¨Ubungen zur Vorlesung Logik für Informatiker

Institut für Informatik
der Universität München
Prof. M. Hofmann
Dipl.-Inf. Hermann Gruber
SS 2008
04.06.2008
Übungen zur Vorlesung
Logik für Informatiker
Blatt 7
Aufgabe H-23: Sei L eine Sprache, Γ und ∆ Formelmengen, φ eine prädikatenlogische Formel, t ein geschlossener Term über L und c eine “frische”
Konstante, die weder in L, noch in Γ, ∆, oder ϕ vorkommt.
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass sich durch Anwendung der Regel ∀-R auf
allgemeingültige Prämissen nur allgemeingültige Sequenzen schliessen lassen.
Beweisen Sie für die Regeln ∃-L und ∃-R in ähnlicher Weise die Korrektheit im
folgenden Sinne:
a) Wenn die Sequenz Γ, φ[c/x] =⇒L∪{c} ∆ allgemeingültig ist, so ist auch
Γ, ∃x.φ =⇒L ∆ allgemeingültig.
b) Wenn die Sequenz Γ =⇒L ∆, φ[t/x] allgemeingültig ist, so ist auch Γ =⇒L
∆, ∃x.φ allgemeingültig.
Lösung H-23: Da die Korrektheit der Regeln von enormer Bedeutung ist
(wenn man mit dem Sequenzenkalkül ungültige Schlüsse ziehen könnte, wäre ja
der ganze Kalkül nutzlos!), hier nochmal ein ausführlicher Beweis.
Zur Korrektheit der ∃-L Regel:
Sei S1 die Sequenz
Γ, φ[c/x] =⇒L∪{c} ∆
und S2 die Sequenz
Γ, ∃x.φ =⇒L ∆.
Nehmen wir an, S1 ist allgemeingültig. Wir müssen daraus folgern, dass S2 auch
allgemeingültig ist, d.h. dass jede Struktur A für L die Sequenz S2 erfüllt.
V
Wir unterscheiden zwei Fälle: Falls A kein Modell für Γ ∧ ∃x.φ ist, so gilt
offenbar A |= S2 (warum?).
Im anderen Fall müssen wir zeigen, dass A auch ein Modell für ∆ ist. Die Idee
ist wie folgt: Wir erweitern
A geeignet zu einer Struktur B für L ∪ {c}, so
V
dass B ein Modell für Γ ∧ φ[c/x] ist; d.h. B interpretieren die Konstante c
derart, dass B die Formel φ[c/x] wahr macht. Da wir B so konstruieren, dass
B “im wesentlichen” dieselbe Struktur ist wie A, und damit auch ein Modell
V
W
für Γ ist, schliessen wir daraus, dass B ein Modell für ∆ ist. S1 ist ja eine
Tautologie. Da B und A im wesentlichen gleich sind, wissen wir dann, dass auch
A ein Modell für ∆ ist.
Jetzt die Details: Da wir eine Aussage über die Semantik machen wollen, müssen
wir die Definition der Semantik einsetzen. Da A ein Modell für ∃x.φ ist, gibt es
einen Wert ν in der Trägermenge |A|, so dass J φ KA [x 7→ ν] = tt. Das wissen
wir ja aus der Definition der Semantik des Existenzquantors. Diesen Wert nehmen wir her als Interpretation der Konstante c in der Struktur B: Wir setzen
die Interpretation für c als cB = ν, ansonsten ist B identisch1 mit A. Dann ist
B ein Modell für φ[c/x]. Da das Symbol c in Γ nicht vorkommt, interpretieren
die Strukturen
AV
und B diese Formelmenge genau in gleicher Weise, insbesonV
dereVJ Γ KA = J Γ KB . Vorher haben wir vorausgesetzt, dass A ein Modell
für
W Γ ist, daher auch B. Da S1 ein allgemeingültiger Schluss ist, muss auch
J ∆ KB = tt gelten. Da das Symbol c auch in ∆ nicht vorkommt, wird auch
diese Formelmenge vonWbeiden Strukturen gleich interpretiert, insbesondere gilt
wie gewünscht auch J ∆ KA = tt.
Zur Korrektheit der ∃-R Regel: Sei S1 die Sequenz
Γ =⇒L ∆, φ[t/x]
und S2 die Sequenz
Γ =⇒L ∆, ∃x.φ.
Wieder setzen wir voraus, dass S1 allgemeingültig ist. Sei A eine beliebige Struktur für L. Wieder müssen wir folgern, dass A in der Tat ein Modell für S2 ist.
V
Wieder unterscheiden wir zwei Fälle. Falls A kein Modell für Γ ist, sind wir
wieder fertig, denn “aus falschem darf man beliebiges
schliessen”. Andernfalls
W
bleibt zu zeigen,
W dass A auch ein Modell für ∆ ∨ ∃x.φ ist. Falls A bereits
ein Modell für ∆ ist, dann auch für die Disjunktion mit ∃x.φ, und wir sind
wieder fertig. Im übrigen Fall müssen wir zeigen, dass A Modell für die Formel
∃x.φ ist.
Da S
V1 allgemeingültig ist, ist
W insbesondere A ein Modell für S1 . Da A ein Modell
für Γ ist, aber nicht für ∆, muss gelten J φ[t/x] KA = tt. Intuitiv gibt uns
die Interpretation des Terms t durch A den benötigten Zeugen in A, der die
Aussage ∃x.φ rechtfertigt.
Details: Sei ν ∈ |A| die Interpretation des Terms t durch A, also ν = J t KA .
Dann gilt das sogenannte Substitutionslemma
J φ[t/x] KA = J φ KA η
mit η : {x} → |A|, x 7→ ν.
(ohne Beweis). Die rechte Seite der obigen Gleichung schreibt man auch kurz
als J φ KA [x 7→ ν]. Laut Definition der Semantik gilt J ∃x.φ KA = tt, falls es einen
Wert µ in der Trägermenge gibt, so dass J φ KA [x 7→ µ]. Der Wert ν leistet das
gewünschte, also ist A ein Modell für ∃x.φ.
1
Insbesondere hat B dieselbe Trägermenge, es wird nur eine Interpretation für c hinzugefügt.