte f Z (k) = c · (0.2)k , k ≥ 0 modelliert.
(i) Bestimmen Sie die Konstante c und die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 Aufträge vorhanden sind.
(ii) Es wird angenommen, dass die Aufträge nicht gleichzeitig eingehen oder ausgeführt werden, und dass deren Ausführungsdauern unabhängig und Exp(2) -verteilt
sind (Maßeinheit: Sekunden). Berechnen sie den Erwartungswert der gesamten benötigten
Rechenzeit.
3. In einer Chemieanlage wird eine Menge X1 von Schadstoffe ausgestoßen, welche
Beta(3, 1)-verteilt ist. Nach Einbau eines Schadstofffilters ist die in der Luft ausgestoßenen Menge nur noch X2 , welche R(0, X1 /2)-verteilt ist (bei festem X1 ).
(i) Bestimmen Sie die R-Dichte f für ein Modell des zweistufigen Gesamtversuchs.
(ii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nach Einbau des Filters noch mehr als
0.3 t Schadstoffe ausgestoßen werden.
4. An einer Straßengabelung teile sich die Straße von A in die Richtungen nach B und
nach C. Es wird angenommen, dass die Anzahl X der aus A kommenden Fahrzeuge
(in einem Intervall von 10 Minuten) Poisson(λ)-verteilt ist. Von diesen Fahrzeugen fahren dann Y nach B und Z = X − Y in Richtung C. Falls X = n beobachtet wurde, ist
Y B(n, p)-verteilt.
(i) Geben sie die Z-Dichte der gemeinsamen Verteilung von X und Y an.
(ii) Bestimmen Sie daraus die gemeinsame Z-Dichte von Y und Z und anschließend
die Z-Dichten von Y und Z.
(iii) Untersuchen Sie, ob Y und Z stochastisch unabhängig sind.
5. Aus N Bauteilen seien K defekt. Zu Prüfungszwecken werden nacheinander n
Bauteile entnommen (ohne Zurücklegen) und sei (X1 , . . . Xn ) das entsprechende Ziehungsprotokoll (Xi = 1 oder 0, je nachdem das i-te Bauteil defekt oder intakt ist). Y sei
die Gesamtzahl der gezogenen defekten Bauteile.
(i) Zeigen Sie: Kov(Xi , Xj ) = −VarX1 /(N − 1) und beweisen Sie damit
VarY = n
KN −KN −n
.
N N N −1
Hinweis: Es ist P (Xi ) = P (X1 ) und P (Xi ,Xj ) = P (X1 ,X2 ) , 1 ≤ i, j ≤ n.
(ii) Mithilfe von (i) Berechnen Sie E(1 + Y + Y 2 ).