Gymnasium - KGS Stuhr
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Schulinterner Arbeitsplan für das Gymnasium im Fach Mathematik „Elemente der Mathematik“ an der KGS Stuhr-Brinkum Inhalt Band 5 1. Körper und Figuren 1.1 Körper – Ecken, Kanten, Flächen 1.2 Vielecke 1.3 Koordinatensystem 1.4 Geraden – Beziehungen zwischen Geraden 1.4.1 Geraden 1.4.2 Zueinander orthogonale Geraden – Abstand 1.4.3 Zueinander parallele Geraden 1.4.4 Vermischte Übungen 1.5 Achsensymmetrie Zum Selbstlernen 1.6 Besondere Vierecke 1.7 Netz und Schrägbild von Quader und Würfel 1.7.1 Herstellen von Quader und Würfel aus einem Netz 1.7.2 Schrägbild von Quader und Würfel 1.7.3 Vermischte Übungen 1.8 Aufgaben zur Vertiefung Im Blickpunkt: Symmetrie bei Körpern Bist du fit? 2. Natürliche Zahlen 2.1 Große Zahlen – Stellentafel 2.2. Zweiersystem 2.3 Römische Zahlzeichen Zum Selbstlernen 2.4 Anordnung der natürlichen Zahlen – Zahlenstrahl 2.4.1 Vergleich von natürlichen Zahlen 2.4.2 Zahlenstrahl – Skalen 2.5 Runden von Zahlen – Bilddiagramme Im Blickpunkt: Wie man große Zahlen veranschaulichen kann 2.6 Addieren und Subtrahieren – Fachbegriffe 2.7 Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion 2.8 Terme – Rechengesetze der Addition 2.8.1 Terme – Klammern 2.8.2 Vorteilhaftes Rechnen – Rechengesetze 2.9 Schriftliches Addieren und Subtrahieren Zum Selbstlernen 2.10 Vermischte Übungen zum Addieren und Subtrahieren Im Blickpunkt: Magie und Mathe – Zauberquadrate Bist du fit? 2.11 Multiplizieren und Dividieren – Fachbegriffe 2.12 Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division 2.13 Terme – Rechengesetze 2.13.1 Regeln für das Berechnen von Termen 2.13.2 Vorteilhaftes Rechnen – Kommutativund Assoziativgesetz 2.13.3 Vorteilhaftes Rechnen – Distributivgesetze 2.14 Schriftliches Multiplizieren und Dividieren 2.14.1 Schriftliches Multiplizieren 2.14.2 Schriftliches Dividieren 2.15 Potenzieren 2.16 Primzahlen Im Blickpunkt: Wie man Primzahlen findet 2.17 Vermischte Übungen zu allen Rechenarten 2.18 Aufgaben zur Vertiefung Im Blickpunkt: So rechnete man vor vielen tausend Jahren Bist du fit? 3. Kreis – Winke 3.1 Kreise Zum Selbstlernen 3.2 Halbgerade – Winkel 3.3 Vergleich von Winkeln – Winkelarten 3.4 Messen von Winkeln 3.5 Zeichnen von Winkeln 3.6 Winkel zur Orientierung – Koordinatensystem Im Blickpunkt: Winkel in der Geographie 3.7 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 4. Bruchzahlen 4.1 Einführung der Brüche 4.1.1 Anteile an einem Ganzen – Stammbrüche 4.1.2 Anteile an einem Ganzen – Vielfache von Stammbrüchen – Echte Brüche 4.1.3 Unechte Brüche – Gemischte Schreibweise 4.2 Bruch als Quotient natürlicher Zahlen Zum Selbstlernen 4.3 Anteile bei beliebigen Größen – Drei Grundaufgaben 4.3.1 Bestimmen eines Teils von einer Größe 4.3.2 Bestimmen des Ganzen 4.3.3 Bestimmen des Anteils 4.3.4 Vermischte Übungen Seite 2 4.4 Brüche mit gleichem Wert – Erweitern und Kürzen 4.4.1 Brüche mit gleichem Wert – Erweitern eines Bruches 4.4.2 Kürzen eins Bruches 4.5 Zahlenstrahl – Bruchzahlen 4.6 Ordnen von Bruchzahlen nach der Größe 4.7 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 5. Flächen- und Rauminhalte 5.1 Flächenvergleich – Messen von Flächeninhalten 5.1.1 Größenvergleich von Flächen – Begriff des Flächeninhalts 5.1.2 Angabe eines Flächeninhalts durch Maßzahl und Maßeinheit – 2 Die Maßeinheit 1 cm 5.1.3 Weitere Maßeinheiten für Flächeninhalte – Zusammenhänge 5.1.4 Umwandeln in andere Maßeinheiten 5.2 Formeln für Flächeninhalt und Umfang eines Rechtecks 5.3 Rechnen mit Flächeninhalten Bist du fit? Im Blickpunkt: Flächeninhalt nicht rechteckiger Figuren 5.4 Volumenvergleich von Körpern – Messen von Volumina 5.4.1 Größenvergleich von Körpern – Begriff des Volumens 5.4.2 Angabe eines Volumens durch Maßzahl und Maßeinheit – Volumeneinheiten 5.4.3 Zusammenhang zwischen den Volumeneinheiten 5.5 Rechnen mit Volumina Zum Selbstlernen 5.6 Formeln für Volumen und Größe der Oberfläche eines Quaders 5.7 Vermischte Übungen 5.8 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 6. Dezimalbrüche 6.1 Dezimale Schreibweise für Bruchzahlen 6.1.1 Schreibweise und Aufbau von Dezimalbrüchen 6.1.2 Umformen durch Erweitern und Kürzen 6.2 Vergleichen von Dezimalbrüchen 6.3 Runden von Dezimalbrüchen Zum Selbstlernen 6.4 Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen 6.5 Multiplizieren und Dividieren von Dezimalbrüchen 6.5.1 Multiplizieren und Dividieren mit Stufenzahlen 6.5.2 Multiplizieren von Dezimalbrüchen 6.5.3 Dividieren eines Dezimalbruchs durch eine natürliche Zahl 6.5.4 Dividieren durch einen Dezimalbruch 6.6 Vermischte Übungen zu allen Rechenarten 6.7 Aufgaben zur Vertiefung Im Blickpunkt: Planen einer Klassenfahrt Bist du fit? 7. Brüche: Anteile und Verhältnisse 7.1 Angabe von Anteilen in Prozent 7.1.1 Prozent als Hundertstelbruch 7.1.2 Rechnen mit Anteilen in Prozent 7.2 Mischungs- und Teilverhältnisse 7.3 Maßstab als Verhältnis Zum Selbstlernen 7.4 Abbrechende und periodische Dezimalbrüche 7.4.1 Umformen von Brüchen in Dezimalbrüche 7.4.2 Umformen von Dezimalbrüchen in Brüche 7.5 Aufgaben zur Vertiefung Im Blickpunkt: Gangschaltung beim Fahrrad Bist du fit? 8. Daten 8.1 Darstellung von Daten in Säulendiagrammen 8.2 Absolute und relative Häufigkeiten – Kreisdiagramme Im Blickpunkt: Diagramme mit dem Computer 8.3 Mittelwerte 8.3.1 Das arithmetische Mittel 8.3.2 Zentralwert 8.3.3 Vermischte Übungen 8.4 Boxplots Zum Selbstlernen 8.5 Bildliche Darstellung von Daten und ihre Wirkungen auf einen Betrachter 8.6 Durchführen einer statistischen Erhebung 8.7 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Projekte So viel Mathe steckt in Verpackungen Die geometrischen Grundformen – Geometrie in der Umwelt Nimm dir Zeit für die Zeit Seite 3 Inhalt Band 6 1. Rechnen mit Bruchzahlen 1.1 Addieren und Subtrahieren von Bruchzahlen 1.2 Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition Zum Selbstlernen 1.3 Vervielfachen und Teilen von Bruchzahlen 1.3.1 Vervielfachen von Bruchzahlen 1.3.2 Teilen von Bruchzahlen 1.4 Multiplizieren von Bruchzahlen 1.5 Dividieren von Bruchzahlen 1.5.1 Rückgängigmachen einer Multiplikation – Dividieren 1.5.2 Dividieren zweier Größen 1.6 Vermischte Übungen zu allen Rechenarten 1.7 Berechnen von Termen 1.8 Rechengesetze für Multiplikation und Division 1.8.1 Kommutativ- und Assoziativgesetz der Multiplikation – geschicktes Vertauschen und Verbinden der Bruchzahlen 1.8.2 Distributivgesetz – geschicktes Multiplizieren einer Summe bzw. Differenz 1.9 Vergleich der Zahlbereiche IN und IB Zum Selbstlernen Im Blickpunkt: Berechnen von Steuern und Abgaben mit Brüchen 1.10 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 2. Zuordnungen – Dreisatz 2.1 Tabelle und Graph einer Zuordnung 2.1.1 Zuordnungstabellen 2.1.2 Darstellen einer Zuordnung im Koordinatensystem 2.2 Zueinander proportionale Größenproportionale Zuordnungen 2.3 Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen Im Blickpunkt: Vergleichen von Preisen 2.4 Zueinander antiproportionale Größen – antiproportionale Zuordnungen 2.5 Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen Zum Selbstlernen 2.6 Vermischte Übungen zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen 2.7 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit ? 3. Prozent- und Zinsrechnung 3.1 Absoluter und relativer Vergleich – Prozentbegriff 3.2 Grundaufgaben der Prozentrechnung 3.2.1 Berechnen des Prozentsatzes – Begriffe der Prozentrechnung 3.2.2 Berechnen des Prozentwertes 3.2.3 Berechnen des Grundwertes 3.2.4 Vermischte Übungen zu den Grundaufgaben Im Blickpunkt: Promille – nicht nur im Straßenverkehr 3.3 Änderung des Grundwertes 3.3.1 Erhöhung des Grundwertes – Prozentsätze über 100 % 3.3.2 Verminderung des Grundwertes 3.4 Vermischte Übungen zur Prozentrechnung Im Blickpunkt: Prozent oder Prozentpunkte – was ist hier gemeint? 3.5 Zinsen für ein Jahr Zum Selbstlernen 3.6 Zinsen für beliebige Zeitspannen 3.6.1 Zinsen für Bruchteile eines Jahres 3.6.2 Zinsen für mehrere Jahre 3.7 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 4. Symmetrie – Figuren und Abbildungen 4.1 Parkettieren Im Blickpunkt : Dynamische GeometrieSysteme (DGS) 4.2 Achsenspiegelungen und ihre Eigenschaften 4.2.1 Spiegeln an einer Geraden – Achsensymmetrie 4.2.2 Eigenschaften der Achsenspiegelung 4.2.3 Problemlösen mithilfe einer Achsenspiegelung 4.3 Punktspiegelungen und ihre Eigenschaften – Punktsymmetrie 4.4 Parallelverschiebungen und ihre Eigenschaften 4.5 Drehungen und ihre Eigenschaften – Drehsymmetrie Im Blickpunkt: Symmetrie als Gestaltungsprinzip Bist du fit? 4.6 Winkel an Geradenkreuzungen 4.6.1 Winkel an einer Geradenkreuzung 4.6.2 Winkel an geschnittenen Parallelen 4.7 Winkel in Vielecken 4.7.1 Winkelsumme in Dreiecken, Vierecken und Vielecken 4.7.2 Winkel in besonderen Dreiecken Seite 4 4.8 Symmetrische Vierecke 4.8.1 Achsensymmetrische Vierecke 4.8.2 Punktsymmetrische Vierecke 4.9 Übersicht über die Vierecke Zum Selbstlernen 4.10 Aufgaben zur Vertiefung Im Blickpunkt: Herstellen von EscherBildern Bist du fit? 5. Zufall und Prognosen 5.1 Zufallsexperimente 5.2 Schätzen von Wahrscheinlichkeiten – Prognosen 5.3 Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 5.4 Laplace-Experimente 5.5 Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten durch Simulation Im Blickpunkt: Regenwahrscheinlichkeit Bist du fit? 6. 6.1 6.2 6.3 6.4 Rationale Zahlen Negative Zahlen – Rationale Zahlen Koordinatensystem Zum Selbstlernen Anordnung der rationalen Zahlen Beschreiben von Änderungen mit rationalen Zahlen 6.5 Addieren rationaler Zahlen – Rechengesetze 6.5.1 Einführung der Addition – Additionsregel 6.5.2 Rechengesetze für die Addition rationaler Zahlen 6.6 Subtrahieren rationaler Zahlen 6.6.1 Einführung der Subtraktion – Subtraktionsregel 6.6.2 Auflösen von Zahlklammern – Vereinfachen eines Terms 6.6.3 Vermischte Übungen zum Addieren und Subtrahieren Bist du fit? Im Blickpunkt : Ebbe und Flut an der Nordseeküste 6.7 Multiplizieren rationaler Zahlen 6.7.1 Der zweite Faktor ist positiv oder null 6.7.2 Der zweite Faktor ist negativ 6.8 6.9 Dividieren rationaler Zahlen Vermischte Übungen zu den Grundrechenarten 6.10 Rechengesetze – Verschiedene Rechenwege 6.10.1 Rechengesetze der Multiplikation und Division 6.10.2 Distributivgesetze 6.11 Berechnen von Termen mit rationalen Zahlen 6.12 Vergleich der Zahlbereiche IN, IB, Q und Z 6.13 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Projekte Wir vermessen die Schülerinnen und Schüler unserer Schule Spiegeln, Drehen und Verschieben Spiele mit Bruchzahlen Teste dich – Vermischte Übungen Seite 5 Prozessbezogene Kompetenzen Mathematisch argumentieren Fragen stellen und begründete Vermutungen in eigener Sprache äußern Informationen für mathematische Argumentationen bewerten - - - - Einfache mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln, Verfahren und Zusammenhänge mit eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen erläutern Intuitiv verschiedene Arten des Begründen nutzen: Beschreiben von Beobachtungen, Plausibilitätsüberlegungen, Beispiele oder Gegenbeispiele angeben Mit eigenen Worten Einzelschritte in mehrschrittigen Argumentationsketten begründen, diese identifizieren und grafisch darstellen Begründungen finden durch Ausrechnen bzw. Konstruieren Lösungsansätze beschreiben, begründen und beurteilen Verschiedene Lösungswege vergleichen sowie Fehler finden, erklären und korrigieren Realisierung in Elemente der Mathematik 5 Realisierung in Elemente der Mathematik 6 Nicht nur bei der Erarbeitung der Lerninhalte, sondern auch in Übungsaufgaben werden Schülerinnen und Schüler aufgefordert, Vermutungen aufzustellen. Bei deren Überprüfung werden auch Hilfsmittel wie GTR, DGS und zum Teil CAS eingesetzt. Die in Klasse 7 erworbenen Fähigkeiten werden auf erhöhtem Niveau konsequent weiter geschult. Bei offenen Übungsaufgaben werden die Schülerinnen und Schüler dazu angehalten, nach fehlenden Informationen zu recherchieren und diese kritisch bei der Problemlösung einzusetzen. In Übungsaufgaben werden Schülerinnen und Das Vorgehen in Klasse 8 entspricht prinzipiell dem Schüler aufgefordert, ihr eigenes Vorgehen zu in Klasse 7, die behandelten Themen bedingen eine beschreiben, Zusammenfassungen zu Progression in der Anforderungen. behandelten Themen zu formulieren. Mehrschrittige Argumentationen und komplexere Begründungen z. B. mithilfe von Hilfslinien und erfolgen in Klasse 7 in allen Kapiteln, ein besonderer Schwerpunkt liegt beim Beweisen mithilfe der Kongruenzsätze. In jedem Kapitel gibt es Übungsaufgaben, in denen vorgegebene Lösungsansätze und – wege erläutert, verglichen und bewertet werden sollen. In jedem Kapitel gibt es Übungsaufgaben, in denen vorgegebene Lösungsansätze und –wege erläutert, verglichen und bewertet werden sollen. Seite 6 Prozessbezogene Kompetenzen Probleme mathematisch lösen Einfache vorgegebnen inner- und außermathematische Problemstellungen erfassen, in eigenen Worten wiedergeben, mathematische Fragen stellen und überflüssige von relevanten Größen unterscheiden - Lösungswege beschreiben und begründen Näherungswerte für erwartete Ergebnisse durch Schätzen und Überschlagen ermitteln sowie Plausibilitätsüberlegungen durchführen. - Heuristische Strategien anwenden: Untersuchen von Beispielen, systematisches Probieren, Experimentieren, Zurückführen auf Bekanntes, Rückwärtsrechnen, Permanenzprinzip, Zerlegen und Zusammensetzen von Figuren, Erkennen von Invarianzen und Symmetrien - Darstellungsformen wie Tabellen, Skizzen oder Graphen zur Problemlösung nutzen Elementare mathematische Regeln und Verfahren wie Messen, Rechnen und einfaches logisches Schlussfolgern zur Lösung von Problemen anwenden - - - Ergebnisse in Bezug auf die ursprüngliche Problemstellung deuten sowie durch Plausbilitätsüberlegungen, Überschlagsrechnungen oder Skizzen beurteilen Fehlern erkennen, beschreiben und korrigieren Realisierung in Elemente der Mathematik 5 Realisierung in Elemente der Mathematik 6 Bei offenen Übungsaufgaben werden die Die Schülerinnen wenden ihre in Klasse 7 Schülerinnen und Schüler dazu angehalten, erworbenen Fähigkeiten bei neuen Sachgebieten in nach fehlenden Informationen zu recherchieren zunehmend komplexeren Situationen an. und diese kritisch bei der Problemlösung einzusetzen. In jedem Kapitel gibt es Übungsaufgaben, in denen vorgegebene Lösungsansätze und – wege erläutert, verglichen und bewertet werden sollen. Insbesondere bei realitätsbezogenen Aufgaben werden die Schülerinnen und Schüler dazu angehalten, vor der genauen Berechnung das Ergebnis abzuschätzen und Überschläge auch zur Kontrolle des Ergebnisses zu benutzen. Plausibilitätsbetrachtungen haben neben Begründungen einen eigenständigen Wert. Heuristische Strategien werden in allen Themengebieten zur Problemlösung verwendet und abschließend deutlich herausgestellt. In jedem Kapitel gibt es Übungsaufgaben, in denen vorgegebene Lösungsansätze und –wege erläutert, verglichen und bewertet werden sollen. Plausibilitätsbetrachtungen haben neben Begründungen einen eigenständigen Wert. . Sachsituationen werden durchgängig in verschiedenen Repräsentationsformen dargestellt. Schülerinnen und Schüler werden konsequent darin geschult, alle Lösungen eines Problems in Betracht zu ziehen und auf ihre Bedeutung in der Realität hin zu beurteilen. Viele Übungsaufgaben thematisieren typische Schülerfehler: Hier sollen nicht nur fehlerhafte Lösungen herausgefunden werden, sondern auch die Fehlerquellen analysiert werden. Ebenso spielt die Bewertung unterschiedlich geschickter Vorgehensweisen eine große Rolle. Sachsituationen werden durchgängig in verschiedenen Repräsentationsformen dargestellt. Schülerinnen und Schüler werden konsequent darin geschult, alle Lösungen eines Problems in Betracht zu ziehen und auf ihre Bedeutung in der Realität hin zu beurteilen. Einfaches logisches Schlussfolgern erfolgt z.B. auch bei den Zuordnungen Viele Übungsaufgaben thematisieren typische Schülerfehler: Hier sollen nicht nur fehlerhafte Lösungen herausgefunden werden, sondern auch die Fehlerquellen analysiert werden. Heuristische Strategien werden in allen Themengebieten zur Problemlösung verwendet und abschließend deutlich herausgestellt. Seite 7 Prozessbezogene Kompetenzen Mathematisch modellieren Modellannahmen in Sachsituationen finden und beschreiben Direkt erkennbare Modelle zur Beschreibung überschaubarer Realsituationen nutzen Einem mathematischen Modell eine passende Realsituation zuordnen Realisierung in Elemente der Mathematik 5 Das Modellieren wird sowohl bei geometrischen als auch numerischen Problemen deutlich herausgestellt. Zielumkehraufgaben zum Finden von Realsituationen zu vorgegebenen Termen, Graphen und Figuren schulen flexible Vorgehensweisen. Geometrische Objekte, Diagramme, Tabellen, Terme, In Klasse 5 werden im wesentlichen relative Häufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten zur geometrische und numerische Modelle Ermittlung von Lösungen im mathematischen Modell behandelt. verwenden Die konsequente Rückübertragung der Im Modell gewonnene Ergebnisse im Hinblick auf die Ergebnisse im mathematischen Modell auf die Realsituation überprüfen ursprüngliche Problemsituation wird durchgängig eingefordert. Hieraus ergeben sich auch Anregungen für ggf. nötige Modifizierungen der Modellannahmen. Mathematische Darstellungen verwenden Unterschiedliche Darstellungsformen für rationale Zahlen werden nicht nur numerisch sondern Zahlen nutzen auch in Diagrammen dargestellt. Einfache, auch nicht durch Terme zu beschreibende Zuordnungen durch Tabellen oder Graphen . darstellen, sowie solche Darstellungen interpretieren und nutzen Schrägbilder von Quadern zeichnen sowie Netze Dies wird eingeführt im Kapitel Körper und entwerfen und Modelle herstellen Figuren. - Säulen-, Kreis- und Streifendiagramme anfertigen, interpretieren und nutzen - Darstellungen kritisch analysieren sowie einzelne Darstellungsformen im Kontext bewerten Beziehungen zwischen unterschiedlichen Darstellungsformen erkennen Unterschiedliche Darstellungsformen situationsangemessen auswählen und zwischen ihnen wechseln - Dies erfolgt in den Kapiteln über Natürliche Zahlen und Dezimalbrüche, insbesondere aber im Kapitel über statistische Daten. Bei statistischen Daten ist eine kritische Bewertung von Darstellung im Zusammenhang mit möglicherweise daraus resultierenden Fehleinschätzungen ein wesentlicher Unterrichtsinhalt. Realisierung in Elemente der Mathematik 6 Die zum Modellieren in Klasse 5 erworbenen Kompetenzen werden in Klasse 6 bei komplexeren geometrischen, numerischen und funktionalen Fragestellungen weiter geschult. In Klasse 6 werden die in Klasse 5 erworbenen Fähigkeiten vertieft, insbesondere bei der Behandlung der Zuordnungen. Die Kompetenzen aus Klasse 5 werden verstärkt und wesentlich erweitert bei der Behandlung der Zuordnungen. Die Kenntnisse aus Klasse 5 werden wachgehalten. Durchgängig werden die in Klasse 5 erworbenen Kompetenzen eingesetzt. Der Wechsel zwischen unterschiedlichen Darstellungsformen verschiedener Objekte erfolgt in zunehmend komplexeren Sachverhalten. Seite 8 Prozessbezogene Kompetenzen Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Einfache mathematische Situationen durch Terme darstellen sowie Terme und Variablen in gegebenen Situationen interpretieren Realisierung in Elemente der Mathematik 5 Realisierung in Elemente der Mathematik 6 In Klasse 5 werden in Sachsituationen Zahlterme mit natürlichen Zahlen und Brüchen in dezimaler Schreibweise aufgestellt. Terme und Variable werden bei Rechengesetzen und Flächeninhalts- und Volumen-Formeln behandelt. Die in Klasse 5 erworbenen Fähigkeiten werden ausgedehnt auf die Beschreibung mit Brüchen und rationalen Zahlen - Operatormodell und Dreisatzschema als methodisches Hilfsmittel nutzen - Diagramme erstellen und aus ihnen Werte ablesen Dies erfolgt an Piktogrammen, Säulen- und Kreisdiagrammen sowie Boxplots. - Die Werte einfacher Terme berechnen - Symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt Die Berechnung von Zahltermen wird auf Brüche und rationale Zahlen ausgeweitet. Der Wechsel von symbolischer sowie formaler mit natürlicher Sprache erfolgt durchgängig in allen Sachgebieten; dabei wird bewusst die Verwendung natürlicher Sprache in zu mathematisierenden Problemsituationen betont. - Systematisches Probieren und die Umkehrung der Grundrechenarten zum Lösen einfacher Gleichungen nutzen - Überschlagsrechnungen und Einsetzen zur Überprüfung von Ergebnissen nutzen Zahlterme werden bei natürlichen Zahlen und Brüchen in dezimaler Schreibweise berechnet. Der Wechsel von symbolischer sowie formaler mit natürlicher Sprache erfolgt durchgängig in allen Sachgebieten; dabei wird bewusst die Verwendung natürlicher Sprache in zu mathematisierenden Problemsituationen betont. Systematisches Probieren ist eine der vermittelten Strategien, Zielumkehraufgaben werden zu jeder Rechenoperation behandelt. . Überschläge und Proben werden durchgängig eingefordert. - Lineal, Geodreieck und Zirkel zur Konstruktion und Messung geometrischer Figuren nutzen Diese Hilfsmittel werden durchgängig in der Geometrie, aber auch beim Zeichnen von Diagrammen eingesetzt. Diese Hilfsmittel werden durchgängig in der Geometrie, aber auch beim Zeichnen von Diagrammen sowie Graphen von Zuordnungen eingesetzt. - Schulbücher, und im Unterricht erstellte Zusammenfassungen zum Nachschlagen nutzen Im Buch sind an verschiedenen Stellen Ausschnitte aus Nachschlagewerken und anderen Veröffentlichungen wie auch dem Internet angegeben. Darüber hinaus werden die Schülerinnen und Schüler auch zur selbstständigen Nutzung dieser Medien bei der eigenständigen Recherche angehalten. Im Buch sind an verschiedenen Stellen Ausschnitte aus Nachschlagewerken und anderen Veröffentlichungen wie auch dem Internet angegeben. Darüber hinaus werden die Schülerinnen und Schüler auch zur selbstständigen Nutzung dieser Medien bei der eigenständigen Recherche angehalten. Dies erfolgt durchgängig bei den Zuordnungen. Dies erfolgt bei Zuordnungen. Systematisches Probieren ist eine der vermittelten Strategien, Zielumkehraufgaben werden zu jeder Rechenoperation behandelt. . Überschläge und Proben werden durchgängig eingefordert. Seite 9 Prozessbezogene Kompetenzen Kommunizieren Eigene Arbeit, Lösungswege und aus dem Unterricht erwachsene Merksätze und Ergebnisse unter Verwendung geeigneter Medien dokumentieren Eigene Lernwege und aus dem Unterricht erwachsene Merksätze und Ergebnisse unter Verwendung geeigneter Medien dokumentieren Überlegungen anderen verständlich mitteilen, dabei auch die Fachsprache benutzen Ansätze und Ergebnisse in kurzen Beiträgen präsentieren – auch unter Verwendung geeigneter Medien Überlegungen von anderen zu mathematischen Inhalten verstehen, auf Richtigkeit überprüfen und darauf eingehen Realisierung in Elemente der Mathematik 5 Realisierung in Elemente der Mathematik 6 In vielen Übungsaufgaben werden Schüler aufgefordert, ihre Lösungwege zu erläutern und Ergebnisse in Form von Vorträgen oder Postern der Klasse mitzuteilen. . In vielen Übungsaufgaben werden Schüler dazu aufgefordert, ihre Lösungswege zu erläutern und Ergebnisse in Form von Vorträgen oder Postern der Klasse mitzuteilen. - Daten und Informationen aus einfachen Texten und mathematikhaltigen Darstellungen entnehmen, verstehen und wiedergeben Die Arbeit mit Texten, Tabellen und Diagrammen zu mathematikhaltigen Problemen erfolgt durchgängig. Die Arbeit mit Texten, Tabellen und Diagrammen zu mathematikhaltigen Problemen erfolgt durchgängig. - Kritik konstruktiv äußern sowie auf Fragen und Kritik sachlich und angemessen eingehen im Team Aufgaben und Problemstellungen bearbeiten Der angemessene Umgang mit Kritik ist im wesentlichen im Unterricht zu erreichen, hilfreich hierfür sind aber Aufgaben im Buch, die Stellungnahme zu nicht persönlich Betroffenen einfordern: Fehlersuche, Vergleich von Lösungswegen, .... Das Bearbeiten der Lernfelder sowie eine Vielzahl von Aufträgen in den Übungsaufgaben, die sich besonders für Partner- und Teamarbeit eignen, fördern die Teamfähigkeit der Schülerinnen und Schüler. Der angemessene Umgang mit Kritik ist im wesentlichen im Unterricht zu erreichen, hilfreich hierfür sind aber Aufgaben im Buch, die Stellungnahme zu nicht persönlich Betroffenen einfordern: Fehlersuche, Vergleich von Lösungswegen, .... Das Bearbeiten der Lernfelder sowie eine Vielzahl von Aufträgen in den Übungsaufgaben, die sich besonders für Partner- und Teamarbeit eignen, fördern die Teamfähigkeit der Schülerinnen und Schüler. - Seite 10 Inhaltsbezogene Kompetenzen Zahlen und Operationen ¾ Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterungen von natürlichen Zahlen zu ganzen und rationalen Zahlen an Beispielen begründen Realisierung in Elemente der Mathematik 5 Realisierung in Elemente der Mathematik 6 4.1 Einführung der Brüche 6.1 Dezimale Schreibweise für Bruchzahlen und IB 1.9 Vergleich der Zahlbereiche 6.1 Negative Zahlen – Rationale Zahlen 6.12 Vergleich der Zahlbereiche , IB, und 6.1 Negative Zahlen – Rationale Zahlen 6.3 Anordnung der rationalen Zahlen ¾ Rationale Zahlen auf verschiedene Weisen und situationsangemessen darstellen: Wortform, Stellentafel, Zifferndarstellung, Zahlensymbole, Zahlengerade 2.1 Große Zahlen – Stellentafel 2.4 Anordnung der natürlichen Zahlen – Zahlenstrahl 2.5 Runden von Zahlen – Bilddiagramme 4.1 Einführung der Brüche 4.5 Zahlenstrahl – Bruchzahlen 6.1 Dezimale Schreibweise für Bruchzahlen 6.2 Vergleichen von Dezimalbrüchen ¾ Rationale Zahlen ordnen und vergleichen ¾ Brüche als Anteile, Operatoren und Verhältnisse deuten 2.4 Anordnung der natürlichen Zahlen – 6.3 Anordnung der rationalen Zahlen Zahlenstrahl 4.6. Ordnen von Bruchzahlen nach der Größe 6.2 Vergleichen von Dezimalbrüchen 4.2 Bruch als Quotient natürlicher Zahlen 4.3 Anteile bei beliebigen Größen – Drei Grundaufgaben 7.1 Mischungs- und Teilungsverhältnisse ¾ Einfache Bruchteile an verschiedenen Objekten darstellen ¾ Grundprinzip des Kürzens und Erweiterns von 4.4 Brüche mit gleichem Wert – Erweitern und einfachen Brüchen als Vergröbern bzw. Verfeinern der Kürzen Einteilung nutzen ¾ Dezimalbrüche und Prozentangaben als Darstellungsformen für Brüche deuten und Umwandlungen durchführen 6.1 Dezimale Schreibweise für Bruchzahlen 7.1 Angabe von Anteilen in Prozent ¾ ¾ Prozentbegriff in Anwendungssituationen nutzen Mit rationalen Zahlen in alltagsrelevanten Zahlenräumen rechnen: schriftlich addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und mit einfachen natürlichen Exponenten potenzieren 7.1 Angabe von Anteilen in Prozent Natürliche Zahlen 2.6 Addieren und Subtrahieren – Fachbegriffe 2.9 Schriftliches Addieren und Subtrahieren 2.10 Vermischte Übungen zum Addieren und Subtrahieren 2.11 Multiplizieren und Dividieren – Fachbegriffe 2.14 Schriftliches Multiplizieren und Dividieren 2.15 Potenzieren 4.1 Einführung der Brüche 3. Prozent- und Zinsrechnung Brüche 1.1 Addieren und Subtrahieren von Bruchzahlen 1.3 Vervielfachen und Teilen von Bruchzahlen 1.4 Multiplizieren von Bruchzahlen 1.5 Dividieren von Bruchzahlen 1.6 Vermischte Übungen zu allen Rechenarten Rationale Zahlen 6.5 Addieren rationaler Zahlen – Rechengesetze 6.6 Subtrahieren rationaler Zahlen 6.7 Multiplizieren rationaler Zahlen Seite 11 2.17 Vermischte Übungen zu allen Rechenarten Bruchzahlen in dezimaler Schreibweise 6.4 Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen 6.5 Multiplizieren und Dividieren von Dezimalbrüchen 6.6 Vermischte Übungen zu allen Rechenarten 6.8 Dividieren rationaler Zahlen 6.9 Vermischte Übungen zu den Grundrechenarten Brüche 1.1 Addieren und Subtrahieren von Bruchzahlen 1.3 Vervielfachen und Teilen von Bruchzahlen 1.4 Multiplizieren von Bruchzahlen 1.5 Dividieren von Bruchzahlen Rationale Zahlen 6.5 Addieren rationaler Zahlen – Rechengesetze 6.6 Subtrahieren rationaler Zahlen 6.7 Multiplizieren rationaler Zahlen 6.8 Dividieren rationaler Zahlen ¾ Einfache Rechenaufgaben im Kopf lösen Natürliche Zahlen 2.6 Addieren und Subtrahieren – Fachbegriffe 2.7 Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion 2.11 Multiplizieren und Dividieren – Fachbegriffe 2.12 Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division Bruchzahlen in dezimaler Schreibweise 6.4 Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen 6.5 Multiplizieren und Dividieren von Dezimalbrüchen ¾ Runden und Überschlagsrechnungen in Sachzusammenhängen nutzen ¾ Sachverhalte durch Zahlterme beschreiben Natürliche Zahlen 2.14 Schriftliches Multiplizieren und Dividieren 2.17 Vermischte Übungen zu allen Rechenarten 5. Flächen und Rauminhalte Bruchzahlen in dezimaler Schreibweise 6.4 Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen 6.5 Multiplizieren und Dividieren von Dezimalbrüchen 6.6 Vermischte Übungen zu allen Rechenarten Natürliche Zahlen 2.8 Terme – Rechengesetze der Addition 2.13 Terme – Rechengesetze ¾ Zu Zahltermen geeignete Sachsituationen angeben Natürliche Zahlen 2.8 Terme – Rechengesetze der Addition 2.13 Terme – Rechengesetze Brüche 1.7 Berechnen von Termen Rationale Zahlen 6.11 Berechnen von Termen mit rationalen Zahlen Struktur von Zahltermen erkennen Natürliche Zahlen 2.8 Terme – Rechengesetze der Addition Brüche 1.7 Berechnen von Termen ¾ ¾ Brüche 1.6. Vermischte Übungen zu allen Rechenarten 2. Zuordnungen – Dreisatz 3. Prozent- und Zinsrechnung Rationale Zahlen 6.9. Vermischte Übungen zu den Grundrechenarten Brüche 1.7 Berechnen von Termen Rationale Zahlen 6.11 Berechnen von Termen mit rationalen Zahlen Seite 12 Rationale Zahlen 6.11 Berechnen von Termen mit rationalen Zahlen Brüche Variable zum Aufschreiben von Rechengesetzen oder Natürliche Zahlen 2.8.2 Vorteilhaftes Rechnen – Rechengesetze 1.2 Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition Formeln verwenden 2.13.2 Vorteilhaftes Rechnen – Kommutativ1.8 Rechengesetze für Multiplikation und Division Rationale Zahlen und Assoziativgesetz 2.13.3 Vorteilhaftes Rechnen – 6.3.2 Rechengesetze für die Addition rationaler Distributivgesetze Zahlen 5.2 Formeln für Flächeninhalt und Umfang 6.10 Rechengesetze – Verschiedene Rechenwege des Rechtecks 5.6 Formeln für Volumen und Oberfläche eines Quaders 2.13 Terme – Rechengesetze ¾ ¾ Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz in Sachzusammenhängen erläutern, an Beispielen begründen und zum vorteilhaften Rechnen nutzen Natürliche Zahlen 2.8 Terme – Rechengesetze der Addition 2.13 Terme – Rechengesetze 2.17 Vermischte Übungen zu allen Rechenarten Bruchzahlen in dezimaler Schreibweise 6.6 Vermischte Übungen zu allen Rechenarten Brüche 1.6 Vermischte Übungen zu allen Rechenarten 1.7 Berechnen von Termen Rationale Zahlen 6.9 Vermischte Übungen zu den Grundrechenarten 6.11 Berechnen von Termen mit rationalen Zahlen ¾ Zusammenhänge zwischen den Grundrechenarten kennen und bei Sachproblemen nutzen Natürliche Zahlen 2.6 Addieren und Subtrahieren – Fachbegriffe 2.7 Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion 2.11 Multiplizieren und Dividieren – Fachbegriffe 2.12 Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division 2.17 Vermischte Übungen zu allen Rechenarten Bruchzahlen in dezimaler Schreibweise 6.6 Vermischte Übungen zu allen Rechenarten Natürliche Zahlen 2.14 Schriftliches Multiplizieren und Dividieren 2.17 Vermischte Übungen zu allen Rechenarten 5. Flächen und Rauminhalte Bruchzahlen in dezimaler Schreibweise 6.4 Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen 6.5 Multiplizieren und Dividieren von Dezimalbrüchen 6.6 Vermischte Übungen zu allen Rechenarten Brüche 1.6 Vermischte Übungen zu allen Rechenarten Rationale Zahlen 6.9 Vermischte Übungen zu den Grundrechenarten - - Runden und Überschlagsrechnungen zur Kontrolle von Ergebnissen nutzen Brüche 1.6. Vermischte Übungen zu allen Rechenarten 2. Zuordnungen – Dreisatz 3. Prozent- und Zinsrechnung Rationale Zahlen 6.9. Vermischte Übungen zu allen Grundrechenarten Seite 13 Inhaltsbezogene Kompetenzen Größen und Messen ¾ Größen messen, insbesondere Länge, Flächeninhalt und Volumen sowie Zeit, Geld und Gewicht durch Vergleichen mit einer vereinbarten Einheit Realisierung in Elemente der Mathematik 5 Realisierung in Elemente der Mathematik 6 Durchgängig im ganzen Band, insbesondere in Durchgängig im ganzen Band Kapitel 2. „Natürliche Zahlen“ und Kapitel 5 „Flächen- und Rauminhalte“ ¾ Winkel schätzen, messen und zeichnen 3.2 Halbgerade – Winkel 3.3 Vergleich von Winkeln – Winkelarten 3.4 Messen von Winkeln 3.5 Zeichnen von Winkeln ¾ Maßstäbe zur Darstellung sowie zur Bestimmung von Längen nutzen 7.3 Maßstab als Verhältnis ¾ Einheiten von Größen situationsgerecht auswählen Durchgängig im ganzen Band, insbesondere in Durchgängig im ganzen Band Kapitel 2. „Natürliche Zahlen“ und Kapitel 5 „Flächen- und Rauminhalte“ ¾ Größen mithilfe von Vorstellungen über geeignete Repräsentanten schätzen und vergleichen Durchgängig im ganzen Band, insbesondere in Durchgängig im ganzen Band Kapitel 2. „Natürliche Zahlen“ und Kapitel 5 „Flächen- und Rauminhalte“ ¾ Winkelgrößen mithilfe von Neben-, Scheitel- und Stufenwinkelsatz und dem Winkelsummensatz für Dreiecke berechnen ¾ Umfang und Flächeninhalt von Rechtecken schätzen und berechnen 5.2 Formeln für Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks 5.3 Rechnen mit Flächeninhalten ¾ Formeln für Umfang und Flächeninhalt eines Rechtecks durch Auslegen begründen 5.2 Formeln für Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks ¾ Umfang und Flächeninhalt von Figuren mithilfe von 5.2 Formeln für Flächeninhalt und Umfang Rechtecken abschätzen und die Ergebnisse bewerten des Rechtecks 5.3 Rechnen mit Flächeninhalten ¾ Oberflächeninhalt und Volumen von Quadern mithilfe von Formeln schätzen und berechnen 5.5 Rechnen mit Volumina 5.6 Formeln für Volumen und Oberfläche eines Quaders ¾ Oberflächeninhalt und Volumen von Körpern mithilfe von Quadern abschätzen und die Ergebnisse bewerten 5.5 Rechnen mit Volumina 5.6 Formeln für Volumen und Oberfläche eines Quaders 5.7 Vermischte Übungen 4.6 Winkel an Geradenkreuzungen 4.7 Winkel in Vielecken Seite 14 ¾ Maßangaben aus Skizzen und Texten entnehmen, in Durchgängig im ganzen Band, insbesondere: der Umwelt Messungen vornehmen, maßstäbliche 5.2 Formeln für Flächeninhalt und Umfang Zeichnungen erstellen, mit den gemessenen Größen des Rechtecks Berechnungen durchführen und die Ergebnisse deuten 5.3 Rechnen mit Flächeninhalten 5.5 Rechnen mit Volumina 5.6 Formeln für Volumen und Oberfläche eines Quaders 5.7 Vermischte Übungen Inhaltsbezogene Kompetenzen Raum und Form ¾ Quadrat, Rechteck, Dreieck, Parallelogramm, Raute, Drachen, Trapez, Kreis, Quader, Würfel, Prisma, Kegel, Pyramide, Zylinder und Kugel charakterisieren und in der Umwelt identifizieren Durchgängig im ganzen Band Realisierung in Elemente der Mathematik 5 Realisierung in Elemente der Mathematik 6 1.1 Körper – Ecken, Kanten, Flächen 1.2 Vielecke 1.6 Besondere Vielecke 1.7 Netz und Schrägbild von Quader und Würfel 3.1 Kreise ¾ Ebene und räumliche Strukturen mit den Begriffen Punkt, Strecke, Gerade, Winkel, Abstand, Radius, Symmetrie, parallel und senkrecht beschreiben 1.2 Vielecke 1.4 Geraden –Beziehungen zwischen Geraden 1.5 Achsensymmetrie 3.2 Halbgerade – Winkel 3.3 Vergleich von Winkeln – Winkelarten 3.6 Winkel zur Orientierung – Koordinatensystem ¾ Symmetrien erkennen und begründen 1.5 Achsensymmetrie ¾ Winkel, Strecken und Kreise zeichnen, um ebene geometrische Figuren zu erstellen oder zu reproduzieren 3.1 Kreis 3.2 Zeichnen von Winkeln ¾ Im ebenen kartesischen Koordinatensystem Punkte, Strecken und einfache Figuren darstellen und Koordinaten ablesen 1.3 Koordinatensystem 3.6 Winkel zur Orientierung – Koordinatensystem 4.2 Achsenspiegelungen und ihre Eigenschaften 4.3 Punktspiegelungen und ihre Eigenschaften 4.4 Parallelverschiebungen und ihre Eigenschaften 4.5 Drehungen und ihre Eigenschaften Im Blickpunkt: Symmetrie als Gestaltungsprinzip 6.2 Koordinatensystem Seite 15 ¾ Schrägbilder von Würfel und Quader zeichnen, Körpernetze entwerfen und Modelle herstellen ¾ Neben-, Scheitel- und Stufenwinkelsatz sowie den Winkelsummensatz für Dreiecke zur Berechnung von Winkeln anwenden 4.6 Winkel an Geradenkreuzungen 4.7 Winkel in Vielecken ¾ Figuren in der Ebene spiegeln, drehen und verschieben und damit Muster erzeugen 4.1 Parkettieren 4.2 Achsenspiegelungen und ihre Eigenschaften 4.3 Punktspiegelungen und ihre Eigenschaften 4.4 Parallelverschiebungen und ihre Eigenschaften 4.5 Drehungen und ihre Eigenschaften Im Blickpunkt: Symmetrie als Gestaltungsprinzip 1.7 Netz und Schrägbild von Quader und Würfel Seite 16 Inhaltsbezogene Kompetenzen Funktionaler Zusammenhang ¾ Zuordnungen zwischen Zahlen und zwischen Größen in Tabellen, Graphen, Diagrammen und Sachtexten erkennen und verbal beschreiben Realisierung in Elemente der Mathematik 5 Realisierung in Elemente der Mathematik 6 2.1 Tabelle und Graph einer Zuordnung ¾ proportionale und antiproportionale Zuordnungen in Tabellen und Graphen identifizieren und klassifizieren 2.2 Zueinander proportionale Größen – proportionale Zuordnungen 2.3 Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen 2.4 Zueinander antiproportionale Größen – antiproportionale Zuordnungen 2.5 Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen 2.6 Vermischte Übungen zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen ¾ proportionale und antiproportionale Zuordnungen als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge nutzen 2.2 Zueinander proportionale Größen – proportionale Zuordnungen 2.3 Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen 2.4 Zueinander antiproportionale Größen – antiproportionale Zuordnungen 2.5 Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen 2.6 Vermischte Übungen zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen ¾ proportionale und antiproportionale Zuordnungen in Tabellen und als Graphen darstellen und zwischen diesen Darstellungen wechseln 2.2 Zueinander proportionale Größen – proportionale Zuordnungen 2.3 Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen 2.4 Zueinander antiproportionale Größen – antiproportionale Zuordnungen 2.5 Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen 2.6 Vermischte Übungen zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen ¾ Sachaufgaben durch proportionale bzw. antiproportionale Zuordnungen modellieren 2.3 Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen 2.5 Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen 2.6 Vermischte Übungen zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen ¾ Grundaufgaben der Prozent- und Zinsrechnung lösen 3. Prozent- und Zinsrechnung ¾ Dreisatz anwenden 2.3 Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen 2.5 Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen 2.6 Vermischte Übungen zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen 3.2 Grundaufgaben der Prozentrechnung Seite 17 ¾ Eigenschaften der proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen zur Lösung von Problemen anwenden und die Lösungen bewerten Inhaltsbezogene Kompetenzen Daten und Zufall ¾ Statistische Erhebungen planen, die Daten erheben und geeignet darstellen 2.3 Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen 2.5 Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen 2.6 Vermischte Übungen zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen Realisierung in Elemente der Mathematik 5 Realisierung in Elemente der Mathematik 6 8.2 Absolute und relative Häufigkeiten – Kreisdiagramme 8.6 Durchführen einer statistischen Erhebung ¾ Absolute Häufigkeiten in Form einer Tabelle, eines Säulen-, Kreis- und Streifendiagramms darstellen 8.1 Darstellen von Daten in Säulendiagrammen 8.2 Absolute und relative Häufigkeiten – Kreisdiagramme Im Blickpunkt: Diagramme mit dem Computer ¾ Daten sachgerecht mithilfe von relativer Häufigkeit, arithmetischem Mittelwert und Median bewerten 8.2 Absolute und relative Häufigkeiten – Kreisdiagramme 8.3 Mittelwerte 8.5 Bildliche Darstellung von Daten und ihre Wirkungen auf einen Betrachter ¾ Daten graphisch als Boxplots darstellen und diese zur 8.4 Boxplots Interpretation der Daten nutzen ¾ Einstufige Zufallsexperimente identifizieren und durchführen 5.1 Zufallsexperimente ¾ Ergebnissen von Zufallsexperimenten Wahrscheinlichkeiten zuordnen, einerseits durch Symmetriebetrachtungen und andererseits durch Schätzen von relativen Häufigkeiten für lange Versuchsserien 5.2 Schätzen von Wahrscheinlichkeiten – Prognosen 5.3 Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 5.4 Laplace-Experimente ¾ Additions- und Komplementärregel zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten begründen und anwenden ¾ Wahrscheinlichkeiten als Prognosen für absolute Häufigkeiten von Ergebnissen nutzen 5.2 Schätzen von Wahrscheinlichkeiten – Prognosen 5.3 Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 5.4 Laplace-Experimente ¾ Zufallsexperimente simulieren und das gewählte Verfahren beurteilen 5.5 Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten durch Simulation 5.3 Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 5.4 Laplace-Experimente Seite 18 Inhalt Band 7 1. Dreiecke und Vierecke Lernfeld: Passgenaue Figuren 1.1 Kongruente Figuren Zum Selbstlernen Im Blickpunkt: Erstellen von Vorlagen für Mandalas mit DGS 1.2 Dreieckskonstruktionen Kongruenzsätze 1.3 Beweisen – Satz und Kehrsatz 1.4 Konstruktion von Vierecken Auf den Punkt gebracht: Präsentieren auf Plakaten und Folien 1.5 Kreis und Gerade Zum Selbstlernen 1.6 Besondere Punkte und Linien des Dreiecks Im Blickpunkt: Eine Eigenschaft der besonderen Linien im Dreieck 1.7 Satz des Thales Im Blickpunkt: Thales von Milet 1.8 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 2. Terme und Gleichungen Lernfeld: Rechenwege knapp beschreiben 2.1 Aufstellen von Termen – Formeln Im Blickpunkt: Tabellenkalkulation und Terme 2.2 Aufbau eines Terms 2.3 Termumformungen – Addieren und Subtrahieren Im Blickpunkt: Umgang mit Termen bei einem Computer-Algebra-System 2.4 Multiplizieren und Dividieren von Produkten 2.5 Lösen von Gleichungen und Ungleichungen durch Probieren Zum Selbstlernen 2.6 Lösen von Gleichungen durch Umformen 2.7 Modellieren – Anwenden von Gleichungen Auf den Punkt gebracht: Umgang mit Texten, Tabellen und Diagrammen 2.8 Lösen von Ungleichungen durch Umformen 2.9 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Bleib fit im Umgang mit Flächeninhalten und Volumina 3. Berechnungen an Vielecken und Prismen Lernfeld: Wie groß ist...? 3.1 Flächeninhalt eines Parallelogramms 3.2 Flächeninhalt eines Dreiecks 3.3 Flächeninhalt eines Trapezes 3.4 Flächeninhalt beliebiger Vielecke Zum Selbstlernen 3.5 Vermischte Übungen zum Flächeninhalt von Vielecken Im Blickpunkt: Flächeninhalt von krummlinig begrenzten Figuren 3.6 Prismen – Netz und Schrägbild 3.7 Volumen eines Prismas 3.8 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Bleib fit im Umgang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung 4. Mehrstufige Zufallsexperimente 4.1 Mehrstufige Zufallsexperimente – Baumdiagramme 4.2 Pfadregeln 4.3 Aufgaben zur Vertiefung Im Blickpunkt: Klassische Probleme aus der Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung Bist du fit? Bleib fit im Umgang mit dem Dreisatz 5. Lineare Funktionen Lernfeld: Eindeutig gerade 5.1 Funktionen als eindeutige Zuordnungen Im Blickpunkt: Graphen zeichnen mit Computer und GTR 5.2 Proportionale Funktionen 5.3 Lineare Funktionen und ihre Graphen 5.4 Nullstellen linearer Funktionen – Grafisches Lösen linearer Gleichungen Zum Selbstlernen Auf den Punkt gebracht: Dokumentieren von Rechnerergebnissen 5.5 Vermischte Übungen 5.6 Geraden durch Punkte Im Blickpunkt: Energie sparen 5.7 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit ? Projekt Seevermessung Funktionen – Messen und Darstellen Inhalt Band 8 1. Terme und Gleichungen mit Klammern Lernfeld: Klammern gewähren Vorrang 1.1 Auflösen und Setzen einer Klammer 1.2 Minuszeichen vor einer Klammer – Subtrahieren einer Klammer 1.3 Ausklammern 1.4 Auflösen von zwei Klammern in einem Produkt 1.5 Binomische Formeln Zum Selbstlernen 1.6 Faktorisieren einer Summe 1.7 Vermischte Übungen Im Blickpunkt: Pascal’sches Dreieck – Potenzieren von Summen 1.8 Mischungs- und Bewegungsaufgaben 1.8.1 Mischungsaufgaben 1.8.2 Bewegungsaufgaben Auf den Punkt gebracht: Öffne den Blick – löse Probleme 1.9 Formeln – Gleichungen mit mehreren Variablen 1.9.1 Umformen von Formeln 1.9.2 Lösen von Gleichungen mit Parametern 1.10 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Bleib fit im Umgang mit linearen Funktionen 2. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen – Systeme linearer Gleichungen Lernfeld: Geraden mit System 2.1 Lineare Gleichungen der Form ax+by=c 2.1.1 Lösungen einer linearen Gleichung mit zwei Variablen – Graph 2.1.2 Sonderfälle bei linearen Gleichungen mit zwei Variablen 2.2 Systeme linearer Gleichungen – Grafisches Lösungsverfahren 2.3 Gleichsetzungsverfahren 2.4 Einsetzungsverfahren Zum Selbstlernen 2.5 Additionsverfahren 2.5.1 Subtraktion zweier Gleichungen eines Systems 2.5.2 Lösen eines Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren 2.5.3 Sonderfälle beim rechnerischen Lösen 2.5.4 Vermischte Übungen 2.6 Modellieren mithilfe linearer Gleichungssysteme Im Blickpunkt: Lösen linearer Gleichungssysteme mithilfe des GTR 2.7 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 3. Quadratwurzeln – Reelle Zahlen Lernfeld: Entdeckungen an Zahlen 3.1 Quadratwurzeln 3.1.1 Einführung der Quadratwurzeln 3.1.2 Näherungsweises Berechnen von Quadratwurzeln 3.1.3 Intervallhalbierungsverfahren 3.1.4 Irrationale Wurzeln Im Blickpunkt: Das Heronverfahren – Schnelle Wurzelberechnung mit dem Computer 3.2 Reelle Zahlen 3.3 Zusammenhang zwischen Wurzelziehen und Quadrieren 3.4 Rechenregeln für Quadratwurzeln und ihre Anwendung 3.5 Umformen von Wurzeltermen Zum Selbstlernen 3.6 Überblick über die reellen Zahlen 3.6.1 Rechnen mit reellen Zahlen 3.6.2 Vergleich der Zahlbereiche IN, + , und IR 3.7 Wurzelgleichungen 3.8 Aufgaben zur Vertiefung Im Blickpunkt: Wie viele rationale Zahlen gibt es? Bist du fit? Bleib fit im Umgang mit der Prozentrechnung − , 4. Satz des Pythagoras 4.1 Satz des Pythagoras 4.2 4.3 Berechnen von Streckenlängen Umkehrung des Satzes des Pythagoras 4.4 Höhensatz und Kathetensatz des Euklid Auf den Punkt gebracht: Begründen und Widerlegen 4.5 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 5. Parabeln – Quadratische Funktionen und Gleichungen Lernfeld: Nicht gerade, aber symmetrisch 5.1 5.2 Quadratfunktion – Eigenschaften der Normalparabel Quadratische Gleichungen – Grafisches Lösungsverfahren 5.2.1 Lösen einer quadratischen Gleichung durch planmäßiges Probieren 5.2.2 Grafisches Lösen bei quadratischen Gleichungen 5.3 Verschieben der Normalparabel 5.3.1 Verschieben der Normalparabel in Richtung der y-Achse 5.3.2 Verschieben der Normalparabel in Richtung der x-Achse 5.3.3 Verschieben der Normalparabel in beliebiger Richtung 5.4 Strecken und Spiegeln der Normalparabel 5.5 Strecken und Verschieben der Normalparabel Im Blickpunkt: Bremsen und Anhalten von Fahrzeugen 5.6 Lösen quadratischer Gleichungen 5.7 Modellieren – Anwenden von quadratischen Gleichungen Auf den Punkt gebracht: Ganz genau ist manchmal zu genau 5.8 Satz des Vieta 5.9 Optimierungsprobleme mit quadratischen Funktionen 5.10 Regression Im Blickpunkt: Parabeln im Sport 5.11 Vermischte Übungen zu quadratischen Funktionen 5.12 Quadratwurzelfunktion 5.13 Geometrisches Erzeugen von Parabeln 5.14 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Projekte Funktionen – Messen und Darstellen Reguläre Polygone und Polyeder Teste dich – Vermischte Übungen Anhang Lösungen zu Bist du fit? Lösungen zu Teste dich - Vermischte Übungen Maßeinheiten und ihre Umrechnungen Verzeichnis mathematischer Symbole Stichwortverzeichnis Prozessbezogene Kompetenzen Mathematisch argumentieren Vermutungen präzisieren und einer mathematischen Überprüfung zugänglich machen, auch unter Verwendung geeigneter Medien Notwendige Informationen für mathematische Argumentationen beschaffen und bewerten - - - Mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln, Verfahren und Zusammenhänge unter Zuhilfenahme formaler Darstellungen erläutern Mathematisches Wissen für Begründungen nutzen, auch in mehrschrittigen Argumentationen Mehrschrittige Argumentationsketten aufbauen und analysieren Begründungen finden durch Zurückführen auf Bekanntes sowie Einführen von Hilfsgrößen und Hilfslinien Verschiedene Lösungsansätze und Lösungswege vergleichen und bewerten Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 Nicht nur bei der Erarbeitung der Lerninhalte, sondern auch in Übungsaufgaben werden Schülerinnen und Schüler aufgefordert, Vermutungen aufzustellen. Bei deren Überprüfung werden auch Hilfsmittel wie GTR, DGS und zum Teil CAS eingesetzt. Die in Klasse 7 erworbenen Fähigkeiten werden auf erhöhtem Niveau konsequent weiter geschult. Bei offenen Übungsaufgaben werden die Schülerinnen und Schüler dazu angehalten, nach fehlenden Informationen zu recherchieren und diese kritisch bei der Problemlösung einzusetzen. In Übungsaufgaben werden Schülerinnen und Das Vorgehen in Klasse 8 entspricht prinzipiell dem Schüler aufgefordert, ihr eigenes Vorgehen zu in Klasse 7, die behandelten Themen bedingen eine beschreiben, Zusammenfassungen zu Progression in den Anforderungen. behandelten Themen zu formulieren. Mehrschrittige Argumentationen und komplexere Begründungen z. B. mithilfe von Hilfslinien und erfolgen in Klasse 7 in allen Kapiteln, ein besonderer Schwerpunkt liegt beim Beweisen mithilfe der Kongruenzsätze. In jedem Kapitel gibt es Übungsaufgaben, in denen vorgegebene Lösungsansätze und – wege erläutert, verglichen und bewertet werden sollen. In jedem Kapitel gibt es Übungsaufgaben, in denen vorgegebene Lösungsansätze und –wege erläutert, verglichen und bewertet werden sollen. Prozessbezogene Kompetenzen Probleme mathematisch lösen Inner- und außermathematische Problemstellungen erfassen und die zur Problemlösung fehlenden Informationen beschaffen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 Bei offenen Übungsaufgaben werden die Schülerinnen und Schüler dazu angehalten, nach fehlenden Informationen zu recherchieren und diese kritisch bei der Problemlösung einzusetzen. In jedem Kapitel gibt es Übungsaufgaben, in denen vorgegebene Lösungsansätze und – wege erläutert, verglichen und bewertet werden sollen. Insbesondere bei realitätsbezogenen Aufgaben werden die Schülerinnen und Schüler dazu angehalten, vor der genauen Berechnung das Ergebnis abzuschätzen und Überschläge auch zur Kontrolle des Ergebnisses zu benutzen. Plausibilitätsbetrachtungen haben neben Begründungen einen eigenständigen Wert. Die Schülerinnen wenden ihre in Klasse 7 erworbenen Fähigkeiten bei neuen Sachgebieten in zunehmend komplexeren Situationen an. - Lösungswege beschreiben und begründen Näherungswerte für erwartete Ergebnisse durch Schätzen und Überschlagen ermitteln sowie Plausibilitätsüberlegungen durchführen - Heuristische Strategien anwenden: Spezialisieren und Verallgemeinern, Zerlegen in Teilprobleme, Substituieren, Variieren von Bedingungen, Vorwärtsund Rückwärtsarbeiten Heuristische Strategien werden in allen Themengebieten zur Problemlösung verwendet und abschließend deutlich herausgestellt. - Parametervariationen nutzen Darstellungsformen wie Terme und Gleichungen zur Problemlösung nutzen Algebraische, numerische, grafische Verfahren oder geometrische Konstruktionen zur Problemlösung anwenden Möglichkeit mehrerer Lösungen in Betracht ziehen und diese überprüfen Der konsequente Einsatz des GTR ermöglicht ein vielfältiges Bearbeiten mathematischer Probleme; dabei wird der Wert algebraischer, grafischer, tabellarischer und numerischer Vorgehensweisen betont. In der Geometrie ermöglicht der Einsatz von DGS eine vielfältige Variation von Ausgangssituationen, um allgemeine Erkenntnisse zu gewinnen. Schülerinnen und Schüler werden konsequent darin geschult, alle Lösungen eines Problems in Betracht zu ziehen und auf ihre Bedeutung in der Realität hin zu beurteilen. Viele Übungsaufgaben thematisieren typische Schülerfehler: Hier sollen nicht nur fehlerhafte Lösungen herausgefunden werden, sondern auch die Fehlerquellen analysiert werden. Ebenso spielt die Bewertung unterschiedlich geschickter Vorgehensweisen eine große Rolle. - - - Ergebnisse beurteilen, vergleichen, sowie Lösungswege und Problemlösestrategien bewerten Ursache von Fehlern erklären In jedem Kapitel gibt es Übungsaufgaben, in denen vorgegebene Lösungsansätze und –wege erläutert, verglichen und bewertet werden sollen. Die Überlegungen zum Schätzen und Überschlagen werden in der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Ganz genau ist manchmal zu genau“ auf erhöhtem Niveau zusammengetragen. Plausibilitätsbetrachtungen haben neben Begründungen einen eigenständigen Wert. In der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Begründen und Widerlegen“ werden wichtige Gesichtspunkte zum mathematischen Argumentieren zusammengestellt. Heuristische Strategien werden in allen Themengebieten zur Problemlösung verwendet und abschließend deutlich herausgestellt. In der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Öffne den Blick – löse Probleme“ erfolgt eine übersichtliche, übergeordnete Zusammenschau. Der Umgang mit Parametervariationen werden bei quadratischen Funktionen und linearen Gleichungssystemen auf erhöhtem Anforderungsniveau fortgeführt. Die unterschiedliche Lösungsvielfalt und der realitätsbezogene Umgang damit ist bei linearen Gleichungssystemen und quadratischen Gleichungen ausgeprägter als bei den linearen Gleichungen der Klasse 7. Viele Übungsaufgaben thematisieren typische Schülerfehler: Hier sollen nicht nur fehlerhafte Lösungen herausgefunden werden, sondern auch die Fehlerquellen analysiert werden. Prozessbezogene Kompetenzen Mathematisch modellieren Mögliche Einflussfaktoren in Realsituationen finden und bewerten Modelle zur Beschreibung überschaubarer Realsituationen wählen und die Wahl begründen Einem mathematischen Modell eine passende Realsituation zuordnen - - Terme mit Variablen, Gleichungen, Funktionen oder Regressionen zur Ermittlung von Lösungen im mathematischen Modell verwenden Im Modell gewonnene Ergebnisse im Hinblick auf die Realsituation interpretieren sowie die Annahmen reflektieren und ggf. variieren Mathematische Darstellungen verwenden Funktionale Zusammenhänge durch Tabellen, Graphen oder Terme darstellen – auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners – sowie solche Darstellungen interpretieren und nutzen - Schrägbilder von Primen zeichnen sowie Netze entwerfen und Modelle herstellen - Zufallsversuche durch Baumdiagramme darstellen und interpretieren - Darstellungen kritisch analysieren sowie einzelne Darstellungsformen im Kontext bewerten Beziehungen zwischen unterschiedlichen Darstellungsformen erkennen Unterschiedliche Darstellungsformen situationsangemessen auswählen und zwischen ihnen wechseln - Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 Das Modellieren wird sowohl bei geometrischen als auch algebraischen, funktionalen und stochastischen Problemen deutlich herausgestellt. Zielumkehraufgaben zum Finden von Realsituationen zu vorgegebenen Termen, Graphen und Figuren schulen flexible Vorgehensweisen. In Klasse 7 werden im wesentlichen lineare Modelle behandelt. Die konsequente Rückübertragung der Ergebnisse im mathematischen Modell auf die ursprüngliche Problemsituation wird durchgängig eingefordert. Hieraus ergeben sich auch Anregungen für ggf. nötige Modifizierungen der Modellannahmen. Die zum Modellieren in Klasse 7 erworbenen Kompetenzen werden in Klasse 8 bei komplexeren geometrischen, algebraischen und funktionalen Fragestellungen weiter geschult. Der konsequente Einsatz des GTR ermöglicht ein vielfältiges Bearbeiten mathematischer Probleme; dabei wird der Wert algebraischer, grafischer, tabellarischer und numerischer Vorgehensweisen betont. Das Berechnen von Größen bei Körpern erfolgt in engem Wechselspiel mit den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten der Körper. In der Stochastik werden mehrstufige Zufallsexperimente mithilfe von Baumdiagrammen bearbeitet. Der Wechsel zwischen Darstellungsformen erfolgt in mehreren Sachgebieten: in der Algebra bei Termen und deren Wortform, Rechenbaum und geometrischer Veranschaulichung bei der Beschreibung funktionaler Abhängigkeiten mithilfe von Termen, Tabellen und Graphen. In Klasse 8 werden lineare und quadratische Modelle behandelt. In Klasse 8 wird ein zunehmend komplexerer Umgang mit dem GTR angestrebt. Der Wechsel zwischen unterschiedlichen Darstellungsformen verschiedener Objekte erfolgt in zunehmend komplexeren Sachverhalten. Prozessbezogene Kompetenzen Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Zuordnungen mit Variablen und Termen erfassen Tabellen, Graphen, Terme und Gleichungen zur Bearbeitung linearer und quadratischer Zusammenhänge nutzen Überschaubare Terme mit Variablen zusammenfassen, ausmultiplizieren und ausklammern, um mathematische Probleme zu lösen Symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt - - - Tabellarische, graphische und algebraische Verfahren zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen sowie linearer Gleichungssysteme nutzen Probe zur Überprüfung von Ergebnissen nutzen Taschenrechner zur Kontrolle nutzen Taschenrechner und Geometrie-Software zur Darstellung und Erkundung mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung von Ergebnissen nutzen Taschenrechner beim Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsformen nutzen Lexika, Schulbücher, Printmedien und elektronische Medien zur selbstständigen Informationsbeschaffung nutzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 In Klasse 7 werden lineare Funktionen behandelt, entsprechend tauchen im wesentlichen entsprechende Terme in der Algebra auf. In Klasse 8 werden quadratische Funktionen behandelt, entsprechend werden in der Algebra Terme mit Klammern sowie binomische Formeln thematisiert. Der Wechsel von symbolischer sowie formaler mit natürlicher Sprache erfolgt durchgängig in allen Sachgebieten; dabei wird bewusst die Verwendung natürlicher Sprache in zu mathematisierenden Problemsituationen betont. In Klasse 7 werden im wesentlichen lineare Gleichungen mit allen Lösungsverfahren bearbeitet – auch unter konsequentem Einsatz des GTR. Der Wert der Probe wird deutlich herausgestellt. Der Wechsel von symbolischer sowie formaler mit natürlicher Sprache erfolgt durchgängig in allen Sachgebieten; dabei wird bewusst die Verwendung natürlicher Sprache in zu mathematisierenden Problemsituationen betont. GTR und DGS werden konsequent mit allen ihren Darstellungsformen und Einsatzmöglichkeiten genutzt, auch zur Erkundung komplexerer Situationen mit eher experimentellem Vorgehen. Im Buch sind an verschiedenen Stellen Ausschnitte aus Nachschlagewerken und anderen Veröffentlichungen wie auch dem Internet angegeben. Darüber hinaus werden die Schülerinnen und Schüler auch zur selbstständigen Nutzung dieser Medien bei der eigenständigen Recherche angehalten. In Klasse 8 werden im wesentlichen lineare Gleichungssysteme und quadratische Gleichungen mit allen Lösungsverfahren bearbeitet – auch unter konsequentem Einsatz des GTR. Der Wert der Probe wird deutlich herausgestellt. GTR und DGS werden konsequent mit allen ihren Darstellungsformen und Einsatzmöglichkeiten genutzt, auch zur Erkundung komplexerer Situationen mit eher experimentellem Vorgehen. Im Buch sind an verschiedenen Stellen Ausschnitte aus Nachschlagewerken und anderen Veröffentlichungen wie auch dem Internet angegeben. Darüber hinaus werden die Schülerinnen und Schüler auch zur selbstständigen Nutzung dieser Medien bei der eigenständigen Recherche angehalten. Prozessbezogene Kompetenzen Kommunizieren Eigene Lernwege und aus dem Unterricht erwachsene Merksätze und Ergebnisse unter Verwendung geeigneter Medien dokumentieren Überlegungen anderen verständlich mitteilen, dabei zunehmend die Fachsprache benutzen Lösungsansätze und Lösungswege präsentieren – auch unter Verwendung geeigneter Medien Überlegungen von anderen zu mathematischen Inhalten verstehen, auf Schlüssigkeit überprüfen und darauf eingehen - Daten und Informationen aus Texten und mathematikhaltigen Darstellungen strukturieren, interpretieren, analysieren und bewerten - Kritik konstruktiv äußern sowie auf Fragen und Kritik sachlich und angemessen eingehen Arbeit im Team selbstständig organisieren - Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 Das Darstellen von Lösungswegen und Ergebnissen erhält einen besonderen Stellenwert bei der Verwendung von GTR. In der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Dokumentieren von Rechnerergebnissen“ werden dazu wichtige Anhaltspunkte erarbeitet und deutlich herausgestellt. In vielen Übungsaufgaben werden Schüler dazu aufgefordert, ihre Ergebnisse in Form von Vorträgen oder Postern der Klasse mitzuteilen. Das geschickte Präsentieren von Ergebnissen auf Plakaten wird gesondert in der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Präsentieren auf Plakaten und Folien“ herausgestellt. Die Arbeit mit Texten, Tabellen und Diagrammen zu mathematikhaltigen Problemen erfolgt durchgängig. Wichtige Strategien dazu werden in der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Umgang mit Texten, Tabellen und Diagrammen“ herausgearbeitet. Der angemessene Umgang mit Kritik ist im wesentlichen im Unterricht zu erreichen, hilfreich hierfür sind aber Aufgaben im Buch, die Stellungnahme zu nicht persönlich Betroffenen einfordern: Fehlersuche, Vergleich von Lösungswegen, .... Das Bearbeiten der Lernfelder sowie eine Vielzahl von Aufträgen in den Übungsaufgaben, die sich besonders für Partner- und Teamarbeit eignen, fördern die Teamfähigkeit der Schülerinnen und Schüler. Das Darstellen von Lösungswegen und Ergebnissen erhält einen besonderen Stellenwert bei der Verwendung von GTR. In vielen Übungsaufgaben werden Schüler dazu aufgefordert, ihre Ergebnisse in Form von Vorträgen oder Postern der Klasse mitzuteilen. Die Arbeit mit Texten, Tabellen und Diagrammen zu mathematikhaltigen Problemen erfolgt durchgängig. Der angemessene Umgang mit Kritik ist im wesentlichen im Unterricht zu erreichen, hilfreich hierfür sind aber Aufgaben im Buch, die Stellungnahme zu nicht persönlich Betroffenen einfordern: Fehlersuche, Vergleich von Lösungswegen, .... Das Bearbeiten der Lernfelder sowie eine Vielzahl von Aufträgen in den Übungsaufgaben, die sich besonders für Partner- und Teamarbeit eignen, fördern die Teamfähigkeit der Schülerinnen und Schüler. Inhaltsbezogene Kompetenzen Zahlen und Operationen Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung von rationalen zu reellen Zahlen an Beispielen begründen Grenzen der Beschreibung reeller Zahlen durch Dezimalbrüche erläutern sowie Näherungsverfahren beschreiben und anwenden Kennzeichnende Unterschiede zwischen rationalen und irrationalen Zahlen nennen - - - Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 Lernfeld: Entdeckungen an Zahlen 3.1. Quadratwurzeln Blickpunkt Heronverfahren 3.2. Reelle Zahlen Blickpunkt: Wie viele reelle Zahlen gibt es? Rechnungen mit dem Taschenrechner ausführen und die Ergebnisse bewerten. Einfache Rechenaufgaben im Bereich der reellen Zahlen lösen Der kritische Gebrauch des Taschenrechners erfolgt durchgängig in Band 7. Sachverhalte durch Terme und Gleichungen beschreiben Terme veranschaulichen und interpretieren Struktur von Termen erkennen und vergleichen Terme und Gleichungen zur mathematischen Argumentation nutzen Inner- und außermathematische Problemsituationen mit Hilfe von Termen und Gleichungen modellieren Lernfeld: Rechenwege knapp beschreiben 2.1. Aufstellen von Termen – Formeln Blickpunkt: Tabellenkalkulation und Terme 2.2. Aufbau eines Terms Terme mit Hilfe der Rechengesetze umformen Rechengesetze für Quadratwurzeln exemplarisch begründen und anwenden 2.3. Termumformungen – Addieren und Subtrahieren Blickpunkt Umgang mit Termen bei einem CAS 2.4. Multiplizieren und Dividieren von Produkten Der kritische Gebrauch des Taschenrechners erfolgt durchgängig in Band 8. 3.1. Quadratwurzeln 3.3. Zusammenhang zwischen Wurzelziehen und Quadrieren 3.4. Rechenregeln für Quadratwurzeln und ihre Anwendung 3.5. Umformen von Wurzeltermen 3.6. Überblick über die reellen Zahlen 3.8. Aufgaben zur Vertiefung Lernfeld: Klammern gewähren Vorrang 1.1. Auflösen und Setzen einer Klammer 1.2. Minuszeichen vor einer Klammer – Subtrahieren einer Klammer 1.3. Ausklammern 1.4. Auflösen von zwei Klammern in einem Produkt 1.5. Binomische Formeln 1.6. Faktorisieren einer Summe Blickpunkt Pascalsches Dreieck – Potenzieren von Summen 1.8 Mischungs- und Bewegungsaufgaben 3.4. Rechenregeln für Quadratwurzeln und ihre Anwendung 3.5. Umformen von Wurzeltermen 1.1.Auflösen und Setzen einer Klammer 1.2 Minuszeichen vor einer Klammer – Subtrahieren einer Klammer 1.3 Ausklammern 1.4 Auflösen von zwei Klammern in einem Produkt 1.5. Binomische Formeln 1.6. Faktorisieren einer Summe 3.4. Rechenregeln für Quadratwurzeln und ihre Anwendung 3.5. Umformen von Wurzeltermen - - - - - - Inhaltsbezogene Kompetenzen Lineare und quadratische Gleichungen sowie Gleichungssysteme mit zwei Variablen in einfachen Fällen algebraisch lösen Gleichungssysteme mit zwei Variablen in einfachen Fällen algebraisch lösen Gleichungen und Gleichungssysteme in Sachzusammenhängen durch Probieren, numerisch und grafisch unter Verwendung des Taschenrechners lösen Fragen der Lösbarkeit von Gleichungen und Gleichungssystemen untersuchen sowie diesbezügliche Aussagen formulieren Probe zur Kontrolle beim Gleichungslösen nutzen sowie die Ergebnisse beurteilen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 2.5. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen durch Probieren 2.6. Lösen von Gleichungen durch Umformen 2.7. Modellieren – Anwenden von Gleichungen 2.8. Lösen von Ungleichungen durch Umformen Auswirkungen von Parametervariationen unter Verwendung des Taschenrechners untersuchen, beschreiben und begründen 5.2. Proportionale Funktionen 5.3 Lineare Funktionen und ihre Graphen 5.4. Nullstellen linearer Funktionen – grafisches Lösen linearer Gleichungen Realisierung in Elemente der Mathematik 8 1.9. Formeln – Gleichungen mit Parametern Lernfeld: Geraden mit System 2.1. Lineare Gleichungen der Form ax + by = c 2.2 Systeme linearer Gleichungen – grafisches Lösungsverfahren 2.3. Gleichsetzungsverfahren 2.4. Einsetzungsverfahren 2.5. Additionsverfahren 2.6. Modellieren mithilfe linearer Gleichungssysteme Blickpunkt: Lösen linearer Gleichungssysteme mithilfe des GTR 5.2. Quadratische Gleichungen – grafisches Lösungsverfahren 5.6. Lösen quadratischer Gleichungen 5.7. Modellieren – Anwenden quadratischer Gleichungen 5.9. Optimierungsprobleme 1.9. Formeln – Gleichungen mit Parametern 5.3. Verschieben der Normalparabel 5.4 Strecken und Spiegeln der Normalparabel 5.5. Strecken und Verschieben der Normalparabel 5.8. Satz des Vieta Inhaltsbezogene Kompetenzen Größen und Messen Längen durch Konstruktion maßstabsgetreuer Figuren messend ermitteln Zusammengesetzte Größen berechnen und interpretieren Winkelgrößen mit Hilfe des Thalessatzes sowie Streckenlängen mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen - - - - Umfang und Flächeninhalt geradlinig begrenzter Figuren schätzen und berechnen Formeln für den Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm, Trapez und symmetrischen Drachen durch Zerlegen und Ergänzen begründen Umfang und Flächeninhalt von Figuren mit Hilfe von geradlinig begrenzten Figuren abschätzen und die Ergebnisse bewerten Längen, Oberflächeninhalt und Volumen von Prismen schätzen und mit Hilfe von Formeln berechnen Oberflächeninhalt und Volumen von Körpern mit Hilfe von Prismen abschätzen und die Ergebnisse bewerten Messungen in der Umwelt planen und gezielt durchführen, Maßangaben aus Quellenmaterial entnehmen, Berechnungen durchführen, die Ergebnisse sowie den gewählten Weg bewerten Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 Lernfeld: Passgenaue Figuren 1.2. Dreieckskonstruktionen – Kongruenzsätze 1.4. Konstruktion von Vierecken 1.7. Satz des Thales Blikckpunkt: Thales von Milet Lernfeld: Wie groß ist? 3.1. Flächeninhalt eines Parallelogramms 3.2. Flächeninhalt eines Dreiecks 3.3. Flächeninhalt eines Trapezs 3.4. Flächeninhalt beliebiger Vielecke Blickpunkt: Flächeninhalt und Umfang von krummlinig begrenzten Figuren 3.6. Prismen – Netz und Schrägbild 3.7. Volumen eines Prismas Lernfeld: Passgenaue Figuren Lernfeld: Wie groß ist? 4.1. Satz des Pythagoras 4.2. Berechnen von Streckenlängen Inhaltsbezogene Kompetenzen Raum und Form Kongruenzen erkennen und begründen - - - - - Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 Lernfeld: Passgenaue Figuren 1.1. Kongruente Figuren 1.2. Dreieckskonstruktionen – Kongruenzsätze 1.3. Beweisen – Satz und Kehrsatz Blickpunkt: Erstellen von Vorlagen für mit Zirkel, Geodreieck und dynamischer Geometriesoftware konstruieren, um ebene Figuren zu Mandalas mit DGS 1.2. Dreieckskonstruktionen - Kongruenzsätze erstellen oder reproduzieren Aussagen zur Lösbarkeit und Lösungsvielfalt bei 1.5. Kreis und Gerade Konstruktionen formulieren 1.6. Besondere Punkte und Linien des Dreiecks Schrägbilder von Prismen zeichnen, Netze entwerfen 3.6. Prismen – Netz und Schrägbild und Modelle herstellen 1.5. Kreis und Gerade Höhen, Mittelsenkrechten, Seitenhalbierenden und 4.1. Satz des Pythagoras 1.6. Besondere Punkte und Linien des Winkelhalbierenden als besondere Linien im Dreieck 4.2. Berechnungen von Streckenlängen Dreiecks kennen Blickpunkt: Eine Eigenschaft der besonderen 5.9. Geometrisches Erzeugen von Parabeln Satz des Thales und Satz des Pythagoras bei Linien im Dreieck Konstruktionen, Berechnungen und Beweisen 1.7. Satz des Thales anwenden Kreis, Parallele, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende Blickpunkt: Thales von Milet und Parabel als Ortslinien beschreiben und erzeugen Eigenschaften von Ortslinien zur Lösung von Sachproblemen anwenden Symmetrie, Kongruenz, Lagebeziehungen Kapitel 1: Dreiecke und Vierecke Kapitel 4: Satz des Pythagoras geometrischer Objekte beschreiben und begründen, diese Eigenschaften im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen nutzen Inhaltsbezogene Kompetenzen Funktionaler Zusammenhang Lineare und quadratische Zusammenhänge als Zuordnungen zwischen Zahlen und zwischen Größen in Tabellen, Graphen, Diagrammen und Sachtexten erkennen, verbal beschreiben und erläutern Lineare und quadratische Funktionen in Tabellen, Termen, Gleichungen und Graphen identifizieren und klassifizieren Lineare und quadratische Funktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge nutzen, auch unter Verwendung des Taschenrechners Lineare und quadratische Funktionen durch Terme und Gleichungen darstellen sowie zwischen den Darstellungen Term, Gleichung, Tabelle, Graph wechseln Sachsituationen durch lineare und quadratische Funktionen modellieren Eigenschaften linearer und quadratischer Funktionen auch unter Verwendung des Taschenrechners zur Lösung von Problemen anwenden und die Lösungen bewerten Parameter linearer und quadratischer Funktionen in der grafischen Darstellung deuten und in Anwendungssituationen nutzen Realisierung in Elemente der Mathematik 7 Realisierung in Elemente der Mathematik 8 Auswirkungen von Parametervariationen bei linearen und quadratischen Funktionen unter Verwendung des Taschenrechners untersuchen, beschreiben und begründen Funktionsgleichungen von linearen und quadratischen Funktionen aus dem Graphen bestimmen Steigung als konstante Änderungsrate interpretieren Daten und Zufall Datenpaare grafisch darstellen, lineare und quadratische Regressionen mit dem Taschenrechner durchführen und die Ergebnisse für Prognosen nutzen Mehrstufige Zufallsexperimente identifizieren und durchführen Mehrstufige Zufallsexperimente im Baumdiagramm mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten darstellen Multiplikationsregel begründen und zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsverteilung anwenden 5.2. Proportionale Funktionen 5.3 Lineare Funktionen und ihre Graphen 5.6. Geraden durch Punkte - - Lernfeld: Eindeutig gerade 5.1. Funktionen als eindeutige Zuordnungen Blickpunkt: Graphen zeichnen mit Computer und GTR 5.2. Proportionale Funktionen 5.3 Lineare Funktionen und ihre Graphen 2.1. Lineare Gleichungen der Form ax+ by = c Lernfeld Eindeutig gerade 5.2. Proportionale Funktionen 5.3 Lineare Funktionen und ihre Graphen 5.4. Nullstellen linearer Funktionen – grafisches Lösen linearer Gleichungen 5.6. Geraden durch Punkte Blickpunkt Energie sparen 1.8. Bewegungs- und Mischungsaufgaben Lernfeld: Nicht gerade, aber symmetrisch 5.3. Verschieben der Normalparabel 5.4 Strecken und Spiegeln der Normalparabel 5.5. Strecken und Verschieben der Normalparabel Blickpunkt: Bremsen und Anhalten von Fahrzeugen 2.6. Modellieren mithilfe linearer Gleichungssysteme Lernfeld: Nicht gerade, aber symmetrisch 5.3. Verschieben der Normalparabel 5.4 Strecken und Spiegeln der Normalparabel 5.5. Strecken und Verschieben der Normalparabel Blickpunkt: Bremsen und Anhalten von Fahrzeugen 5.3. Verschieben der Normalparabel 5.4 Strecken und Spiegeln der Normalparabel 5.5. Strecken und Verschieben der Normalparabel 5.2. Proportionale Funktionen 5.6. Geraden durch Punkte 4.1. Mehrstufige Zufallsexperimente – Baumdiagramme 4.2. Pfadregeln Blickpunkt: Klassische Probleme aus der Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung 5.10. Regression Blickpunkt: Parabeln im Sport Inhalt Band 9 1. Dreiecke und Vierecke Lernfeld: Passgenaue Figuren 1.1 Kongruente Figuren Zum Selbstlernen Im Blickpunkt: Erstellen von Vorlagen für Mandalas mit DGS 1.2 Dreieckskonstruktionen Kongruenzsätze 1.3 Beweisen – Satz und Kehrsatz 1.4 Konstruktion von Vierecken Auf den Punkt gebracht: Präsentieren auf Plakaten und Folien 1.5 Kreis und Gerade Zum Selbstlernen 1.6 Besondere Punkte und Linien des Dreiecks Im Blickpunkt: Eine Eigenschaft der besonderen Linien im Dreieck 1.7 Satz des Thales Im Blickpunkt: Thales von Milet 1.8 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 2. Terme und Gleichungen Lernfeld: Rechenwege knapp beschreiben 2.1 Aufstellen von Termen – Formeln Im Blickpunkt: Tabellenkalkulation und Terme 2.2 Aufbau eines Terms 2.3 Termumformungen – Addieren und Subtrahieren Im Blickpunkt: Umgang mit Termen bei einem Computer-Algebra-System 2.4 Multiplizieren und Dividieren von Produkten 2.5 Lösen von Gleichungen und Ungleichungen durch Probieren Zum Selbstlernen 2.6 Lösen von Gleichungen durch Umformen 2.7 Modellieren – Anwenden von Gleichungen Auf den Punkt gebracht: Umgang mit Texten, Tabellen und Diagrammen 2.8 Lösen von Ungleichungen durch Umformen 2.9 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Bleib fit im Umgang mit Flächeninhalten und Volumina 3. Berechnungen an Vielecken und Prismen Lernfeld: Wie groß ist...? 3.1 Flächeninhalt eines Parallelogramms 3.2 Flächeninhalt eines Dreiecks 3.3 Flächeninhalt eines Trapezes 3.4 Flächeninhalt beliebiger Vielecke Zum Selbstlernen 3.5 Vermischte Übungen zum Flächeninhalt von Vielecken Im Blickpunkt: Flächeninhalt von krummlinig begrenzten Figuren 3.6 Prismen – Netz und Schrägbild 3.7 Volumen eines Prismas 3.8 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Bleib fit im Umgang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung 4. 4.1 Mehrstufige Zufallsexperimente Mehrstufige Zufallsexperimente – Baumdiagramme 4.2 Pfadregeln 4.3 Aufgaben zur Vertiefung Im Blickpunkt: Klassische Probleme aus der Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung Bist du fit? Bleib fit im Umgang mit dem Dreisatz 5. Lineare Funktionen Lernfeld: Eindeutig gerade 5.1 Funktionen als eindeutige Zuordnungen Im Blickpunkt: Graphen zeichnen mit Computer und GTR 5.2 Proportionale Funktionen 5.3 Lineare Funktionen und ihre Graphen 5.4 Nullstellen linearer Funktionen – Grafisches Lösen linearer Gleichungen Zum Selbstlernen Auf den Punkt gebracht: Dokumentieren von Rechnerergebnissen 5.5 Vermischte Übungen 5.6 Geraden durch Punkte Im Blickpunkt: Energie sparen 5.7 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit ? Projekt Seevermessung Funktionen – Messen und Darstellen Inhalt Band 10 Bleib fit im Umgang mit Potenzen 2.1.1 Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten 2.1.2 Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten 2.1.3 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten 2.2 Asymptoten 2.3 Lineares und exponentielles Wachstum – Wiederholung 2.3.1 Zunahmeprozesse 2.3.2 Abnahmeprozesse 2.4 Exponentialfunktionen – Wiederholung 2.5 Wachstum modellieren - Regression 2.6 Logarithmen – Exponentialgleichungen 2.6.1 Logarithmen 2.6.2 Logarithmengesetze 2.6.3 Lösen von Exponentialgleichungen mithilfe von Logarithmen 2.7 Logarithmusfunktionen Im Blickpunkt: Fraktale Handy-Antenne 2.8 Rekursive Beschreibung von Wachstum Folgen 2.9 Überlagerung von exponentiellem und linearem Wachstum Zum Selbstlernen 2.10 Begrenztes Wachstum – Grenzwert 2.10.1 Begrenztes Wachstum 2.10.2 Grenzwert 2.11 Logistisches Wachstum Auf den Punkt gebracht: Präsentieren im Team 2.12 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Bleib fit im Umgang mit Änderungsraten 2. Wachstumsprozesse – Grenzwerte Lernfeld: Schritt für Schritt zur Lösung 2.1 Potenzielles Wachstum – Potenzfunktionen 3. Differenzialrechnung Lernfeld: Änderungen beschreiben 3.1 Tangentensteigung und Änderungsrate – Ableitung Bleib fit im Umgang mit dem Rechner: Graphen Bleib fit im Umgang mit der Trigonometrie 1. Modellieren periodischer Vorgänge Lernfeld: Hin und her – rauf und runter. 1.1 Periodische Vorgänge 1.2 Sinus und Kosinus am Einheitskreis 1.3 Sinus- und Kosinusfunktion mit ﾡ als Definitionsmenge 1.3.1 Bogenmaß eines Winkels 1.3.2 Definition der Sinus- und Kosinusfunktion 1.3.3 Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion 1.4 Strecken des Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion 1.5 Verschieben des Graphen der Sinusund Kosinusfunktion Zum Selbstlernen 1.6 Allgemeine Sinusfunktion 1.7 Modellieren mit allgemeinen Sinusfunktionen Auf den Punkt gebracht: Parametervariation – Abbilden von Funktionsgraphen 1.8 Aufgaben zur Vertiefung Im Blickpunkt: Spiralen Bist du fit? Bleib fit im Umgang mit dem Rechner: Terme 3.1.1 Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt – Ableitung 3.1.2 Lokale Änderungsrate 3.2 Ableitung der Quadratfunktion 3.3 Ableitung weiterer Funktionen Zum Selbstlernen Auf den Punkt gebracht: Heuristische Strategien 3.4 Differenzierbarkeit 3.5 Ableitungsfunktion 3.6 Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion 3.7 Ableitung von Potenzfunktionen – Potenzregel 3.8 Ableitungsregeln 3.8.1 Faktorregel 3.8.2 Summenregel Im Blickpunkt: Parabelflug 3.9 Kettenregel bei linearer innerer Funktion 3.10 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? 4. Funktionsuntersuchungen Lernfeld: Minimal – Maximal – Beste Lösung 4.1 Optimierungsprobleme – grafisches und tabellarisches Lösen Im Blickpunkt: Verkehrsfluss in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit 4.2 Ganzrationale Funktionen 4.2.1 Polynome und ganzrationale Funktionen 4.2.2 Globalverlauf ganzrationaler Funktionen 4.3 Symmetrie Zum Selbstlernen 4.4 Änderungsverhalten von Funktionen 4.4.1 Extrema und Monotonie 4.4.2 Untersuchung auf Monotonie und Extrema mithilfe der 1. Ableitung 4.4.3 Extremwertprobleme – algebraisches Lösen Auf den Punkt gebracht: Realistischer beschreiben – Modelle variieren 4.5 Nullstellen ganzrationaler Funktionen 4.5.1 Linearfaktorzerlegung 4.5.2 Sätze über Nullstellen 4.5.3 Polynomdivision 4.6 Wendepunkte – Linkskurve, Rechtskurve 4.7 Klassifikation ganzrationaler Funktionen 2. und 3. Grades 4.8 Aufgaben zur Vertiefung Bist du fit? Projekt Fantastische Körper – Platonische Durchdringungskörper Teste dich – Vermischte Übungen Anhang Lösungen zu Bist du fit? Lösungen zu Teste dich - Vermischte Übungen Verzeichnis mathematischer Symbole Stichwortverzeichnis „Mathematisch argumentieren“ - Mathematische Zusammenhänge und Einsichten unter Verwendung der Fachsprache präzise erläutern - Mathematisches Wissen für Begründungen und Argumentationsketten kombinieren und dabei auch formale und symbolische Elemente und Verfahren nutzen - Mehrschrittige Argumentationsketten aufbauen, diese analysieren und bewerten - Begründungen angeben, diese überprüfen und bewerten „Probleme mathematisch lösen“ Sich inner- und außermathematische Probleme stellen und die zu einer Lösung noch fehlenden Informationen beschaffen Geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen auswählen und diese anwenden Mittlere und lokale Änderungsrate zur Problemlösung nutzen Klasse 9 Klasse 10 In Übungsaufgaben werden Schülerinnen und Schüler aufgefordert, ihr eigenes Vorgehen zu beschreiben und zu begründen. Mehrschrittige Argumentationen und komplexere Begründungen erfolgen in allen Kapiteln, ein besonderer Schwerpunkt liegt beim Beweisen in der Geometrie. In der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Mehrstufiges Argumentieren – Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten“ erfolgt eine übersichtliche, übergeordnete Zusammenschau dieser beiden wichtigen Strategien. Darüber hinaus wird dort hilfreiches Wissen im Zusammenhang beim Argumentieren in der Geometrie zusammengestellt. Das Vorgehen in Klasse 10 entspricht prinzipiell dem in Klasse 9, die behandelten Themen und Darstellungen im Buch bedingen eine Progression in den Anforderungen und der Komplexität. Bei offenen Übungsaufgaben werden die Schülerinnen und Schüler dazu angehalten, nach fehlenden Informationen zu recherchieren und diese kritisch bei der Problemlösung einzusetzen. Heuristische Strategien werden in allen Themengebieten zur Problemlösung verwendet. Die Schülerinnen wenden ihre erworbenen Fähigkeiten in zunehmend komplexeren Situationen an. Heuristische Strategien werden in allen Themengebieten zur Problemlösung verwendet. In der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Heuristische Strategien“ erfolgt eine übersichtliche, übergeordnete Zusammenstellung. Im Kapitel Differentialrechnung wird der Übergang von der mittleren zur lokalen Änderungsrate analysiert und beide Begriffe in vielfältigen Anwendungen verwendet. „Mathematisch modellieren“ Modelle zur Beschreibung von Realsituationen wählen, variieren und verknüpfen Das Modellieren wird sowohl bei geometrischen als auch algebraischen, funktionalen und stochastischen Problemen deutlich herausgestellt. Zielumkehraufgaben zum Finden von Realsituationen zu vorgegebenen Termen, Graphen und Figuren schulen flexible Vorgehensweisen. Die zum Modellieren in Klassen 5 bis 9 erworbenen Kompetenzen werden bei komplexeren geometrischen, algebraischen und funktionalen Fragestellungen weiter geschult. Insbesondere werden Modelle auch verglichen und miteinander verknüpft. In der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Realistischer beschreiben – Modelle variieren“ werden gezielt Modelle schrittweise immer mehr der Realität angepasst. Das lineare und exponentielle Wachstum wird nach der expliziten Beschreibung in Klasse 9 nun in Klasse 10 auch rekursiv untersucht. Die Kenntnisse werden auf das begrenzte und logistische Wachstum übertragen. Nachdem in den bisherigen Klassenstufen Modelle überprüft und Ergebnisse interpretiert wurden, werden zunehmend Modelle auch analysiert. Insbesondere werden das lineare und exponentielle Wachstum gegeneinander abgegrenzt. Zusätzlich zu den bisher bekannten Modellen werden Modellierungen mit Potenz- und trigonometrischen Funktionen behandelt. Insbesondere werden auch Regressionen nach linearem, potenziellem und exponentiellem Ansatz verglichen. Rekursionen zur Ermittlung von Lösungen im mathematischen Modell verwenden verschiedene Modelle im Hinblick auf die Realsituation analysieren und bewerten „Mathematische Darstellungen verwenden“ Unterschiedliche Darstellungsformen für reelle Zahlen nutzen Durchgehend werden Potenz-, Wurzel- und andere Schreibweisen verwendet und bei Anwendungen sinnvoll eingesetzt. In der Rubrik „Im Blickpunkt: Kleine Anteile - große Wirkung“ wird die Anwendung in einem besonderen Gebiet separat herausgestellt. Rekursive Zusammenhänge darstellen, auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners, solche Darstellungen interpretieren und nutzen Schrägbilder von Körpern zeichnen, Netze entwerfen und Modelle herstellen Mehrfache Abhängigkeiten mit Vierfeldertafeln darstellen und diese analysieren Rekursionen werden im Zusammenhang mit linearem, exponentiellem, begrenzten und logistischem Wachstum behandelt und in Anwendungen genutzt. Das Berechnen von Größen bei Körpern erfolgt in engem Wechselspiel mit den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten der Körper. In der Rubrik „Im Blickpunkt: Dreitafelprojektion“ wird eine weitere Darstellung, die häufig in der Technik verwendet wird, ergänzt. Vierfeldertafeln werden sowohl bei der Darstellung von statistischen Daten als auch im Zusammenhang mit Zufallsexperimenten verwendet. Hierbei wird insbesondere das Wechselspiel zwischen Vierfeldertafel und den zwei dazu möglichen Baumdiagrammen thematisiert. In der Rubrik „Im Blickpunkt: Paradoxien mit bedingten Wahrscheinlichkeiten“ werden auf den ersten Blick überraschende Ergebnisse analysiert. „Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen“ Tabellen, Graphen, Terme und Gleichungen zur Bearbeitung funktionaler Zusammenhänge nutzen Konsequent werden die in den bisherigen Klassenstufen kennengelernten Strategien und Techniken weiter entwickelt und auf Exponentialfunktionen übertragen. Die in den bisherigen Klassenstufen kennengelernten Strategien und Techniken werden weiter entwickelt und auf die Sinus- und Kosinusfunktion, Potenzfunktionen und auf Wachstumsprozesse übertragen. Terme umformen, ggf. auch mit einem ComputerAlgebra-System Besonders im Zusammenhang mit Potenzen werden Termumformungen thematisiert. Der Einsatz eines Computer-Algebra-Systems wird immer wieder angeboten. Termumformungen werden durchgängig benötigt. In der Rubrik „Bleib fit im Umgang mit dem Rechner: Terme“ wird besonders auch ein Computer-AlgebraSystem eingesetzt. geeignete Verfahren zum Lösen von Gleichungen wählen Neben einer Wiederholung der Verfahren für Gleichungssysteme und quadratische Gleichungen werden Potenzgleichungen symbolisch mit Wurzeln und auch unter Verwendung der Möglichkeiten mit technischen Hilfsmitteln gelöst. In der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Lösen von Gleichungen“ sind alle Verfahren, die die Schülerinnen und Schüler im Zusammenhang mit dem Lösen von Gleichungen bisher kennengelernt haben, in Form einer Mind-Map noch einmal übersichtlich dargestellt. Tabellenkalkulationsblätter werden interpretiert und auch selber erstellt - insbesondere bei der Bestimmung von Näherungswerten . GTR und DGS werden konsequent mit allen ihren Darstellungsformen und Einsatzmöglichkeiten genutzt, auch zur Erkundung komplexerer Situationen mit eher experimentellem Vorgehen. Die Möglichkeiten der technischen Hilfsmittel zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen werden wiederholt und angewendet. Zusätzlich werden Exponentialgleichungen auch symbolisch mit Logarithmen gelöst. Im Buch sind an verschiedenen Stellen Ausschnitte aus Nachschlagewerken und anderen Veröffentlichungen wie auch dem Internet angegeben. Darüber hinaus werden die Schülerinnen und Schüler auch zur selbstständigen Nutzung dieser Medien bei der eigenständigen Recherche angehalten. Der Durchgehend wird auf den Einsatz einer Formelsammlung hingewiesen, wenn es sinnvoll ist. eine Tabellenkalkulation und ein Computer-AlgebraSystem zur Darstellung und Erkundung mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung von Ergebnissen nutzen eine handelsübliche Formelsammlung nutzen Umgang mit Formeln wird durchgängig geschult und in der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Arbeiten mit der Formelsammlung“ werden im Zusammenhang mit Formelsammlungen wichtige Anhaltspunkte erarbeitet und deutlich herausgestellt. Ein Computer-Algebra-System wird eingesetzt beim Lösen von Gleichungen, bei der Bestimmung von Grenzwerten, beim Ableiten und bei Termumformungen. Tabellenkalkulation wird speziell bei Wachstums- und Zerfallsvorgängen eingesetzt. „Kommunizieren“ - Ihre Überlegungen anderen verständlich mitteilen, wobei sie vornehmlich die Fachsprache benutzen - Problembearbeitungen präsentieren, auch unter Verwendung geeigneter Medien - Überlegungen von anderen zu mathematischen Inhalten verstehen, diese auf Schlüssigkeit und Vollständigkeit überprüfen und darauf eingehen - Die Arbeit im Team beurteilen und bewerten und diese weiterentwickeln Der angemessene Umgang mit Kritik ist im wesentlichen im Unterricht zu erreichen, hilfreich hierfür sind aber Aufgaben im Buch, die Stellungnahme zu nicht persönlich Betroffenen einfordern: Fehlersuche, Vergleich von Lösungswegen, ....Das Bearbeiten der Lernfelder sowie eine Vielzahl von Aufträgen in den Übungsaufgaben, die sich besonders für Partner- und Teamarbeit eignen, fördern die Teamfähigkeit der Schülerinnen und Schüler. In der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Arbeit im Team organisieren“ werden wichtige Elemente bei einer Gruppenarbeit zusammengestellt und reflektiert. Der angemessene Umgang mit Kritik ist im wesentlichen im Unterricht zu erreichen, hilfreich hierfür sind aber Aufgaben im Buch, die Stellungnahme zu nicht persönlich Betroffenen einfordern: Fehlersuche, Vergleich von Lösungswegen, ....Das Bearbeiten der Lernfelder sowie eine Vielzahl von Aufträgen in den Übungsaufgaben, die sich besonders für Partner- und Teamarbeit eignen, fördern die Teamfähigkeit der Schülerinnen und Schüler. In der Rubrik „Auf den Punkt gebracht: Präsentieren im Team“ werden wichtige Elemente bei einer Präsentation zusammengestellt und reflektiert „Zahlen und Operationen“ exemplarisch Rechengesetze für Potenzen mit rationalen Exponenten begründen und diese anwenden Gleichungen in einfachen Fällen algebraisch mit Hilfe von Umkehroperationen lösen „Größen und Messen“ Streckenlängen und Winkelgrößen mit Hilfe von Ähnlichkeits- und trigonometrischen Beziehungen berechnen Umfang und Flächeninhalt von Kreisen schätzen und berechnen näherungsweise den Flächeninhalt des Kreises bestimmen und die Genauigkeit bewerten Umfang und Flächeninhalt von Figuren abschätzen und die Ergebnisse bewerten Oberflächeninhalt und Volumen von Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel schätzen und berechnen Oberflächeninhalt und Volumen von Körpern mit Hilfe von Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel abschätzen und die Ergebnisse bewerten Lernfeld: Mit „...hoch...“ hoch hinaus 4.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 4.2 n-te Wurzeln 4.4 Potenzen mit rationalen Exponenten 4.5 Potenzgesetze und ihre Anwendungen 4.3 Lösungsmengen von Potenzgleichungen Auf den Punkt gebracht: Lösen von Gleichungen Lernfeld: Alles über Dreiecke 2.1 Trigonometrie: Sinus, Kosinus und Tangens 2.2 Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken 2.3 Überblick über die verschiedenen Aufgabentypen bei der Berechnung rechtwinkliger Dreiecke Blickpunkt: Wie hoch ist eigentlich ... euer Schulgebäude? 2.4 Berechnungen in beliebigen Dreiecken Lernfeld: Rund und spitz – Wie groß? 5.1 Umfang eines Kreises 5.2 Flächeninhalt eines Kreises Im Blickpunkt: Die Zahl π in der Geschichte der Menschheit Lernfeld: Rund und spitz – Wie groß? 5.2 Flächeninhalt eines Kreises 5.3 Kreisausschnitt und Kreisbogen Im Blickpunkt: Gotische Maßwerkfenster 5.4 Zylinder 5.5 Pyramide und Kegel 5.6 Kugel 5.4 Zylinder 5.5 Pyramide und Kegel 5.6 Kugel 1.3 Sinus- und Kosinusfunktion mit R als Definitionsmenge 2.6 Logarithmen - Exponentialgleichungen „Raum und Form“ Ähnlichkeiten erkennen und begründen Schrägbilder von Zylinder, Pyramide und Kegel zeichnen, Körpernetze entwerfen und Modelle herstellen Ähnlichkeit geometrischer Objekte erfassen und begründen und diese Eigenschaft im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen nutzen Lernfeld: Gleiche Form – andere Größe 1.1 Ähnliche Vielecke Im Blickpunkt: Volumen bei zueinander ähnlichen Quadern 1.2 Zentrische Streckungen 1.3 Ähnlichkeit bei beliebigen Figuren Im Blickpunkt: Irrationale Längenverhältnisse 1.4 Ähnlichkeitssatz für Dreiecke – Beweise Im Blickpunkt: Selbstähnlichkeit 5.4 Zylinder 5.5 Pyramide und Kegel 5.6 Kugel Im Blickpunkt: Dreitafelprojektion Lernfeld: Gleiche Form – andere Größe 1.1 Ähnliche Vielecke Im Blickpunkt: Volumen bei zueinander ähnlichen Quadern 1.2 Zentrische Streckungen 1.3 Ähnlichkeit bei beliebigen Figuren Im Blickpunkt: Irrationale Längenverhältnisse 1.4 Ähnlichkeitssatz für Dreiecke – Beweise Im Blickpunkt: Selbstähnlichkeit 1.5 Strahlensätze 1.6 Berechnen von Längen mithilfe der Strahlensätze 1.7 Umkehren des 1.Strahlensatzes für Halbgeraden Im Blickpunkt: Goldener Schnitt „Funktionaler Zusammenhang“ funktionale Zusammenhänge als Zuordnungen zwischen Zahlen und zwischen Größen in Tabellen, Graphen, Diagrammen und Sachtexten erkennen, verbal beschreiben, erläutern und beurteilen 4.6 Beschreibung exponentieller Prozesse Im Blickpunkt: Mittelwerte bei Zunahme- und Abnahmeprozessen 4.7 Exponentialfunktionen und ihre Eigenschaften 4.8 Verschieben und Strecken der Graphen der Exponentialfunktionen Funktionen in Tabellen, Termen, Gleichungen und Graphen identifizieren und klassifizieren 4.7 Exponentialfunktionen und ihre Eigenschaften 4.8 Verschieben und Strecken der Graphen der Exponentialfunktionen Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen und die Sinusfunktion als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge nutzen, auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners Funktionen durch Terme und Gleichungen darstellen und zwischen den Darstellungen Term, Gleichung, Tabelle, Graph wechseln 4.6 Beschreibung exponentieller Prozesse 4.7 Exponentialfunktionen und ihre Eigenschaften 4.8 Verschieben und Strecken der Graphen der Exponentialfunktionen Lernfeld: Hin und her – rauf und runter 1.1 Periodische Vorgänge 1.2 Sinus und Kosinus am Einheitskreis 2.1 Potenzielles Wachstum – Potenzfunktionen 2.3 Lineares und exponentielles Wachstum – Wiederholung 2.4 Exponentialfunktionen – Wiederholung 2.5 Wachstum modellieren - Regression 1.3 Sinus- und Kosinusfunktion mit R als Definitionsmenge 1.4 Strecken des Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion 1.5 Verschieben des Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion 1.6 Allgemeine Sinusfunktion 2.1 Potenzielles Wachstum – Potenzfunktionen 2.4 Exponentialfunktionen – Wiederholung Lernfeld: Hin und her – rauf und runter 1.1 Periodische Vorgänge 1.2 Sinus und Kosinus am Einheitskreis 2.1 Potenzielles Wachstum – Potenzfunktionen 1.4 Strecken des Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion 1.5 Verschieben des Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion 1.6 Allgemeine Sinusfunktion 2.1 Potenzielles Wachstum – Potenzfunktionen 2.4 Exponentialfunktionen – Wiederholung 2.7 Logarithmusfunktionen Sachsituationen durch Funktionen modellieren 4.6 Beschreibung exponentieller Prozesse die Eigenschaften von Funktionen auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners zur Lösung von Problemen anwenden und die Lösungen bewerten 4.6 Beschreibung exponentieller Prozesse 4.7 Exponentialfunktionen und ihre Eigenschaften 4.8 Verschieben und Strecken der Graphen der Exponentialfunktionen die Parameter von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen in den graphischen Darstellungen deuten und diese in Anwendungssituationen nutzen 4.8 Verschieben und Strecken der Graphen der Exponentialfunktionen eine Parametervariation für Funktionen mit y = a × f(b × x + c) + d an Beispielen unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners durchführen und die Auswirkungen auf den Graphen beschreiben und begründen 4.8 Verschieben und Strecken der Graphen der Exponentialfunktionen Lernfeld: Hin und her – rauf und runter 1.1 Periodische Vorgänge 1.2 Sinus und Kosinus am Einheitskreis 1.7 Modellieren mit allgemeinen Sinusfunktionen 2.5 Wachstum modellieren – Regression Im Blickpunkt: Spiralen Im Blickpunkt: Fraktale Handy-Antenne Im Blickpunkt: Verkehrsfluss in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit 1.1 Periodische Vorgänge 1.2 Sinus und Kosinus am Einheitskreis 1.3 Sinus- und Kosinusfunktion mit R als Definitionsmenge 1.4 Strecken des Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion 1.5 Verschieben des Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion 1.6 Allgemeine Sinusfunktion 4.3 Symmetrie 4.6 Nullstellen ganzrationaler Funktionen Lernfeld: Hin und her – rauf und runter 1.4 Strecken des Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion 1.5 Verschieben des Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion 1.6 Allgemeine Sinusfunktion 2.1 Potenzielles Wachstum - Potenzfunktionen Lernfeld: Hin und her – rauf und runter 1.4 Strecken des Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion 1.5 Verschieben des Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion 1.6 Allgemeine Sinusfunktion Auf den Punkt gebracht: Parametervariation – Abbilden von Funktionsgraphen 2.1 Potenzielles Wachstum – Potenzfunktionen die Funktionsgleichung aus dem Graphen bestimmen 4.8 Verschieben und Strecken der Graphen der Exponentialfunktionen lineares, potentielles und exponentielles Wachstum gegeneinander abgrenzen 4.6 Beschreibung exponentieller Prozesse lineares und exponentielles Wachstum sowie deren Überlagerung rekursiv modellieren, auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners mittlere Änderungsraten und Sekantensteigungen in funktionalen Zusammenhängen, die als Tabelle, Graph oder Term dargestellt sind, beschreiben und interpretieren, diese berechnen auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners und an Beispielen erläutern die Ableitung als lokale Änderungsrate und als Tangentensteigung beschreiben und interpretieren, diese berechnen auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners und an Beispielen erläutern Graphen und Ableitungsgraphen auseinander entwickeln, Zusammenhänge beschreiben und begründen und diese in Sachzusammenhängen interpretieren 1.4 Strecken des Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion 1.5 Verschieben des Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion 1.6 Allgemeine Sinusfunktion 2.1 Potenzielles Wachstum – Potenzfunktionen 2.2 Asymptoten Einstiegsseite Wachstumsprozesse – Grenzwerte 2.3 Lineares und exponentielles WachstumWiederholung 2.5 Wachstum modellieren - Regression Lernfeld: Schritt für Schritt zur Lösung 2.8 Rekursive Beschreibung von Wachstum – Folgen Im Blickpunkt: Fraktale Handy-Antenne 2.9 Überlagerung von exponentiellem und linearem Wachstum 2.10 Begrenztes Wachstum – Grenzwert 2.11 Logistisches Wachstum Bleib fit im Umgang mit Änderungsraten Einstiegsseite Differenzialrechnung Lernfeld: Änderungen beschreiben 3.1 Tangentensteigung und Änderungsrate – Ableitung 3.2 Ableitung der Quadratfunktion 3.3 Ableitung weiterer Funktionen 3.1 Tangentensteigung und Änderungsrate – Ableitung 3.2 Ableitung der Quadratfunktion 3.3 Ableitung weiterer Funktionen 3.4 Differenzierbarkeit Im Blickpunkt: Parabelflug 3.5 Ableitungsfunktion die Ableitungsfunktion von ganzrationalen Funktionen bis 4. Grades, von x1/(a·x+b) und x sin(a·x+b) bestimmen 3.6 Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion 3.7 Ableitung von Potenzfunktionen – Potenzregel 3.8 Ableitungsregeln 3.9 Kettenregel bei linearer innerer Funktion 3.8 Ableitungsregeln die Summen- und Faktorregel zur Berechnung von Ableitungsfunktionen anwenden mit der Ableitung von ganzrationalen Funktionen Sachprobleme, insbesondere Optimierungsprobleme lösen, auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners Lernfeld: Minimal – Maximal – Beste Lösung 4.1 Optimierungsprobleme – grafisches und tabellarisches Lösen Im Blickpunkt: Verkehrsfluss in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit 4.2 Ganzrationale Funktionen 4.4 Änderungsverhalten von Funktionen 4.5 Extremwertprobleme – algebraisches Lösen 4.2 Ganzrationale Funktionen 4.4 Änderungsverhalten von Funktionen 4.7 Wendepunkte – Linkskurve und Rechtskurve 4.8 Klassifikation ganzrationaler Funktionen 2. und 3. Grades Funktionen und ihre Graphen unter Verwendung der Ableitung untersuchen, auch unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners „Daten und Zufall“ Datenpaare graphisch darstellen, Regressionen unter Verwendung des eingeführten Taschenrechners durchführen und die Ergebnisse für Prognosen nutzen die Kenntnisse über zweistufige Zufallsexperimente nutzen, um statistische Aussagen mit Hilfe von Baumdiagramm oder Vierfeldertafel zu interpretieren 1.7 Modellieren mit allgemeinen Sinusfunktionen 2.5 Wachstum modellieren - Regression Lernfeld: Vor und zurück in Bäumen und Feldern 3.1 Darstellung von Daten in Vierfeldertafeln 3.2 Zufallsexperimente und Vierfeldertafeln 3.3 Umkehrung von Baumdiagrammen Im Blickpunkt: Paradoxien mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
