und Sprachverarbeitung (CIS) ¨Ubungen zur Vorlesung

Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS)
Übungen zur Vorlesung ,,Mathematische Grundlagen der
Computerlinguistik“
SS 2013
Florian Fink
Blatt 1, Abgabe Di. 29.4.2014.
Aufgabe 1.1 Nachfolgend stehen α und β für beliebige Aussagen. Beweisen Sie mit Hilfe
der Methode der Wahrheitswerttabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien darstellen:
1. (α ⇒ β) ⇔ (¬β ⇒ ¬α)
2. (α ∨ (α ∧ β)) ⇔ α
Aufgabe 1.2 Für Aussagen α und β sei α + β eine Abkürzung für
(α ∧ ¬β) ∨ (β ∧ ¬α).
Was ist die Bedeutung des Junktors ,,+“? Zeigen Sie für zumindest eine der nachfolgenden
Aussagen (α, β und γ stellen jeweils beliebige Aussagen dar), dass es sich um aussagenlogische Tautologien handelt:
(1)
(α + β) ⇔ (β + α)
(2)
((α + β) + γ) ⇔ (α + (β + γ))
(3)
(α ∧ (β + γ)) ⇔ ((α ∧ β) + (α ∧ γ))
(4)
(α + α) ⇔ (β ∧ ¬β)
(5)
α + ¬α
(6)
(α + (α + β)) ⇔ β
Aufgabe 1.3 Nach einem Lemma der Vorlesung ist die symmetrische Differenz endlich
vieler Mengen unabhängig von der Reihenfolge dieser Mengen. Man könnte vorschnell annehmen, daß in der n-fachen symmetrischen Differenz genau diejenigen Elemente liegen,
die in genau einer der beteiligten Mengen liegen. Überprüfen Sie dies: in jedem der drei
folgenden Venn-Diagrammen sind verschiedene Mengen A1 , . . . , An dargestellt. Geben Sie
jeweils eine geometrische Interpretation der symmetrischen Differenz A1 ./ · · · ./ An aller
überlagerter Mengen, indem Sie genau diejenigen Bereiche grau färben, die zur symmetrischen Differenz dazugehören.
Was zeigen die Beobachtungen über den in der vorausgegangenen Aufgabe 1.2 definierten
Junktor ,,+“?
Aufgabe 1.4 Geben Sie die folgenden mathematisch formulierten Aussagen in natürlicher
Sprache wieder - welche Aussagen sind wahr?
1. ∀x ∈ IN ∃y ∈ IN (x = 2y ∨ x = 2y + 1)
2. ∀x ∈ IN ∃y ∈ IN ∀z ∈ IN (x < z ⇔ y ≤ z)
3. ∀x ∈ IN ∃y ∈ IN ((x < y) ∧ ¬∃z ∈ IN (x < z < y))
4. ∀x ∈ IN ∀y ∈ IN (x < y ∨ y < x)
Aufgabe 1.5 Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Zahlen
sollen hierbei nicht als Mengen aufgefasst werden.
(a)
(c)
(e)
(g)
(i)
(k)
{1, 8, 9} \ {8} ⊆ {9}
S
4 6∈ {{5}, {1}, {4}, {3}}
{1, ∅} ⊂ IN ∪ {{}}
{{∅}} ⊂ {∅, {{∅}}}
IN = IN ∪ {0, 1, 2}
5 ∈ {5, 1, 3} \ {5}
(b)
(d)
(f)
(h)
(j)
(l)
{{1}} ∈ {5, {1}, 3}
{{2, 4, 6}} ⊂ {IN}
{∅} ⊆ {∅, {∅}}
IN ∈ {IN}
IN ⊂ IN ∪ {IN}
{5, 3} ∈ {5, 1, 3} \ {1}.
Aufgabe 1.6 Es sei a = b (und c beliebig). Wie kann man die Menge
{{{a, c}, {{a, c}, {b, c}}}, {{{b, a, c}}, {{b, c}, {a, c}}, {b, c}}}
möglichst einfach darstellen?
Aufgabe 1.7 Geben Sie alle Mengen B an, so dass {1} ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} \ {7, 8, 9}.
Aufgabe 1.8 Gegeben seien folgenden Mengenpaare:
{1, 2, 5}
{x ∈ IN | ∃y ∈ IN : x = 2y + 1}
{0, 2, 3, 4}
{∅, {∅}}
{{∅, {∅}}}
und {2, 3, 4},
und {x ∈ IN | ∃y ∈ IN : x = 2y},
und {5, 0, 1, 7},
und {∅},
und {{∅}}.
Berechnen Sie jeweils Vereinigung, Durchschnitt, symmetrische Differenz und (beide) Differenzen.