ANALYTISCHE GEOMETRIE

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ANALYTISCHE GEOMETRIE
WAHLBEREICH
Aufgaben 1990 – 2017 H
x3
S
13. Klasse
H
ABI 2018
G
D
C
x2
A
E
x1
F
B
© Jens Möller
Autor:
Jens Möller
Owingen
Tel. 07551-68289
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Sonnenhalde 6
88 699 FRICKINGEN-LEUSTETTEN
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ANALYTISCHE GEOMETRIE
GK 1-1990
STAB UND SCHATTEN
Gegeben sind die Punkte P(3/1/3), Q(0/2/4) und R(-6/5/5), die Gerade g mit der Gleichung
 3 
 6
  
 
x   0   t   1  und die Ebene E1 : 2 x1  x2  x3  2  0 .
8
 3 
 
 
Die Ebene E2 enthält die Punkte P, Q und R.
a)
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes und den Schnittwinkel von g und E1.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E2.
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und E2.
[Teilergebnis: E2 : 2 x1  3x2  3x3  18  0 ]
b)
Die Ebene E2 schneidet die x1-Achse in S1, die x2-Achse in S2 und die x3-Achse in S3.
Geben Sie die Koordinaten von S1, S2 und S3 an. Zeichnen Sie die Pyramide O S 1 S2 S3 in
ein Koordinatensystem ein.
E1 schneidet S1O in A, S1S2 in B und S1S3 in C. Berechnen Sie die Koordinaten von A,
B und C.
Zeichnen Sie das Dreieck ABC in das vorhandene Koordinatensystem ein. Berechnen
Sie das Volumen der Pyramide mit der Spitze C und der Grundfläche S1BA.
c)
Im Punkt D(1,5/5/0) der Kante S1S2 steht ein Stab senkrecht auf der x1 x2 Ebene mit der
Spitze im H(1,5/5/8).
Zeichnen Sie den Stab in das vorhandene Koordinatensystem ein.
Sonnenlicht fällt senkrecht zur Pyramidenfläche S1S2S3 ein. Dabei wirft der Stab einen
Schatten, dessen oberer Teil in der x2 x3 Ebene liegt; der untere Teil des Schattens liegt
auf der Pyramidenfläche S1S2S3. Berechnen Sie die Koordinaten des Schattens der Stabspitze H. Im Punkt K geht der Schatten des Stabes in die x2 x3 Ebene über. Berechnen
Sie die Koordinaten des Knickpunktes K. Zeichnen Sie den Schatten in das Koordinatensystem ein.
= 30 P
-1-
LÖSUNGEN
x3
H
H
4
K
3
C
2
1
x2
A
1
2
3
4
1
D
2
3
B(3/4/0)
4
x1
a)
Schnittpunkt:
g  E1 :  S (3 / 1 / 5)
Schnittwinkel von g mit E1:
6 2
   
 1    1
   
 3   1 |12  1  3 |

 0,9631    74,38
sin  
46  6
46  6
Gleichung von E2:
 3
3
 9 
  
 
 
x   1   s   1   t   4   2 x1  3 x2  3 x3  18
 3
 1 
 2 
 
 
 
Gegenseitige Lage von g und E2:
 
(1) a  n  ......  0  g  E2
Punktprobe für den Stützpunkt von g:
(2)
Po (3 / 0 / 8) in E2 : 
2  (3)  3  0  3  8  18  P  E2
Aus (1) und (2) folgt: g liegt in der Ebene E2.
b)
Spurpunkte von E2 :
x1 x2 x3
   1  S1 (9 / 0 / 0) S 2 (0 / 6 / 0) S3 (0 / 0 / 6)
9 6 6
Schnitt der x1-Achse mit E1 :
x1 x2 x3
  1 
1 2 2
-2-
A(1/ 0 / 0)
9
 9 
  
Gerade S1S 2 : x   0   t   6 
0
 0 
 
 
S1S 2  E1 
9
 9 
  
Gerade S1S3 : x   0   t   0 
0
 6 
 
 
S1S3  E1  C (3 / 0 / 4)
B (3 / 4 / 0)
Volumen der Pyramide:
Grundfläche S1 BA :
G  12  8  4  16 FE
Spitze ist C:
h  4 LE
Volumen:
V  13  G  h  ....  21 13 VE
c)
Bestimmung des Schattenpunktes:
Sonnenstrahl, der durch H geht und E senkrecht trifft:
 1,5 
2
  
 
x   5   t  3
 8 
3
 
 
x2 x3  Ebene : x1  0  1,5  2t  0  t   0, 75  H (0 / 2, 75 / 5, 75)
Bestimmung des Knickpunktes K:
K liegt senkrecht unter H

K (0 / 2, 75 / z )
z ist noch unbekannt.
K liegt außerdem auf der Spurgeraden S 2 S3 von E2: 2 x1  3 x2  3 x3  18 :
Setzt man x1  0 (Koordinatenebene), so erhält man die Gleichung der Spurgeraden:
3 x2  3 x3  18 | setze x2  2, 75  2, 75  x3  6 
Die Koordinaten von K lauten:
K (0 / 2, 75 / 3, 25)
-3-
x3  3, 25
ANALYTISCHE GEOMETRIE
GK 1-1992
PYRAMIDE UND SCHATTEN
Die Ebene E enthält die Punkte P(6/6/0), Q(2/2/6) und R(4/5/2).
Die Punkte P, A(2/8/0) und O(0/0/0) sind Eckpunkte einer massiven dreiseitigen Pyramide
mit der Spitze S(4/6/10).
a)
Stellen Sie eine Koordinatengleichung von E auf.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebene E mit der x1-x2-Ebene.
Zeigen Sie, dass A und P auf der Schnittgeraden liegen.
Zeichnen Sie die Pyramide in einem Koordinatensystem.
E :
b)
x1  2 x2  2 x3  18  0 
Die Ebene E schneidet die Pyramide in einem Dreieck.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte dieses Dreieckes.
Zeichnen Sie dieses Dreieck in das vorhandene Koordinatensystem ein.
Zeigen Sie, dass das Schnittdreieck gleichschenklig ist, und berechnen Sie seinen Flächeninhalt.
Bestimmen Sie das Volumen derjenigen Pyramide, die das Schnittdreieck als Grundfläche und S als Spitze hat.
c)
3
  
Der Vektor a   1  gibt die Richtung von parallel einfallendem Licht an. Dabei wirft
 5 
 
die Pyramide PAOS einen Schatten auf die x1-x2-Ebene.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes S* der Pyramidenspitze S.
Zeigen Sie, dass S* auf der Geraden durch A und P liegt.
Zeichnen Sie den Pyramidenschatten in das vorhandene Achsenkreuz ein.
d)
Die Richtung des einfallenden Lichtes wird nun so verändert, dass der Schatten der Pyramide ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck OSP mit rechtem Winkel bei S
ergibt. Welchen Richtungsvektor hat dann das einfallende Licht?
= 30 P
-4-
LÖSUNGEN
a)
Ebenengleichung in Parameterform:
6
 4
 2
6
 2
 2
1
  
  
 
 
 
 
 
E : x   6   s   4   t   1   kürzen...   6   s   2   t   1   n   2 
0
 6 
 2 
0
 3 
 2 
2
 
 
 
 
 
 
 
Ebenengleichung in Koordinatenform:
E : x1  2 x2  2 x3  18
Ebenengleichung in Achsenabschnittsform:
E:
x1 x2 x3
  1
18 9 9
Spurgerade:
x3  0 
x1  2 x2  18
Punktproben:
für A(2 / 8 / 0)  2  2  8  18  18  18
für P (6 / 6 / 0)  6  2  6  18  18  18
x3
9
S
O
4
3
2
1
O
S
4
3
2
1
2
9
1
A
Schatten
P
S*
x1
18
-5-
x2
b)
A und P sind Eckpunkte des Schnittdreiecks, weil diese auf der Spurgeraden liegen.
4

 
Gerade OS : x  t   6   E  O(2 / 3 / 5)
 10 
 
Gleichschenkligkeit:
OP  OA  50

(dritter Eckpunkt)
das Dreieck ist gleichschenklig.
4 0
   
 3  5 
 5   5 
    40

 0,8    36,87
cos  
50
50
Winkel:
A 
Flächeninhalt:
1
2
50  50  sin   .......  15 FE
[alternativ mit A  12 g  h ]
c)
d)
Höhe:
H  .... Abstandsformel..  6 LE
Volumen:
VPyr  13 G  H  13 15  6  30 VE
Lichtstrahl:
4
 3
  
 
x   6   t   1   x3  0 
 
 
 10 
 5 
Punktprobe für S*:
10  2  4  18  18  18 stimmt
S * (10 / 4 / 0)
S liegt auf der Mittelsenkrechten der Strecke OP:
Richtung von OP:
1
1
  
  
a   1  dazu senkrecht ist b   1  (Richtung des Mittellotes)
0
0
 
 
Mitte von OP:
M (3/ 3/ 0)
Mittellot:
Bedingung:
 3
1
  
 
x   3   t   1  
0
0
 
 
S (3  t / 3  t / 0) variabler Punkt auf dem Lot
 
OS ⋅ PS = 0 wegen  = 90 
t1  3  S 1 (6 / 0 / 0)
æ3 + t ö÷ æ-3 + t ö÷
çç
÷÷ çç
÷÷
ççç 3 - t ÷÷⋅ ççç-3 - t ÷÷ = 0  t ² = 9
÷÷ ç
÷÷
çç
è 0 ÷ø èç 0 ø÷
t2  3  S 2 (0 / 6 / 0) entfällt
Richtung des einfallenden Lichtes:
 2 
1
 

 
b   6    3 
 10 
 5 


 
-6-
ANALYTISCHE GEOMETRIE
GK 2-1994
SPIELPLATZ
x3
Auf einem Kinderspielplatz steht
S
ein Stangengerüst als Kletterturm.
Es besteht aus einem Würfel
P1P2P3P4Q1Q2Q3Q4 mit der Kantenlänge
3m.
Die
Deckfläche
Q1Q2Q3Q4 ist aus einer massiven
aufgesetzt.
R
Q4
Q3
2
Q1
Holzplatte. Ihr ist ein 1m hohes
Quadergerüst
4
Q2
1
Die
P4
Dachkanten bilden eine 2m hohe
2
P3
x2
4
2
symmetrische Pyramide. Von der
P1
Kante Q2Q3 führt eine 3m breite
und 5m lange rechteckige Rutsch-
1
1
4
P2
g
x1
fläche zum Boden.
Drei Kanten des Gerüstes liegen auf den Koordinatenachsen. Der Boden liegt in der horizontalen x1 x2 Ebene . (Siehe Skizze.)
a) Das Dach soll gedeckt werden. Berechnen Sie die Größe aller Dachflächen zusammen.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Rutschfläche liegt.
Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Deckfläche Q1Q2Q3Q4 und der Rutschfläche E.
(10 P)
b) Vertikal über dem Mittelpunkt der Rutschfläche soll eine Lampe angebracht werden, die
2,50m über dem Mittelpunkt hängen soll. Aus Sicherheitsgründen muss die Lampe einen
Mindestabstand von 1,80m zur Rutschfläche haben. Untersuchen Sie durch Rechnung, ob
diese Vorschrift hier eingehalten ist.
(9 P)
c) Eine geradlinige Markierung g auf dem Boden verläuft parallel zur x1-Achse; sie beginnt
in der Mitte der Kante P1P2. (Siehe Skizze.)
Auf dieser Markierung steht ein Kind 3m von der Seitenfläche PP
1 2Q2Q1 entfernt. Kann es von
dort aus die Dachecke R sehen, wenn seine Augenhöhe 1m beträgt ? Wie groß muss der Abstand des Kindes auf der Markierung g von der Seitenfläche PP
1 2Q2Q1 sein, damit das Kind
den Punkt R gerade noch sieht?
(11 P)
-7-
LÖSUNGEN
x3
a)
S
Dachfläche:
4
h  2²  1,5²  2,5 m
Q4
ADach  12  g  h  12  3  2,5  3, 75 m ²
2
Q1
Ages  4  3, 75  15 m ²
h
2
R
1,5
Q3
1
5m
3m
Q2
(0/7/0)
4m
Rutschfläche:
1
P5 (3 / 7 / 0)

P6 (0 / 7 / 0)
1
P3
2
x2
4
2
d  5²  3²  4 m

P4
P1
P2
d
(3/7/0)
4
A
g
x1
EBENENGLEICHUNG
0
1
 0
  
 
 
E1 : x   3   s   0   t   4  
 3
0
 3 
 
 
 
Winkel zwischen Deck- und Rutschfläche:
WINKEL
b)
E1 : 3 x2  4 x3  21
(stumpfer Winkel, siehe Zeichnung)
0  0
   
 0 3
1  4
    4
  0,8    36,87     180    143,13
cos  
1  25 5
Mittelpunkt der Rutschfläche:
M  32 0 / 327 / 32 0   M (1,5 / 5 /1,5)
Lichtquelle:
L 1,5 / 5 /1,5  2, 5   L (1, 5 / 5 / 4)
Abstand der Lampe:
d
zur Rutschfläche:
d
| Ax1  Bx2  Cx3  D |
A  B C
2
2
10
2m 
5
-8-
2

| 0 1,5  3  5  4  4  21|
25
Die Vorschrift wird eingehalten.
c)
Augpunkt A des Kindes:
A  3  3 /1,5 / 0  1)   A  6 /1,5 /1) 
Sehstrahl AR:
 6 
 6 
  


x   1, 5   t   1, 5  oder
 1 
 3 
 


Ebene Q1Q2Q3Q4 :
[Sonderfall]
0
 6 
  


x   3   t   1,5 
4
 3 
 


E2 : x3  3
Wo schneidet die Ebene den Sehstrahl? 3  1  3t  t   23
 S (2 / 2,5 / 3)
Dieser Schnittpunkt liegt im Innern der massiven Holzplatte. Daher kann das Kind die
Ecke R nicht sehen.
Nun soll der Augpunkt parallel zu g beweglich sein:
Ansatz:
A( a /1, 5 /1)

auch der Sehstrahl ist beweglich, wobei R fest ist.
0
 a0 
0
 a 
  
  




s : x   3   t  1,5  3   s : x   3   t   1,5 
 4
 1 4 
 4
 3 
 


 


Der Sehstrahl soll die Kante Q1Q2 treffen.
Für einen Punkt der Kante gilt:
x1  3 /
3  0  t  a
x3  3  
 3t  1  t  13
 3  4  3t
Einsetzen in Gl. (1):
 3  13 a  a  9
Augpunkt:
A  9 / 1, 5 / 1) 
Der Abstand zur Seitenfläche muss also mindestens 6m betragen, damit das Kind den
Punkt R sehen kann.
-9-
ANALYTISCHE GEOMETRIE
GK 1-1998
PYRAMIDE / GERADENSCHAR / EBENENSCHAR
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(3/-3/0), B(2/0/8) und C(2/-2/4)
gegeben und für jedes t   die Gerade
 3 
1
  
 
g t : x   3   r   1 
 0
 t 
 
 
Die Ebene E enthält die Punkte A, B, C.
a)
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E und die Schnittpunkte von E mit den
Koordinatenachsen. Diese Punkte bilden ein Dreieck. Zeichnen Sie dieses Dreieck in
ein Koordinatensystem ein.
(Längeneinheit l cm; Verkürzungsfaktor in x1-Richtung
1
2
2 ).
Unter welchem Winkel schneidet g0 die x1-Achse?
Für welchen Wert von t verläuft die Gerade gt parallel zu E?
Für welchen Wert von t schneidet die Gerade gt die Ebene E senkrecht?
(Teilergebnis:
E : 2 x1  2 x2  x3  12  0 )
(9 P)
b)
Bestimmen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs O von E.
O wird an E gespiegelt.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes
O . Für t* = 2 2 gibt es auf g t
*
Punkte, die vom Koordinatenursprung O den gleichen Abstand haben wie O von E. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte.
(7 P)
c)
Die Ebene E und die Koordinatenebenen legen eine Pyramide fest. Berechnen Sie das
Volumen dieser Pyramide. Für welche a   liegt der Punkt P(l / - 4 / a) im Innern der
Pyramide?
(7 P)
d)
Alle Geraden gt sind in einer Ebene F enthalten.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung für F. Zeigen Sie, dass F Symmetrieebene
der Pyramide aus Teilaufgabe c) ist.
(7 P)
= 30 P
- 10 -
LÖSUNGEN
a)
Ebene:
 3
 1 
 1 
  
 
 
E : x   3   s   3   t   1  
 0
8
4
 
 
 
E : 2 x1  2 x2  x3  12
x1 x2 x3
   1  S1 (6 / 0 / 0) S 2 (0 /  6 / 0) S3 (0 / 0 / 12)
6 6 12
Gerade:
 3 
1
  
 
g 0 : x   3   r   1 
 0
0
 
 
Winkel mit der x1  Achse :
b)
 1  1
   
 1   0 
 0  0
1
   
cos  

2 1
2
g t || E :
 2 1
 
   
n  a  0   2    1   0  t   4
 1   t 
   
g t E :
 2
1


 
 
n  k  a   2   k   1   t 
 1 
 t 
 
 
Abstand:
d
|D|
A2  B 2  C 2
   45
1
2
 ...  4 LE
SPIEGELUNG
Lot:
 2

 
x  t   2 
1
 
Lot  E  ...... t 
4
3
Parameter verdoppeln  2t 
8
3
 O ( 163 /  163 / 83 )
 1 
 3 


  
gt* : x   3   r   1   P *(3  r / 3  r / 2 2  r )
0
2 2 
 


Abstand OP *  4 :
 r 1
( 3  r )²  (3  r )²  (2 2 r )²  4  9  6r  r ²  9  6r  r ²  8r ²  16   1
 r2  0, 2
 P1* (2 / 2 / 2 2) und P2* (2,8 / 2,8 / 0, 4 2)
- 11 -
c)
VOLUMEN:
V  13 G  h  13  12  6  6 12  72 VE
 1 
0
 

Variabler Punkt P(1/  4/ a) liegt auf der Geraden: g : x    4   a   0 
 0 
1


 
Durchstoßpunkte der Geraden g mit den Pyramidenflächen:
g  x3  0  a  0
g  E :  2 1  2( 4)  a  12  0  a  2

d)
für 0  a  2 liegt P im Innern der Pyramide.
GEMEINSAME EBENE F
Wähle z. B. t = 0 und t = 1
 3 
1
1
  
 
 
F : x   3   r   1   t   1  
 0
0
1
 
 
 
F : x1  x2  0
SYMMETRIEEBENE
F ist Symmetrieebene der Pyramide OS1S 2 S3 , weil F die Punkte O (0 / 0 / 0) ,
S3 (0 / 0 /12) und M (3/  3/ 0) enthält. [Beweis durch Punktprobe]
x3
S3
F
4
2
S2
O
2
M
4
S1
x1
- 12 -
1
x2
ANALYTISCHE GEOMETRIE
GK 2-1998
LASERSTRAHL
Für eine Lasershow unter freiem Himmel wird
ein Lasergerät auf einer Stange so montiert, dass
es motorgetrieben gedreht werden kann. Die
Drehachse verläuft durch die Punkte P(-l / -3 / -2)
und L( l / -l / 2). Der Laserstrahl wird im Punkt L
erzeugt und bildet mit der Drehachse einen Winkel .
a)
Geben Sie eine Geradengleichung für die Drehachse an.
Vor dem Einschalten des Motors strahlt der Laser längs der Geraden
1
1
  
 
g : x    1   t   1  ; t Î 
2
0
 
 
Berechnen Sie . Die Dachfläche einer entfernten Kirche liegt in der Ebene
 17 
4
0
 

 
 
E1 : x   19   r   0   s   5  ; r, s Î 
 0 
4
 1 


 
 
und wird vom Strahl im Punkt Q beleuchtet. Berechnen Sie die Koordinaten von Q. Wie
weit ist Q von L entfernt?
(6 P)
b)
Jetzt wird der Motor bei konstantem  = 90° eingeschaltet.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, in der sich der Laserstrahl bewegt. Berechnen Sie eine Gleichung der Geraden, auf der die beleuchtete Strecke des Kirchendachs
aus Teilaufgabe a liegt.
(7 P)
c)
Die Drehachse steht in P orthogonal auf einem ebenen Hang.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Hangebene.
Der Winkel  darf aus Sicherheitsgründen 70° nicht unterschreiten.
Berechnen Sie den Inhalt der Hangfläche, die deshalb nicht vom Laserstrahl beleuchtet
werden kann.
(7 P)
= 20 P
- 13 -
LÖSUNGEN
a)
Drehachse:
1
1
  
 
x   1   t   1 
2
2
 
 
Strahl:
1
1
  
 
g : x   1   t   1 
2
0
 
 
1  1 
   
 1    1
 2  0 
   
 0    90
cos  
6 2
Winkel:
b)
Ebene:
 17 
4
0
 

 
 
x   19   s   0   t   5  
 0 
4
 1 


 
 
g  E1 :
5 (1  t )  ( 1  t )  5  2  104  t  18  Q (19 / 19 / 2)
Abstand QL:
QL  18²  18²  25, 46 LE
Ebene des Laserstrahles:
E1  EL
E1 : 5 x1  x2  5 x3  104
 1   x1   1   1 
       
 1    x2    1     1  
2  x  2  2 
   3    
EL : x1  x2  2 x3  4
 beleuchtete Strecke
5 x1  x2  5 x3  104
 6 x1  3 x3  108  2 x1  x3  36
x1  x2  2 x3  4
c)
setze x3  t 
x1  18  12 t und
x2  14  2,5t
Leuchtgerade:
 18 
 0,5 
 18 
1
 
 




 
x   14   t   2,5   x   14   t   5 
 0 
 1 
 0 
2






 
Hangebene, Parallel zu E L durch P:
EH : x1  x2  2 x3  D  0 | P einsetzen  D  8
EH : x1  x2  2 x3  8  0
- 14 -
NICHT BELEUCHTETE FLÄCHE = KREISFLÄCHE mit Radius r
L
70°
r
P
r
 tan 70  r  PL  tan 70  24  tan 70  13, 46 LE
PL
KREISFLÄCHE:
A    r ²  ......  569 FE
- 15 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
GK 2-1999
GRABSTEIN
Ein Würfel mit der Kantenlänge 6 dm besteht aus Granit und wird zur Herstellung eines Gedenksteines verwendet. Die Eckpunkte des Würfels sind durch folgende Punkte gegeben:
O(0/0/0), A(6/0/0), B(6/6/0), C(0/6/0), D(6/0/6), E(6/6/6), F(0/6/6) und G(0/0/6).
a)
Zeichnen Sie den Würfel in ein Koordinatensystem ein.
Berechnen Sie den Winkel zwischen der Raumdiagonalen OE und der Flächendiagonalen CE.
(7 P)
b)
Vom Würfel wird die Pyramide BEDF abgesägt. Der verbleibende Restkörper wird
weiter bearbeitet.
Berechnen Sie den Winkel, unter dem die Schnittfläche gegen die Bodenfläche geneigt
ist.
Zeigen Sie, dass die Schnittfläche ein gleichseitiges Dreieck bildet.
Wie viel Prozent des ursprünglichen Würfelvolumens bleiben nach dem Absägen für
den Gedenkstein übrig?
(9 P)
c)
Auf der Schnittfläche aus Teilaufgabe b) soll eine Halbkugel aus Granit befestigt werden, welche die Schnittlinien der Schnittfläche berührt. Die Halbkugel soll an mehreren
Punkten auf der Schnittfläche befestigt werden.
S(4,5/3/4,5) ist einer dieser Punkte. In S wird ein Loch senkrecht zur Schnittfläche in
den Restkörper gebohrt. Die Bohrung soll 2 dm tief werden.
Untersuchen Sie, ob die Bohrung innerhalb des Restkörpers endet.
(7 P)
d)
Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M und den Radius r der Halbkugel
aus Teilaufgabe c).
Geben Sie den Abstand des Punktes M von der Seitenfläche DEFG an. Begründen Sie,
dass dieser Gedenkstein nicht aus einem Stück aus dem ursprünglichen Würfel hergestellt werden konnte.
(7 P)
= 30 P
- 16 -
LÖSUNGEN
x3
a)
F
G
D
E
2
M
M1
1
1
C
2
1
x2
2
3
4
A
B
x1
 6   6 
   
 6    0 
 6   6 
   
cos  
108  72
b)
Schnittfläche DBF:
   35, 26
6
0
 1 
  
 
 
E : x  0  s  1   t  1  
6
 1 
0
 
 
 
Neigungswinkel mit der Bodenfläche:
1  0 
   
1   0 
1  1 
   
cos  
3 1
   54, 74
Gleichseitigkeit:
DB  BF  DF  72
Grundfläche BED:
A  12  6  6  18 FE
Pyramidenvolumen:
VPyr  13 18  6  36 VE
Würfelvolumen:
VWürfel  63  216 VE
Restkörper:
VRe st  216  36  180 VE
Prozente:
p  180 : 216  0,833...  83,3% bleiben übrig.
- 17 -

E : x1  x2  x3  12
gleichseitig
c)
BOHRUNG in Richtung des Normalenvektors
Länge des Normalenvektors:
1
  

n   1   | n | 1²  1²  1²  3
1
 
Einheits-Normalenvektor:
1
1  

 1 hat die Länge 1.
n0 
3  
1
Startpunkt:
S (4,5/ 3/ 4,5)
Bohrung mit der Länge 2 nach innen:
2
 4,5 
1  4,5  3 


 
 2  
xT  xS  2n0   3  
 1   3  23   T  (3,34 /1,85 / 3,34)
3   



 4,5 
1  4,5  23 
T liegt innerhalb des Restkörpers, da alle Koordinaten positiv sind.
d)
M (4/ 4/ 4)
Mittelpunkt = Schwerpunkt des gleichseitigen Dreieckes DBF:
Die Formel für den Schwerpunkt lautet: M

x1  x2  x3
3
/
y1  y2  y3
3
/
z1  z2  z3
3
Seitenmitte von BF:
M 1 (3 / 6 / 3)
Radius:
r  MM 1  1²  2²  1²  6  2, 45 LE

Der Mittelpunkt M (4/ 4/ 4) der Halbkugel hat von der Seitenfläche DEFG des Würfels
den Abstand 2. Da der Kugelradius r  6  2 ist, ist es nicht möglich, den Gedenkstein aus einem Stück aus dem ursprünglichen Würfel herzustellen.
- 18 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
GK 1-2000
EBENENSCHAR / ZYLINDER
Die Gerade g geht durch die Punkte S1(4/0/0) und S2(0/3/0). Ferner ist gegeben die Gerade h:
æ 0 ö÷
æ 4 ö÷
çç ÷
÷÷
 ççç
÷
h : x = ç 4, 5 ÷ + r ⋅ çç-6÷÷÷ mit
çç
çç ÷÷
÷÷
èç-2, 5ø÷
èç 5 ø÷
rÎ
Die Ebene E enthält die Geraden g und h.
a)
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden g und h.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E.
Veranschaulichen Sie E mithilfe der Spurgeraden in einem Koordinatensystem (Längeneinheit 1cm, Verkürzungsfaktor in x1-Richtung
1
2
2 ).
Berechnen Sie den Winkel zwischen der Ebene E und der x1-x2-Ebene.
[Teilergebnis für E : 15 x1  20 x2  12 x3  60 ]
(10 P)
b)
Die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen und der Ursprung O bilden
die Eckpunkte einer Pyramide.
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
Zeigen Sie, dass die Gerade h die x1-x2-Ebene im Umkreismittelpunkt des Dreieckes
S1S2O durchstößt.
Berechnen Sie das Volumen des kleinsten senkrechten Zylinders, in den die Pyramide
einbeschrieben werden kann und dessen Grundfläche in der x1-x2-Ebene liegt.
(9 P)
c)
Für jedes t  R ist eine Ebene Et gegeben durch
E : 15t  x1  20t  x2  12 x3  60t
Bestimmen Sie die Spurpunkte von Et für t ≠ 0.
Zeigen Sie, dass die Gerade g in jeder Ebene Et liegt.
Für welche Werte von t hat Et vom Ursprung den Abstand
12
13
?
(11 P)
= 30 P
- 19 -
LÖSUNGEN
a)
4
 4 
  
 
g : x   0  t  3 
0
 0 
 
 
 0 
 4
 

 
h : x   4, 5   r   6  und
 2, 5 
 5 


 
hg :
4r
 4  4t
4,5  6r  3t
2,5  5r  0
Kontrolle : 2  2
4,5  3  3t  t  0,5
 r  0,5

Ebene:
 2 
 4
 4 
  
 
 
E : x   1, 5   s   6   t   3  
 0 
 5 
 0 
 
 
 
Spurpunkte:
S1 (4 / 0 / 0), S 2 (0 / 3 / 0), S3 (0 / 0 / 5)
Winkel:
b)
 15   0 
   
 20    0 
 12   1 
12
   
cos  

15²  20²  12²  1
769
E : 15 x1  20 x2  12 x3  60
   64, 4
h  5 LE
Fläche:
A  12  4  3  6 FE
Volumen:
VPyr  13  6  5  10 VE
h  x1 x2  Ebene :
x3  0   2,5  5r  0  r  0,5  S (2 /1,5 / 0)
Umkreismittelpunkt = Mitte der Hypotenuse S1S2 :
c)
S (2 /1,5 / 0)
Höhe:
 S (2 /1,5 / 0) liegt auf h.
Zylindervolumen:
VZyl   r ² h
Radius:
SO  2²  2, 25  2,5 LE
Höhe = Pyr.Höhe:
h  5 LE
Volumen:
VZyl   r ² h    6, 25  5  31, 25 
Ebenenschar:
E : 15t  x1  20t  x2  12 x3  60t
Spurpunkte:
Et :
Liegt g in Et ?
15 t  (4  4 s )  20 t  3s  60 t  60 t  60 t 
x1 x2 x3
   1  T1 (4 / 0 / 0), T2 (0 / 3 / 0), T3 (0 / 0 / 5t )
4 3 5t
g ist also die Achse der Ebenenschar.
- 20 -
g  Et
ABSTAND VOM URSPRUNG
d
|15t  x1  20t  x2  12 x3  60t |
(15t ) 2  (20t ) 2  122
| 60t |
625t 2  144


| 60t |
12

13
(15t ) 2  (20t ) 2  122

12
13
12
quadrieren  169  3600t ²  144  (625t ²  144) |:144
13
169  25 t ²  625 t ² 144  4225 t ²  625 t ² 144  3600 t ²  144
t ²  0, 04  t1  0, 2 und
t2   0, 2
Die Ebene E0,2 und E0,2 haben vom Ursprung den Abstand
12
13
.
x3
4
3
2
1
g
1
1
2
S
3
4
x1
- 21 -
2
3
4
x2
ANALYTISCHE GEOMETRIE
GK 2-2000
ALTES ÄGYPTEN
Eine ägyptische Pyramide hat die Form einer senkrechten,
quadratischen Pyramide. Die Seitenlänge des Quadrates
beträgt 144m, die Höhe 90m. Zur Vermessung wird ein
kartesisches Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1m
verwendet, dessen Ursprung in der Mitte der quadratischen
Grundfläche liegt und dessen x1- und x2-Achse parallel zu
den Grundkanten verlaufen. Die Bezeichnung der Punkte
wird gemäß der nebenstehenden Skizze gewählt.
a)
Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte A, B, C, D und S an.
Berechnen Sie die Länge der Seitenkante AS.
Welchen Neigungswinkel besitzt eine Seitenkante zur Grundfläche?
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E1 durch die Punkte A, B und S.
Wie groß ist der Neigungswinkel einer Seitenfläche zur Grundfläche?
[Teilergebnis: E1: 5x2 + 4x3 = 360]
(10 P)
b)
Die Ägypter bauten die Pyramide schichtenweise. Zum Transport der Steine zur jeweiligen Schicht wurde eine Rampe benötigt.
Die zum Transport der Steine benötigte Rampenfläche ist rechteckig und liege nun in
der Ebene E2: 5x2 + 26x3 = 1350.
Berechnen Sie die Höhe des bisher gebauten Pyramidenstumpfes.
Wie lang ist die zum Transport der Steine benötigte Rampenfläche?
(10 P)
c)
Der Punkt Q(48/0/30) ist der Schwerpunkt der Seitenfläche DAS. Senkrecht zu dieser
Seitenfläche verläuft ein Schacht, dessen Mittelachse von Q ausgeht und in 14m Höhe
über der Grundfläche am Eingang des Königsgrabes endet.
Berechnen Sie die Koordinaten dieses Endpunktes.
- 22 -
Eine weitere Kammer wurde um denjenigen Punkt P gebaut, der von allen Seitenflächen und
der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Bestimmen Sie die Koordinaten von
P auf eine Dezimale gerundet.
(10 P)
= 30 P
LÖSUNGEN
a)
Koordinaten der Eckpunkte
A(72/ 72/ 0), B(72/ 72/ 0), C(72/  72/ 0), D(72/  72/ 0), S (0/ 0/ 90)
Seitenkante AS: AS  72²  72²  90²  135,9 m
Neigungswinkel einer Kante zur Grundfläche:
 4 0
   
 4 0
 5  1
5
   

sin  
57  1
57
   41,5
Ebene durch A, B und S: [Sonderfall]
x1 x2 x3
 
 1 | 360  E1 : 5 x2  4 x3  360
 72 90
Neigungswinkel einer Seitenfläche zur Grundfläche:
 0 0
   
 5 0
 4 1
4
   
cos  

   51,3
41  1
41
b)
Höhe der Rampe, dazu schneidet man die Spurgeraden von E1 und E2 : [siehe Skizze]
x3
5 x2  4 x3  360
5 x2  26 x3  1350
 G (0 / 36 / 45)
 Höhe h  45 m
G
s
F
x2
Ebene E1
Ebene E2
x1
- 23 -
E2 :
x
x
x1
 2  3  1  Spurpunkt
 270 51,92
GF  234²  45²  238,3 m
Länge der Rampenfläche:
c)
F (0 / 270 / 0)
Seitenebene der Pyramide:
x1 x2 x3
E3 :


1 
72  90
Mittelachse:
E3 : 5 x1  4 x3  360 
5
  
n  0
 4
 
 48 
5
  
 
a : x   0   t  0
 30 
 4
 
 
x3  14
Für den Endpunkt R des Ganges gilt:
a  x3  14  30  4 t  14  t   4 
R (28 / 0 /14)
Variabler Punkt auf der x3  Achse :
P(0/ 0/ z) mit z  0
Abstand zur Grundfläche:
d1  z
Abstand zu einer schrägen Seitenfläche = Abstand zu E3 :
d2 
| Ax1  Bx2  Cx3  D |
d1  d 2
A2  B 2  C 2

| 4 z  360 |
52  42

| 5  0  4 z  360 |
52  4 2
 z  | 4 z  360 | z  41 | Fallunterscheidung
1.Fall :
4 z  360   z  41

(4  41) z  360

2.Fall :
4 z  360   z  41

(4  41) z  360

360
4  41
360
z2 
4  41
z1 
entfällt
z  34, 6 m  P(0 / 0 / 34, 6)
Der Punkt P(0/ 0/ 34,6) hat von allen Pyramidenflächen den gleichen Abstand.
Anm:
Man hätte die Betragsstriche auch durch Quadrieren beseitigen können.
Das Verfahren mit der Fallunterscheidung ist aber kürzer und eleganter.
- 24 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
GK 2-2001
AUSSTELLUNGSPAVILLION / TRAPEZ
Durch die Eckpunkte
O(0|0|0), A1(10|0|0), B1(10|6|0), C1(0|8|0), O2(0/0/10), A2(10|0|11), B2(10/6/8), C2(0|8|6)
ist ein Gebäude (Ausstellungspavillon) mit ebenen Seitenwänden gegeben, welches auf der
x1-x2-Ebene steht (Angaben in Metern). O2, A2, B2, C2 sind die Eckpunkte seiner Dachfläche.
a)
Zeichnen Sie das Gebäude in ein Koordinatensystem ein. (Längeneinheit 1 cm; Verkürzungsfaktor in x1-Richtung
1
2
2 ).
Zeigen Sie, dass die Eckpunkte der Dachfläche in einer Ebene E liegen.
Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung von E.
In E liegt die gesamte Dachfläche. Falls die Dachneigung (Winkel zwischen E und der
x1-x2-Ebene) größer als 30° ist, muss ein Schneefanggitter angebracht werden. Überprüfen Sie, ob dies der Fall ist.
(Teilergebnis: E : x1  5 x2  10 x3  100  0 )
(10 P)
b)
Es soll die Größe der Dachfläche bestimmt werden.
Untersuchen Sie hierzu die Lage gegenüberliegender Dachkanten. Bestimmen Sie den
Inhalt der Dachfläche.
(10 P)
c)
Die trapezförmige Fläche M2M3C3C2 mit M2(5/7/7), M3(5/7/4) und C3(0/8/4) in der entsprechenden Außenwand ist verglast. Durch diese Glasfläche fällt paralleles Sonnenlicht ein, wobei zu einem bestimmten Zeitpunkt der Lichtstrahl durch die Ecke C2 im
Punkt Q2(2/0/2) der gegenüberliegenden Wand A1OO2A2 auftrifft. Bestimmen Sie den
vom Sonnenlicht getroffenen Bereich dieser Wand und schraffieren Sie diesen.
(10 P)
= 30 P
- 25 -
LÖSUNGEN
x3
O2
a)
A2
C2
M2
4
3
C3
B2
2
Q2
M3
1
x2
N2
3
1
Q3
1
2
3
4
C1
4
N3
x1
A1
B1
EBENENGLEICHUNG aus O2 , A2 und C2 :
0
10 
0
  
 
 
E : x   0   s  0   t  2  
 10 
1
 1 
 
 
 
x1  5 x2  10 x3  100  0
Punktprobe für B2 (10 / 6 / 8) machen:
10  5  6  10  8  100  10  30  80  100  0
Die Eckpunkte liegen also alle in der Ebene E.
Neigungswinkel der Dachfläche:
 1  0

  
 5    0 
 10   1  | 10 |
  
   27, 02
cos   
126
126
  30 also ist kein Schneefanggitter notwendig.
b)
LAGE DER GEGENÜBERLIEGENDEN DACHKANTEN
 0
0
  
 
A2 B2   6   3   2  und
 3 
 1 
 
 
 0 
0
  
 
O2C2   8   4   2  sind parallel.
 4 
 1 
 
 
Die Dachfläche hat also die Form eines Trapezes.
Um die Trapezfläche zu bestimmen, muss man die Trapezhöhe kennen.
Trapezhöhe = Abstand des Punktes A2 von der Geraden g durch O2 und C2 .
- 26 -
c)
Gerade:
0
0
  
 
g : x   0   t  2 
 
 
 10 
 1 
Hilfsebene:
 0   x1   10   0 
       
H :  2    x2    0    2   11 
 1   x   11   1 
   3    
Lotfußpunkt:
H  g :  F (0 /  0,4 /10,2)
Trapezhöhe:
h  A2 F 
Trapezfläche:
ATrapez  12  ( 80  45) 10, 04  78,57 m²
H : 2 x2  x3  11  0
10²  0, 4²  0,8²  10, 04 m
SCHATTEN AUF DER WAND
Richtung des Sonnenstrahles:
2
1
   
 
a  C2Q2   8   2   4 
 
 
 4 
 2 
Strahl durch M 2 (5 / 7 / 7) :
5
 1 
  
 
x   7   t   4 
7
 2 
 
 
Strahl  x1 x3  Ebene :
x2  0 
N 2 (6, 75 / 0 / 3,5)
Ebenso erhält man die anderen Punkte:
N 3 (6, 75 / 0 / 0,5)
Q3 (2 / 0 / 0)
Q2 (2 / 0 / 2) ist bereits bekannt.
- 27 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
GK 1-2002
WÜRFEL UND GERADENSCHAR
Gegeben sind die Punkte A(-1/6/1), B(2/2/2), C(0/7/-1), P(0/6/6) und Q(6/6/6).
Die Ebene E enthält die Punkte A, B und C.
a)
Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an, die durch die Punkte P und Q geht. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. Unter welchem Winkel schneidet g die
Ebene E? Welchen Abstand hat O(0/0/0) von E? Bestimmen Sie die Schnittpunkte S1,
S2 und S3 von E mit den Koordinatenachsen. S1, S2, S3 und O sind Eckpunkte eines
Würfels.
Zeichnen Sie das Dreieck S1S 2 S3 und den Würfel in ein Koordinatensystem ein
(Längeneinheit 1 cm; Verkürzungsfaktor in x1 -Richtung
1
2
2 .
[Teilergebnis: E : x1  x2  x3  6 ]
b)
(9 P)
Gegeben ist eine Ebene durch die Eckpunkte P und Q des Würfels aus Teilaufgabe a)
und der Punkt R(6/0/4).
Geben Sie den Schnittpunkt dieser Ebene mit der x3 -Achse an.
Die Ebene zerlegt den Würfel in zwei Teile.
Zeichnen Sie die Schnittfläche in das Bild aus Teilaufgabe a) ein.
Bestimmen Sie das Verhältnis der Volumina der entstandenen Teilkörper.
c)
6  r 
    
Gegeben ist die Geradenschar hr : x   0   t  2 
6  4 
   
(6 P)
mit t und r Î  .
Die durch den Ursprung gehende Raumdiagonale des Würfels aus Teilaufgabe a)
schneidet eine Gerade der Schar in einem Punkt S. Bestimmen Sie die Koordinaten von
S und eine Gleichung dieser Geraden.
d)
(7 P)
0  1 
    
Gegeben ist die Gerade k : x   4   s  0 
   
 2   1 
mit s Î  .
Zeichnen Sie k in das vorhandene Koordinatensystem ein.
Zeigen Sie, dass k parallel zur x1 x3 Ebene verläuft.
Weisen Sie nach: Die Gerade k zerlegt das Dreieck S1S2S3 aus Teilaufgabe a) in zwei
Teile. Berechnen Sie die Flächeninhalte der Teilflächen.
(8 P)
= 30 P
- 28 -
LÖSUNGEN
a)
Gerade PQ:
0
1
  
 
g : x  6  t 0
6
0
 
 
Ebene ABC:
 1 
 3 
 1 
  
 
 
E : x   6   s   4  t  1  
1
 1 
 2 
 
 
 
E:
Schnittwinkel:
Abstand:
b)
d
x1 x2 x3
  1 
6 6 6
 1   1
   
 0    1
 0   1
1
sin       
1 3
3
|D|
A2  B 2  C 2

E : x1  x2  x3  6
zeichnen
   35, 26
| 6 | 6
6 3
6 3

 rational machen 

2 3
3
3
3
3 3
Die Schnittfläche mit dem Würfel ist ein Rechteck, daher sucht man den vierten Eckpunkt von Rechteck:
 6 0 6 0

         
xR*  xR  QP   0    6    6    0  
 4 6 6  4
       
R * (0 / 0 / 4)
alternativ: die Ebenengleichung RPQ aufstellen, R* ist Spurpunkt auf der x3 Achse .
Volumina der Teilkörper:
V1  Prisma  A  h mit
A 
26
 6  V1  6  6  36 VE
2
V2  Restkörper  Würfel  Prisma  216  36  180 VE
V2 : V1  180 : 36  10 : 2  5 :1
x3
S3
P
R*
Q
P1
k
1
R
1
O
2
3
4
S1
x1
- 29 -
1
2
4
P2
S2
x2
c)
Raumdiagonale durch den Ursprung:
1

 
d : x  t  1
1
 
hr  d : 
1u  6  t  r

 1u   2t
 1u  6  4t

  2t  6  4t  t  1 und
u2
1u  6  r  t  2  6  r  r  4
Damit ergibt sich der Schnittpunkt:
S (2 / 2 / 2)
6
4
  
 
h4 : x   0   t   2 
6
4
 
 
d)
0  1 
    
k : x   4   s  0  zeichne mit P1 (0 / 4 / 2) und
   
 2   1 
Normalenvektor der x1 x3 Ebene
Parallelität:
P2 (2 / 4 / 0)
0
  
n  1
0
 
 1  0
   
 0 1  0 
 1   0 
   
k ist parallel zur x1 x3 Ebene .
P1 (0 / 4 / 2) liegt auf der Spurgeraden S 2 S3 : x2  x3  6  4  2  6  6  6
P2 (2 / 4 / 0) liegt auf der Spurgeraden S1S 2 : x1  x2  6  2  4  6  6  6
Daher teilt die Gerade k das Dreieck S1S 2 S3 .
FLÄCHEN
Seitenlänge vom großen Dreieck: a  6²  6²  72  6 2
[gleichseitig]
Höhe im gleichseitigen Dreieck:
h  12 3  a [siehe Formelsammlung]
Gesamtfläche:
A  12 a  h 
Fläche des Teildreieckes:
A1 
Restfläche = Trapezfläche:
A2  A  A1  ........  16 3
1
4
1
4
3  a² 
3   a3  
- 30 -
2
1
36
3a 2 
Ages 
1
36
1
4
3  72  18 3
3  72  2 3
ANALYTISCHE GEOMETRIE
GK 2-2002
LAGERHALLE
Nebenstehende Figur zeigt das Schrägbild einer
50 m langen und 30 m breiten Lagerhalle, deren
Grundfläche in der x1-x2-Ebene liegt. Entsprechende
Gebäudekanten sind parallel. Die Dachkanten EF
und DG befinden sich in 15 m Höhe. Die vordere
Giebelspitze ist S1(50/10/20) (Angaben in Metern).
a)
Geben Sie die Koordinaten der Punkte A, B, C, D, E, F, G und S2 an. Unter welchem
Winkel schneiden sich die Dachkanten S1D und S1E? Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Dachfläche EFS2S1 liegt.
Berechnen Sie den Neigungswinkel dieser Dachfläche gegen die Grundfläche.
(Teilergebnis: E : x2  4 x3  90 )
(7 P)
b)
Im Zuge von Umbauarbeiten wird die Heizungsanlage saniert und ein neuer, zur Grundfläche orthogonaler, zylinderförmiger Edelstahlkamin eingebaut. Der Fußpunkt der
Mittelachse des Kamins ist P(10/25/0). Der Punkt T(10/24,75/18) liegt auf der Außenwand des Kamins. Geben Sie den Durchmesser des Kamins an. In diesem Punkt T ist
eine Strebe angebracht, die den Kamin an der Dachfläche EFS2S1 befestigt. Sie verläuft
senkrecht zu dieser Dachfläche. Berechnen Sie die Länge der Strebe.
(8 P)
c)
In 12,5 m Höhe wird parallel zur Grundfläche eine Zwischendecke eingezogen (vgl.
Skizze).
Wie breit ist diese Zwischendecke, wenn die Punkte K und L den Abstand 4,5 m haben?
(7 P)
d)
[weglassen]
Neben der Lagerhalle steht ein kugelförmiger Tank mit Mittelpunkt M(20/-10/7) und
Radius r = 4 m. Der Tank ist auf geradlinigen Stelzen gelagert. Eine dieser Stelzen ist
im Punkt Q(25/-15/0) verankert und zeigt zum höchsten Punkt des Tanks.
In welchem Kugelpunkt stützt diese Stelze den Tank? Berechnen Sie die Länge dieser
Stelze.
(8 P)
= 30 P
- 31 -
LÖSUNGEN
a)
A(50/ 0/ 0), B(50/ 30/ 0), C(0/ 30/ 0), D(50/ 0/15), E(50/ 30/15), F (0/ 30/15)
G (0 / 0 /15) und
S 2 (0 /10 / 20)
Schnittwinkel der Dachkanten S1 D und S1 E :
 0   0

  
 10    20 
 5   5 
    175
cos   
125  425
53125
   139, 4 [Achtung: die Betragsstriche weg-
lassen, weil der stumpfe Winkel gesucht ist, das folgt aus der Anschauung. Mit Betragsstrichen erhält man grundsätzlich den spitzen Winkel.]
 50 
 0 
1
  


 
E : x   30   s   20   t   0  
 15 
 5 
0
 


 
Dachebene:
 0 0
   
1 0
 4 1
4
cos       
17  1
17
Neigungswinkel:
b)
Mittelachse des Zylinders:
 10 
0
  
 
a : x   25   t   0 
0
1
 
 
Punkt auf dem Zylinder:
T (10/ 24,75/18)
E : x2  4 x3  90
   14, 0
Radius = Abstand des Punktes T von der Mittelachse a:
Hilfsebene:
H T : x3  18
Abstand:
HT  a 
Durchmesser:
d  2r  0,5 m
F (10 / 25 / 18)  TF  r  0, 25 m
Länge der Strebe = Abstand des Punktes T zur Ebene E:
d
c)
| Ax1  Bx2  Cx3  D |
A  B C
2
2
2
 ....... 
| 24, 75  4 18  90 |
 1, 64 m
17
Zwischendecke:
Z1 : x3  12,5
Parallelebene dazu:
Z 2 : x3  12,5  4,5  17 
- 32 -
x3  17
 50 
 0 
  


k : x   30   t   20 
 15 
 5 
 


Dachkante S1 E :
k  Z 2  15  5t  17  t  0, 4
L(50 / 22 /17) und
Breite der Zwischendecke:
d)
K (50 / 22 /12,5)
b  22 m
[weglassen]
Kugelmittelpunkt:
M (20/ 10/ 7)
Höchster Punkt der Kugel:
P (20 /  10 / 7  4)  (20 /  10 /11)
Gleichung der Stelze QP:
 25 
 5 
 

 
s : x   15   t   5 
 0 
 11 


 
Kugelgleichung:
K : ( x1  20) 2  ( x2  10) 2  ( x3  7) 2  16
K  s  171 t ²  254 t  83  0
83
 t1  171
und
(t2  1)
 R (22,57 / 12,57 / 5,34)
QR  2, 43²  2, 43²  5,34²  6,35 m
Läge der Stelze:
x3
S2
G
F
1
S1
C
L
D
E
K
A
B
x1
- 33 -
x2
ANALYTISCHE GEOMETRIE
GK 2-2003
x3
WINTERGARTEN
S
Die nebenstehende Skizze veranschau-
D
licht einen Wintergarten. Dabei sind die
4
Punkte A(8|0|6), B(8|2|5), C(2|8|5) und
C
3
A
S(0|0|10) Eckpunkte des ebenen Daches.
1
B
Der Punkt D liegt in der x2x3-Ebene und
1
1
2
3
x2
4
2
die Strecke AD verläuft parallel zur
3
Strecke BC.
x1
a)
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Eckpunkte A, B, C,
D und S liegen.
Zeichnen Sie den Wintergarten.
Zur Montage wird die Dachfläche ABCDS durch eine Stütze gesichert, die im Ursprung
des Koordinatensystems verankert ist und senkrecht zur Dachfläche steht.
Berechnen Sie die Länge dieser Stütze.
(Teilergebnisse: E : x1  x2  2 x3  20  0 und
D(0 / 8 / 6) )
(11 P)
b)
Zur Stabilisierung der Dachfläche werden die Spitze S mit dem Mittelpunkt M der
Dachkante BC sowie der Punkt A mit D durch Streben verbunden. Oberhalb des Daches
verläuft ein Träger T1T2 mit T1(10|0|8) und T2(0|10|8). Zeichnen Sie den Träger ein.
Vom Mittelpunkt MT des Trägers wird senkrecht zur Dachfläche ein Zugseil gespannt.
Somit kann die Montagestütze (Teilaufgabe a)) wieder entfernt werden. Berechnen Sie
die Koordinaten des Punktes Z, in dem das Zugseil an der Dachfläche befestigt wird.
Bestätigen Sie, dass sich die Streben MS und AD in einem Punkt Z treffen und senkrecht aufeinander stehen.
(9 P)
c)
Bestimmen Sie die Flächeninhalte des Dachteiles ADS und des gesamten Daches. Welcher Punkt auf dem Träger T1T2 hat vom Punkt A den geringsten Abstand?
(10 P)
= 30 P
- 34 -
LÖSUNGEN
a)
Berechnung der Koordinaten von D:
Gerade durch AD:
8
8
 6 
8
 1

  
  
  
 
 
g : x   0   t  BC  x   0   t   6   x   0   t   1 
 6
6
0
6
0
 
 
 
 
 
D soll in der x2 x3 Ebene liegen:  x1  0  8  t  0  t  8  D (0 / 8 / 6)
Koordinatengleichung der Dachebene E:
8
0
 2 
  
 
 
E : x   0  s  2   t  0  
6
 1 
 1 
 
 
 
E : x1  x2  2 x3  20
x3
S
T2
MT
D
T1
4
C
Z
3
M
A
1
B
1
1
2
3
4
2
3
x1
Länge der Stütze = Abstand des Ursprunges zur Dachebene:
d
|D|
A2  B 2  C 2
 d
| 20 |
12  12  22

20
 8, 2 LE
6
b)
Berechnung des Befestigungspunktes Z:
Mittelpunkt M T von T1T2 :
M T (5 / 5 / 8)
- 35 -
x2
5
1
  
 
Lot : x   5   t   1 
8
 2
 
 
Lot von M T auf die Dachebene E:
Lot  E :  t  1  Z (4 / 4 / 6)
Mitte M von BC
M (5/ 5/ 5)
S (0/ 0/10)
Strebe MS
5
 1 
  
 
g : x   5   s   1  gekürzter Richtungsvektor
5
1
 
 
Strebe AD
8
 1 
  
 
h : x   0   t   1  gekürzter Richtungsvektor
6
0
 
 
5 s  8t
g h:
5s  t
Kontrolle : 5  1  8  4  4  4
t  5 1  4
5 s  6  s 1
s  1 einsetzen in g
Nachweis für Orthogonalität:
 
MS  AD  0 
c)
Dreiecksfläche ADS:
 Z (4 / 4 / 6) q.e.d .
die Geraden schneiden sich senkrecht.
 
A  12 | AD |  | ZS |
1
2
128  48  39,19 FE

Trapezfläche ABCD: Höhe im Trapez h  | MZ | 1²  1²  1²  3


| BC |  | AD |
ATrapez 
 h  .........  17,15 FE
2
Gesamtfläche:
A  56,34 FE
Punkt auf dem Träger T1T2 mit minimalem Abstand von A(8/ 0/ 6) :
Trägergerade
 10 
 1 
  
 
k : x   0   t  1 
8
0
 
 
Hilfsebene:
H :  x1  x2  8
H k : 
F (9 / 1/ 8) ist Lotfußpunkt und hat minimalen Abstand.
- 36 -
Neues ABI ab 2004
- 37 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 1-2004 H
S
PYRAMIDEN-ZELT
C
D
P
A
B
Q
Ein Zelt hat die Form einer senkrechten quadratischen Pyramide. Die Längen der Quadratseiten und die Pyramidenhöhe betragen jeweils 2,0 m.
a)
Benachbarte Seitenflächen bilden einen stumpfen Winkel. Wie groß ist dieser?
(5 P)
b)
In der Vorderfläche PQS befindet sich eine Einstiegsöffnung ABCD in Form eines
symmetrischen Trapezes.
C und D sind die Mitten der Strecke BS bzw. der Strecke AS. Die Strecke AB hat die
Länge 1,0 m. Wie viel Prozent der Vorderfläche beansprucht die Einstiegsöffnung?
(5 P)
c)
Zur Beleuchtung wird im Zelt eine Lampe aufgehängt, die im Folgenden als punktförmige Lichtquelle betrachtet werden soll. Ihr Licht dringt durch die Einstiegsöffnung
nach außen und erzeugt auf dem Boden vor dem Zelt das Bild ABC'D' der Einstiegsöffnung als "Lichtteppich".
Berechnen Sie die Länge der Strecke C’D’, wenn sich die Lampe 25 cm unter der Zeltspitze befindet.
(5 P)
= 15 P
- 38 -
LÖSUNGEN
x3
S
2
L
1
C
D
1
P
A
x2
B
1
D'
C'
Q
x1
a)
Ebenengleichungen für zwei benachbarte Seitenflächen:
 2
x1 x2 x3
  
E1 :

  1  2 x1  x3  2  n1   0 
1 
2
1
 
(Vorderfläche)
0
x1 x2 x3
  
   1  2 x2  x3  2  n2   2 
E2 :

1 2
1
 
(Seitenfläche rechts)
Spitzer Winkel:
b)
 2 0
   
 0 2
1 1
0  0 1
   

 0, 2    78,5
cos  
5
5 5
stumpfer Winkel:
a  180    101, 5
Dreieckshöhe:
h  1²  2²  5
Dreiecksfläche:
A  12  2  5  5
Trapezhöhe:
hTrapez  12 h  12  5
Trapezfläche:
ATrapez 
(Satz des Pythagoras)
ac
1  0,5 5 1,5
h 


 5  83  5
2
2
2
4
- 39 -
Prozentsatz:
c)
p
3 5
Trapezfläche
100% 
100%  37,5%
Dreiecksfläche
8 5
Koordinaten der Lampe:
L(0/ 0/1,75)
C liegt in der Mitte zwischen B(1/0,5/0) und S(0/0/2). So erhält man die
Koordinaten von C:
C(0,5/ 0,25/1)
Lampenstrahl LC:
 0 
 0, 5 
 



x   0   t   0, 25 
 1, 75 
 0, 75 




LC  x3  0  1, 75  0, 75 t  0  t 
175 7

75 3
Auftreffpunkte:
C '( 76 / 127 / 0)
symmetrisch dazu:
D '( 76 /  127 / 0)
Länge der Strecke:
14
C ' D '  127  ( 127 )  12
 76  1,17 m
Wenn es doch immer so leicht wäre . . . . . .
- 40 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 1-2005 H
PYRAMIDE MIT EBENENSCHAR
Gegeben sind eine Pyramide ABCDS mit den Punkten A(0|0|0), B(8|0|0), C(8|8|0),
D(0|8|0)und S(4|4|8) sowie für jedes r Î  eine Ebene Er : r  x1  3x3  8r .
a)
Stellen Sie die Pyramide in einem Koordinatensystem dar.
Die Ebene E2 enthält die Pyramidenkante BC und schneidet die Kante DS in F und die
Kante AS in G.
Geben Sie die Koordinaten der Punkte F und G an.
Zeichnen Sie das Viereck BCFG ein.
Zeigen Sie, dass dieses Viereck ein gleichschenkliges Trapez ist.
Wie groß sind die Innenwinkel dieses Trapezes?
(6 P)
b)
Bestimmen Sie r* so, dass die Pyramidenspitze S von der Ebene Er* den Abstand 4 hat.
Geben Sie die Koordinaten desjenigen Punktes in dieser Ebene Er* an, der von S den
Abstand 4 hat.
(4 P)
c)
Weisen Sie nach, dass die Gerade durch B und C in jeder Ebene Er liegt. Beim Schnitt
der Ebene Er mit der Pyramide entsteht eine Schnittfigur. Welche Schnittfiguren sind
möglich? Geben Sie die jeweiligen Werte von r an.
(5 P)
= 15 P
- 41 -
LÖSUNGEN
x3
S
a)
4
G
3
F
1
A
1
2
3
4
D
1
x2
2
3
4
B
C
x1
Ebene:
E2 : 2 x1  3 x3  16
 4

Kante AS: x  t   4 
8
 
AS  E2 :  8t  24t  16  t 
1
2
 G (2 / 2 / 4)
0
 4 
  
Kante DS: x   8   t   4 
0
 8 
 
 
DS  E2 :  ....................  t 
1
2
 F (2 / 6 / 4)
Nachweis der Gleichschenkligkeit:

 6 
  


BG   2   | BG | 6²  2²  4²  56 
 4

 
  gleichschenklig
 6 

  

CF   2   | CF | 6²  2²  4²  56 

 4

 
Nachweis der Parallelität der gegenüberliegenden Seiten:
0
  
BC   8  und
0
 
0
  
GF   4  
0
 


BC  2  GF 
 
BC || GF
also ist die Schnittfigur ein gleichschenkliges Trapez. q.e.d.
- 42 -
Winkel:
 6   0 
   
2  1
     
4
0
BG  BC
2
cos         
| BG |  | BC | 56  1
56
   74,5
Die beiden Basiswinkel betragen   74,5 . Wegen der Winkelsumme im Viereck entfallen
auf die beiden anderen Innenwinkel 360  2  74,5  211 . Daraus folgt, dass die anderen
beiden Winkel   105,5 betragen müssen.
b)
Abstand der Pyramidenspitze S (4/ 4/8) von der Ebenenschar Er* : r * x1  3x3  8r * :
d
4r *  24  8r *
(r )  9
* 2
 4  | 24  4r * | 4  ( r * ) 2  9 |: 4
| 6  r * | r *2  9 (quadrieren)  36  12r *  r *2  r *2  9  r * 
9
4
Die Gleichung der Ebene, die den Abstand 4 hat, lautet:
E9 :
4
9
4
x1  3 x3  18 |  43
 3 x1  4 x3  24
Lot von S (4/ 4/8) auf die Ebene:
4
3
  
 
Lot : x   4   t   0 
8
4
 
 
E 9  Lot  .......  t   54
 L( 85 / 4 / 245 ) = Lotfußpunkt
4
c)
Nachweis, dass die Gerade BC in Er : r  x1  3x3  8r liegt:
Punktprobe für B (8 / 0 / 0) in Er : r  x1  3 x3  8r  8r  8r
Punktprobe für C (8 / 8 / 0) in Er : r  x1  3 x3  8r  8r  8r
Damit liegt auch die Gerade BC in der Ebenenschar.
Schnittfiguren:
Alle Ebenen der Schar gehen durch die Pyramidenkante BC. Es sind also folgende Schnittfiguren möglich:
1.
Quadrat, wenn die Ebene die Gleichung x3  0 hat.
2.
Dreieck, wenn die Ebene die Spitze S (4/ 4/8) enthält.
3.
Trapez, für alle Zwischenwerte
 r 0
4r  24  8r  r  6
0r6
- 43 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 2-2006 H
KLETTERANLAGE, PYRAMIDENSTUMPF, TRAPEZ
In einem Freizeitpark steht eine Kletteranlage in Form eines Pyramidenstumpfes mit vier
unterschiedlichen Kletterwänden.
Der Pyramidenstumpf entsteht aus einer Pyramide, indem diese parallel zur Grundfläche
durchgeschnitten und der obere Teil weggelassen wird.
Der Pyramidenstumpf hat als Grundfläche das Viereck ABCD mit A(0|0|0), B(6|6|0),
C(0|18|0)und D(-8|4|0) und als Deckfläche das Viereck A*B*C*D* mit A*(4|1|20),
B*(7|4|20) und C*(4|10|20) (Koordinatenangaben in Meter).
a)
Zeigen Sie, dass S (8/ 2/ 40) die Spitze der ursprünglichen Pyramide ist. Bestimmen Sie die
Koordinaten des Punktes D*.
Zeichnen Sie den Pyramidenstumpf in ein Koordinatensystem ein.
(5 P)
b)
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Wand ABB*A*.
Untersuchen Sie, ob die Wand ABB*A* nach außen überhängt.
(5 P)
c)
æ 0ö
æ1ö÷
çç ÷
 ççç ÷÷÷
Gegeben sind die Geraden g : x = ç0÷÷ + s ⋅ çç0÷÷÷ und
çç ÷÷
çç ÷÷
çè3÷ø
èç1ø÷
æ 2ö
 ççç ÷÷÷

h : x = ç 2÷÷ + t ⋅ v
çç ÷÷
èç0ø÷
mit
s, t Î  .
Geben Sie zu jeder der folgenden Lagebeziehungen von g und h jeweils einen möglichen

Vektor v an und begründen Sie Ihre Antworten:
(1)
g und h schneiden sich im Punkt S (4/ 0/ 1) .
(2)
g und h sind windschief.
(3)
g und h schneiden sich orthogonal.
(5 P)
= 15 P
- 44 -
LÖSUNGEN
x3
D*
a)
A*
 4

 
AA* : x  s   1 
 20 
 
C*
B*
6
 1 
  
 
BB* : x   6   t   2 
0
 20 
 
 
AA *  BB* :
D
4
 4  6
 1 
   
 
s   1    6   t   2 
 20   0 
 20 
   
 
2
A
4 s  6  1t
1s  6  2t
 t2
 s2
20 s 
 st
20t
2
4
C
x2
4
B
x1
Durch Einsetzen der Parameter in die Geradengleichungen ergibt sich jedes Mal S(8/2/40).
S liegt außerdem noch auf der Geraden CC* (Nachweis durch Punktprobe).
Bestimmung von D*:
Ebene A*B*C*D*:
x3  20
 8 
 16 
  
Kante DS: x   4   t   2 
 0
 40 
 
 
Ebene  Kante :  40t  20  t 
1
2
 D *(0 / 3 / 20)
b)
Da das Trapez nicht symmetrisch ist, muss von der Ecke A* das Lot auf die Gerade AB gefällt werden. Das macht man am besten mit Hilfe einer Hilfsebene.
Gerade AB:
1

 
x  t   1  gekürzt
0
 
Hilfsebene:
H  AB  t  t  5  t  2,5  F (2,5 / 2,5 / 0)
Höhe:
h  1, 5²  1, 5²  20²  404, 5  20,11
- 45 -
H : x1  x2  5
Seiten:
a  3²  3²  18
Fläche:
A
c  6²  6²  72
ac
 h  127,99  128 m 2
2
HÄNGT DIE WAND ÜBER ?
Man kann die Punkte A* und B* auf die Grundebene projizieren und erkennt, dass die Punkte
A(4 /1/ 0) und B(7 / 4 / 0) nicht in der Grundfläche des Pyramidenstumpfes liegen. Somit ist
klar, dass die Wand einen Überhang hat.
c)
(1)
 2   v1   4   v1  6
 6 
  
     
  2    v2    0   v2  2  v   2 
     
 
 0   v3   1   v3  1
 1 
wähle z.B. t =1
und die Punktprobe für S auf g:
(2)
0
 1   4  
 
   
0  s 0   0  
 3
 1   1  
 
   
s  4
egal
s  4
ist erfüllt.
0
  
wähle z.B. v   0  , dann sind die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig.
1
 
0
1 2
0






und das Gleichungssystem  0   s   0    2   t   0  führt zum Widerspruch (z.B. 2. Zeile)
 3
1 0
1
 
   
 
(3)
0
1
  
 
g : x   0  s  0
 3
1
 
 
2
  

h : x  2  t v
0
 
Hilfsebene durch P(2/ 2/ 0) orthogonal zu g: H : x1  x3  2
H g
 s  3  s  2  s   12
Richtungsvektor:

F (  0,5 / 0 / 2,5)
 2   0,5   2,5 
   
 

v   2   0    2 
 0   2,5   2,5 
  
 

MERKBLATT TRAPEZE (siehe Anhang)
- 46 -
5
  
oder v   4 
 
 5 
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 2-2006 N
SCHEINWERFER UND LEINWAND
Eine rechteckige Leinwand wird von einem Scheinwerfer angestrahlt, der einen Lichtkegel
erzeugt. Die Punkte A(8/ 20 / 0) , B(4/ 26/ 0) , C(2/ 30/12) und D bilden die Ecken der
Leinwand. Der Scheinwerfer befindet sich im Punkt P(9/1/16) (Koordinatenangaben in
Meter).
x3
P
C
D
4
2
2
B
2
4
x2
4
a)
A
x1
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D.
Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, in der sich die Leinwand befindet.
Wie weit ist der Scheinwerfer von der Leinwand entfernt?
Zeigen Sie, dass die Leinwand in ihrem Mittelpunkt vom Scheinwerfer orthogonal
angestrahlt wird.
(6 P)
b)
Die von dem Scheinwerfer vollständig beleuchtete Leinwand wirft einen Schatten in der
x1 x2 Ebene . Bestimmen Sie die Eckpunkte des Schattens. Untersuchen Sie, was für eine Figur
der Schatten bildet. Welchen Öffnungswinkel muss der Lichtkegel mindestens haben, damit
die gesamte Leinwand beleuchtet wird?
(5 P)
c)
Der Öffnungswinkel des Lichtkegels betrage nun 36°.
Der Scheinwerfer wird von P aus orthogonal zur Leinwand so weit bewegt, bis sein gesamtes
Licht vollständig auf die Leinwand trifft.
Bestimmen Sie die Koordinaten der neuen Scheinwerferposition.
(4 P)
= 15 P
- 47 -
LÖSUNGEN
a)
x3
P
C
D
P'
4
B
2
2
2
4
24
x2
4
A
x1
Punkt D:
 8   2   10 

       
xD  x A  BC   20    4    24  
 0   12   12 
     
Eben ABC:
8
 2 
 12 
 1   2   6 
  
      




E : x   20   r   4   s   6   n   2    1    12 
0
 12 
 0 
 6   0   5 
 




     
D (10 / 24 / 12)
E : 6 x1  12 x2  5 x3  288
Abstand:
Mittelpunkt:

Richtung PM :
| 6  9  12  5 16  288 | 410

 28, 63 m
6²  12²  5²
205

 
xM  12 ( x A  xC )  M (3 / 25 / 6)
d
 3   9   12 
     

a   25    1    24  
 6   16   10 
    



a  2n 
Der Strahl PM trifft die Ebene im Punkt M senkrecht.
b)
q.e.d.
ZENTRALPROJEKTION
A und B bleiben bei der Projektion fest, nur C und D müssen projiziert werden.
- 48 -
Strahl PC :
 9 
 7 
  
 
x   1   t   29   x3  0  16  4t  0  t  4  C (19 / 117 / 0)
 16 
 4 
 
 
Strahl PD :
 9 
 19 
  
 
x   1   t   23   x3  0  16  4t  0  t  4 
 16 
 4 
 
 
D (67 / 93 / 0)
Der Schatten hat die Form eines Trapezes, weil DC   A B und DC  AB ist.
 17   7 

  
19    29 
  
PA  PC  16   4 
734
734
Öffnungswinkel: cos  



   35,89


906  906 906
alternativ:
tan

2

MA
MP


2
   35,89
c)
Neue Scheinwerferposition
[Berechnung mit Hilfe der Trigonometrie]
Höhe der Leinwand:
h  BC  164
Breite der Leinwand:
b  180
[Man benutzt die Höhe statt der Breite, da die Höhe kleiner als die Breite ist.]
a  12 164  41
halbe Höhe:
a=
P
18°
PM
M
halber Winkel bei P:
  12   18
Abstand zur Ebene:
tan  
Koordinaten von P:
3
 6 
1  


  
xP  xM  19, 7  n0   25   19, 7 
 12
205  
6
 
 5 
a
PM
 PM 
P  ( 5, 26 / 8, 49 / 12,9)
- 49 -
41
a
41

 19, 7 m
tan18 tan18
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 1-2007 H
HANG UND SENDEMAST
Die Ebene E : x1  x2  2 x3  8 stellt für x3  0 einen Hang dar, der aus der x1 x2 Ebene aufsteigt. Im Punkt H (6/ 4/ 0) steht ein 80 m hoher Sendemast senkrecht zur x1 x2 Ebene .
(1 LE entspricht 10 m)
a)
Stellen Sie den Hang und den Sendemast in einem Koordinatensystem dar. Bestimmen Sie
den Neigungswinkel des Hangs. Der Sendemast wird auf halber Höhe mit einem möglichst
kurzen Stahlseil am Hang verankert.
Berechnen Sie die Koordinaten des Verankerungspunktes am Hang. Bestimmen Sie die Länge
des Stahlseils.
(5 P)
b)
Der Sendemast wird von der Sonne beschienen und wirft einen Schatten auf die x1 x2 Ebene
und den Hang. Der Schatten des Sendemastes endet in einem Punkt T des Hangs. Beschreiben
Sie einen Weg, wie man die Gesamtlänge des Schattens bestimmen kann.
(3 P)
c)
Bei einem Sturm knickt der Sendemast im Punkt K(6/4/k) um. Die Spitze des Sendemastes
trifft dabei den Hang im Punkt R(4/0/2). Bestimmen Sie die Höhe, in welcher der Sendemast
abgeknickt ist.
(3 P)
[STOCHASTIK]
Eine Urne enthält n blaue und 6 rote Kugeln.
Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie viele blaue Kugeln müssen sich in der
Urne befinden, damit die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine blaue Kugel zu ziehen,
0,64 beträgt?
Es werden 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Anzahl der blauen Kugeln,
wenn die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine blaue Kugel zu ziehen, 19/27 betragen soll.
(4 P)
= 15 P
- 50 -
LÖSUNGEN
x3
S
a)
4
3
2
1
M
T
2
3
4
8
x2
1
2
3
4
U
H
8
x1
Winkel:
1 0
   
10
 2 1
2
   

cos  
6 1
6
   35, 26
Mittelpunkt:
M (6/ 4/ 4)
Lot auf E:
6
1
  
 
x   4  t 1
4
2
 
 
Lot  E :
6  t  4  t  2  (4  2t )  8  6 t  10  t  
Seillänge:
MA =
2
2
5
 A  133 / 73 / 23 
3
2
( 53 ) + ( 53 ) + ( 103 ) = 13 ⋅ 150 » 4, 08  40,8 m
b)

Man stellt eine Gleichung der Schattenebene F auf, die durch die Punkte H, S und T
geht.

Man schneidet die Ebene F mit der waagerechten Spurgeraden der Ebene E
( x1  x2  8 ). So erhält man den Schnittpunkt U.

Die Schattenlänge ergibt sich als TU  UH .
- 51 -
c)
Spitze:
S (6/ 4/8)
Knickpunkt:
K (6/ 4/ k )
Auftreffpunkt:
R(4/0/2)
Gleiche Längen: SK  KR  8  k  2²  4²  (k  2)² | quadrieren
64 16k  k ²  2²  4²  (k  2)²
64  16k  k ²  4  16  k ²  4k  4
12k   40  k 
10
3
[Anm:
Die Lösung der Wurzelgleichung kann auch mit dem GTR gefunden werden.]
ERGEBNIS
Die Abknickhöhe beträgt ca. 33,3 m.
[STOCHASTIK]
URNE
P  höchstens eine blaue   1  P  blau / blau 
1
n
n

 0, 64
n6 n6
n 2  0,36   n  6 
2
 9
 n1/2  
2, 25 entfällt
P  mindestens eine blaue   1  P  keine blaue   1  P  rot / rot / rot 
6
6
6
19
6
6
6
8







0
n  6 n  6 n  6 27
n  6 n  6 n  6 27
GTR  Funktion eingeben  Nullstelle berechnen  n  3
1
- 52 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 2-2007 H
KISTE UND EBENENSCHAR
Eine quaderförmige Kiste ist in einem Koordinaten-
E
H
system durch die Eckpunkte A(0|0|0), B(3|0|0),
D(0|5|0) und F(3|0|4) festgelegt. Die Fläche EFGH
F
G
stellt den Deckel der geschlossenen Kiste dar. Dieser
A
ist drehbar um die Kante EH. Weiterhin ist für jedes
D
t  0 eine Ebene Et gegeben durch die Gleichung
C
B
Et : t  x1  x3   4
a)
Berechnen Sie den Abstand zwischen den Kanten AB und GH. Zeigen Sie, dass die Gerade
durch E und H in jeder Ebene Et liegt. In welcher Ebene Et liegt der Deckel bei geschlossener Kiste? Liegt der Deckel in einer Ebene Et , wenn er um 90° geöffnet ist?
(5 P)
b)
Wenn der Deckel der geöffneten Kiste in E2 liegt, wird er durch einen Stab orthogonal zum
Deckel abgestützt. Dieser Stab ist in der Mitte der Kante EF befestigt und trifft im Punkt P auf
den Deckel. Berechnen Sie die Koordinaten von P.
(3 P)
c)
Wie groß ist der Öffnungswinkel, wenn der Deckel in E2 liegt?
In welcher Ebene Et liegt der Deckel, wenn der Öffnungswinkel 60° beträgt? Bestimmen Sie
den Parameter t in Abhängigkeit vom Öffnungswinkel  für   90 .
(3 P)
d)
Eine punktförmige Lichtquelle in L(0/2,5/20) beleuchtet die Kiste.
Wie weit kann man die Kiste höchstens öffnen, ohne dass Licht von L in die Kiste fällt?
(4 P)
= 15 P
- 53 -
LÖSUNGEN
a)
Abstand der Kanten
d  AH  5²  4²  41  6, 4 LE
(die Kanten sind parallel):
Gerade durch E und H:
0
0
  
 
g : x   0  t 1
4
0
 
 
Geradenprobe g in Et :
t 0  4   4   4   4 
Deckel bei geschlossener Kiste:
F (3 / 0 / 4) in Et einsetzen  3 t  4   4  t  0
g ist die Achse von Et .
Der Deckel liegt in E0 : x3  4
Deckel bei 90° geöffneter Kiste:
X (0 / 0 / 7) in Et einsetzen  0  t  7   4
  7   4  Widerspruch
Der Deckel liegt in keiner der Ebenen Et .
b)
Berechnung von P:
P ist der Lotfußpunkt von M(1,5/0/4) der Kante EF auf die Ebene E2 : 2 x1  x3  4 .
Lot:
 1, 5 
2
  
 
h : x   0   t  0 
 4 
 1 
 
 
E2  h  2  (1,5  2 t )  (4  t )   4  t   0, 6  P (0,3 / 0 / 4, 6)
c) Öffnungswinkel zwischen E2 und E0 :
0 2
   
 0  0 
 1  1
1
   

 0, 4472    63, 4
cos  
1 5
5
Deckel bei 60° geöffneter Kiste:
0  t 
   
 0  0 
 1  1
1
   


cos 60 
1  t² 1
t² 1
- 54 -
1
1

2
t² 1
MERKE: cos 60 
1
2
t² 1  2  t² 1  4  t  3
Der Deckel liegt in der Ebene E 3 .
Abhängigkeit des Parameters t vom Winkel  :
cos  
t² 1 
1
t² 1
1
cos 2 
 t
1
1
cos 2 
d)
maximaler Öffnungswinkel
R(3/ 2,5/ 4)
S (0/ 2,5/ 4)
L(0/ 2,5/ 20)
L
x3
QS  RS  3 LE
Das Dreieck RSQ ist gleichschenklig.
Im Querschnitt sieht das Dreieck wie folgt aus:
Q
L

S
R
16
1
Q
1

R
1
Deckel


3
S
x1
Kiste
Aus dem Dreieck RSL kann man  berechnen:
tan  
16
   79,38    180  2   21, 24
3
- 55 -
x2
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 1-2007 N
FLUGBAHNEN / WINDSCHIEFE GERADEN
In einem Koordinatensystem werden die Flugbahnen zweier mit jeweils konstanter Geschwindigkeit fliegender Flugzeuge durch Geraden beschrieben. Während Flugzeug 1 von
A(0/0/6) nach B(- 5/8/7) fliegt, ist Flugzeug 2 zeitgleich von C(- 8/- 8/ 8) nach D(- 2/8/6)
unterwegs. (1 LE entspricht 1 km, der Erdboden entspricht der x1 x2 Ebene .)
a)
Wie groß ist der Steigungswinkel von Flugzeug 1?
Wie groß ist der Abstand der beiden Flugbahnen?
(5 P)
b)
Die Sicherheitsbestimmungen sehen vor, dass sich Flugzeuge dieser Art nicht näher als
1500 m kommen dürfen. Zeigen Sie, dass die Sicherheitsbestimmungen eingehalten werden.
(3 P)
c)
Ein Beobachter auf dem Erdboden steht senkrecht unter dem scheinbaren Schnittpunkt der
Kondensstreifen. Wie groß erscheint für ihn der Schnittwinkel der beiden Kondensstreifen?
(3 P)
[STOCHASTIK]
Bei der Produktion von Überraschungseiern treten die folgenden beiden Fehler auf:
F1: falsches Gewicht der Schokoladenhülle
F2: fehlerhafte Verpackung
F1 und F2 treten unabhängig voneinander auf. Ein Ei ist einwandfrei, wenn es keinen der beiden Fehler aufweist, was erfahrungsgemäß bei 90% der Eier der Fall ist. Erfahrungsgemäß
haben 7,5% der Schokohüllen ein falsches Gewicht.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der Fehler F2 auftritt.
(4 P)
LÖSUNGEN
a)
Flugbahnen:
0
 5 
 8 
 6
  
  (aufsteigend)   
 
x   0  s  8 
x   8   t   16  (absteigend)
6
 1
 8
 2 
 
 
 
 
- 56 -
 0   5 
   
0 8 
1  1 
   
sin  
1  90
Steigungswinkel:
   6, 05 [Winkel: Gerade – Ebene]
Ebene parallel zu den Flugbahnen:
0
 5 
3
  
 
 
x  0  s  8   t  8  
6
 1 
 1 
 
 
 
Abstand der Flugbahnen:
d=
E : 8 x1  x2  32 x3  192
| 8 ⋅ (-8) + 1⋅ (-8) + 32 ⋅ 8 -192 | 8
= » 0, 2424  242 m
33
8² + 1² + 32²
b)
Abstand der Flugzeuge:
Y  (5t  8  6t )²  (8t  8 16t )²  (6  t  8  2t )²
Y  (8  11t )²  (8  8t )²  (3t  2)²
Funktion in den GTR eingeben und das Minimum berechnen:
tmin  0,8144 Zeiteinheiten und Ymin  1,82 km .
Der Sicherheitsabstand wird also eingehalten.
c)
Schnittwinkel der Flugbahnen in Projektion auf die x1 x2 Ebene ,
d.h. die x3-Koordinaten werden = 0 gesetzt:
[STOCHASTIK]
 5   6 
   
 8   16 
 0 0
   
cos  
89  292
   52,56
ÜBERRASCHUNGSEIER
Übersicht
F2 tritt auf
F2 tritt nicht auf
F1 tritt auf
0, 075  P  F2 
0, 075  P F2
F1 tritt nicht auf
0,925  P  F2 
2
 
0,925  P  F 
RECHNUNG
 
P  das Ei ist einwandfrei   0,925  P F2  0,9  0,925  1  P  F2    0,9
0,9
36
36 1
1  P  F2  

 P  F2   1 

 0, 027  2, 7%
0,925 37
37 37
- 57 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 2-2007 N
GERÄTESCHUPPEN
Ein Geräteschuppen ABCDEFGH mit einer quadratischen Grundfläche hat die in der Zeichnung angegebenen Abmessungen. Der Dachvorsprung FKLG endet in einer Höhe von 1,40 m
über dem Boden. Die Punkte E, F, G, H, K und L liegen in einer Ebene E1 . Die Seitenflächen
stehen senkrecht auf der Grundfläche. (Alle Koordinatenangaben in Meter.)
a)
Geben Sie die Koordinaten der Punkte F, G und K an.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E1 .
Welchen Neigungswinkel gegen die Horizontale hat E1 ?
Welchen Rauminhalt hat der Schuppen?
(5 P)
b) schwer
An der Seitenwand ABFE ist eine 4,5 m lange Fahnenstange angebracht. Sie ist im Mittelpunkt der Seite AB verankert und um 10° gegen die Vertikale zu F hin geneigt. Wie viel Prozent der Fahnenstange ragen über das Dach hinaus?
(5 P)
c)
Zwischen den Punkten P (15/-4/6,1) und Q (-3/2/4,6) zweier Strommasten ist ein geradlinig
verlaufendes Kabel gespannt. Zeigen Sie, dass das Kabel das Dach überquert. Aus Sicherheitsgründen darf keiner der Dachpunkte weniger als 2m Abstand vom Kabel haben. Untersuchen Sie, ob diese Vorschrift erfüllt ist.
(5 P)
= 15 P
- 58 -
LÖSUNGEN
a)
F (4/ 4/ 2) , G(0/ 4/ 2) und K (4/ y /1,4)
Kante EF:
4
0
  
 
x   0  t  4 
3
 1 
 
 
y  6, 4 
E1 :
Ebene:
K (4 / 6, 4 / 1, 4)
x1 x2 x3
   1  x2  4 x3  12
 12 3
0  0
   
 0 1
1  4
   
cos  
1  17
Winkel:
EF  x3  1, 4  3  t  1, 4  t  1, 6
   14, 04
23
 4  4  5  2  4  40 m ³
2
Volumen:
V
b)
Mitte von AB:
Fahnenstange:
0
4


  


g : x   2   s   4, 5  sin10  (ungekürzt verwenden !!!)
 


0
 4, 5  cos10 
g  EF
M (4/ 2/ 0)
4
4
 0 4t  2  s  4, 5  sin10
3 t 
s
4,5 · sin 10°
4,5 · cos 10°
4,5 m
s  4,5  cos10 | 4
10
 0,54  54%
(4,5  sin10  18  cos10)
α = 10°
Ergebnis: 54% der Fahnenstange befinden sich vor der Mauer, 46% über dem Dach.
c)
Kabel:
mit E1 schneiden:
 15 
 18 
  
 
x    4   t   6  
 6,1 
 1, 5 
 
 
 15 
 12 
  
 
x    4  t   4
 6,1 
 1 
 
 
x2  4 x3  12   4 4t  24, 4 4t  12  20, 4  12
 E1 und das Kabel verlaufen parallel.
Abstand des Kabels:
d
| Ax1  Bx2  Cx3  D | | 4  24, 4  12 |

 2, 03 m
A²  B ²  C ²
1²  4²
Kabel Ç x2 = 0  S (3 / 0 / 5,1) und
Kabel Ç x1 = 0  T (0 /1/ 4,85)
Ergebnis: Das Kabel verläuft über dem Dach und der Abstand ist groß genug.
- 59 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 1-2008 H
WÜRFEL, PYRAMIDE UND QUADER
x3
S
In einem Würfel mit den Eckpunkten 0(0|0|0),
P(10|10|0) und S(0|0|10) befindet sich eine
Pyramide mit einem Dreieck als Grundfläche
und der Spitze S (vgl. Skizze).
Q
Die Eckpunkte der Pyramidengrundfläche sind
C
x2
A(10|6|0), B(6|10|0) und C(10|10|5).
B
b
A
P
x1
a)
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Grundfläche der Pyramide
liegt.
Welchen Winkel schließen die Grundflächen von Würfel und Pyramide ein? Untersuchen Sie,
ob die Höhe der Pyramide auf der Diagonalen PS des Würfels liegt.
(Teilergebnis:
E : 5 x1  5 x2  4 x3  80 )
(5 P)
b)
Wie viel Prozent des Würfelvolumens beträgt das Pyramidenvolumen?
(5 P)
c)
Zusätzlich zur Pyramide soll nun noch ein Quader der Breite b in den Würfel gelegt werden.
Die Abmessungen des Quaders werden so gewählt, dass er die Pyramide nur in einem Punkt
Q der Pyramidenkante AS berührt (vgl. Skizze).
Welches Volumen hat ein solcher Quader mit der Breite b = 4 ?
Welche Werte kann das Volumen eines solchen Quaders annehmen, wenn die Breite b variabel ist?
(5 P)
= 15 P
- 60 -
LÖSUNGEN
 10 
 4
0
 1   0   5 
  




a) E : x   6   s   4   t   4    1    4    5  
0
 0 
5
 0  5  4
 


 
    

 5  0

  
 5 0
  4 1
4

  

cos  
66  1
66
E : 5 x1  5 x2  4 x3  80
   60,5
0
 10 
  
Diagonale x   0   t   10 
 10 
 10 
 


Höhe:
0
 5 
  
 
x   0   t  5 
 10 
 4 
 
 
Da die Richtungsvektoren verschieden (linear unabhängig) sind, kann die Höhe nicht
auf der Diagonale liegen.
b)
Pyramidenvolumen als ein Sechstel Spatvolumen [mit Bezugspunkt A]:
 0    4    10 
 20   10 
1    1      
 1 
 
 480
V1   a  b  c    4    4     6     20    6  
 80 VE
6
6     
6
6
 16   10 
 5   0    10 

 


c)

Würfelvolumen:
V2  10 3  1000 VE
Anteil:
p
8 0 100%
 8%
1000
0
 5
  
 
g : x   0   t  3 
 10 
 5 
 
 
Ebene:
H : x2  4
H g:
3t  4  t 
Quadervolumen:
V  10  4  3 13  133 13 VE
Allgemeiner Ansatz:
H : x2  b
H g:
3t  b  t  b3  Q ( 53 b / b /10  53 b)
Quadervolumen:
V  10  b  (10  53 b)
Maximum mit GTR:
bmax  3  Vmax  150 VE
Gerade:
4
3
 Q (6 23 / 4 / 3 13 )
 0  V(b )  150
[Hinweis: auf der V-Skala mindestens +160 einstellen.]
- 61 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 2-2008 H
PRISMA UND ZYLINDER
Die Punkte A(5 |0 | 0), B(5 | 3 | 0), C(5 | 0 | 4), F(0 | 0 | 0), G(0 | 3 | 0) und H(0 | 0 | 4) sind die
Ecken eines dreiseitigen Prismas mit Grundfläche ABC.
a)
Stellen Sie das Prisma in einem Koordinatensystem dar.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Fläche BGHC liegt.
Unter welchem Winkel schneidet E die x1 x2 Ebene ?
Berechnen Sie den Abstand des Punktes A von der Geraden CG.
(Teilergebnis: E : 4 x2  3x3  12 )
(6 P)
b)
Im Prisma liegt ein Zylinder mit Radius 0,5 und Grundkreismittelpunkt M (0 | 0,5 | 0,5), dessen Achse parallel zur x1 Achse verläuft. Ermitteln Sie die Abstände des Punktes M von den
drei rechteckigen Seitenflächen des Prismas. Berührt der Zylinder alle drei rechteckigen Seitenflächen des Prismas?
Ein anderer Zylinder mit Radius r und Grundkreismittelpunkt M*(0 | r | r), dessen Achse
ebenfalls parallel zur x1 Achse ist, soll alle drei rechteckigen Seitenflächen des Prismas von
innen berühren. Bestimmen Sie den Radius r dieses Zylinders.
(5 P)
[STOCHASTIK]
In einer Urne sind 3 rote und 3 blaue Kugeln. Es werden 2 Kugeln gezogen.
Prüfen Sie, ob die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedenfarbige Kugeln gezogen werden,
beim Ziehen mit oder ohne Zurücklegen größer als 50% ist.
Wie viele rote Kugeln müsste man in die Urne dazulegen,
x3
dass die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweimaligen
Ziehen ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit für
zwei verschiedenfarbige Kugeln 50% beträgt?
H
(4 P)
3
2
C
LÖSUNGEN
1
M
x2
a)
Ebene:
1
1
x1 x2 x3
   1  E : 4 x2  3x3  12
 3 4
2
3
4
A
- 62 -
x1
B
2
G
4
Winkel:
 0 0
   
 40
 3 1
   
 0, 6    53,1
cos  
25  1
5
 5 
  
Gerade CG: g : x   0   t   3 
 4
 4 
 
 
Hilfsebene:
 5   5 
   
H :  5 x1  3 x2  4 x3   3    0   25  5 x1  3 x2  4 x3  25
 4   0 
   
H g:
t
68
 F  175 | 24
 d  AF  3,3 LE
25 | 25 
8
25
b) Mittelpunkt des Zylinders:
M (0 / 0,5 / 0,5)
Abstand zur x1 x2 Ebene :
d3  0,5
Abstand zur x1 x3 Ebene :
d 2  0,5
Abstand zur Ebene E:
d1 
| 4  0,5  3  0,5  12 |
 1, 7  0,5
5
Der Zylinder berührt die waagerechte und die senkrechte Seitenflächen, nicht aber die schräg
liegende Seitenfläche.
Passender Mittelpunkt:
M (0 / r / r )
Abstand:
r
Fallunterscheidung:
5 r  7 r  12  r  6 (entfällt )
oder
 5 r  7 r  12  r  1 ( richtige Lösung )
| 4  r  3  r  12 |
 5 r  | 7 r  12 |
5
Da M im Innern des Prismas liegt, kommt nur die Lösung r = 1 in Frage.
[STOCHASTIK]
URNE
P  zwei verschiedene   P  rot / blau   P  blau / rot 
3 3 3 3 1
mit Zurücklegen        50%
6 6 6 6 2
3 3 3 3 18
ohne Zurücklegen      
 60%
6 5 6 5 30
ohne Zurücklegen / ( n  3) rote Kugeln / 3 blaue Kugeln
P  zwei verschiedene   P  rot / blau   P  blau / rot 
n3 3
3 n3



 0,5 
n6 n5 n6 n5
6   n  3
 0,5  0
 n  6    n  5
GTR  Funktion eingeben 
Nullstelle berechnen  n  3
- 63 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 1-2008 N
KNICKPYRAMIDE
Unter den Bauwerken des Altertums gibt es
auch Knickpyramiden. Beim Bau traten oft
statische Probleme auf, weshalb man ab einer
bestimmten Höhe die Steilheit der Seitenflächen verringern musste.
Die Querschnittskizze ist nicht maßstabgetreu.
Die quadratische Grundfläche einer solchen Knickpyramide wird durch die Punkte A(0/0/0),
B(200/0/0), C(200/200/0) und D(0/200/0) gegeben (Koordinatenangaben in Meter).
Die vier Knickpunkte A´, B'(170/30/40), C’ und D'(30/170/40) liegen auf gleicher Höhe und
bilden ebenfalls ein Quadrat. Die Spitze liegt bei S(100/100/80).
a) Bestimmen Sie die Koordinaten von A' und C'.
Berechnen Sie den Winkel, den die Seitenflächen der Knickpyramide an der Kante C'D' bilden. Wie hoch wäre die Pyramide ohne Knick geworden?
Ein Kubikmeter des verwendeten Baumaterials besitzt die Masse 2,5 t.
Bestimmen Sie die durch den Knick eingesparte Masse.
(6 P)
b) Mit einem akustischen Messverfahren stellt man im Innern der sonst massiven Pyramide
eine Grabkammer mit dem Zentrum an der Stelle G(100/120/20) fest.
Zu dieser Grabkammer soll von außen ein horizontal verlaufender, möglichst kurzer Gang
gebohrt werden. Bestimmen Sie die Länge dieses Gangs.
Dieser horizontal verlaufende Gang ist allerdings nicht die kürzeste Verbindung von außen
zur Grabkammer.
Ermitteln Sie, an welcher Seitenfläche der Pyramide eine Bohrung ansetzen muss, die die
kürzeste Verbindung zur Grabkammer liefert.
(5 P)
c) Ein Käfer läuft von B aus auf einem möglichst kurzen Weg bis zur Spitze S.
Sein Weg führt über die Kante B'C'. An welcher Stelle überquert er diese Kante?
(4 P)
= 15 P
- 64 -
LÖSUNGEN
x3
a)
100
A'
S
D'
x2
A
D
100
G
B'
C'
100
x1
B
C
AUS DER ANSCHAUUNG FOLGT:
Koordinaten von A':
 30   0   30   30 

        
x A '  x A   30    0    30    30  
 40   0   40   40 
       
Koordinaten von C':
 30   200   30   170 

 
 
 
 

xC '  xC   30    200    30    170   C (170 / 170 / /40)
 40   0   40   40 

 
 
 

EBENE (C’D’S):
 100 
 140 
 70   100 
1
 7 
 




 

 
 
E1 : x   100   s   0   t   70    100   s   0   t   7 
 80 
 0 
 40   80 
0
 4 





 

 
 
A(30 / 30 / /40)
 0   100 
  

E1 : 0  x1  4 x2  7 x3   4    100   960  4 x2  7 x3  960
 7   80 
  

EBENE (C’D’D):
 0 
1
 3
0
 
  

 
 
E2 : x   200   s   0   t   3   n   4 


 
 
 
 0 
0
 4 
3
0  0 
  

E2 : 0  x1  4 x2  3 x3   4    200   800  4 x2  3 x3  800
 3  0 
  

[HINWEIS: Für die Bestimmung des Winkels benötigt man nur die Richtungsvektoren.]
- 65 -
WINKEL
0 0
   
 4 4
7  3
   
cos  
65  25
   23,39    156, 61 [Innenwinkel]
PYRAMIDENHÖHE OHNE KNICK
 100 
0
 

 
E2  Vertikale : x   100   t   0   400  3t  800  t  133 13
 0 
1


 
Ohne Knick wäre die Pyramide 133,3 m hoch.

H (100 / 100 / 133 13 )
Volumen:
Vgespart  Vgroß  Vklein  13  G   hgr  hkl   13 1402   93,3  40   348.444, 44 m³
MASSE:
m  2,5  V  871.111 t
b) HORIZONTALE BOHRUNG von G aus nach rechts
durch die Ebene E2:
 100 
0
 

 
g : x   120   t   1  und
 20 
0


 
g  E2 :
4  (120  t )  3  20  800  t  65  P(100 /185 / 20)
Länge der Bohrung:
GP  65 m
Abstand zu E1:
d1 
| 4 120  7  20  960 |
 42,17 m
65
Abstand zu E2:
d2 
| 4 120  3  20  800 |
 52 m
25
E2 : 4 x2  3 x3  800
Die Bohrung muss an der Seitenebene E1 ansetzen muss, um die kürzeste Verbindung zur
Grabkammer zu bekommen.
c) SPUR DES KÄFERS von B nach S:
B(200/0/0), B'(170/30/40), C’(170/170/40), S(100/100/80).
beweglicher Punkt auf der Kante h = B’C’:
Gesamtstrecke:
K (170 / 30  t / 40)
d  BK  KS
d  30²  (30  t )²  40²  70²  (70  t )²  40²
d  2500  (30  t )²  6500  (70  t )²
Mit GTR das MINIMUM bestimmen: tmin  8, 28  K (170 / 38, 28 / 40)
WEGLÄNGE = 164,5 m
- 66 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 2-2008 N
SPIEGELUNG, DREHUNG, GERADENSCHAR [unanschaulich]
Aufgabe 1
Die Punkte A(1/0/0), B(0/3/2) und C(2/2/-2) legen eine Ebene E fest.
a)
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E.
Beschreiben Sie die besondere Lage von E und stellen Sie E in einem Koordinatensystem dar.
[Teilergebnis: E : 2 x1  x3  2 ]
(4 P)
b)
Spiegelt man E an der x2 x3 Ebene , so erhält man die Ebene F.
Bestimmen Sie eine Gleichung von F.
Stellen Sie F im vorhandenen Koordinatensystem dar.
Die Ebene E kann auch durch eine Drehung um die x2-Achse auf die Ebene F abgebildet werden. Bestimmen Sie einen möglichen Drehwinkel.
(3 P)
Aufgabe 2
Gegeben sind die Gerade
æ-2ö
æ1ö÷
çç ÷
 ççç ÷÷÷
g : x = ç 0 ÷÷ + t ⋅ çç 2÷÷÷ ; t Î 
çç ÷÷
çç ÷÷
çè 1 ÷ø
çè0÷ø
und für jede reelle Zahl a die Gerade
æ-3ö
æ 2 ÷ö
çç ÷
 ççç ÷÷÷
÷
ha : x = ç 1 ÷ + r ⋅ çç-1÷÷÷ ; r Î 
çç ÷÷
çç ÷÷
èç 0 ø÷
èç a ÷ø
a)
Begründen sie, dass g zu keiner Geraden ha parallel ist.
Für welche reelle Zahl a schneidet ha die Gerade g?
Alle Geraden ha liegen in einer Ebene H. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von H.
(4 P)
b)
Für welchen Wert von a ist der Abstand der Geraden g und ha am größten?
(4 P)
= 15 P
- 67 -
LÖSUNGEN
Aufgabe 1
1
 1 
 1 
 10 
2
  
 
  
 
 

E : x   0  t  3   s  2   n   0   n   0 
0
2
 2 
 5 
1
 
 
 


 
a)
E:
x1 x2 x3

 1.
1  2
E : 2 x1  x3  2
Die Ebene verläuft parallel zur x2-Achse.
b)
Spiegelung der Ebene an der x2 x3 Ebene :
Man spiegelt einfach den Spurpunkt S1(1/0/0) an der Koordinatenebne, während man den
zweiten
F:
Spurpunkt
S2(0/0/2)
übernimmt
und
x1 x3
  1  F :  2 x1  x3  2
1 2
so
die
gespiegelte
Ebene
x3
2
Drehung um die x2-Achse:
tan  
erhält
1
1
   26,5650
2
-1
   2  53,130
x2
1
oder
x1
 2   2 
   
 0 0 
1  1 
    3
cos  

   53,130
5
5 5
1
Aufgabe 2
a)
Untersuchung auf Parallelität:
k  0,5
1
2
 
 
 2   k   1   k  2  Widerspruch , Parallelität der Geraden nicht möglich.
0
a
 
 
- 68 -
SCHNITTPUNKT g  ha :
1  t  2r
 2  t  3  2 r
 2 
 1   3 
2
 
   
 
2t  1  r
 2  4t  2r
 0   t   2    1   r   1  
 1 
0  0 
a
1 r a
1 r a
 
   
 
1  5t  0  t  0, 2  r  0, 6  1  0, 6  a  a 
Für a 
5
3

5
3
schneidet ha die Gerade g.
EBENENGLEICHUNG für H
 3 
2
2
 1 
  
  
 
 
H : x   1   t   1   s   1   n    2  
 0
0
1
 0 
 
 
 
 
H :  x1  2 x2  1
b)
MAXIMALER ABSTAND zwischen den Geraden
 1   2   2a 
 2a   x1   2a   3 
     
       
Hilfsebene  2    1    a     a    x2     a    1  
 0   a   5 
 5   x   5   0 
     
   3    
2a  x1  a  x2  5 x3  6a  1a  7 a  2a  x1  a  x2  5 x3  7 a  0
Abstand des Punktes P(-2/0/1) von der Hilfsebene:
d
| 2a  (2)  a  0  5 1  7a | | 4a  5  7 a |
| 3a  5 |


4a ²  a ²  25
4a ²  a ²  25
5a ²  25
Maximaler Abstand mit GTR:
Funktion definieren Y1 | 3x  5 | / 5 x ²  25  CALC maximum  x  3
max. Abstand für
- 69 -
a=-3
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 1-2009 H
FLUGPLATZ [mit komplizierten Zahlen, unanschaulich]
Die x1 x2 Ebene beschreibt eine flache Landschaft, in der ein Flugplatz liegt.
Eine Radarstation befindet sich im Punkt R1 (6 / 3 / 0) .
Das Radar erfasst ein Testflugzeug F1 um 7:00 Uhr im Punkt P(7 / 29 / 7) und ermittelt als
Flugbahn des Flugzeugs
7
 3
  
 
f1 : x   29   t   2  (t in Minuten nach 7:00 Uhr, Koordinatenangaben in km).
7
 1 
 
 
a) In welchem Punkt befindet sich das Flugzeug um 7:01 Uhr?
Woran erkennen Sie, dass sich das Flugzeug im Sinkflug befindet?
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h.
Unter welchem Winkel fliegt das Flugzeug auf den Boden zu?
Zu welcher Uhrzeit und in welchem Punkt würde es bei Beibehaltung dieser Flugbahn auf
dem Boden aufsetzen?
(6 P)
b) Eine weitere Radarstation befindet sich im Punkt R2 (17 / 9 / 0) .
Der Anflug des Testflugzeugs F1 auf den Flugplatz ist optimal, wenn die Flugbahn f1 und die
beiden Radarstationen in einer Ebene liegen. Prüfen Sie, ob das zutrifft.
Die Radarstation R2 übernimmt die Flugüberwachung zu dem Zeitpunkt, ab dem sich das
Flugzeug von R1 entfernt. Um wie viel Uhr ist dies der Fall?
(5 P)
c) Die Flugbahn eines zweiten Testflugzeugs F2 wird beschrieben durch
 18 
 2
  
 
f 2 : x   11   t   2  (t in Minuten nach 7:00 Uhr, Koordinatenangaben in km).
7
0
 
 
Wie weit sind die Flugzeuge F1 und F2 um 7:04 Uhr voneinander entfernt?
Berechnen Sie, wie nahe sich die beiden Flugzeuge kommen.
(4 P)
= 15 P
- 70 -
LÖSUNGEN
a) Flugbahn von F1 :
7
 3
  
 
f1 : x   29   t   2 
 
 
7
 1 
Position um 7:01 Uhr:
7
 3   10 

 
   
xP1   29   1   2    27  
7
 1   6 
 
   
t bedeutet Zeit in Minuten
P1 (10 / 27 / 6)
Das Flugzeug befindet sich im Sinkflug, weil die x3 Koordinate des Richtungsvektors negativ ist.
Weg in 1 Minute:
P0 P1  (10  7)²  (27  29)²  (6  7)²  9  4  1  14 km
Geschwindigkeit:
v
s
14
km
km
km

 3, 742
 3, 742  60
 224,5
t
1
min
h
h
Anflugwinkel = Winkel zwischen Flugbahn und x1 x2 Ebene :
 3  0
   
 2    0 
 1   1 
1
   

 0, 2673    15,5
sin  
14  1
14
Das Flugzeug fliegt unter einem Winkel von 15,5° auf den Boden zu.
Aufsetzpunkt:
f1  x1 x2 Ebene 
x3  0  7  t  0  t  7 
A (28 / 15 / 0)
Das Flugzeug würde um 7:07 Uhr am Punkt A (28 /15 / 0) aufsetzen.
b) optimale Flugbahn (wenn f1 , R1 (6 / 3 / 0) und R2 (17 / 9 / 0) in einer Ebene liegen):
7
 3
 67   7 
 3
 1 
  
 

  
 


E : x   29   s   2   t   3  29    29   s   2   t   26  
7
 1 
 07   7 
 1 
 7 
 
 

  
 


Punktprobe für R2 (17 / 9 / 0) :
E : 6 x1  11x2  40 x3  3
6 17  11  9  40  0  3  3  3 
- 71 -
R2 liegt in E.
Die Radarstation R2 übernimmt die Flugüberwachung zu dem Zeitpunkt, ab dem sich das
Flugzeug F1 von R1 entfernt, dort also wo die Flugbahn f1 den kleinsten Abstand von R1 hat.
Um wie viel Uhr ist dies der Fall?
R1
Skizze:
F1
f1
Hilfsebene H durch R1 , welche die Flugbahn f1 senkrecht schneidet:
6  3 
   
H : 3 x1  2 x2  1x3   3    2   12
 0   1 
   
H  f1 : 3(7  3t )  2(29  2t )  (7  t )  12 .....  t  4 min
Die Radarstation R2 übernimmt die Flugüberwachung um 7:04 Uhr.
c) Flugbahn von F2 :
 18 
 2
  
 
f 2 : x   11   t   2 
7
0
 
 
Abstand der beiden Flugzeuge um 7:04 Uhr:
F1 befindet sich in P4 (19 / 21/ 3) und F2 befindet sich in Q4 (26 /19 / 7) .
Abstand:
P4Q4  49  4  16  69  8,31 km
Kleinster Abstand der beiden Flugzeuge:
Zwei bewegliche Punkte:
Pt (7  3t / 29  2t / 7  t )
Qt (18  2t /11  2t / 7)
Abstandsfunktion:
d ( t )  PQ
(t  11)²  (4t  18)²  t ²
t t 
Minimaler Abstand mit GTR:
tmin  4, 61
 d min  7,89 km
- 72 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 2-2009 H
PYRAMIDENSTUMPF
Die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide hat die Eckpunkte P(0/-6/0), Q(12/0/0) und
R(0/6/0). Die Pyramide wird von einer Ebene geschnitten und der obere Teilkörper wird entfernt. Die Deckfläche des so entstandenen Pyramidenstumpfs hat die Eckpunkte
P*(0/-2/2), Q*(2/0/2,5) und R*(0/1/2,5).
a)
Stellen Sie den Pyramidenstumpf in einem Koordinatensystem dar.
Begründen Sie, dass die Deck- und die Grundfläche des Pyramidenstumpfs nicht parallel sind.
Bestimmen sie den Winkel, den die Kante QQ* mit der x1 Achse bildet.
Zeigen Sie, dass S(0/0/3) die Spitze der ursprünglichen Pyramide ist.
(6 P)
b)
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes Q* von der Geraden durch Q und R .
Zeigen Sie, dass die Seitenfläche QRR*Q* des Pyramidenstumpfs ein Trapez ist.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Trapezes.
(5 P)
[STOCHASTIK]
Das Büro einer Firma ist durch eine Türsicherung und einen Bewegungsmelder gegen Einbruch gesichert. Nach Werksangaben versagt die Türsicherung in 0,4%, der Bewegungsmelder in 1,5% aller Einbruchsversuche.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktionieren beide Sicherungen gleichzeitig?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Einbrecher ungehindert in das Büro eindringen
kann?
Dieses Risiko ist der Firma zu hoch.
Auf welchen Wert müsste die Wahrscheinlichkeit für das Versagen des Bewegungsmelders
verringert werden, damit die Wahrscheinlichkeit für ein ungehindertes Eindringen bei höchstens 1:100 000 liegt?
(4 P)
= 15 P
- 73 -
LÖSUNGEN
x3
a)
S
R*
P*
Zeichnung
Q*
1
x2
P
1
1
R
Q
x1
Die Punkte P, Q und R haben alle die x3  Koordinate Null, die Ebene ist also waagerecht.
Die Punkte P*, Q* und R* haben verschieden große x3 Koordinaten , daher kann die zweite
Ebene nicht waagerecht sein. Die beiden Ebenen sind also nicht parallel.
Winkel zwischen QQ* und x1 Achse :
 10   1 

  
 0  0
 2,5   0 
    0,9701    14, 0
cos   
106, 25  1
Ursprüngliche Spitze:
 0 
0
 12 
 10 
  
  
  und


PP* : x   6   t   4 
QQ* : x   0   s   0  werden miteinander geschnitten.
 0 
2
0
 2, 5 
 
 
 


0
12  10s
 6  4t  0
2t  2,5s
 t  1,5 und s  1, 2 Probe : 2 1,5  2,5 1, 2  3  3
t  1,5 in PP * einsetzen  S (0 / 0 / 3) q.e.d .
- 74 -
b)
Abstand von Q* zur Gerade QR:
Gerade:
 12 
 12 
  


QR : x   0   t   6  und Q*(2/0/2,5)
0
 0 
 


Hilfsebene:
 12   2 

 

H :  12 x1  6 x2   6    0   24 
 0   2, 5 

 

H  QR  t 
Abstand:
2
3
H :  2 x1  x2  4  0
 F (4 / 4 / 0)
d  Q * F  2²  4²  2,5²  26, 25  5,12 LE
Trapezfläche QRQ*R*:


Die Vektoren QR und Q * R * sind linear abhängig voneinander, daher also parallel.
ATrapez 
ac
180  5
h 
 26, 25  40,1 FE
2
2
[STOCHASTIK]
TÜRSICHERUNG
P Türsicherung funktioniert   1  0, 004  0,996
P  Bewegungsmelder funktioniert   1  0, 015  0,985
P  beide Sicherungen funktionieren   0,996  0,985  0,98106  98,1%
P  beide Sicherungen versagen   0, 004  0, 015  0, 00006  0, 006%
P Türsicherung versagt   0, 004
P  Bewegungsmelder versagt   p
P  beide Sicherungen versagen   0, 004  p  0, 00 001
p  0, 00 25  0, 25%
ERGEBNIS
Die Wahrscheinlichkeit für das Versagen des Bewegungsmelders dürfte höchsten
0,25% betragen.
- 75 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 1-2009 N
DREHBARER SPIEGEL
Ein rechteckiger Spiegel ist um eine Achse drehbar. In der Ausgangslage befinden sich die
Eckpunkte des Spiegels in A(2/0/0), B(-2/4/0), C(-2/4/4) und D(2/0/4)).
Die Drehachse verläuft durch die Punkte P(0/2/0) und Q(0/2/4). Weiterhin ist für jedes t  R
eine Ebene Et durch die Gleichung Et : x1  t  x2  2 t gegeben.
a)
Zeichnen Sie den Spiegel und die Strecke PQ in ein Koordinatensystem.
Zeigen Sie, dass der Spiegel in der Ausgangslage in der Ebene E1 liegt.
Zeichnen Sie die Ebene E3 ein.
Der Spiegel dreht sich nun so, dass er in der Ebene E3 liegt.
Um welchen Winkel hat er sich dabei gedreht?
(5 P)
b)
Zeigen Sie, dass jede Ebene Et eine mögliche Lage des Spiegels darstellt.
Beschreiben Sie, wie sich die Lage von Et für t   verändert.
Welche Stellung des Spiegels wird durch keine Ebene Et dargestellt?
Im Punkt L(6/8/1) befindet sich eine Lichtquelle, welche einen Lichtstrahl mit der Richtung
 3 
  aussendet. Zeigen Sie, dass der Lichtstrahl den Spiegel unabhängig von dessen Stellung
 3 
 1 
 
immer im gleichen Punkt trifft, sofern der Spiegel nicht parallel zum Lichtstrahl ist.
(6 P)
[STOCHASTIK]
Ein Glücksrad besteht aus vier Kreissektoren, die mit den
Zahlen 1, 2, 3 und 4 versehen sind.
Die Mittelpunktswinkel der verschiedenen Sektoren haben
die Weiten 30°, 60°, 90° und 180° (siehe Abbildung).
Nach jeder Drehung gilt diejenige Zahl als gezogen, auf deren
Kreissektor der feststehende Pfeil zeigt.
Wie oft müsste man das Glücksrad drehen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 97%
mindestens einmal die Zahl 4 gezogen wird?
Wie groß müsste der zur Zahl 1 gehörende Mittelpunktswinkel sein, damit bei dreimaligem
Drehen mit 99,9%-iger Wahrscheinlichkeit höchstens zweimal die Zahl 1 gezogen wird?
(4 P)
- 76 -
LÖSUNGEN
x3
C
a)
Q
4
D
E1
2
1
B
E3
1
A
1
2
3
x2
4
P
3
4
x1
Ebenengleichung:
E1 : Zeichnung 
x1 x2
 1 
2 2
E3 : x1  3  x2  3  2 
Drehwinkel:
1 1
   
 1  3
0 0
4
   
cos  

2  10
20
x1  x2  2
x1 x2
 1 
6 2
zeichnen
   26, 60
b)
Drehachse:
0
0
  
 
a : x   2  t 0
0
1
 
 
Nachweis, dass die Achse in der Ebenenschar liegt: 0  t  2  2t  2t  2t
q.e.d.
Da
alle Ebenen die Drehachse enthalten, stellt jede Ebene eine mögliche Lage des Spiegels dar.
Verhalten für t   :
Et : x1  t  x2  2 t 
x1 x2
 1 
2t 2
x1 x2
  1  x2  2
 2
Im Grenzfall wird die Ebene Parallelebene zur Koordinatenebene x2  0 (mit Abstand 2).
- 77 -
LICHTSTRAHL:
6
 3 
  
 
g : x   8   s   3 
1
1
 
 
Schnittpunkt:
Et  g :  6  3s  t  (8  3s )  2t  6  3s  8t  3ts  2t
3 s  3t s  6 t  6  (3  3t )  s  6 t  6
s
6  (t  1)
3  (t  1)
 s2
für t   1 ( Parallelität )
Auftreffpunkt:
T (0 / 2 / 3) , welcher unabhängig vom Parameter t ist.
[STOCHASTIK]
GLÜCKSRAD
P  Sektor 4   0,5
n? /
p  0,5 / k  1 /   0,97 (etwa 97%)
P  X  1  1  P  X  0   0,97
GTR : 1  binom pdf ( X / 0,5 / 0)  Tabelle  n  5
P  Sektor 1  x
n3 /
p  x / k  2 /   0,999
P  X  2   0,999
GTR : binom cdf (3 / x / 2)  Tabelle 
Winkel  x  360  36
x  0,100
 Table  0, 001
- 78 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 2-2009 N
HANGGRUNDSTÜCK
Ein ebenes dreieckiges Hanggrundstück hat die Eckpunkte A(24/0/0), B(0/36/0) und
C(0/0/12). Senkrecht über der quadratischen Fläche mit den Eckpunkten B1(16/12/0),
B2(12/18/0), B3(6/14/0) und B4 wird die Erde ausgehoben.
Ein Mast wird senkrecht zur x1 x2 Ebene so aufgestellt, dass sich sein Fußpunkt F im Mittelpunkt des Quadrats befindet (s. Abbildung, alle Koordinatenangaben in Meter).
a) Zeigen Sie, dass B1 und B2 auf der Geraden durch A und B liegen. Bestimmen Sie die Koordinaten von B4 und F. Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E auf, in der das
Hanggrundstück liegt. [Teilergebnis E : 3x1  2 x2  6 x3  72 ]
C
Zeichnung nicht
maßstabsgetreu
B
B3
B4
B2
B1
A
(5 P)
b) Berechnen Sie das Volumen des Aushubs senkrecht über dem Quadrat.
(3 P)
c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes auf dem Hang, der zur Mastspitze
S(11/13/18,5) den kürzesten Abstand hat. Wie groß ist dieser Abstand?
Im Punkt N(5/9/6,5) auf dem Hang wird ein zweiter Mast errichtet, der 6,5 m hoch ist und
ebenfalls senkrecht zur x1x2-Ebene steht. Zwischen den beiden Masten wird eine Verbindungsstange horizontal montiert. Wie lang ist diese?
(3 P)
d) Am ersten Mast wird im Punkt T(11/13/17) ein Scheinwerfer befestigt, der auf den Mast
aus Teilaufgabe c) hin ausgerichtet ist und einen Teil des Hangs beleuchten soll. Zeigen Sie.
dass der Schatten der Spitze des zweiten Masts innerhalb des Hangdreiecks ABC liegt.
(4 P)
= 15 P
- 79 -
LÖSUNGEN
x3
a)
C
D
B
1
1 1
x2
B3
B4
B2
B1
x1
A
Ebene ABC:
E:
x1 x2 x3
   1  3 x1  2 x2  6 x3  72
24 36 12
Spurgerade AB: x3  0  g : 3x1  2 x2  72
Punktproben:
B1  3 16 x  2 12  72  72  72 
B 1 g
 3 12 x  2 18  72  72  72 
B 2 g
B2
Punkt B4:
 16   6  12   10 
   


  
xB4  xB1  B2 B3   12    14  18    8  
0  0  0
  
  
Mittelpunkt F:
 16  6 12  14 0  0 
/
/

  F (11/13 / 0)
2
2 
 2
B4 (10 / 8 / 0)
b)
AUSHUB
Punkt senkrecht über B4:
3 10  2  8  6  z  72 
z  4 13
Punkt senkrecht über B3:
3  6  2 14  6  z  72 
z  4 13
Dreiecksfläche:
A  12  g  z  12  6²  4²  4 13  12  52  4 13
Prismenvolumen:
V  A  h  12  52  52  4 13  112 23 m ³
- 80 -
c)
Lot auf E:
 11 
3
 

 
x   13   t   2 
 18, 5 
6


 
Lotfußpunkt:
Lot  E  t  2  L (5 / 9 / 6,5)
Abstand:
d  6²  4²  12²  196  14 m
Horizontaler Abstand zwischen S1 (5 / 9 / 13) und
S2 (11/ 13 / 13) :
a  6²  4²  52  7, 21 m
d)
BELEUCHTUNG
T(11/13/17):
Schattenstrahl:
 11 
 11  5   11 
6
  

  
 
k : x   13   t   13  9    13   t   4 
 17 
 17  13   17 
 4
 

  
 
Kürzen:
 11 
3
  
 
k : x   13   t   2 
 17 
2
 
 
Schnitt:
k  E : 3  (11  3t )  2  (13  2t )  6  (17  2t )  72
33  9t  26  4t  102  12t  72
25  t   89  t   3,56
Schattenpunkt:
SP (0,32 / 5,88 / 9,88)
Da die Koordinaten des Schattenpunktes alle positiv und jeweils kleiner als die Achsenabschnitte der schräg liegenden Ebene sind, muss der Schattenpunkt innerhalb des Spurdreiecks
ABC liegen.
- 81 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 1-2010 H
RAUTE UND PYRAMIDE
Gegeben sind die Punkte A(0 / 4 / 0), B(0 / 0 / 2) und C(4 / 0 / 0) .
a)
Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
Ergänzen Sie das Dreieck ABC durch einen Punkt D zu einer Raute.
Berechnen Sie die Innenwinkel der Raute.
Zeigen Sie, dass die Raute in der Ebene E : x1  x2  2 x3  4 liegt.
[Teilergebnis: D(4 / 4 / 2) ]
(5 P)
Gegeben ist für jedes t  0 der Punkt St (3  3t / 3  3t / 5  t ) .
Die Pyramide Pt hat die Grundfläche ABCD und die Spitze St.
b)
Zeichnen Sie die Pyramide P3 in ein Koordinatensystem.
Die Punkte B, D und S3 legen eine Ebene F fest.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von F.
Zeigen Sie, dass die Ebene F Symmetrieebene der Pyramide P3 ist.
(5 P)
c)
Für welchen Wert von t geht die Höhe der Pyramide R durch den Mittelpunkt der Grundfläche?
Das gleichschenklige Dreieck ACS3 wird um die Achse AC gedreht.
In welchen Punkten durchstößt dabei seine Spitze die x1-x2-Ebene?
(5 P)
= 15 P
- 82 -
LÖSUNGEN
a)
Gleichschenkligkeit:
 0
  

AB   4   | AB | 4²  2²  20
 2
 
 4
  

BC   0   | BC | 4²  2²  20
 2 
 
Bestimmung von D:
0  4   4 

       
xD  x A  BC   4    0    4  
 0    2   2 
     
D (4 / 4 / 2)
0  4
   
 4  0 
 2   2 
4
   
cos  

 0, 2    78,5
20
20  20
Winkel:
  180  78,5  101,5 und    und   
x1 x2 x3
   1  E : x1  x2  2 x3  4
4 4 2
A, B und C sind Spurpunkte einer Ebene E:
Damit ist gezeigt, dass die Raute ABCD in der Ebene E liegt.
x3
b)
S3
S3 (6 / 6 / 8)
B
1
x2
A
1
1
M
C
x1
D
- 83 -
Ebene F:
0
1
1
 1  1  2 
  
      
 
 
F : x   0   t   1   s   1   n   1    1    2 
 2
 1 
1
 1   1   0 
 
 
 
     
F : x1  x2  0
Nachweis, dass F Symmetrieebene bzw. Spiegelebene ist:

B, D und S3 liegen laut Rechnung in der Ebene F. Bleiben also noch die Punkte A und
C zu betrachten.

Der Mittelpunkt M der Strecke AC liegt in F, weil BD eine Rautendiagonale ist.

Man kann für M auch die Punktprobe machen.

Außerdem steht der Vektor AC senkrecht auf der Ebene F, weil dieser parallel zum
 4
1
  
Normalenvektor der Ebene F verläuft: AC   4   4   1
 0
0
 
 

Daher ist F für die Pyramide eine Symmetrieebene bzw. Spiegelebene.
c)
M (2 / 2 / 0) = Mittelpunkt der Grundfläche
Höhe:
 2
1
  
 
x   2  s 1 
0
 2
 
 
Punktprobe für St:
 3  3t   2 
1

  
 
 3  3t    2   s   1   t  3 und
 5  t  0
 2

  
 
s4
Für t = 3 geht die Höhe der Pyramide durch den Mittelpunkt der Grundfläche.
Rotation des Dreiecks ACS3 um die Achse AC:
Der gesuchte Durchstoßpunkt P liegt sowohl in der Ebene F als auch in der x1 x2 Ebene und
lässt sich daher (wegen F : x1  x2  0 ) folgendermaßen darstellen: P( x / x / 0) .
Radius:
MS3  4²  4²  8²  96
Bedingung:
MP  MS 3 
(2  x)²  (2  x)²  96
(2  x)²  (2  x)²  96  4  4x  x²  4  4x  x²  96
2 x²  8x  88  0  x²  4 x  44  0  x 1/2  2  48
P1 (8,93 / 8,93 / 0) und
P2 (4,93 / 4,93 / 0)
- 84 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 2-2010 H
QUADRAT [schwer]
5
 1 
  
Gegeben sind der Punkt A(4,5 / 6 / 3,5) sowie die Gerade g : x   0   t   2  .
3
 1 
 
 
a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g mit der x1 x2 Ebene .
Zeichnen Sie die Gerade g in ein Koordinatensystem.
Unter welchem Winkel schneidet g die x1 x2 Ebene ?
Welcher Punkt F auf der Geraden g hat vom Punkt A den kleinsten Abstand?
Die Gerade h entsteht durch Spiegelung von g an A.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h.
[Teilergebnis: F (3/ 4 /1) ]
(6 P)
b)
Begründen Sie, dass bei Rotation der Geraden g um die Gerade durch A und F eine Ebene
entsteht.
Zeigen Sie, dass 3 x1  4 x2  5 x3  30 eine Gleichung dieser Ebene ist.
Untersuchen Sie, ob die Punkte P(18 / 9 /1) und Q(2 /1/ 9) auf verschiedenen Seiten dieser Ebene liegen.
(5 P)
[STOCHASTIK]
In einer Urne sind 4 weiße und eine unbekannte Anzahl roter Kugeln.
Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie viele rote Kugeln waren vorhanden,
wenn die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind, 1/6 beträgt?
Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie viele rote Kugeln waren vorhanden,
wenn die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel weiß ist, 17/28 beträgt?
(4 P)
= 15 P
- 85 -
LÖSUNGEN
5
 1 
  
 
g : x   0   t   2 
3
 1 
 
 
a) Gerade:
Schnitt mit der Ebene x3  0  3  t  0  t  3  S (2 / 6 / 0)
x3
1
P(5/0/3)
x2
1
g
1
S(2/6/0)
x1
Winkel:
 1  0
   
 2    0 
 1  1
1
   
sin  

6 1
6
   24,10
KLEINSTER ABSTAND
Hilfsebene:
 1   4, 5 
  

H : x1  2 x2  x3   2    6    4
 1   3, 5 
  

Lotfußpunkt auf g:
H  g  t   2  F (3 / 4 /1)
GESPIEGELTE GERADE
Um die Gerade g an A zu spiegeln, muss einbekannter Punkt von g an A gespiegelt werden.
Man kann z. B. F(3/4/1) verwenden. Der gespiegelte Punkt wäre dann F*.
 4, 5   4, 5  3   6 

  
 
  
xF *  x A  FA   6    6  4    8  
 3, 5   3, 5  1   6 

 
  
Die gespiegelte Gerade h ist parallel zu g:
F * (6 / 8 / 6)
6
1
  
 
h : x   8   t   2 
6
1
 
 
- 86 -
b)
A
g
F
Da die Drehachse AF senkrecht auf g steht, erzeugt g bei Drehung eine Ebene. AF bestimmt
dabei den Normalenvektor und F ist ein bekannter Punkt der Ebene.
   
Ebene: n  x  n  x A
 1, 5   3 

  
 1, 5 x1  2 x2  2, 5 x3   2    4   15
 2, 5   1 

  
 E : 3 x1  4 x2  5 x3  30
Lage von P und Q bezüglich der Ebene E:
Gerade durch P und Q:
 18 
 20 
  


k : x   9   t   10   k  E
 1 
 10 
 


 t   0,1
Für einen Schnittpunkt zwischen P und Q müsste gelten: 0 < t < 1. Da t negativ ist, liegt der
Schnittpunkt nicht zwischen P und Q, also liegen die beiden Punkte bezgl. E auf derselben
Seite.
[STOCHASTIK]
URNE
zwei Kugeln ohne Zurücklegen / 4 weiße Kugeln / n rote Kugeln
P  weiß / weiß   1/ 6
4
3
1


 72   n  4    n  3  72   n  4    n  3  0
n4 n3 6
GTR  Funktion eingeben  Nullstelle berechnen  n  5
drei Kugeln ohne Zurücklegen / 4 weiße Kugeln / n rote Kugeln
P  mindestens eine weiß   1  P  keine weiß   17 / 28
P  mindestens eine weiß   1  P  rot / rot / rot   17 / 28
n n  1 n  2 17
n n  1 n  2 11
n n  1 n  2 11
0











n  4 n  3 n  2 28
n  4 n  3 n  2 28
n  4 n  3 n  2 28
GTR  Funktion eingeben  Nullstelle berechnen  n  12
1
- 87 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 1-2010 N
QUADRATE MIT GUMMIBÄNDERN
Gegeben sind zwei quadratische Platten ABCD und EFGH mit den
Eckpunkten A(3|-3|0), B(3|3|0), C(-3|3|0), D(-3|-3| 0)
und E(2|-2|5), F(2|2|5), G(-2|2|5) und H(-2| -2|5).
Diese Punkte sind durch vier gespannte Gummibänder folgendermaßen miteinander verbunden: die Ecke A mit der Ecke E, B mit F, C mit G und D mit H.
Platten und Gummibänder bestimmen einen Körper.
a)
Stellen Sie diesen Körper in einem Koordinatensystem dar.
Berechnen sie sein Volumen.
Welche Winkel bildet ein Gummiband mit den Platten?
(5 P)
b)
Die obere Platte kann um die x3-Achse gedreht werden. Die untere Platte bleibt fest.
Die obere Platte wird um 180° bezüglich der Ausgangsposition gedreht.
Die Gummibänder berühren sich danach in einem Punkt S.
Bestimmen sie die Koordinaten des Punktes S.
In welchem Verhältnis teilt der Punkt S die Gummibänder?
Um wie viel Prozent werden die Gummibänder durch die Drehung gedehnt?
(5 P)
c)
Nun wird die obere Platte um 90° bezüglich der Ausgangsposition gedreht.
Zeigen Sie, dass der Abstand benachbarter Gummibänder größer als 2,5 ist.
In jeder Höhe a (0 < a < 5) sind die vier Punkte auf den Gummibändern die
Eckpunkte eines Quadrats.
Für welchen Wert von a ist der Flächeninhalt dieses Quadrats minimal?
(5 P)
= 15 P
- 88 -
LÖSUNGEN
x3
a)
H
G
5
E
PYRAMIDENSTUMPF
D
C
1
1
1
A
F
3
3
B
x1
VOLUMEN
Vgroß  13  G  h  13  36 15  180 VE
Vklein  13  G  h  13 16 10  53 13 VE
VStumpf  Vgroß  Vklein  126 23 VE
WINKEL der Kante AE zur waagerechten Fläche:
 1  0 
   
 1 0
 5  1
5
   

sin  
27  1
27
   74, 2
x3
b)
E
F
5
H
G
S
D
C
1
3
1
3
A
B
x1
- 89 -
x2
x2
Die Koordinaten von S bestimmt man am besten mit dem Strahlensatz:
z
3

 2 z  3  (5  z )  5 z  15 
5 z 2
Teilverhältnis:
z  3  S (0 / 0 / 3)
3:2
Dehnungsfaktor = neue Länge : alte Länge  5²  5²  5² : 1²  1²  5²  75 : 27  1, 66
c)
Abstand windschiefer Geraden:
 3
 1 
  
 
g1  AF : x   3   t   5 
 0
5
 
 
 3
 5 
  
 
g 2  BG : x   3   t   1 
0
 5
 
 
und
 1   5   30 
     

n   5    1    20  
 5   5   26 
    

Hilfsebene durch A:
Abstand von B zur Hilfsebene:
d
H : 15 x1  10 x2  13 x3  75
|15  3  10  3  13  0  75 |
60

 2, 7 LE
15²  10²  13²
494
Damit ist gezeigt, dass der Abstand größer als 2,5 LE ist.
MINI-MAX-AUFGABE
Die Quadratecken liegen beispielsweise auf den Geraden g1 und g2 und haben die x3Koordinate a, liegen also in der Parallelebene Ea : x3  a .
Indem man die Parallelebene mit den Geraden schneidet, erhält man folgende Quadratpunkte:
g1  x3  a  0  t  5  a  t 
a
a


 QA  3  / 3  a / a 
5
5


g 2  x3  a  0  t  5  a  t 
a
a 

 QB  3  a / 3  / a 
5
5 

Quadratfläche: A  QAQB
2
usw.
2
2
2
2
2
6 
a
a
a 
a 4  

 
 
A   3   (3  a )    3   ( 3  a )    a     6  a     a    6  a 
5
5
5 
5 5  
5 

 
 
Funktion in den GTR eingeben, dann das Minimum bestimmen:
- 90 -
amin  3,5
2
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 2-2010 N
FLUGBAHNEN, WINDSCHIEFE GERADEN [unanschaulich]
Aufgabe 1
In einem Koordinatensystem werden die Flugbahnen zweier mit jeweils konstanter Geschwindigkeit fliegender Flugzeuge F1 und F2 durch Geraden beschrieben. Die Bahn von F1
 5 
 7 
 

wird beschrieben durch f1: x   6,8   t   8 
 6 
 0, 4 




(Längenangaben in km, Zeit t in Minuten nach Beobachtungsbeginn).
Das Flugzeug F2 befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 im Punkt R(0,3|2|8) und zum
Zeitpunkt t = 1 im Punkt S(8,3|11|8).
a)
Bestimmen Sie eine Gleichung für die Flugbahn von F2.
Berechnen Sie die Geschwindigkeit von Flugzeug F2 in km/h.
Überprüfen Sie, ob sich die beiden Flugbahnen schneiden.
Wann befinden sich die beiden Flugzeuge auf gleicher Höhe?
Wie weit sind die Flugzeuge dann voneinander entfernt?
(6 P)
b)
Um eine zu starke Annäherung an F1 zu vermeiden, beginnt F2 zum Zeitpunkt t = 2 auf eine
Flughöhe von 5 km zu wechseln.
Es behält seine Horizontalgeschwindigkeit bei und sinkt zusätzlich um 500 m pro Minute.
Das Flugzeug F1 behält seine Flugbahn bei.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem F2 die neue Flughöhe erreicht.
wie nah kommen sich die beiden Flugzeuge in der Sinkphase von F2 ?
(5 P)
Aufgabe 2
Die Punkte A(2|0|-1), B(5|6|-10), C(-6|4|-l) und D(-9|-2|8) sind die Eckpunkte eines Parallelogramms.
Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Punkt P(1|8|-10) im Innern des Parallelogramms liegt.
(4 P)
= 15 P
- 91 -
LÖSUNGEN
Aufgabe 1
a)
1. Flugbahn:
 5 
 7 
 



x   6,8   t   8 
 6 
 0, 4 




2. Flugbahn.
 0, 3 
8
 

 
x   2   t 9
 8 
0


 
Weg
82  9 2  0 2

 145  12, 04
Zeit
1
Geschwindigkeit:
v
Schnitt der Geraden:
5  7 t  0,3  8 s
6,8  8 t  2  9 s
6  0, 4 t  8
km
min
 722 kmh
 t 5
5  7  5  0,3  8  s  s  4,3625
6,8  8  5  2  9  s  s  4,38
Widerspruch !
Die Flugbahnen schneiden sich also nicht.
Gleiche Höhe:
6  0, 4  t  8  t  5 min
Nach 5 Minuten befinden sich beide Flugzeuge auf 8 km Höhe.
Entfernung für t = 5:
F1 (40 / 46,8 / 8) und
F2 (40,3 / 47 / 8)
d  F1 F2  0,32  0, 22  0,361 km
ist sehr nahe.
b)
geänderte Flugbahn mit Sinkflug:
Punkt für t = 2:
P2 (16,3 / 20 / 8)
3. Flugbahn:
 16, 3 
 8 
 



x   20   t   9  ACHTUNG: t steht für verschobene Zeit!
 8 
  0, 5 




Höhe 5 km:
8  0,5  t  5  t  6 Minuten
Neue Koordinaten:
P2 6 (64,3 / 74 / 5)
- 92 -
Geringster Abstand der Flugzeuge F1 und F3:
a
 5  7  (t  2)  (16,3  8  t )    6,8  8  (t  2)  (20  9  t )    6  0, 4  (t  2)  (8  0,5  t ) 
2
2
Per GTR ergibt sich das Minimum bei: t  2, 68 Minuten und
amin  0,391 km
x3
D
Aufgabe 2
Wie die Zeichnung zeigt, liegt der Punkt P
außerhalb vom Parallelogramm.
C
1
1
x2
1
A
x1
NACHWEIS DURCH RECHNUNG


 
E : x  x A  t  AB  s  AD 
2
 3
 11 
  
 


x   0   t   6   s   2 
 1 
 9 
 9 
 
 


P
B
Punktprobe für P, wobei die Parameter t und s < 1 sein müssen:
 1  2
 3
 11 
 1 
 3
 11 

  
 


 
 


 8    0   t   6   s   2    8   t   6   s    2 
 10   1 
 9 
 9 
 9 
 9 
 9 

  
 


 
 


1  3 t  11 s
8  6 t 2 s
9  9 t  9 s
1  3 t  11 s

|: 3
8  6 t 2 s
3  3 t  3 s

I  III :  4   8s  s  0,5
Einsetzen in GL I:
1  3t  5,5  t  1,5
Probe für GL II:
8  6 1,5  2  0,5  8  8
Schlussfolgerung:
Der Punkt P liegt zwar in der Ebene ABD, wegen t > 1 aber außerhalb vom Parallelogramm.
- 93 -
2
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 1-2011 H
TRUHE MIT DECKEL [Ebenenschar]
Eine prismenförmige Truhe ist durch ihre Eckpunkte A(6 | 4 | 0), B(6 | 8 | 0), C(- 4 | 8 | 0),
D(- 4 | 4 | 0), P(6 | 4 | 4), Q(6 | 8 | 6), R(- 4 | 8 | 6) und S(- 4 | 4 | 4) gegeben.
Das Viereck PQRS beschreibt den Deckel der Truhe.
a)
Stellen Sie die Truhe in einem Koordinatensystem dar.
Berechnen Sie das Volumen der Truhe.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in welcher der Deckel der Truhe liegt.
[Teilergebnis: EDeckel : x2  2 x3   4 ]
(5 P)
b)
Gegeben ist eine Ebenenschar durch Ea : x2 - a ⋅ x3 = 8 - 6 a mit a Î .
Zeigen Sie, dass die Ebene, in der der Deckel liegt, und die Ebene, in der die Rückwand
BCRQ liegt, zur Ebenenschar gehören.
Zeigen Sie, dass es eine Gerade gibt, die in allen Ebenen Ea der Schar liegt.
Berechnen Sie den Schnittwinkel  von E0 und E2.
Welche andere Ebene Ea schließt mit der Ebene E2 ebenfalls den Winkel  ein?
(6 P)
c)
Der Deckel der Truhe ist um die Kante QR drehbar.
Durch Drehung des Deckels um 900 wird die Truhe geöffnet.
In welcher Ebene Ea liegt der Deckel dann?
Der Punkt P geht bei dieser Drehung in den Punkt P* über.
Bestimmen Sie die Koordinaten von P*.
(4 P)
= 15 P
- 94 -
LÖSUNGEN
x3
R
a)
P*
S
VOLUMEN
V  G  h  Trapezfäche  Tiefe
V
46
 4 10  200 VE
2
Q
1
EBENENGLEICHUNG
6
0
1
  
 
 
E : x   4  s  4  t 0
 4
2
0
 
 
 
1
0 1  0 
 0 
     
  

n   40   2   n   1  
2 0  4
 2 
    

 
C
P
1
A
x1
D
x2
8
B
 0  6
   
E : x2  2 x3   1    4  
 2   4 
   
x2  2 x3   4
b)
EBENENSCHAR
Ea : x2  a  x3  8  6 a
Für a = 2 ergibt sich:
E2 : x2  2  x3  8  6  2 
Für a = 0 ergibt sich:
E0 : x2  0  x3  8  6  0  x2  8 , das ist die Rückwand.
x2  2  x3   4 , das ist der Deckel.
[Die Rückwand ist eine Parallelebene zur Koordinatenebene mit Abstand 8.]
GEMEINSAME ACHSE
Die gemeinsame Gerade von Deckel und Rückwand ist die Gerade durch Q und R, also
6
1
  
 
g : x   8   t   0  . Es muss noch gezeigt werden, dass g in allen Ebenen der Schar liegt.
6
0
 
 
Zum Nachweis setzt man g in Ea : x2  a  x3  8  6a ein:
WINKEL
0  0 
   
1 1 
 0   2 
1
   
cos  

1 5
5
   63, 40
- 95 -
 8  6a  8  6a
stimmt .
Welche Ebene Ea schließt mit E2 ebenfalls den Winkel 63,40 ein?
cos  
1
5

 0 0
   
 1  1 
   
 a   2 
1 a  5
2

|1  2a |
1 a  5
2

|1  2a |
1 a  5
2
a1  0 ( schon bekannt ) und
Durch Quadrieren erhält man:
1

5
a2  
 |1  2a |  1  a 2
4
(oder mit GTR)
3
Die Ebene E 4 schließt mit der Ebene E2 ebenfalls den Winkel 63,4° ein.
3
c)
DREHUNG DES DECKELS UM 90°
E2 wird um 90° gedreht, man erhält dann eine Ebene Ea. Es muss gelten:
 0  0 
1
 
   
n2  na  0   1    1   0  1  2a  0  2a  1  a   .
2
 2    a 
   
Die gesuchte Ebene ist E 0,5 .
KOORDINATEN VON P*
Die Gerade P*Q steht senkrecht auf der Deckelebene E2. Somit ergibt sich die Geradengleichung
6
 0
  
 
x  8  t  1  
6
 2 
 
 
P * (6 / 8  t / 6  2t ) .
Außerdem muss P* von Q denselben Abstand wie von P von Q haben:
PQ  P*Q 
20  t 2  4t 2

20  5t 2

4  t2
Da P* oberhalb der Truhe liegen muss, ist t2  2 die richtige Lösung.
Damit ergibt sich P*(6/6/10).
- 96 -
 t 2
  1
t 2   2
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 2-2011 H
GEBÄUDE MIT LAMPE
Ein Gebäude hat als Grundfläche das Rechteck ABCD mit
A(4 | 0 | 0), B(4 | 6 | 0), C(0 | 6 | 0), D(0 | 0 | 0)
und als Dachfläche das Viereck EFGH mit
E(4 | 0 | 4), F(4 | 6 | 1), G(0 | 6 | 5) und H(0 | 0 | 8)
(Koordinatenangaben in Meter).
a)
Stellen Sie das Gebäude in einem Koordinatensystem dar.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Dachfläche EFGH liegt.
Welchen Neigungswinkel besitzt die Dachfläche?
Zeigen Sie, dass die Dachfläche ein Parallelogramm ist.
Berechnen Sie den Inhalt der Dachfläche.
(Zwischenergebnis: EDach : 2 x1  x2  2 x3  16 )
(7 P)
b)
Im Innern des Gebäudes soll eine Lampe im Punkt L(d | d | d) angebracht werden.
Die Lampe soll von der Bodenfläche und der Dachfläche des Gebäudes den gleichen Abstand
haben. Bestimmen Sie d.
(4 P)
c)
Eine Person mit 1,7 m Augenhöhe bewegt sich vom Punkt P(5 | 1 | 0) aus in positiver
x2 Richtung .
Wie weit muss sie mindestens gehen, damit sie die Ecke H sehen kann?
(4 P)
= 15 P
- 97 -
LÖSUNGEN
x3
H
a)
G
E
1
x2
1D
1
F
C
B
A
x1
4
 0
  4
  
 


E : x   0  t  6   s  0  
4
 3 
 4 
 
 


DACHEBENE
 0   1   2 
      
n   2  0   1 
 1   1   2 
     
 4
0
 1 
  
 
 
x   0  t  2   s  0 
 4
 1 
1
 
 
 
E : 2 x1  x2  2 x3  16
 2 0
   
10
 2 1
    2

   48, 20
cos 
3
9 1
WINKEL
PARALLELOGRAMM-NACHWEIS
  4
 

EH   0  
 4 


  4
 

FG   0 
 4 


FLÄCHENINHALT

 
EH  FG 
EFGH ist ein Parallelogramm.
  4   0   24 
  
   

A | a  b |  0    6    12   242  122  242  36 m2
 4   3   24 

   

- 98 -
b)
LAMPENABSTAND
HNF
d
 d
| 2 d  d  2 d  16 |
4 1 4
 5 d  16
| 5 d  16 |
 3d  | 5d  16 |  3d  
3
5 d  16
 d 8
 d 2
d  8 entfällt, da der Punkt L(8/8/8) außerhalb des Gebäudes liegt.
Die Koordinaten der Lampe lauten daher L(2/2/2).
c)
SICHTBARKEIT DER ECKE
Gerade, auf der sich das Auge bewegt:
h  Dachebene E :
 5 
0
  
 
h : x   1   t 1
 1, 7 
0
 
 
2  5  1  t  2 1, 7  16  t  1, 6  T (5 / 2, 6 /1, 7)
ERGEBNIS
Die Person muss vom Punkt P aus mindestens 1,6m weit nach rechts gehen, um den Punkt H
sehen zu können.
- 99 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 1-2011 N
QUADER und EBENENSCHAR
Die Punkte O(0/0/0), A(4/3/0), B(0/3/6) und C(4/0/6) sind Eckpunkte eines Quaders, dessen
Kanten parallel zu den Koordinatenachsen sind.
Für jede reelle Zahl r ist eine Ebene Er : 6 x1  8 x2  (r  4) x3  6 r gegeben.
a) Stellen Sie die Ebene E8 und den Quader in einem Koordinatensystem dar.
Berechnen sie den Winkel, den E8 mit der x1 x2 Ebene bildet.
Zeigen Sie: Die Ebene E8 schneidet den Quader im Dreieck ABC.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
(6 P)
b) Weisen Sie nach, dass die Gerade durch B und C in jeder Ebene Er liegt.
Welche dieser Ebenen halbiert den Quader?
Bestimmen sie r* so, dass die Ebene Er * orthogonal zu E8 ist.
Welche Schnittfigur entsteht beim Schnitt von Er * mit dem Quader?
(5 P)
[STOCHASTIK]
In einer Urne sind 6 rote und n blaue Kugeln. Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wie viele blaue Kugeln waren vorhanden, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine
Kugel rot ist, 11/14 beträgt?
Für welche Werte von n beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Kugeln blau
sind, wenigstens 90%? (schwer)
(4 P)
= 15 P
- 100 -
LÖSUNGEN
a)
EBENE
E8 : 6 x1  8 x2  4 x3  48 
x1 x2 x3
  1 
8 6 12
x3
WINKEL
 3 0
   
 40
 2 1
2
   
cos  

29  1
29
zeichnen
   68, 2
B
C
PUNKTPROBEN für A, B und C
A (4 / 3 / 0) in E8 einsetzen :
1
6  4  8  3  4  0  48  48  48
1
1
x2
A
ebenso für B und C.
x1
FLÄCHE
 0    4
 18 
1   1   
 1 
 1
A   | AC  AB |     3    0     24    182  242  122  16,16 FE
2
2   
 2  12  2
 6   6 


b)
PUNKTPROBE für B
B (0 / 3 / 6) in Er einsetzen :
6  0  8  3  (r  4)  6  6 r 
24  6 r 24  6 r  6 r  6 r
PUNKTPROBE für C
C (4 / 0 / 6) in Er einsetzen :
6  4  8  0  (r  4)  6  6 r 
24  6 r 24  6 r  6 r  6 r
Somit ist die Gerade BC die Achse der Ebenenschar.
- 101 -
HALBIEREUNGSEBENE
Eine Schnittebene parallel zur x3-Achse, welche die Punkte B und C enthält, halbiert
den Quader. Da die gesuchte Ebene durch den Punkt D(4/0/0) gehen muss, erhält man
eine Bedingung zur Bestimmung der Ebenengleichung:
D (4 / 0 / 0) in Er einsetzen : 6  4  8  0  ( r  4)  0  6 r  r  4
ORTHOGONALEBENE
3
  
n8   4  und
2
 
 6 
3  6 



  

nr*   8    4    8   0  r*  21
 r*  4 
 2   r*  4 


  

SCHNITTFIGUR
Er*  x3 Achse :

SCHNITTPUNKT
6  0  8  0  (21  4) x3  6  (21)  x3  5, 04
S (0 / 0 / 5, 04) liegt auf der hinteren Quaderkante.
Daraus folgt, dass die Schnittfigur BCS ein DREIECK ist.
[STOCHASTIK]
URNE
drei Kugeln ohne Zurücklegen / 6 rote Kugeln / n blaue Kugeln
P  mindestens eine rot   1  P  blau / blau / blau   11/14
n n  1 n  2 11
n n 1 n  2 3







n  6 n  5 n  4 14
n  6 n  5 n  4 14
n n 1 n  2 3


 0
n  6 n  5 n  4 14
GTR  Funktion eingeben  Nullstelle berechnen  n  10
1
(schwer)
drei Kugeln ohne Zurücklegen / 6 rote Kugeln / n blaue Kugeln
P  mindestens zwei blaue   0,9
P  r / b / b   P  b / r / b   P  b / b / r   P  b / b / b   0,9
6
6 n 1
n n 1
n
n n 1 6
n n 1 n  2











 0,9
n6 n5 n4 n6 n5 n4 n6 n5 n4 n6 n5 n4
18  n   n  1  n   n  1   n  2 
 0,9  0
 n  6    n  5   n  4 
GTR  Funktion eingeben  Nullstelle berechnen  n  23
- 102 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 2-2011 N
SATTELDACH
Die Skizze zeigt das Dach eines Gebäudes. In
dem gezeichneten Koordinatensystem haben
die Punkte A, B, ... , K folgende Koordinaten:
A(24|0|0), B(24|9|0),
C(0|9|0),
D(0|0|0),
E(24|4,5|6), F(0|4,5|6),
G(9|9|0),
H(9|15|0),
I(0|15|0),
K(4,5|15|4).
Dabei entspricht eine
Längeneinheit einem Meter.
a) Berechnen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E1, in der die Punkte B, C, F und E
liegen. Der zur x2-Achse parallel verlaufende Dachfirst des kleineren Dachteils trifft im Punkt
L auf die Fläche BCFE des Daches. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes L.
Berechnen Sie den Neigungswinkel der in der Ebene E1 liegenden Dachfläche.
[Teilergebnisse: E1 : 4 x2  3x3  36 und
L(4,5 / 6 / 4) ]
(5 P)
b) Die in der Ebene BCFE liegende Dachfläche soll neu gedeckt werden.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Dachfläche.
 19 
Sonnenstrahlen fallen entlang der Richtung des Vektors  12  ein.
 8 


Zeigen Sie, dass der Schatten des Punktes K auf der Strecke BG liegt. Wie viel Prozent der
neu gedeckten Dachfläche werden dann von der Sonne beschienen?
(6 P)
c) Im Dachraum soll ein zylinderförmiger Wassertank installiert werden, dessen Grundkreis
in der x1 x2 Ebene liegt, die Kante AB berührt und den Radius 1,00 m hat.
Wie hoch kann der Zylinder höchstens werden, wenn er von den Dachflächen mindestens
1,30 m Abstand haben muss?
(4 P)
= 15 P
- 103 -
LÖSUNGEN
a)
EBENE
0
1
 0  0
1
 0 
  
 

  
 


E1 : x   9   s   0   t   4, 5    9   s   0   t   3  
0
0
  6 0
0
  4
 
 

  
 


0
  
n  4
3
 
E1 : 4 x2  3x3  36
 4, 5 
0
 

 
x   15   t   1   E1
 4 
0


 
GERADE KL
NEIGUNGSWINKEL
 t L   0, 6 
L (4, 5 / 6 / 4)
 0 0
   
 4  0
 3 1
    3
cos  

   53,13
25  1 5
b)
DACHFLÄCHE
A  BC  BE  24  4,52  62  24  7,5  180 m2
L (4,5 / 6 / 4) und
A 
M (4,5 / 9 / 0)  Mitte von CG  LM  h  32  42  5 m
g  h GC  LM 9  5


 22,5 m 2
2
2
2
A  180  22,5  157,5 m 2
E
F
L
B
K*
G
- 104 -
M
C
 4,5 
 19 
 



x   15   t   12   x3  0  r  0, 5 
 4 
 8




STRAHL
K * (14 / 9 / 0)
K* liegt offensichtlich auf der Verbindungsgeraden von B und C, weil alle drei Punkte
dieselben x2- und x3-Koordinaten haben.
SCHATTEN
K *G  h 5  5
A 

 12,5 m 2 Schatten
2
2
BESONNTE FLÄCHE
p
157,5  12,5
 0,921  92,1%
157,5
c)
WASSERTANK mit 1 m Radius
E
Das Dreieck ABE ist gleichschenklig.
M (23/ 4,5 / 0)
R (24 / 5,5 / z)
d
4 x2  3x3  36
42  32
6,5  22  3 z  36
R
 1,3 
4  5,5  3 z  36
42  32
A
 6,5  | 3 z 14 |
FALLUNTERSCHEIDUNG
 3 z  14
6,5  | 3 z  14 | 
 (3z  14)

z  6,83 m

z  2,50 m
entfällt , ist zu groß
Der Wassertank darf höchstens 2,50 m hoch sein.
- 105 -
M
B
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 1-2012 H
PYRAMIDE
Die Ebene E enthält die Punkte A(6/1/0), B(2/3/0) und P(3/0/2,5).
a)
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E.
Stellen Sie die Ebene E in einem Koordinatensystem dar.
Unter welchem Winkel schneidet E die x1-Achse?
(Teilergebnis: E1 : x1  2 x2  2 x3  8 )
(4 P)
b)
Zeigen Sie, dass das Dreieck ABP gleichschenklig ist.
Das Viereck ABCD ist ein Rechteck mit Diagonalenschnittpunkt P.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte C und D.
Es gibt senkrechte Pyramiden mit Grundfläche ABCD und der Höhe 12.
Berechnen Sie die Koordinaten der Spitzen dieser Pyramiden.
(5 P)
c)
Welche Punkte der x1-Achse bilden jeweils mit A und B ein rechtwinkliges
Dreieck mit Hypotenuse AB?
(3 P)
d)
Gegeben ist ein senkrechter Kegel mit Grundkreismittelpunkt M(0/0/0),
Grundkreisradius 4 und Spitze S(0/0/12).
Untersuchen Sie, ob der Punkt R(2/2/3) innerhalb des Kegels liegt.
(3 P)
= 15 P
- 106 -
LÖSUNGEN
a)
EBENE
6
  4
 3 
5
1
  
  
 
 
 
E : x   1   s   2   t   1   n  10    2 
0
 0 
 2 ,5 
10 
 2
 
 
 
 
 
E : x1  2 x2  2 x3  8 
x1 x2 x3
  1 
8 4 4
zeichnen
x3
ZEICHNUNG
4
1
1
1
4
x2
8
x1
WINKEL
1 1
   
 20
 2 0
    1

   19 ,5
sin  
3
9 1
b)
NACHWEIS FÜR GLEICHSCHENKLIGKEIT
AP  16 , 25 und
BP  16 , 25 
Das Dreieck ist gleichschenklig.
ERGÄNZUNG ZUM RECHTECK (Parallelogramm)
 3   3   0 
      


x C  x P  AP   0    1    1  C ( 0 / 1 / 5 )
 2 ,5   2 ,5   5 
     
C liegt gegenüber von A.
 3   1  4
      


x D  x P  BP   0    3    3   D ( 4 / 3 / 5 )
 2 ,5   2 ,5   5 
     
D liegt gegenüber von B.
- 107 -
ZWEI PYRAMIDENSPITZEN
1
  
n   2 
 2
 
 3   4  7 



     

n  9  3  x S  x P  4  n   0    8    8   S1  7 / 8 / 10,5
 2,5   8  10,5 
    

 3   4   1 


     

x S  x P  4  n   0    8    8   S2  1 / 8 / 5,5 
 2,5   8   5,5 
    

oder
c)
RECHTWINKLIGES DREIECK
Q liegt auf der x1-Achse

Q (t / 0 / 0)
6 t  2t 
 

 

QA  QB  0   1    3   0 
 0   0 

 

t1  3 
Q1 ( 3 / 0 / 0 )
und
6  t  2  t   3  0
t2  5 
 t 2  8 t  15  0
Q2 ( 5 / 0 / 0 )
d)
WO LIEGT R?
Der Punkt R liegt auf der Höhe 3, also zwischen 0 und 12.
0
2
12 4
  
8 8 
 
SR : x   0   t   2   x3  0  12  9t  0  t  
 T  | | 0
9 3
3 3 
12 
 9 
 
 
Abs tan d TM 
64 64
128


 3,77  4  R liegt im Kegel.
9
9
9
- 108 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 2-2012 H
U-BOOTE
In einem Koordinatensystem beschreibt die x1 x2 Ebene die Meeresoberfläche (1 LE entspricht 1 m). Zwei U-Boote U1 und U2 bewegen sich geradlinig mit jeweils konstanter Geschwindigkeit. Die Position von U1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
 140 
  60 
 



x   105   t    90 
 170 
  30 




(t in Minuten seit Beginn der Beobachtung).
U2 befindet sich zu Beobachtungsbeginn im Punkt A(68/135/-68) und erreicht nach drei Minuten den Punkt B(-202/-405/-248).
a)
Wie weit bewegt sich U1 in einer Minute?
Woran erkennen Sie, dass sich U1 von der Meeresoberfläche weg bewegt?
Welchen Winkel bildet die Route von U1 mit der Meeresoberfläche?
(4 P)
b)
Berechnen Sie die Geschwindigkeit von U2 in
m
min
.
Begründen Sie, dass sich die Position von U2 zum Zeitpunkt t beschreiben lässt durch
 68 
  90 
 



x   135   t    180  .
 68 
  60 




Zu welchem Zeitpunkt befinden sich beide U-Boote in gleicher Tiefe?
(4 P)
c)
Welchen Abstand haben die beiden U-Boote zu Beobachtungsbeginn?
Aus Sicherheitsgründen dürfen sich die beiden U-Boote zu keinem Zeitpunkt näher als 100 m
kommen. Wird dieser Sicherheitsabstand eingehalten?
(4 P)
d)
Die Routen der beiden U-Boote werden von einem Satelliten ohne Berücksichtigung der Tiefe
als Strecken aufgezeichnet. Diese beiden Strecken schneiden sich. Wie groß ist der Höhenunterschied der zwei Routen an dieser Stelle?
(3 P)
= 15 P
- 109 -
LÖSUNGEN
a)
WIE WEIT BEWEGT SICH U1 IN EINER MINUTE?
Weg zwischen t 0 und t1 
602  902  302  12600  112, 25 m
BEWEGUNG VON U1
Das U-Boot bewegt sich von der Meeresoberfläche weg, weil die x3 Komponente des Richtungsvektors negativ ist.
WINKEL
 60   0 

  
 90    0 
 30   1 
30

  
sin  

12600  1
12600
   15,50
b)
GESCHWINDIGKEIT VON U2
 270   90 
1
1 
 

 AB    540    180   902  1802  602  44100  210
3
3 
 

 180   60 
m
min
GLEICHUNG FÜR DIE POSITION VON U1
 68 
  90 
für t  0 ergibt sich die Ausgangslage,
 



x   135   t    180  
der Richtungsvektor stellt den Geschwindigkeitsvektor dar.
 68 
  60 




GLEICHE TIEFE
Dazu werden die beiden x3  Komponenten gleichgesetzt:
170  30 t  68  60 t  30 t  102  t  3, 4 min
Nach 3,4 Minuten befinden sich die U-Boote in gleicher Tiefe.
- 110 -
c)
ABSTAND ZU BEOBCHTUNGSBEGINN
Abstand 
140  68  105  135   170  (68) 
2
2
2
 722   30    102   128 m
2
2
SICHERHEITSABSTAND
Dazu nimmt man zwei bewegliche Punkte, stellt die Abstandsfunktion auf. Mit dem GTR
bestimmt man das Minimum.
U1 140  60 t /105  90 t / 170  30 t  und U 2  68  90 t /135  180 t / 68  60 t 
ABSTANDSFUNKTION
d (t ) 
 72  30 t    30  90 t   102  30 t 
2
2
2
 mit GTR  d min  123, 2 m
Der Sicherheitsabstand von 100 m wird also eingehalten.
d)
HÖHENUNTERSCHIED
Wenn die x3  Komponenten unberücksichtigt bleiben, ergeben sich folgende Geraden:
 60 
 140 
x 
  s 
 und
 105 
 90 
 90 
  68 
x 
  t 

135 
 180 
Durch Gleichsetzen folgt:
140  60 s  68  90 t
280  120 s  136  180 t

105  90 s  135  180 t
105  90 s  135  180 t
175  30 s  1 
s
174
30
und
t
92
30
Die Bestimmung der x3 Komponenten erfolgt durch Einsetzen in die ursprünglichen Gleichungen:
h1  170 
174  30
 344 m und
30
h2  68 
92  60
 252 m
30
Höhenunterschied  252   344   92 m
- 111 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 1-2012 N
EBENENSCHAR (unanschaulich, sehr abstrakt)
 2
0
1
  
 
 
Gegeben sind die Ebene E mit der Gleichung x   3   s   1   t   1
 3
1
2
 
 
 
sowie die Gerade g durch die Punkte P(4/7/-3) und Q(-2/-3/1).
a)
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E.
Berechnen Sie den Abstand von P und E.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von g und E.
Untersuchen Sie, ob P und Q auf verschiedenen Seiten von E liegen.
(6 P)
b)
Gegeben ist eine Ebenenschar durch Ek : 3 x1 + k x2 - k x3 = 6 ; k Î  .
Untersuchen Sie die Ebenen Ek auf Parallelität und Orthogonalität zur Geraden g.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, die in allen Ebenen Ek liegt.
Welche Ebene der Schar hat den größten Abstand von P?
(6 P)
c)
Welche Punkte der x2 x3 Ebene liegen in keiner Ebene Ek ?
(3 P)
= 15 P
- 112 -
LÖSUNGEN
a)
EBENE
 2
0
1
3
  
  
 
 
E : x   3   s   1   t   1  n   1 
 
 
 
 
 3
1
2
 1
x1 x2 x3
  1 
2 6 6
E : 3 x1  x2  x3  6 
zeichnen
x3
ZEICHNUNG
1
x2
1
1
x1
| Ax1  Bx2  Cx3  D |
| 3  4  7  (3)  6 |
ABSTAND
d  P, E  
SCHNITT
4
 6 
1
  


g : x   7   t   10   E  t 

2
 3 
 4 
 


A  B C
2
2
2

3 1 1
2
2
2

16
 4,82 LE
11
S 1/ 2 / 1
LAGE DER PUNKTE
Wegen t = 0,5 liegt S zwischen P (t = 0) und Q (t = 1), also liegen P und Q auf verschiedenen
Seiten der Ebene.
b)
PARALLELITÄT
Richtungsvektoren:
 3
  
nk   k  und
 k 
 
 6 
  
a   10 
 4
 
- 113 -
Bedingung:
 3  6 
 
   
nk  a  0   k    10   18  10 k  4 k  0 
 k    4 
   
ORTHOGONALITÄT
 3 
 6 


 
 
nk  t  a   k   t   10  
 k 
 4
 
 
k 
t  0,5
k 5
5  2
Widerspruch
Also ist die Gerade g zu keiner der Ebenen orthogonal.
SCHNITTGERADE
Wähle k  0  E0 : 3 x1  6
Wähle k  1 
Setze
x2  t

x1  2
E1 : 3 x1  x2  x3  6  6  x2  x3  6  x2  x3

x3  t
ZUSAMMENFASSUNG
 2
0
  
 
s : x   0  t 1
 0
1
 
 
INZIDENZPROBE*
s in Ek einsetzen  3  2  t  t  6  6  6 stimmt
(* = Punktprobe)
MAXIMALER ABSTAND
d  P , Ek  
| 3  4  7  k  ( 3)  k  6 |
9  k2  k2

|10 k  6 |
9  2k2

Y
|10 x  6 |
9  2 x2
Funktion im Editor eingeben, dann das Maximum bestimmen: k  7,5
c)
VARIABLER PUNKT (in der x2 x3 Ebene )
P  0 / a / b  einsetzen in Ek : k  a  k  b  6 
k
6
a b
Wenn a = b ist, gibt es für k keine Lösung, weil man durch Null teilen müsste.
Ergebnis: Punkte der x2 x3 Ebene , deren x2 und x3 Koordinaten gleich sind, liegen in
keiner Ebene Ek .
- 114 -
9
7
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 2-2012 N
HUBSCHRAUBER / SCHIFF (kompliziert)
Die x1 x2 Ebene beschreibt eine flache Landschaft, über die ein Hubschrauber mit konstanter
 300 
  4,5 
 



Geschwindigkeit fliegt. Seine Position wird beschrieben durch x   170   t   0  .
 18 
 1,5 




(Längenangaben in Meter, t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn)
a) Wo befindet sich der Hubschrauber nach 120 Sekunden?
In welchem Punkt befindet sich der Hubschrauber, wenn er seit Beobachtungsbeginn einen
Höhenunterschied von 45 m überwunden hat?
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Hubschraubers.
Berechnen Sie den Steigungswinkel seiner Flugbahn.
(4 P)
b) Zeitgleich mit dem Hubschrauber wird ein Schiff beobachtet, das auf einem Fluss
geradlinig mit der konstanten Geschwindigkeit 2 ms fährt.
Zu Beobachtungsbeginn befindet es sich in P(100 / 230 / 0) und bewegt sich in
Richtung Q(220 / 140 / 0).
Wie lange benötigt das Schiff von P nach Q?
Ermitteln Sie die Position St des Schiffes in Abhängigkeit von t.
[Teilergebnis: St 100  1,6 t / 230  1, 2 t / 0  ]
(4 P)
c) Wie groß ist die Entfernung zwischen Hubschrauber und Schiff nach 60 Sekunden?
In welchem Zeitraum ist der Abstand zwischen Hubschrauber und Schiff kleiner als 130 m?
(4 P)
d) In welcher Höhe befindet sich der Hubschrauber in dem Augenblick, in dem er die Schiffsroute überfliegt?
(3 P)
= 15 P
- 115 -
LÖSUNGEN
a)
POSITION NACH 120 SEKUNDEN
 300 
  4,5 
 



t  120  x   170   120   0  
 18 
 1,5 




P1  240 /170 /198 
POSITION NACH HÖHENUNTERSCHIED
P2 165 / 170 / 63 
 x3  45  1, 5  t  45  t  30 
HUBSCHRAUBER / GESCHWINDIGKEIT
 4,5 
m


v   0   4,52  1,52  4, 74
s
 1,5 


STEIGUNGSWINKEL
sin  
  4,5   0 

  
 0  0
 1,5   1 

  
4,5  1,5  1
2
2

1,5
22,5
   18, 40
b)
SCHIFF / FAHRTZEIT
 120 


Streckenlänge  PQ   90   120 2  90 2  150 m
 0 


Das Schiff legt pro Sekunde 2 m zurück, benötigt also 75 s für 150 m.
SCHIFF / POSITION
 100 
 120   100  1,6 t 
1  


 t 
 

xSchiff  xP   PQ   230     90    230  1, 2 t  
75
 0  75  0  

0



 

- 116 -
St 100  1,6 t / 230  1, 2 t / 0 
c)
ABSTAND HUBSCHRAUBER / SCHIFF
Für t = 60 ist der Hubschrauber in H(30/170/108) und das Schiff in S(196/158/0).

HS  1662  122  1082  198, 4 m
ABSTANDSFUNKTION
St 100  1,6 t / 230  1, 2 t / 0
Ht  300  4,5 t /170 /18  1,5 t 
d(t ) 
 200  6,1t    60  1, 2 t    18  1,5 t 
2
2
2
Die Funktion im Editor eingeben und mit y = 130 schneiden.
Man erhält: t1  13,7 und t2  48,1
Ergebnis: Zwischen 14 s und 48 s ist der Abstand kleiner als 130 m.
d)
PROJEKTION / HUBSCHRAUBERBAHN
 300 
  4,5 
 



h : x   170   t   0 
 0 
 0 




SCHIFFSROUTE
 100 
 1, 6 
 



s : x   230   s   1, 2 
 0 
 0 




SCHNITT DER BEIDEN GERADEN
hs

s  50
und
t  26, 7
t  26, 7 einsetzen in H t  300  4,5 t /170 /18  1,5 t 
x3  18  1,5  26, 7  58 m
AB 2013 ALLE AUFGABEN MIT STOCHASTIK
- 117 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
ABI 1-2013 H
EBENENSCHAR
Aufgabe 1
Ein Würfel besitzt die Eckpunkte O(0/0/0), P(6/0/0), Q(0/6/0) und R(0/0/6).
Gegeben ist außerdem die Ebene E : 3 x2  x3  8 .
a)
Stellen Sie den Würfel und die Ebene E in einem Koordinatensystem dar.
Berechnen Sie den Winkel, den die Ebene E mit der x1 x2 Ebene einschließt.
Bestimmen Sie den Abstand von E zur x1 Achse .
(5 P)
b)
Die Ebene E gehört zu einer Ebenenschar. Diese Schar ist gegeben durch
Ea : 3 x2 + x3 = a ; a Î .
Welche Lage haben die Ebenen der Schar zueinander?
Für welche Werte von a hat der Punkt S(6/6/6) den Abstand 10 von der Ebene Ea ?
Für welche Werte von a hat die Ebene Ea gemeinsame Punkte mit dem Würfel?
(6 P)
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
Bei einer Lotterie sind 10% der Lose Gewinnlose.
Jemand kauft drei Lose.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter mindestens zwei Gewinnlose?
Wie viele Lose hätte man mindestens kaufen müssen, damit die Wahrscheinlichkeit
für mindestens zwei Gewinnlose über 50% liegt?
(4 P)
= 15 P
- 118 -
LÖSUNGEN
x3
Aufgabe 1
a)
T
R
EBENE
E : 3 x2  x3  8 
x2
8
3

x3
1
8
E
WÜRFEL
1
1
Q
x2
1
ZEICHNUNG
P
x1
WINKEL
ABSTAND
0 0
   
 3 0
1 1
1
   
cos  

10  1
10
d
|D|
A2  B 2  C 2

   71, 6
| 8 |
32  12

| 8 |
 2, 53 LE
10
Da E parallel zur x1 Achse verläuft, berechnet man den Abstand des Ursprungs von E.
(5 P)
b)
EBENENSCHAR
Ea : 3 x2  x3  a 
ABSTAND
d
3 x2 x3
 1 
a
a
alle Ebenen liegen parallel zueinander.
| Ax1  Bx2  Cx3  D |
A2  B 2  C 2

| 3 6  16  a |
32  12
| 24  a |  10  Fallunterscheidung

| 24  a |
 10
10
24  a  10

24  a  10


a1  14
a2  34
GEMEINSAME PUNKTE MIT DEM WÜRFEL
Grenzlagen
O 0 / 0 / 0   a  0
T  0 / 6 / 6   18  6  a  a  24
ERGEBNIS
Für 0  a  24 hat der Würfel gemeinsame Punkte mit der Ebenenschar.
(6 P)
- 119 -
Aufgabe 2
Es handelt sich um ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ausgängen (Gewinn oder Niete), außerdem ändert sich p bei Wiederholung des Experimentes nicht. Somit liegt eine BernoulliKette mit einer binomialverteilten Zufallsvariabel X vor.
WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR MINDESTENS ZWEI GEWINNLOSE
Die Zufallsvariable X beschreibt die Zahl der Gewinnlose, wobei die Parameter n = 3 und
p = 0,1 sind. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Gewinnlose erhält man, indem man
mit dem Gegenereignis rechnet:
P  X  2   1  P   1  1  0, 972  0, 028  2, 8%
(2 P)
MINDESTZAHL DER LOSE
Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n (gesucht) und p = 0,1.
Es soll gelten:
P  X  2   0, 5
Man rechnet:
P  X  2   1  P  X  1
wobei n gesucht ist.
Dazu wird im Formeleditor folgende Funktion definiert:
Y1  1  binom cdf ( X / 0, 1 / 1)
Zur Funktion Y1 bildet man die Wertetabelle,
wobei Tbl  1 sein muss.
Für n = 17 ist die Bedingung erfüllt.
Man muss also mindestens 17 Lose kaufen,
damit die Wahrscheinlichkeit für zwei Gewinnlose über 50 % liegt.
(2 P)
- 120 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
ABI 2-2013 H
WÜRFEL UND SEGELTUCH
Aufgabe 1
H
In einem würfelförmigen Ausstellungsraum mit der
M2
Kantenlänge 8 Meter ist ein dreieckiges Segeltuch
aufgespannt. Es ist im Punkt F sowie in den Kan-
G
E
F
tenmitten M1 und M2 befestigt (siehe Skizze).
Es wird angenommen, dass das Segeltuch nicht
M1
D
C
durchhängt. In einem Koordinatensystem stellen die
Punkte A(8/0/0), C(0/8/0) und H(0/0/8) die entsprechenden Ecken des Raumes dar.
A
B
a)
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene S, in der das Segeltuch liegt.
Zeigen Sie, dass das Segeltuch die Form eines gleichschenkligen Dreiecks hat.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Segeltuchs.
Welchen Abstand hat das Segeltuch von der Ecke E?
(Teilergebnis: S : 2 x1  x2  2 x3  24 )
(6 P)
b)
Auf der Diagonalen AC steht eine 6 Meter hohe Stange senkrecht auf dem Boden.
Das obere Ende der Stange berührt das Segeltuch.
In welchem Punkt befindet sich das untere Ende der Stange?
(3 P)
[Fortsetzung auf der nächsten Seite]
- 121 -
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
Auf zwei Glücksrädern befinden sich jeweils
sechs gleich große Felder. Bei jedem Spiel werden die Räder einmal in Drehung versetzt. Sie
laufen dann unabhängig voneinander aus und
bleiben so stehen, dass von jedem Rad genau ein
Feld im Rahmen sichtbar ist.
a)
Zunächst werden die Räder als ideal angenommen.
Bei einem Einsatz von 0,20 € sind folgende Auszahlungen vorgesehen:
Stern - Stern
2,00 €
Diamant - Diamant
0,85 €
Kleeblatt - Kleeblatt
0,20 €
In allen anderen Fällen wird nichts ausgezahlt.
Weisen Sie nach, dass das Spiel fair ist.
Nun möchte der Veranstalter auf lange Sicht pro Spiel 5 Cent Gewinn erzielen.
Dazu soll nur der Auszahlungsbetrag für ,,Diamant – Diamant“ geändert werden.
Berechnen Sie diesen neuen Auszahlungsbetrag.
(3 P)
b)
Es besteht der Verdacht, dass die Wahrscheinlichkeit p für ,,Stern - Stern" geringer als 1/36
ist. Daher soll ein Test mit 500 Spielen durchgeführt werden.
Formulieren Sie die Entscheidungsregel für die Nullhypothese H 0 : p 
1
36
, wenn die Irr-
tumswahrscheinlichkeit höchstens 5% betragen soll.
(3 P)
= 15 P
- 122 -
LÖSUNGEN
Aufgabe 1
b)
EBENE
8
0 
  1
 0    1  2 
  
      
 
 
S : x   0   s   2   t   0   n   2    0    1 
4
1
 1 
 1  1   2 
 
 
 
     
 2  8
   
S : 2 x1  x2  2 x3   1    0   16  8  24
 2  4
   
DREIECK
M 1 F  M 2 F  80  gleichschenklig
FLÄCHE
0  4
 32 
 

1    
1 
A   M 1 F  M 2 F  2  8    8   2  16 
4 0 
 32 
   


1
2
A  21  32 2  16 2  32 2  21  48  24 m2
ABSTAND
d
| Ax1  Bx2  Cx3  D |
2 1  2
2
2
2

| 2  8  2  8  24 | 8
  2, 67 m
3
3
(6 P)
b)
PARALLELE zu AC im Abstand 6 m:
x3
8
 1
  
 
p : x   0   t   1 
6 
0 
 
 
H
G
M2
p  Segel :
E
2   8  t    t   2  6  24
16  2t  t  12  24  t   43
P
20
3
/ / 6 
4
3
L
20
3
F
P
D
M1
C
x2
/ / 0
4
3
L
A
x1
- 123 -
(3 P)
B
Aufgabe 2
a)
ERWARTUNGSWERT
xi

P X  xi
E( X ) 

Stern  Stern Diamant  Diamant
2€
0, 85 €
1
4
36
36
Kleeblatt  Kleeblatt
0, 20 €
9
36
1
4
9
2  4  0, 85  9  0, 20
 2 €   0, 85 €   0, 20 € 
 0, 20 €
36
36
36
36
Der Erwartungswert ist so groß wie der Einsatz: Das Spiel ist also fair.
EX  
1
4
9
 2   a   0, 20  0, 20  0, 05  0, 15
36
36
36
1
4
9
2 
a 
 0, 20  0, 15  2  4 a  1, 8  5, 4
36
36
36
4 a  1, 6  a  0, 40 €
(3 P)
Damit der Veranstalter pro Spiel 0,05 € gewinnt, muss die Auszahlung für Diamant-Diamant
auf 0,40 € abgeändert werden.
b)
HYPOTHESENTEST
H0 : p 
1
36
( Nullhypothese)
H1 : p 
1
36
(Gegenhypothese)
P  X  k   0, 05 k ist gesucht.
Da die Wahrscheinlichkeit p als zu klein vermutet wird, macht man einen linksseitigen Test.
Im Editor des GTR wird die kumulierte Binominalverteilung (binom cdf) eingegeben und
dann die dazugehörige Tabelle aufgerufen. Dort sucht man in der Y-Spalte den ersten Wert,
der unter 5% liegt.
Ablehnungsbereich für H0 0 ; 7  , d.h. H1 wird akzeptiert.
Annahmebereich für H0  8 ; 500 , d.h. H1 wird abgelehnt.
ENTSCHEIDUNGSREGEL
Wenn bei 500 Spielen höchstens 7-mal Stern-Stern erscheint,
wird H0 abgelehnt, ansonsten wird H0 angenommen.
- 124 -
(3 P)
ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
ABI 1-2013 N
NO NAME
Aufgabe 1
Gegeben ist die Ebene E mit E : 3 x1  6 x2  2 x3  18 .
a)
Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E mit der x1 x2 Ebene .
Berechnen Sie den Winkel, den E mit der x1 x2 Ebene einschließt.
Der Punkt P(-1/-5/1) wird an E gespiegelt.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes.
(5 P)
b)
Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, die durch den Punkt T(2/4/3) geht,
zur Ebene E parallel ist und die x1 Achse schneidet.
(3 P)
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
Ein Händler erhält Handys in Packungen zu je 20 Stück. Erfahrungsgemäß sind 3%
der Handys defekt.
a)
Der Händler untersucht eine gelieferte Packung.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält sie mindestens zwei defekte Handys?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darin mehr als 17 Handys einwandfrei?
(3 P)
b)
Der Händler erhält eine größere Sendung Handypackungen.
Er überprüft zunächst eine Packung. Sind darin mindestens zwei Handys defekt, schickt er die
ganze Sendung zurück. Andernfalls überprüft er eine zweite Packung. Wenn er dann bei beiden Überprüfungen insgesamt mindestens drei defekte Handys findet, schickt er die Sendung
zurück.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit schickt er die Sendung zurück?
(4 P)
15 P
- 125 -
LÖSUNGEN
Aufgabe 1
a)
EBENE
E  x3  0
WINKEL
E : 3 x1  6 x2  2 x3  18 
x1 x2
  1 oder
6 3
x1 x2 x3
  1
6 3 9
6
 2 
  
 
g : x  0  t  1 
0
0
 
 
 3 0
   
 60
 2 1
    2
cos  

49  1 7
   73, 4 
SPIEGELUNG
LOT auf E
 1 
 3
  
 
x   5   t   6 
1
 2
 
 
Lot  E
3   1  3t   6   5  6 t  2  1  2 t   18  tF  1
PARAMETER
verdoppeln  t P*  2 
P * 5 / 7 / 5
(5 P)
b)
BEWEGLICHER PUNKT AUF DER X1-ACHSE
A a / 0 / 0
GERADE DURCH T UND A
 2
2 a
  


p : x   4  t  4  0 
 3
 30
 


BEDINGUNG
 2  a   3
 

  
a  n  0   4  0    6   0  6  3a  24  6  0  3a  36 
 3  0   2

  
a  12
 2
 10 
  


p : x   4  t  4 
 3
 3 
 


PARALLELE
(3 P)
- 126 -
Aufgabe 2
a)
n  20 ,
p  0, 03 , k  1
Typ :
kumuliert
P  X  2   P  X  1  1  P  X  1  0,1198  12 %
n  20 , p  0,97 , k  17
Typ :
kumuliert
P  X  17   1  P  X  17   0,97899  97,9 %
(3 P)
b)
0 defekt
≥ 3 defekt
1 defekt
≥ 2 defekt
zurück
zurück
≥ 2 defekt , zurück
P  Rückgabe   P  X  0  P  X  3  P  X  1  P  X  2  P  X  2
P  Rückgabe   0, 011  0, 040  0,120  0,172  17, 2 %
(4 P)
- 127 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
ABI 2-2013 N
x3
D
C
BÖSCHUNG
A
x2
B
Aufgabe 1
Die Abbildung zeigt den Querschnitt eines Dammes. Dabei ist das Koordinatensystem so gewählt, dass der Damm parallel zur x1 Achse verläuft. Die Punkte des Querschnitts haben die
Koordinaten A(0/-6/0), B(0/8/0), C(0/2/3) und D(0/-4/3) - alle Angaben in Meter.
a) Begründen Sie, dass die rechte Böschung in der Ebene E : x2  2 x3  8 liegt.
Berechnen Sie den Neigungswinkel der rechten Böschung.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die linke Böschung liegt.
(4 P)
b) In dem Damm soll ein Abwasserrohr so verlegt werden, dass die Achse des Rohres durch
 0 
1
  
die Gerade g : x   2   t   0  beschrieben werden kann. Aus Sicherheitsgründen muss
 1, 5 
0
 
 
das Rohr in jeder Richtung einen Abstand von mindestens einem Meter zur Dammoberfläche
haben. Welchen Durchmesser darf das Rohr höchstens haben?
(3 P)
c)
Im Punkt P(0/3/2,5) soll senkrecht zur rechten Böschung eine Bohrung durchgeführt werden,
die der Achse des Abwasserrohres nicht näher als einen Meter kommen darf.
Wie tief darf höchstens gebohrt werden?
(4 P)
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
Ein Unternehmer stellt Bauteile her. Er behauptet, dass davon höchstens 3% defekt sind.
Diese Behauptung soll mit einer Stichprobe von 200 Bauteilen überprüft werden.
Die Nullhypothese lautet H 0 : p  3 % , die Irrtumswahrscheinlichkeit soll höchstens
5% betragen. Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich.
(4 P)
= 15 P
- 128 -
LÖSUNGEN
Aufgabe 1
a)
EBENE
E1 : x2  2 x3  8 
x1 x2 x3
  1 
 8 4
parallel zur x1 Achse
PUNKTPROBEN
C  0 / 2 / 3  2  6  8  8  8 stimmt
B  0 / 8 / 0   8  8 stimmt 
WINKEL
Die rechte Böschung liegt in E1.
 0 0
   
 1 0
 2 1
2
   
cos  

5 1
5

1 0  0 
      
LINKE BÖSCHUNG n   0    2    3  
0  3  2 
     
  26, 6
0 0
   
E2 :  3x2  2 x3   3    6   18
2 0
   
(4 P)
b)
ROHRACHSE
 0 
1
  
 
g : x   2   t 0
 1, 5 
0
 
 
bekannt
M(0/2/1,5) und C(0/2/3)
x3
C
M
ABSTÄNDE
x2
B
nach oben / unten:
1,5 m
nach rechts:
d M ; E 
RADIUS
r  1, 34 m  1, 0 m  0,34 m 
| 238|
 1,342 m
5
Rohrdurchmesser  0, 68 m
(3 P)
c)
BOHRUNG
 0 
0
 

 
h : x   3   t 1 
 2, 5 
 2


 
BEWEGLICHER PUNKT
H  0 / 3  t / 2,5  2t 
- 129 -
ABSTAND
d H;M  
1  t   1  2t 
t1   0, 2 
2
2
1
P1  0 / 2,8 / 2,1
t2  1  zweiter Punkt entfällt
0, 22  0, 42  0, 447 m
BOHRTIEFE
(4 P)
Aufgabe 2
HYPOTHESENTEST (rechtsseitig)
H 0 : p  0, 03 ( Nullhypothese)
H 1 : p  0, 03 (Gegenhypothese)
n  200 ,
p  0, 03 , k  ?? ,   0, 05
P  X  k   1  P  X  k  1  0, 05 k ist gesucht.
Da die Wahrscheinlichkeit p als zu groß vermutet wird, macht man einen rechtsseitigen Test.
Im Editor des GTR wird die kumulierte Binominalverteilung (binomcdf) eingegeben und
dann die dazugehörige Tabelle aufgerufen. Dort sucht man in der Y-Spalte den ersten Wert,
der unter 5% liegt.
Ablehnungsbereich für H0 11 ; 200 , d.h. H1 wird akzeptiert.
Annahmebereich für H0 0 ; 10 , d.h. H1 wird abgelehnt.
(4 P)
- 130 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
ABI 1-2014 H
PYRAMIDE UND QUADER
Aufgabe 1
Gegeben sind die Punkte A(5/-5/0), B(5/5/0), C(-5/5/0) und D(-5/-5/0).
Das Quadrat ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S(0 /0/12).
a)
Die Seitenfläche BCS liegt in der Ebene E.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E.
Berechnen Sie den Winkel, der von der Seitenfläche BCS und der Grundfläche der Pyramide
eingeschlossen wird. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BCS.
(4 P)
b)
Betrachtet werden nun Quader, die jeweils vier Eckpunkte auf den Pyramidenkanten und vier
Eckpunkte in der Grundfläche der Pyramide haben. Einer dieser Quader hat den Eckpunkt
Q(2,5/2,5/0). Berechnen Sie sein Volumen.
Bei einem anderen dieser Quader handelt es sich um einen Würfel.
Welche Koordinaten hat dessen Eckpunkt auf der Kante BS?
(4 P)
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
In einem Gefäß G1 sind 6 schwarze und 4 weiße Kugeln.
In einem Gefäß G2 sind 3 schwarze und 7 weiße Kugeln.
a)
Aus Gefäß G1 wird 20 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12 Mal eine schwarze Kugel gezogen wird.
Aus Gefäß G2 wird 8 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 schwarze Kugeln gezogen werden, und zwar bei direkt aufeinander folgenden Zügen.
(4 P)
b)
Nun werden aus G1 zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß G2 gelegt.
Anschließend wird eine Kugel aus G2 gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz?
(3 P)
- 131 -
LÖSUNGEN
x3
S
Aufgabe 1
a)
EBENE
x1 x2 x3
   1 |  60
 5 12
E : 12 x2  5 x3  60
E:
D
C
NEIGUNGSWINKEL
0
  
n1  12  und
5
 
0
  
n2   0 
1
 
 0  0
   
12    0 
 5  1
   
cos  
169  1
FLÄCHE
ABCS 
1
1
x2
1
Q
A
B
x1
   67, 4
g  h 10  52  122 10  52  122 10 13



 65 FE
2
2
2
2
(4 P)
b)
PUNKT AUF QUADERKANTE P  2,5 / 2,5 / z 
Pyramidenkante BS:
5
 5 
  
 
x   5   t   5 
0
 12 
 
 
t  0,5
 2,5   5 
 5 

  
 
P einsetzen   2,5    5   t   5   t  0,5  P  2,5 / 2,5 / 6 
 z  0
 12 
z6

  
 
VOLUMEN
VQuader  5  5  6  150 VE
(2 P)
- 132 -
R  x / x / 2x 
WÜRFELECKE
x  5  5t
 x  5
 5 
   
 
R einsetzen   x    5   t   5  
 2 x 0
 12 
2 x  12 t
   
 
t
5

11
x
6  5 30

11 11

 6t  5  5t
t
 x  6t
5
11
 30 30 60 
RWürfel  /
/

 11 11 11 
(2 P)
Aufgabe 2
a)
Aus Gefäß G1 wird 20 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.
6
 0, 6 , k  12
10
P  X  12   1  P  X  11  0,5955  59, 6%
n  20 ,
p
Aus Gefäß G2 wird 8 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.
3
 0,3 / q  0, 7 / 7 Paare
10
P  zwei aufeinander folgende sind schwarz   7  0,32  0, 76  7, 4%
n8 /
p
(4 P)
b)
Nun werden aus G1 zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß G2 gelegt.
Anzahl der gezogenen schwarzen
Kugeln im 1. Gefäß
2
1
0
Wahrscheinlichkeiten
6 5 1
 
10 9 3
6 4 8
2  
10 9 15
4 3 2
 
10 9 15
schwarze Kugeln
im 2. Gefäß
3 2  5
3 1  4
3 0  3
Anschließend wird eine Kugel aus G2 gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz?
1 5 8 4 2 3
7
P  schwarz        
3 12 15 12 15 12 20
(3 P)
- 133 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
ABI 2-2014 H
EBENE UND SCHATTEN [gewählt]
Aufgabe 1
An einer rechteckigen Platte mit den Eckpunkten A(10/6/0), B(0/6/0), C(0/0/3) und D(10/0/3)
ist im Punkt F(5/6/0) ein 2 m langer Stab befestigt, der in die positive x3 Richtung zeigt.
Eine punktförmige Lichtquelle befindet sich zunächst im Punkt L(8/10/2)
(Koordinatenangaben in m).
a)
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Platte liegt.
Stellen Sie die Platte, den Stab und die Lichtquelle in einem Koordinatensystem dar.
Berechnen Sie den Winkel zwischen dem Stab und der Platte.
(Teilergebnis: E : x2  2 x3  6 )
b)
(3 P)
Der Stab wirft einen Schatten auf die Platte.
Bestimmen Sie den Schattenpunkt des oberen Endes des Stabes.
Begründen Sie, dass der Schatten vollständig auf der Platte liegt.
c)
(3 P)
Die Lichtquelle bewegt sich von L aus auf einer zur x1 x2 Ebene parallelen Kreisbahn,
deren Mittelpunkt das obere Ende des Stabes ist. Dabei kollidiert die Lichtquelle mit der
Platte. Berechnen Sie die Koordinaten der beiden möglichen Kollisionspunkte.
(3 P)
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
Bei der Produktion von Bleistiften beträgt der Anteil fehlerhafter Stifte erfahrungsgemäß 5%.
a)
Ein Qualitätsprüfer entnimmt der Produktion zufällig 800 Bleistifte.
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte in dieser Stichprobe.
Berechnen Sie P  X  30  .
Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht der Wert von X um weniger als 10 vom Erwartungswert von X ab?
b)
(3 P)
Der Betrieb erwirbt eine neue Maschine, von der behauptet wird, dass höchstens 2% der
von ihr produzierten Bleistifte fehlerhaft sind. Diese Hypothese H0 soll mithilfe eines
Tests an 800 zufällig ausgewählten Stiften überprüft werden.
Bei welchen Anzahlen fehlerhafter Stifte entscheidet man sich gegen die Hypothese,
wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 5% betragen soll?
(3 P)
- 134 -
x3
LÖSUNGEN
C
a)
EBENE
x
x
x
E : 1  2  3 1
 6 3
E : x2  2 x3  6
1
1
T*
1
T
x2
L
D
ZEICHNUNG
F
A
x1
WINKEL
B
0 0
   
10
2 1
2
   
sin  

5 1
5
   63, 4
(3 P)
b)
SCHATTEN
8
 3
  
 
g L : x   10   t   4   E  10  4 t  2  2  6  t  2  T *  2 / 2 / 2 
2
0
 
 
T* liegt auf der Platte, weil die Koordinaten von T* in folgenden Grenzen liegen:
0  x1  10 , 0  x2  6 , 0  x3  3
Da F ebenfalls auf der Platte liegt, befindet sich der ganze Schatten auf der Platte.
(3 P)
c)
 2
1
  
 
Schnittgerade durch T* parallel zur x1 Achse : k : x   2   t   0  oder E  x3  2
 2
0
 
 
Radius:
TL  32  42  5 LE
Beweglicher Punkt auf k:
P  2  t / 2 / 2
PT 
Abstand:
T 5 / 6 / 2
3  t 
2
 42  5
t  0
9  6 t  t 2  16  25  0   1
t2  6
- 135 -
P1  2 / 2 / 2 
P2  8 / 2 / 2 
(3 P)
Aufgabe 2
a)
Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt
mit n = 800 und p = 0,05.
P  X  30   0, 057  5,7%
ERWARTUNGSWERT
E  X   800  0, 05  40
Abweichung davon  9 :
P  31  X  49   P  X  49   P  X  30   0,878  87,8%
(3 P)
b)
HYPOTHESENTEST
Nullhypothese
H 0 : p  0, 02
Gegenhypothese
H1 : p  0, 02  rechtsseitiger Test
Stichprobenumfang
n  800
Wahrscheinlichkeit
p  0, 02
Irrtumswahrscheinlichkeit   0, 05
Erwartungswert
E  800  0, 02  16
Ablehnungsbereich
A  k / ...... / 800  k  ?
RECHNUNG
P  X  k   0, 05
1  P  X  k  1  0, 05
k ist gesucht
TABELLE k ablesen
FUNKTION eingeben
ERGEBNIS
Der Ablehnungsbereich für H 0 ist A  24 / ...... / 800 .
Bei mindestens 24 fehlerhaften Stiften entscheidet man sich gegen die Nullhypothese.
(3 P)
- 136 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
ABI 1-2014 N
GERADENSCHAR
Aufgabe 1
1
0
  
 
Gegeben sind die Gerade g : x   1   r   0  sowie die Ebene H : 2 x1  x2  6  0 .
 2
1
 
 
a)
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und H.
Die Ebene H schneidet die x1 x3 Ebene .
Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden und den Schnittwinkel.
(4 P)
b)
 2 
1
  
 
Für jedes a   ist eine Gerade gegeben durch ha : x   2   s   2  .
5
a
 
 
Weisen Sie nach, dass jede Gerade ha in der Ebene H liegt.
Welche Gerade ha schneidet die x1 Achse ?
Zeigen Sie, dass jede Gerade ha windschief zu g ist.
Begründen Sie: Jede Gerade ha hat von g denselben Abstand.
(5 P)
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
Ein Betrieb produziert Mikrochips, die mit der Wahrscheinlichkeit 20% fehlerhaft sind.
a)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Kiste mit 120 Chips mindestens
100 fehlerfreie sind.
Wie viele Chips müssen mindestens hergestellt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mehr als 750 fehlerfreie Chips sind?
(3 P)
b)
Zur Qualitätskontrolle der produzierten Chips wird ein Gerät verwendet, das fehlerhafte
Chips mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% aussortiert. Leider sortiert das Gerät auch
fehlerfreie Chips mit einer Wahrscheinlichkeit von p aus.
Untersuchen Sie, wie groß p höchstens sein darf, damit bei maximal 5% aller getesteten
Chips eine falsche Entscheidung getroffen wird.
(3 P)
- 137 -
LÖSUNGEN
x3
Aufgabe 1
a)
GEGENSEITIGE LAGE
0  2
     
a  n   0    1   0 und Punktprobe für P 1/1/ 2 
1 0
   
2 1  1 1  6  0  g  E
Spurgerade in der x1 x3 Ebene :
Setze x2  0  s : 2 x1  6  0 
1
1
1
x2
x1
x1  3
 3 
0
  
 
in Parameterform : s : x   0   t   0 
0
1
 
 
WINKEL zwischen EBENEN
 2 0
   
 11
0 0
1
   
cos  

5 1
5
   63, 4
(4 P)
b)
GERADENPROBE
 2 
1
  
 
ha : x   2   s   2  in H einsetzen 
5
a
 
 
2  2  s    2  2s  6  0   4  2s  2  2s  6  0  0  0 q.e.d .
 2 
 1 
  
 
ha : x   2   s   2   x2  0 und x3  0   2  2 s  0  s  1
 5
 a 
 
 
P  3 / 0 / 5  a  mit x3  0  5  a  0  a  5
Für a  5 schneidet h die x1 Achse.
 2 
1
1
0
 2  s  1  s  3
  
  

 
 
ha : x   2   s   2   g : x   1   r   0   2  6  1  Widerspruch

5
a
2
1
 
 
 
 

Da die Geraden nicht parallel sind, müssen sie windschief sein.
- 138 -
Die Geradenschar liegt ganz in der Ebene E. Die Gerade g verläuft parallel zur Ebene E. Also
ist der Abstand zwischen der Geradenschar und der Geraden g immer gleich groß.
(5 P)
Aufgabe 2
c)
Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt
mit n = 120 und p = 0,8.
P  X  100   1  P  X  99   0, 215  21, 5%
Die Zufallsvariable Y ist binomialverteilt
mit p = 0,8. Gesucht ist n.
Ansatz: P Y  750   1  P Y  750   0, 95
(3 P)
d)
WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR FALSCHE ENTSCHEIDUNG
0,99
richtig erkannt
0,01
falsch erkannt
1-p
richtig erkannt
p
falsch erkannt
Chip defekt
0,2
0,8
Chip intakt
Es muss gelten: P  defekt / falsch  oder P  intakt / falsch   0, 05
0, 2  0, 01  0,8  p  0, 05
0, 002  0,8  p  0, 05
0,8  p  0, 048
p  0, 06
Fehlerfreie Chips dürfen höchstens mit der Wahrscheinlichkeit von 6% als fehlerhaft aussortiert werden.
(3 P)
- 139 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
ABI 2-2014 N
PYRAMIDE MIT BEWEGLICHER SPITZE
Aufgabe 1
Die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide liegt in der Ebene E und hat die Eckpunkte
A(0/1/1), B(2/4/-5), C(-1/10/-3) und D(-3/7/3).
9
1
  
 
Die Spitze der Pyramide liegt auf der Geraden g : x   10   s   3  .
 12 
17 
 
 
a)
Zeigen Sie, dass die Grundfläche der Pyramide ein Quadrat ist.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E.
Teilergebnis E :
b)
6 x1  2 x2  3 x3  5 
(3 P)
Die Pyramidenspitze kann auf der Geraden g so gewählt werden, dass die vier von der
Grundfläche zur Pyramidenspitze verlaufenden Pyramidenkanten gleich lang sind.
Berechnen Sie die Koordinaten der Pyramidenspitze für diesen Fall.
(3 P)
c)
Die Pyramidenspitze S kann auf der Geraden g auch so gewählt werden, dass die Seitenfläche ABS orthogonal zur Grundfläche ABCD ist.
Berechnen Sie die Koordinaten der Pyramidenspitze für diesen Fall.
(3 P)
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
a)
Ein Medikament wirkt erfahrungsgemäß bei 80% aller Patienten.
Das Medikament wird 15 Patienten verabreicht.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirkt es bei mindestens 12 dieser Patienten?
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei allen 15 Patienten wirkt, soll mindestens 90% betragen.
Wie hoch müsste dazu seine Wirkungswahrscheinlichkeit mindestens sein?
b)
(3 P)
Von einem neuen Medikament wird behauptet, dass es bei mindestens 85% der Patienten wirkt. Diese Hypothese H0 soll mithilfe eines Testes an 210 Patienten überprüft
werden.
Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich zum Signifikanzniveau von 1%.
- 140 -
(3 P)
LÖSUNGEN
Aufgabe 1
a)
Zu zeigen ist, dass ABCD ein Parallelogramm / Rechteck / Quadrat ist.
 2 
  
AB   3  und
 6
 
 2 
  
DC   3  
 6
 
ABCD ist Parallelogramm.
 2   3 
     
AB  AD   3    6   6  18  12  0  ABCD ist Rechteck .
 6  2 
   


AB  22  32  62  7 und AD  32  62  22  7  ABCD ist Quadrat.
EBENE
0
 2 
 3 
  
 
 
E : x   1   s   3   t   6   E : 6 x1  2 x2  3 x3  5
1
 6
2
 
 
 
(3 P)
b)
MITTELLOT AUF DEM QUADRAT
Wegen der Symmetrie muss S auf dem Lot durch die Quadratmitte liegen.
 0 , 5 
6
 

 
m : x   5,5   t   2  mit Gerade g geschnitten  Pyramidenspitze
 1 
 3


 
1,5 18 t  27 3s | 
7  16 t  17
0 ,5 6 t  9 1s |   3
5,5 2 t  10 3s
t  1,5 und s   0 ,5
 5,5 2 t  10 3s |  
1 3 t  12 17 s
PYRAMIDENSPITZE
1 3 t  12 17 s
1  4 ,5  12  8,5 stimmt.
S1  8, 5 / 8, 5 / 3, 5 
(3 P)
c)
Die gesuchte Pyramidenspitze S liegt in einer Ebene F, die die Kante AB enthält und parallel
zum Mittellot m verläuft.
 2   6   21 
      


nF  AB  nE   3    2    42  
 6   3   14 
    

F  g  s  1  S2  8 / 7 / 5 
 3 
 
 6   F :  3x1  6 x2  2 x3  8
2
 
- 141 -
(3 P)
Aufgabe 2
a)
Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt
mit n = 15 und p = 0,8.
P  X  12   1  P  X  11  0, 648  64, 8%
Die neue Wirkungswahrscheinlichkeit soll nun p sein. Dann gilt:
P Wirkung bei allen 15 Patienten   0,90
p15  0,90 
p  15 0,9  0,993  99,3%
(3 P)
b)
HYPOTHESENTEST
Nullhypothese
H 0 : p  0,85
Gegenhypothese
H1 : p  0,85  linksseitiger Test
Stichprobenumfang
n  210
Wahrscheinlichkeit
p  0,85
Irrtumswahrscheinlichkeit   0, 01
Erwartungswert
E  210  0,85  178,5
Ablehnungsbereich
A  0 / ...... / k   k  ?
RECHNUNG
P  X  k   0, 01
k ist gesucht
TABELLE k ablesen
FUNKTION eingeben
ERGEBNIS
Der Ablehnungsbereich für H 0 ist A  0 / ...... /165 .
Erst bei mehr als 165 positiven Wirkungsnachweisen wird die Nullhypothese angenommen.
(3 P)
- 142 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
ABI 1-2015 H
SONNENSCHUTZ / MARKISE [gewählt]
x3
Aufgabe 1
A
Über einer Terrasse ist als Sonnenschutz eine
D
Markise an einer Hauswand befestigt. In einem Koordinatensystem stellen die Punkte
B
P(0/0/0), Q(5/0/0), R(5/4/0), S(0/4/0) die Eck-
1
punkte der Terrasse dar. Die Markise wird
C
P
S
x2
1
durch das Rechteck mit den Eckpunkten
1
A(0/0/4), B(5/0/4), C(5/3,9/2,7), D(0/3,9/2,7)
beschrieben (alle Koordinatenangaben in Me-
Q
R
x1
ter).
Die Lage der Hauswand wird durch die x1 x3 Ebene beschrieben.
a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, welche die Lage der Markise beschreibt.
Berechnen Sie den Winkel zwischen Markise und Hauswand.
(3 P)
b) In der Mitte zwischen Q und R steht eine 30 cm hohe Stablampe. Am Markisenrand CD
wird ein senkrecht nach unten hängender Regenschutz angebracht, der genau bis auf die
Terrasse reicht. Bei starkem Wind schwingt er frei um CD.
Kann der Regenschutz dabei die Stablampe berühren?
Welchen Abstand von der Hauswand darf die Stablampe auf der Terrasse höchstens haben,
damit dies nicht passiert?
(4 P)
c) Die Sonne scheint und der Regenschutz wird entfernt. Die Richtung der Sonnenstrahlen
 1
wird durch den Vektor  1  beschrieben.
 3 
 
Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Terrasse nicht vollständig beschattet wird.
Die Markise kann ein- und ausgefahren werden. Dabei bewegen sich die äußeren Eckpunkte der Markise längs der Geraden BC und AD. Die Markise wird nun so weit eingefahren,
dass der Terrassenrand zwischen Q und R genau zur Hälfte im Schatten liegt.
Bestimmen Sie die neuen Koordinaten der äußeren Eckpunkte der Markise.
- 143 -
(4 P)
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
Ein Großhändler gibt an, dass sein Weizensaatgut eine Keimfähigkeit von mindestens 80%
hat. Mehrere Kunden vermuten, dass die Keimfähigkeit in Wirklichkeit kleiner ist.
Deswegen wird die Aussage des Großhändlers mit Hilfe eines Tests auf einem Signifikanzniveau von 10% überprüft, indem 500 Weizenkörner untersucht werden.
Als Nullhypothese wird die Angabe des Großhändlers verwendet.
Formulieren Sie die zugehörige Entscheidungsregel in Worten.
Die tatsächliche Keimfähigkeit des Saatguts beträgt 82%.
Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei obigem Test die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen wird?
(4 P)
LÖSUNGEN
Aufgabe 1
a)
EBENE
0
1
 0 
1  0  0
  
      
 


E : x   0   s   0   t   3,9  (Vektor kürzen)  n   0    3    1 
 4
0
 1,3 
 0   1   3 
 
 


     
0 0
   
E : x2  3 x3   1    0   12  E : x2  3 x3  12
 3  4
   
(2 P)
0 0
   
11
 3  0
1
   

WINKEL cos  
10  1
10
   71, 6
(1 P)
- 144 -
x3
A
b)
D*
STABLAMPE
D
B
1
T
C*
C
P
S
x2
1
1
L
Q
M
R
x1
PUNKTE
L  5 / 2 / 0,3 und C  5 / 3,9 / 2, 7  Länge Regenschutz  2, 7 m
ABSTAND
d  L; C   1,92  2, 42  3, 06 m  2, 7 m
ERGEBNIS
Der Regenschutz kann die Lampe nicht berühren.
(2 P)
BEWEGLICHE LAMPE
PUNKT
L  5 / x / 0,3 und
ABSTAND
d  L; C  
ERGEBNIS
Die Lampe darf höchstens 2,66 m von der Hauswand entfernt sein.
 3,9  x 
C  5 / 3,9 / 2, 7  Länge Regenschutz  2, 7 m
2
 2, 42  2, 7  x  2, 66 m
(2 P)
c)
OHNE REGENSCHUTZ
Da der Sonnenstrahl schräg nach links vorne gerichtet ist, landet der Schatten von D innerhalb
des Vierecks PQRS. Die Terrasse ist daher nicht vollständig beschattet.
(1 P)
NEUE MARKISENPUNKTE
Mitte von QR  M  5 / 2 / 0  
5
1
  
 
g : x   2   t   1   E : x2  3 x3  12
0
 3 
 
 
2  t  3  3 t   12  t  1  T  4 / 3 / 3 liegt auf der vorderen Markisenkante.
Entsprechend lauten die neuen Markisenpunkte:
C *  5 / 3 / 3 und
D *  0 / 3 / 3
(3 P)
- 145 -
Aufgabe 2
HYPOTHESENTEST
Nullhypothese
H 0 : p  0,8
Gegenhypothese
H1 : p  0,8  linksseitiger Test
Stichprobenumfang
n  500
Wahrscheinlichkeit
p  0,8
Irrtumswahrscheinlichkeit   0,1
Erwartungswert
E  500  0,8  400
Ablehnungsbereich
A  0 / ...... / k   k  ?
RECHNUNG
P  X  k   0,1
k ist gesucht
TABELLE k ablesen
FUNKTION eingeben
ERGEBNIS
Der Ablehnungsbereich für H 0 ist A  0 / ...... / 387 .
ENT.REGEL
Wenn weniger als 388 Weizenkörnern keimfähig sind, entscheidet
man sich gegen die Nullhypothese.
(3 P)
P  X  387   0, 0053 mit
p  0,82
Die Wahrscheinlichkeit , dass die Nullhypothese verworfen wird , beträgt ca. 0,53%.
(1 P)
- 146 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
ABI 2-2015 H
GERADENSCHAR
Aufgabe 1
Gegeben sind die Ebene E : 3 x1  6 x2  4 x3  16
æ5ö
æ ö
çça÷÷
 ççç ÷÷÷
und eine Geradenschar durch g a : x = ç1÷÷ + t ⋅ çç1÷÷÷ ; a Î  .
çç ÷÷
çç ÷÷
çè1÷ø
çè 0÷ø
a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g4 mit der Ebene E.
Welche Gerade der Schar ist orthogonal zu g4 ?
(3 P)
b) Berechnen Sie den Schnittwinkel von g4 und E .
Für welche Werte von a mit 10  a  10 hat der Schnittwinkel von ga und E die Weite 10°?
(3 P)
c) Begründen Sie, dass alle Geraden ga in der Ebene F : x3  1 liegen.
Es gibt eine Gerade h, die durch den Punkt P(5/1/1) geht und in F liegt, aber nicht zur Schar
gehört. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h .
(3 P)
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
Bei einem Biathlonwettbewerb läuft ein Athlet eine 2,5 km lange Runde, dann schießt er liegend fünf Mal; anschließend läuft er eine zweite Runde und schießt stehend fünf Mal; nach
einer dritten Runde erreicht er das Ziel. Für jeden Fehlschuss muss er direkt nach dem Schießen eine 200 m lange Strafrunde laufen. Aufgrund der bisherigen Schießleistungen geht der
Trainer davon aus, dass der Athlet stehend mit 88% und liegend mit 93% Wahrscheinlichkeit
trifft. Es wird vereinfachend davon ausgegangen, dass die Ergebnisse der einzelnen Schüsse
voneinander unabhängig sind.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Athlet stehend bei fünf Schüssen
genau vier Mal trifft.
(1 P)
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Athlet im gesamten Wettbewerb
höchstens einmal eine Strafrunde laufen muss.
(3 P)
c) Der Athlet möchte seine Leistungen im Stehendschießen verbessern und künftig mit über
95% Wahrscheinlichkeit bei fünf Schüssen mindestens vier Mal treffen.
Welche Trefferwahrscheinlichkeit muss er dafür mindestens erreichen?
- 147 -
(2 P)
LÖSUNGEN
Aufgabe 1
a)
SCHNITTPKT
5
 4
  
 
g 4 : x   1   t   1   E : 3 x1  6 x2  4 x3  16 
1
0
 
 
3   5  4t   6  1  t   4 1  16  15  12 t  6  6 t  4  16
18 t  25  16  18 t  9  t   0 ,5  S  3 / 0 ,5 / 1
 a   4
1
   
g a  g 4   1    1   0  4a  1  0  a     0 , 25
4
 0 0
   
ORTHOGONAL
5
  0, 25   5 
 1
  

  
 
g  0 ,25 : x   1   t   1    1   t   4 
1
 0  1
0
 

  
 
(3 P)
b)
 4  3
   
 1 6
0 4
12  6
   
sin  

17  61
17  61
WINKEL
sin   10 
3a6
a2  1
 a   3
   
 1  6
 0  4
   
a 2  1  61
 1,3562 |  ...
2

 0 ,1736 
3 a  6
2
   33,98
3a  6
 0 ,1736 
a 2  1  61


 1,3562 2  a 2  1
 3, 76
 GTR  a  
 1, 27
(3 P)
c)
PROBE
g a in F : x3  1 einsetzen  1  0  t  1 1  1 stimmt
GERADE
5
 v1 
 v1   0 
  
 
   
h : x   1   t   v2  mit  v2    0   0  v3  0
1
v 
v  1
 
 3
 3  
- 148 -
 v1 
a


Damit h nicht zur Schar gehört, darf  v 2  kein Vielfaches von  1  sein  v2  0
0
0
 
 
5
1
  
 
mögliche Lösung für h : x   1   t   0 
1
0
 
 
(3 P)
Aufgabe 2
GENAU VIER TREFFER
Schüsse n  5 stehend
p  0,88 und
q  0,12
5
P  X  4      0,884  0,121  5  0,884  0,12  35,98%
 4
(1 P)
STRAFRUNDE
Wahrscheinlichkeiten
erst Runde
liegend
zweite Runde
stehend
Treffer
Fehlschuss
0,93
0,07
0,88
0,12
Fünf Schüsse pro Runde.
mögliche Ereignisse
P  A  P  liegend immer getroffen / stehend immer getroffen   0,935  0,885
P  B   P  liegend immer getroffen / stehend einmal nicht getroffen   0,935  5  0,884  0,121
P  C   P  liegend einmal nicht getroffen / stehend immer getroffen   5  0,934  0,071  0,885
P  höchstens eine Strafrunde   P  A  P  B   P  C   75,6%
(3 P)
LEISTUNGSVERBESSERUNG
verbesserte Trefferwahrscheinlichkeit : p
P  mindestens viermal treffen   0,95
P  X  4   1  P  X  3  0,95
Editor  1  binom cdf  5, X ,3  0,95
Tblset  Tbl  0, 001
Table 
p  92, 4%
(2 P)
- 149 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
ABI 1-2015 N
x3
F
WALMDACH MIT SOLARANLAGE
D
Aufgabe 1
Ein Haus mit Walmdach hat als Grundfläche
1
x2
ein Rechteck.
1
O
C
1
Die Punkte A(12/0/0), B(12/8/0) und C(0/8/0)
sind Eckpunkte dieses Rechtecks.
Die Hauswände sind 6m hoch.
x1
A
B
Die Punkte D(11/4/8,5) und F(1/4/8,5) sind die Endpunkte des Dachfirstes. Die positive
x2 Achse des Koordinatensystems zeigt nach Süden (alle Koordinatenangaben in Meter).
a) Auf der gesamten Dachfläche, die nach Süden ausgerichtet ist, wird eine Solaranlage installiert. In einem Jahr erzeugt die Solaranlage pro m2 etwa 110 kWh elektrische Energie.
Berechnen Sie die gesamte in einem Jahr erzeugte Energiemenge.
In Deutschland ist bei Ausrichtung nach Süden eine Dachneigung zwischen 26° und 33°
Für eine Solaranlage ideal. Überprüfen Sie, ob das bei diesem Haus der Fall ist.
(4 P)
b) Die Richtung der Sonnenstrahlen an einem Wintertag kann zur Mittagszeit
 0 
durch den Vektor   2  beschrieben werden.
  0,5 


Vor dem Haus steht eine Fichte, deren Schatten die Solaranlage nicht trifft.
Der Standort der Fichte wird durch den Punkt P(8/12/0) beschrieben.
Ermitteln Sie rechnerisch, wie hoch die Fichte höchstens ist.
(3 P)
c) In der Hauswand über AB befindet sich ein kreisförmiges Fenster. Die Punkte
Q1 12 /1, 4 / 5,3 , Q2 12 / 2, 6 / 5,3 und Q3 12 / 2,8 / 5,1
liegen auf dem Rand des Fensters. Berechnen Sie den Durchmesser des Fensters.
(4 P)
- 150 -
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
Bei einem Glücksrad, betragen die Mittelpunktswinkel der
Kreisausschnitte 90° und 180°. Nach jeder Drehung wird die
Zahl notiert, auf die der Pfeil zeigt.
1
3
2
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
A: Bei 20-maligem Drehen wird mindestens 5-mal die 1 notiert.
B: Bei 3-maligem Drehen ist die Summe der notierten drei Zahlen mindestens 8.
(2 P)
b) Wie oft muss man das Glücksrad mindestens drehen, damit mit einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens zweimal die Zahl 1 notiert wird?
(2 P)
= 15 P
- 151 -
LÖSUNGEN
Aufgabe 1
a) Trapezfläche 
10  12
 42  2,52  11  22, 25  51,89 m 2
2
Energiemenge  Fläche 110 kWh  5708 kWh
0 0
   
05
1 8
8
   
Neigungswinkel : cos  

 0,8478    32, 03
89
89
(4 P)
Die Dachneigung liegt zwischen 26° und 33° und ist daher ideal.
x3
F
b) Die senkrecht stehende Fichte bildet mit der
Richtung der Sonnenstrahlen eine Schatten
D
R
werfende Ebene E : x1  8 . Indem man E
S
1
mit der Hauskante schneidet, welche paral-
x2
1
lel zur x1 Achse in der Höhe 6m verläuft,
O
1
M
erhält man den Punkt S(8/8/6).
P
x1
A
B
Bestimmung der Fichtenspitze R:
s  2
8
 0 
8
0
  
  


 
Strahl : x   8   s    2   Fichte : x  12   t   0  
t 7
6
  0,5 
0
1
R  8 /12 / 7 
 


 
 
EREGEBNIS: Die Fichte muss kleiner als 7m sein.
(3 P)
c) Der Mittelpunkt hat die Koordinaten: M  x / y / z  .
Da alle Kreispunkte in der Ebene x1  12 liegen, gilt: M 12 / y / z  .
Da Q1 und Q2 auf derselben Höhe liegen gilt: y 
2
Q1M  Q3 M
2
1, 4  2, 6
 2  M 12 / 2 / z 
2
 0, 62   5,3  z   0,82   5,1  z 
2
Radius : r  0, 62  0,82  1 m  d  2 m
- 152 -
2
 z  4,5  M 12 / 2 / 4,5 
(4 P)
Aufgabe 2
GLÜCKSRAD
Bei 20 - maligem Drehen wird mindestens fünfmal die 1 erhalten :
P  A   P  X  5   1  P  X  4   1  0, 4148  0,5852  58,52%
Bei dreimal Drehen mindestens die Summe 8 erzielen :  2  3  3  8 oder 3  3  3
1 1 1 1 1 1 3 1 5
P  B   3           0,3125  31, 25%
4 2 2 2 2 2 16 8 16
(2 P)
Wie oft muss man das Glücksrad mindestens drehen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit
von mindestens 80% mindestens zweimal die Zahl 1 notiert wird?
n? /
Ansatz :
1
/ k2
4
P  X  2   0,8  1  P  X  1  0,8  n  11
p
Ergebnis : Das Glücksrad muss mindestens 11 Mal gedreht werden.
(2 P)
- 153 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
ABI 2-2015 N
PYRAMIDE MIT PENDEL
Aufgabe 1
Ein Künstler baut das Kantenmodell einer Pyramide nach folgenden Angaben:
Die Grundfläche ist eine Raute mit den Eckpunkten A(0/0/0), B(4/3/0), C(4/8/0) und D(0/5/0)
(alle Koordinatenangaben in Meter).
Die Spitze S befindet sich 7m senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
a) Stellen Sie das Kantenmodell der Pyramide in einem geeigneten Koordinatensystem dar.
Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide.
(3 P)
b) Zur Stabilisierung ist vom Mittelpunkt der Kante AB bis zur Spitze S eine Strebe angebracht. In der Spitze der Pyramide hängt ein 5m langes Pendel mit einem punktförmigen
Gewicht am Ende.
Berechnen Sie den Winkel zwischen Pendel und Strebe.
Das Pendel wird nun so in Bewegung gesetzt, dass es innerhalb der Pyramide in der Ebene
E mit E : x1  2 reibungsfrei schwingt.
Das Gewicht berührt bei maximalem Pendelausschlag die Strebe im Punkt R.
Bestimmen Sie die Koordinaten von R.
Berechnen Sie die Weglänge des Gewichts vom einem bis zum anderen Umkehrpunkt.
(5 P)
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
Ein Linienflugzeug bietet Platz für 220 Passagiere. Die Fluggesellschaft weiß, dass erfahrungsgemäß 7% aller Tickets; die für einen bestimmten Linienflug gekauft wurden, nicht in
Anspruch genommen werden (so genannte No-Shows). Deshalb verkauft die Gesellschaft in
der Regel mehr Tickets, als Plätze im Flugzeug vorhanden sind. Es wird angenommen, dass
die No-Show-Fälle unabhängig voneinander eintreten.
a) Mit welcher durchschnittlichen Anzahl an Fluggästen könnte man auf lange Sicht rechnen,
wenn für jeden Flug genau so viele Tickets verkauft werden, wie Plätze vorhanden sind?
Tatsächlich verkauft die Fluggesellschaft aber 235 Tickets pro Flug. Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass zu einem Flug genau 220 Passagiere erscheinen.
(2 P)
- 154 -
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zu einem Flug mehr Passagiere erscheinen, als Plätze vorhanden sind, wenn 235 Tickets pro Flug verkauft werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall bei zehn Linienflügen mindestens
dreimal auftritt?
Die Fluggesellschaft möchte künftig die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zwei Linienflügen in Folge jeweils mehr Passagiere erscheinen, als Plätze vorhanden sind, unter 1%
halten. Wie viele Tickets darf sie dann pro Flug höchstens verkaufen?
(5 P)
x3
= 15 P
S
LÖSUNGEN
Aufgabe 1
a)
Durch Mittelwertbildung zwischen
A und C erhält man S *  2 / 4 / 0 
1
H  7  S  2 / 4 / 7.
D
A
hr
M
Höhe in der Rautenfläche
x2
1
1
hr  xB  x A  4  0  4 m
R
x1
Raute
g
B
C
oder durch Ablesen.
VOLUMEN
1
1
1
V   g  hr  H    8  3  4  7   5  4  7  46 23 m3
3
3
3
b)
MITTELPUNKT
WINKEL
M  2 / 1, 5 / 0  
STREBE
0  0 
  

 0    2,5 
 1   7 
7
  


cos  
1 55, 25
55, 25
- 155 -
 22   0 
 
 

SM  1,5  4    2 ,5 
 0  7   7 

 

   19 ,7
(3 P)
KOORDINATEN VON R
(Von S aus geht man auf der Strebe entlang 5m in Richtung M und kommt nach R.)
 0 
 

SM   2,5   Länge der Strebe 
 7 


 0 


 2,5   55, 25
 7 






0 

 0   2 
 2 
5
7,5  




  

xR  xS  5  Einheitsvektor  xS 
  2,5    4   
   2,32 
55, 25 
    55, 25   2, 29 
 7   7  


35 


 55, 25 


Damit hat R die Koordinaten R(2 / 2,32 / 2,29).
BOGENLÄNGE  Kreisumfang 
2  2    r 19, 7 2    5 19, 7 19, 7  



 3, 4 m
360
180
180
18
(5 P)
Aufgabe 2
a)
ERWARTUNGSWERT FÜR ZAHL DER FLUGGÄSTE
Anzahl der Plätze n  220 / Wahrscheinlichkeit für Anspruch
p  1  0, 07  0,93
E  X   n  p  220  0,93  204,6
Man kann auf lange Sicht mit durchschnittlich etwa 205 Fluggästen rechnen.
(1 P)
WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR VOLLBELEGUNG
verkaufte Tickets n  235 /
p  0,93 / k  220
P  X  220   0, 09864  10%
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 10% erscheinen genau 220 Fluggäste.
(1 P)
b)
WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR ÜBERBUCHUNG
verkaufte Tickets n  235 /
p  0,93 / k  220
Wahrscheinlichkeit für Überbelegung  ?
P  X  220   1  P  X  220   1  0, 6809  0,3191  32%
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 32% ist ein Flug überbucht.
- 156 -
WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR MINDESRENS 3 ÜBERBUCHUNGEN BEI 10 FLÜGEN
Anzahl der Flüge : n  10
Wahrscheinlichkeit für Überbuchung eines Fluges : p  0,3191  siehe vorige Aufgabe 
Anzahl der überbuchten Flüge : k  3
P Y  3  1  P Y  2   1  0,3335  0, 6665  67%
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 67% sind mindestens 3 Flüge überbucht.
WIE VIELE TICKETS DÜRFEN HÖCHSTENS VERKAUFT WERDEN?
p  0,93 /
Anzahl der Passagiere : k  220
Ereignis  zwei Flüge in Folge sind mit weniger als
P  X  220   P  X  220   0, 01 
%
1
verkaufte Tickets : n  ? /
1  P  X  220 
Wahrsch. überbucht :
2
 0, 01  n  232
Es dürfen höchstens 231 Tickets verkauft werden.
(5 P)
ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
ABI 1-2016 H
x3
TRIBÜNE
C
Aufgabe 1
In einem Koordinatensystem beschreiben
1
1
x2
1
die Punkte A(15/0/0), B(15/20/0) und
C(0/20/6) Eckpunkte der rechteckigen
Nutzfläche der Tribüne (alle Koordinaten
x1
A
B
in Meter).
Die x1 x2 Ebene stellt den Boden dar. Die Eckpunkte der Dachfläche liegen vertikal über
den Eckpunkten der Nutzfläche. Die Dachfläche liegt in der durch E : x1  3 x3  27
beschriebenen Ebene (siehe Abbildung).
a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Nutzfläche liegt.
Berechnen Sie den Neigungswinkel der Nutzfläche gegen den Erdboden.
Ermitteln Sie den Inhalt der Nutzfläche.
(4 P)
- 157 -
b) Aus Sicherheitsgründen muss die senkrecht zum Erdboden verlaufende Rückwand zwischen der Nutzfläche und der Dachfläche mindestens 2,5 m hoch sein.
Überprüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist.
Zur Installation von Lautsprechern wird eine 5,2 m lange, senkrecht zum Erdboden verlaufende Stütze montiert. Ihre Enden werden an der Kante BC und am Dach der Tribüne fixiert.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes auf der Kante BC, in dem das untere Ende der
Stütze fixiert wird.
(4 P)
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
Bei einem Spiel wird ein idealer
Würfel verwendet, dessen Netz in
der Abbildung dargestellt ist.
a) Der Würfel wird 2-mal geworfen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme der
beiden Würfe 3 beträgt.
Nun wird der Würfel 12-mal geworfen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens 4-mal die
Augenzahl 2 zeigt.
Die Beschriftung des Würfels soll so geändert werden, dass man bei 12-maligem
Werfen des Würfels mit mindestens 99 % Wahrscheinlichkeit mindestens
4-mal die Augenzahl 3 erhält.
Auf wie vielen Seiten des Würfels muss dann die Augenzahl 3 mindestens stehen?
(4 P)
b) Ein Spieler hat die Vermutung, dass der ursprüngliche Würfel zu oft die Augenzahl 3
zeigt. Die Nullhypothese
Ho:„Die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl 3 beträgt höchstens 1/6."
soll durch eine Stichprobe mit 100 Würfen auf einem Signifikanzniveau von
1 % getestet werden.
Formulieren Sie die zugehörige Entscheidungsregel in Worten.
- 158 -
(3 P)
LÖSUNGEN
Aufgabe 1
a)
EBENE
WINKEL
FLÄCHE
ENutz :
x1 x2 x3

  1 | 30  ENutz : 2 x1  5 x3  30
15  6
 2 0
   
 00
5 1
5
   
cos  

29  1
29
   21,8
A Re chteck  20  152  62  323,1 m2
(4 P)
b)
DACHEBENE
ABSTAND
E : x1  3 x3  27 
E:
x
x1
 3 1
27 9
Höhe der Rückwand  9 m
d  9 m  6 m  3 m  2,5 m  Sicherheitsbedingung erfüllt .
D
x3
KANTE BC
 15 
 5 
  
 
x   20   t   0 
0
 2
 
 
C
5,2
S
P
1
1
x2
1
PUNKT D
D  0 / 20 / 9 
x1
A
PUNKT UNTERHALB VON D
B
P  0 / 20 / 9  5, 2   P  0 / 20 / 3,8 
PARALLELEBENE ZU E DURCH P
F : x1  3 x3  k
| P (0 / 20 / 3,8) einsetzen   3  3,8  k
F : x1  3 x3  11, 4
F  BC  15  5 t  3  2 t  11, 4   11 t  26, 4  t  2, 4
FUSSPUNKT DER STÜTZE
S  3 / 0 / 4,8 
- 159 -
(4 P)
Aufgabe 2
EINZELWAHRSCHEINLICHKEITEN
P 1 
3 1

6 2
P  2 
2 1

6 3
P  3 
1
6
a)
Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme der beiden Würfe 3 beträgt:
1 1 1 1 2 1
P  Augensumme bei 2 Würfen ist 3  P  2 und 1 oder P 1 und 2       
2 3 3 2 6 3
Wahrscheinlichkeit, dass bei n = 12 mindestens 4-mal die Augenzahl 2 erscheint:
P  X  4   1  P  X  3  0, 607  60, 7%
 mit GTR
1  binomcdf (12 , 1/ 3 , 3) 
Auf wie vielen Seiten des Würfels muss die Augenzahl 3 mindestens stehen, damit man diese
bei 12 Würfen mindestens 4-mal erhält?
P Y  4   1  P Y  3  0,99
p ist gesucht
FUNKTION eingeben
TABELLE k ablesen
P Y  4   1  P Y  3  0,99 
ERGEBNIS
p  0, 63 
p
4
 0, 66  4 Seiten
6
Auf mindestens 4 Seiten muss die Augenzahl 3 stehen.
b)
HYPOTHESENTEST
1
6
1
Gegenhypothese
H1 : p 
 rechtsseitiger Test
6
Stichprobenumfang
n  100
1
Wahrscheinlichkeit
p
6
Irrtumswahrscheinlichkeit   0, 01
Nullhypothese
H0 : p 
Erwartungswert
E
Ablehnungsbereich
100
 16, 67
6
A  k / ...... /100  k  ?
- 160 -
(4 P)
RECHNUNG
P  Z  k   1  P  Z  k  1  0, 01
k ist gesucht
FUNKTION eingeben
TABELLE k ablesen
ERGEBNIS
Der Ablehnungsbereich für H 0 ist A  27 / ...... /100 .
ENT.REGEL
Wenn die Augenzahl 27-mal oder öfter fällt, wird die Nullhypothese
verworfen.
(3 P)
ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
ABI 2-2016 H
PYRAMIDE
Aufgabe 1
Die Punkte A(0/-6/0), B(6/0/0), C(0/6/0) und S(0/0/5) sind die Eckpunkte der Pyramide
ABCS. Der Punkt M1 ist der Mittelpunkt der Kante AS und M2 ist der Mittelpunkt der Kante
CS. Die Ebene E verläuft durch M1 und M2 und B.
a)
Die Ebene E schneidet die Pyramide in einer Schnittfläche.
Stellen Sie die Pyramide und die Schnittfläche in einem Koordinatensystem dar.
Berechnen Sie den Umfang der Schnittfläche.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E.
Teilergebnis :
E : 5 x1  12 x3  30 
(4 P)
b)
Der Punkt Q liegt auf der Kante BS und bildet mit M1 und M2 ein rechtwinkliges
Dreieck. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q.
(3 P)
c)
Der Punkt Z liegt in der x1 x3 Ebene und im Innern der Pyramide ABCS.
Er hat von der Grundfläche ABC, der Seitenfläche ACS und von E den gleichen Abstand.
Bestimmen Sie die Koordinaten von Z.
(3 P)
- 161 -
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
Eine Tanzgruppe besteht aus 8 Anfängerpaaren und 4 Fortgeschrittenenpaaren. Aus der Erfahrung vergangener Jahre weiß man, dass Anfängerpaare mit einer Wahrscheinlichkeit von
90 % bei den abendlichen Tanzstunden anwesend sind, Fortgeschrittenenpaare mit einer
Wahrscheinlichkeit von 75 %. Man geht davon aus, dass die Entscheidungen der Tanzpaare
über die Teilnahme an der Tanzschule voneinander unabhängig sind.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem Abend alle Fortgeschrittenenpaare anwesend sind.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem Abend mindestens 6 Anfängerpaare und höchstens 3 Fortgeschrittenenpaare anwesend sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem Abend mindestens 11 Paare anwesend sind?
(5 P)
x3
LÖSUNGEN
Aufgabe 1
S
a)
M1
M2
2,5
1
A
x2
1
1
C
B
x1
MITTELPUNKTE
M 1  0 / 3 / 2, 5  und
M 2  0 / 3 / 2, 5  liegen auf gleicher Höhe.
UMFANG
U  BM1  BM 2  M1M 2  2  62  32  2,52  62  20,32 LE
- 162 -
E:
EBENE
oder
x
x1 x2

 3  1  E : 5 x1  12 x3  30
6  2,5
6
 6 
 6 
 15 
5
  
 





 
x   0   s   3   t   3   n   0    0 
0
 2,5 
 2,5 
 36 
12 
 






 
 5   x1   5   6 
       
 0    x2    0    0   E : 5 x1  12 x3  30
12   x  12   0 
   3    
(4 P)
b)
KANTE BS
6
 6
  
 
x  0  t  0 
0
 5 
 
 
BEWEGLICHER PUNKT
Q(6  6 t / 0 / 5 t )
WINKEL ZWISCHEN VEKTOREN
 66t   66t 
  
 

3
M 1Q  M 2Q  
Winkel  90
3   0

 5 t  2,5   5 t  2,5 

 

2
2
36  72 t  36 t  9  25 t  25 t  6, 25  0
97  36
61 t 2  97 t  33, 25  0  t1/2 
 t1   0,5  Q1  3 / 0 / 2,5 
122
und t2  1, 09  Der zu t2 gehörige Punkt liegt nicht auf BS .
(3 P)
c)
GLEICHE ABSTÄNDE ZU DREI EBENEN
Der gesuchte Punkt Z liegt in der x1 x3 Ebene 
Abstand zur Grundfläche ABC : x3  0
 dz
 d  z  Z z / 0 / z
Abstand zur Seitenfläche ACS : x1  0
Abstand zur Ebene : 5 x1  12 x3  30  0 mit
z
5  z  12  z  30
52  122
x2  0
dz 
z 1
 13 z   17 z  30    1
 Z 1/ 0 /1
 z2  7,5
Der zweite Punkt (für z = 7,5) entfällt, da er außerhalb der Pyramide liegt.
(3 P)
- 163 -
Aufgabe 2
a)
ANWESENHEIT ALLER FORTGESCHRITTENEN PAARE
P  alle Fortg . sind anwesend   0, 754  0, 316  31, 6%
(1 P)
b)
MINDESTENS 6 ANFÄNGER UND HÖCHSTENS 3 FORTGESCHRITTENE
Anfänger X :
P  mindestens 6   P  X  6  mit n  8 und p  0,9
Fortgeschritte Y : P  höchstens 3  P Y  3 mit n  4 und p  0, 75
(2 P)
P  X  6   P Y  3  1  P  X  5   P Y  3  0, 658  65,8%
c)
MINDESTENS 11 PAARE SIND ANWESEND
Entweder 8 Anfäger und 3 Fortgeschritte oder 7 Anfäger und 4 Fortgeschrittene :
P  X  8   P Y  3  P  X  7   P Y  4   0, 439  43,9%
ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
(2 P)
ABI 2-2016 H
x3
PYRAMIDE und EBENE
S
Aufgabe 1
C
1
und C(3 | 1 | 2,5) liegen in der Ebene E.
B
1
Die Punkte A(4,5 | 5 | 0) , B(1,5 | 4 |1,5)
O
x2
1
Sie bilden drei von vier Eckpunkten der
D
Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze
A
S(4,95 | 4,80 | 4,85) (siehe Abbildung).
a)
x1
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E.
Die Punkte A, B, C und D bilden ein Parallelogramm.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D.
Zeigen Sie, dass das Parallelogramm ein Quadrat ist.
Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Kante AS und der Ebene E.
(Teilergebnis: E : 2 x1  3 x2  6 x3  24 )
- 164 -
(5 P)
b)
In der Ebene E gibt es Punkte, die 5,25 Längeneinheiten von S entfernt sind. Diese Punkte
liegen auf einer Kreislinie.
Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius des zugehörigen Kreises.
sehr schwer
Untersuchen Sie, ob es auf der Kreislinie Punkte mit der x 3  Koordinate 3 gibt.
(5 P)
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
Ein Bogenschützenverein veranstaltet einen Tag der offenen Tür mit Bogenschießen.
a)
Ein Bogenschütze des Vereins trifft erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 %.
Am Tag der offenen Tür schießt er 50-mal.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er höchstens 30-mal trifft.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens 40-mal trifft.
(2 P)
b)
Der Verein bietet allen Besuchern folgendes Spiel an:
Für 3 € Einsatz darf man 3-mal schießen.
Bei höchstens 1 Treffer wird der Einsatz einbehalten.
Trifft der Besucher genau 2-mal, bekommt er seinen Einsatz zurück.
Wenn der Besucher 3-mal trifft, erhält er einen Gewinn.
Man geht davon aus, dass die meisten Besucher eine Trefferwahrscheinlichkeit
von 50 % haben.
Bestimmen Sie den Auszahlungsbetrag so, dass das Spiel für diese Besucher
fair ist.
(3 P)
= 15 P
- 165 -
LÖSUNGEN
Aufgabe 1
a)
EBENENGLEICHUNG
æ4,5ö
æ
ö
æ 1,5 ö÷
æ
ö æ
ö æ
ö æ ö
çç 3 ÷÷
çç
çç 3 ÷÷ çç 1,5 ÷÷ çç 3,5 ÷÷ çç2÷÷
÷
 ççç ÷÷÷

x = ç 5 ÷÷ + s ⋅ çç 1 ÷÷÷ + t ⋅ çç 4 ÷÷÷  n = çç 1 ÷÷÷´çç 4 ÷÷÷ = çç5, 25÷÷÷  çç3÷÷÷
çç ÷÷
çç
çç
çç
÷
÷
÷ ç
÷ ç
÷ ç ÷
çè 0 ÷ø
çè-1,5÷÷ø
çè-2,5ø÷÷
çè-1,5÷÷ø ççè-2,5÷÷ø èçç10,5ø÷÷ èçç6ø÷÷
æ2ö÷ æ4,5ö÷
çç ÷ çç ÷
E : 2 x1 + 3 x2 + 6 x3 = çç3÷÷÷⋅ çç 5 ÷÷÷ = 9 + 15 = 24
çç ÷÷ çç ÷÷
çè6ø÷ èç 0 ø÷
VIERTE ECKE
æ4,5ö æ1,5ö æ6ö
 çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷


xD = x A + BC = çç 5 ÷÷÷ + çç-3÷÷÷ = çç2÷÷÷  D (6 / 2 /1)
çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷
çè 0 ÷ø çè 1 ø÷ èç1ø÷
QUADRATNACHWEIS
æ 3 ÷ö æ1,5÷ö
  çç
÷ çç ÷
Winkel : BA ⋅ BC = çç 1 ÷÷÷⋅ çç-3÷÷÷ = 0  b = 90
çç
÷ç ÷
çè-1,5÷÷ø èçç 1 ÷÷ø
Seitenlänge


BA = BC = 3,5 LE  Das Parallelogramm ist ein Quadrat.
WINKEL ZWISCHEN KANTE UND EBENE
æ 0, 45 ö÷ æ2÷ö
çç
÷ç ÷
çç-0, 20÷÷⋅ ççç3÷÷
÷÷ ç ÷÷
çç
÷ç ÷
èç 4,85 ø÷ çè6÷ø
æ 0, 45 ö÷
 çç
÷
AS = çç-0, 20÷÷÷  sin a =
» 0,8615  a » 59, 49
çç
÷÷
23,
765
49
⋅
èç 4,85 ø÷
(5 P)
b)
 4,95 
 2
 

 
Lot von S auf E : x   4,8   t   3   Lot  E 
 4,85 
6


 
2   4,95  2 t   3   4,80  3 t   6   4,85  6 t   24  t   0, 6  M  3, 75 / 3 /1, 25 
Höhe des Kegels : h  MS  1, 22  1,82  3, 62  4, 2 LE
Radius des Kegels : r 2  h 2  5, 252
 r  5, 252  h 2  5, 252  4, 22  3,15 LE
- 166 -
KREISPUNKTE MIT X3-KOORDINATE = 3 (sehr schwer)
Punkte der Kreislinie sollen gleichzeitig in den beiden Ebenen liegen:
H : x3  3 waagerechte Ebene mit Höhe 3
E : 2 x1  3 x2  6 x3  24 Ebene mit Kreislinie
BESTIMMUNG DER SCHNITTGERADE
H : x3  3 waagerechte Ebene mit Höhe 3
E : 2 x1  3 x2  6 x3  24
x3  3
Setze
in 2 x1  3 x2  6 x3  24  2 x1  3 x2  18  24
x2  t
 2 x1  3 t  6 
x1  3  1,5 t
 3
 1,5 
  


Schnittgerade s : x   0   t   1 
 3
 0 
 


Der gesuchte Kreispunkt müsste auf der Schnittgerade s liegen und außerdem von der Kegelspitze den
Abstand 5,25 haben.
BEWEGLICHER PUNKT AUF DER GERADEN
B  3  1,5 t / t / 3 und
S  4,95 / 4,80 / 4,85 
Abstand der beiden Punkte : d (t ) 
 1,95  1,5 t    t  4,8
2
Die Abstandsfunktion d(t) und die Funktion y = 5,25 in den GTR
eingeben und dann nach gemeinsamen Punkten suchen oder
das Minimum von d(t) bestimmen.
ERGEBNIS
d min  5, 40  5, 25  Es gibt keine Kreispunkte mit x3  3.
- 167 -
2
 1,852
Aufgabe 2
a)
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Treffer.
X ist binomialverteilt mit n = 50 und p = 0,7.
Wahrscheinlichkeit für höchstens 30 Treffer:
P  X  30   0, 085  8,5% (GTR)
Wahrscheinlichkeit für mindestens 40 Treffer:
P  X  40   1  P  X  39   0, 079  7,9% (GTR)
(2 P)
b)
AUSZAHLUNGSBETRAG FÜR EIN FAIRES SPIEL
Die Zufallsvariable Y beschreibt die Anzahl der Treffer.
Y ist binomialverteilt mit n = 3 und p = 0,5.
Der Auszahlungsbetrag in Euro sei a.
Die Zufallsvariable G beschreibt den Gewinn in Euro.
E  G   P Y  1   3  P Y  2   0  P Y  3  ( a  3)  0
 0,5   3  0  0,125  (a  3)  0   1,5  0,125 a  0,375  0
0,125 a  1,875  a  15
ERGEBNIS Der Auszahlungsbetrag muss 15 € betragen, damit das Spiel fair ist.
(3 P)
ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
ABI 2-2016 N
EBENENSCHAR (sehr abstrakt)
Aufgabe 1
6
 4
  
Gegeben sind die Ebene E :  x1  x2  2 x3  5 und die Gerade g : x  10   t   2  .
5
 3
 
 
a)
Zeigen Sie, dass die Ebene E und die Gerade g parallel sind.
Bestimmen Sie den Abstand der Geraden g von der Ebene E.
Die Ebene F verläuft parallel zur Ebene E und die Gerade g liegt in der
Mitte zwischen E und F .
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von F.
- 168 -
(4 P)
b)
Eine Ebenenschar ist gegeben durch Ea :  a x1  2 x2  2 a x3  4 a  2 .
Zeigen Sie, dass keine Ebene der Schar orthogonal zur Geraden g ist.
Zeigen Sie, dass sich alle Ebenen der Schar Ea in einer Geraden schneiden.
Für welche Werte von a hat der Punkt P(6 |10 | 5) von Ea den Abstand 6?
(5 P)
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
Ein Händler bezieht Geräte von einem Lieferanten. In letzter Zeit mehren sich Reklamationen, die er wegen dieser Geräte erhält. Der Händler vermutet daher, dass mehr als 10 % der
gelieferten Geräte defekt sind.
a) Dem Händler wird empfohlen, einen Test auf einem Signifikanzniveau von 5 %
durchzuführen. Hierfür soll er von einem Mitarbeiter 200 Geräte prüfen lassen.
Formulieren Sie für die Nullhypothese
Ho: „Höchstens 10 % der Geräte sind defekt.“
die zugehörige Entscheidungsregel in Worten.
(3 P)
b) Der Händler entscheidet sich jedoch für eine andere Vorgehensweise und
übergibt zwei Mitarbeitern je 100 Geräte zur Überprüfung. Er beabsichtigt,
den Lieferanten zu wechseln, wenn mindestens einer der beiden Mitarbeiter
mehr als 10 defekte Geräte feststellt.
Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für einen Defekt beträgt 10 %.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wechselt er dennoch den Lieferanten?
(3 P)
= 15 P
- 169 -
LÖSUNGEN
Aufgabe 1
a)
NACHWEIS DER PARALLELITÄT
Die Ebene E und die Gerade g sind parallel, wenn der Normalenvektor von E und
der Richtungsvektor von g orthogonal sind.
æ-1ö÷ æ 4 ÷ö
çç ÷ çç ÷
Es gilt çç 1 ÷÷÷⋅ çç-2÷÷÷ = -4 - 2 + 6 = 0  E  g .
çç ÷÷ çç ÷÷
çè 2 ÷ø çè 3 ÷ø
ABSTAND
Abstand von g und E = Abstand von Q(6 |10 | 5) zu E:
d (Q; E ) =
-1⋅ 6 +1⋅10 + 2 ⋅ 5 - 5
6
=
9
» 3, 67 LE
6
KOORDINATENGLEICHUNG DER EBENE F
F  E  F : - x1 + x2 + 2 x3 = k
beliebiger Punkt in E  R (0 / 5 / 0)
beliebiger Punkt auf g  Q (6 /10 / 5)
durch Verdoppelung folgt Punkt auf F  S (12 /15 /10)
S in F  F : -12 +15 + 20 = k  k = 23
Parallelebene F : - x1 + x2 + 2 x3 = 23
b)
ORTHOGONALITÄT
Die Gleichung
æ 4 ö÷
æ-a ÷ö
çç ÷
çç ÷
÷
Die Gleichung çç-2÷÷ = k ⋅ çç 2 ÷÷÷ besitzt keine Lösung.
çç ÷÷
çç ÷÷
çè2 a÷ø
èç 3 ÷ø
Damit ist keine der Ebenen orthogonal zu g.
GEMEINSAME SCHNITTGERADE DER SCHAR
E1 :  x1  2 x2  2 x3  6  E0 : x2  1
Setze x3  t
  x1  2  2 t  6 
  x1  2  2 x3  6
x1   4  2 t
- 170 -
(4 P)
  4
 2
 

 
s : x   1   t  0
 0 
1


 
GERADENPROBE
  4
 2
 

 
s : x   1   t   0  in Ea :   a    4  2 t   2 1  2 a t  4 a  2
 0 
1


 
4 a 2 a t  2 2 a t  4 a  2  4 a  2  4 a  2
Damit schneiden sich alle Ebenen der Schar in der Geraden s.
EBENEN MIT DEM ABSTAND 6
d  P; Ea  
 6 a  20  10 a  4 a  2
a2  4  4 a2
18  6  5 a 2  4

18
5 a2  4
6 
 3  5 a2  4  9  5 a2  4 
a1/2  1
Für a = 1 und für a = -1 haben die Ebenen der Schar von P den Abstand 6.
(5 P)
Aufgabe 2
a)
HYPOTHESENTEST
H 0 : p  0,1
H1 : p  0,1
 Nullhypothese 
 Gegenhypothese 
P  X  k   0, 05 k ist gesucht.
Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test.
Gesucht ist die kleinste Zahl k mit
P  X  k   0, 05  1  P  X  k  1  0, 05 
k  28
Der Ablehnungsbereich ist A  28, ............ , 200 .
ENTSCHEIDUNGSREGEL
Bei mindestens 28 defekten Geräten man die Nullhypothese abgelehnt,
andernfalls wird die Nullhypothese angenommen.
(3 P)
- 171 -
b)
WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR EINEN WECHSEL
Die Zufallsvariable Y beschreibt die Anzahl der defekten Geräte beim ersten Mitarbeiter,
die Zufallsvariable Z beschreibt die Anzahl der defekten Geräte beim zweiten Mitarbeiter.
Y und Z sind binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,1.
Wahrscheinlichkeit für den Wechsel:
1  P Y  10   P  Z  10   0, 660  66%
Er wechselt den Lieferanten mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 66 %.
(3 P)
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 1-2017 H
CONTAINER
Ein Künstler teilt einen quaderförmigen Container durch einen ebenen
Schnitt in einen großen und einen
kleinen Teilkörper. Der Container
wird in einem Koordinatensystem als
Quader mit den Eckpunkten A(2/0/3),
B(2/10/3), C(0/10/3), D, F, G(2/10/0),
H und
O(0/0/0) dargestellt (Koordinatenangaben in Meter).
Die Ebene E schneidet die Kanten des Quaders in den Punkten R(2/9/3), S(2/10/2), T(0/10/1)
und Q(0/8/3). Der kleine Teilkörper hat also die Eckpunkte Q, R, S, T, B, C.
a)
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E.
Begründen Sie, dass es sich bei dem Viereck QRST um ein Trapez handelt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes QRST.
(Teilergebnis: E : - x1 + 2 x2 + 2 x3 = 22 )
(6,0 P)
b)
Der kleine Teilkörper wird mit den Schnittkanten nach unten auf den großen
Teilkörper gestellt.
Bestimmen Sie die Höhe des zusammengesetzten Körpers.
(1,5 P)
- 172 -
c)
Der Container besitzt eine Tür, die im geschlossenen Zustand durch das Viereck
ODAF dargestellt wird. Die Tür ist drehbar um die Kante, die durch die Strecke OD
beschrieben wird.
Jede Ebene Ta : a x1 + x2 = 0 ; a ³ 0 beschreibt eine mögliche Stellung dieser Tür.
Bestimmen Sie den Wert für a, für den der Öffnungswinkel der Tür 30° beträgt.
(2,5 P)
= 10 P
LÖSUNGEN
x3
Aufgabe 1
Q
D
C
A
R
1
S
T
H
1
x2
1
F
G
x1
a)
EBENENGLEICHUNG
æ2ö
æ 2 ö÷
æ ö
æ ö æ ö æ ö æ ö
çç ÷
çç2÷÷
çç 2 ÷÷ çç2÷÷ çç-2÷÷ çç-1÷÷
 ççç ÷÷÷

x = ç9÷÷ + s ⋅ çç-1÷÷÷ + t ⋅ çç1÷÷÷  n = çç-1÷÷÷´çç1÷÷÷ = çç 4 ÷÷÷  çç 2 ÷÷÷
çç ÷÷
çç ÷÷
çç ÷÷
çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷
çè3÷ø
çè 2 ÷ø
çè0÷ø
çè 2 ÷ø çè0÷ø çè 4 ÷ø çè 2 ÷ø
æ-1ö÷ æ2ö÷
çç ÷ çç ÷
E : - x1 + 2 x2 + 2 x3 = çç 2 ÷÷÷⋅ çç9÷÷÷ = -2 + 18 + 6 = 22
çç ÷÷ çç ÷÷
èç 2 ø÷ çè3÷ø
(1,5 P)
TRAPEZNACHWEIS
æ0ö
æ0ö
 çç ÷÷
 çç ÷÷
÷
Die Vekoren RS = çç 1 ÷÷ und QT = çç 2 ÷÷÷ sind parallel  Trapez.
çç ÷÷
çç ÷÷
èç-1÷ø
èç-2ø÷
(1,5 P)
- 173 -
TRAPEZHÖHE
æ0ö
æ 0 ö÷
çç ÷
 ççç ÷÷÷
Gerade QT : x = ç8÷÷ + t ⋅ çç 1 ÷÷÷ und
çç ÷÷
çç ÷÷
çè3÷ø
èç-1ø÷
Trapezecke R (2 / 9 / 3)
æ 0 ö÷ æ2ö÷
çç ÷ çç ÷
H : x2 - x3 = çç 1 ÷÷÷⋅ çç9÷÷÷ = 9 - 3 = 6  H Ç QT
çç ÷÷ çç ÷÷
çè-1÷ø çè3÷ø
 8+ t -3+ t = 6
t = 0,5  F (0 / 8,5 / 2,5)  h = RF = 2 2 + 0,52 + 0,52 = 4,5
FLÄCHENINHALT
A=
a+c
2+ 8
9 + 36 3 + 6
⋅h =
⋅ 4,5 =
=
= 4,5 FE
2
2
2
2
(3,0 P)
b)
KÖRPERHÖHE
Abstand des Punkte C zur Ebene E
d
20  6  22
9
 1,33 m
Der große Teilkörper hat eine Höhe von 3m. Somit beträgt die Höhe des zusammengesetzten
Körpers 4,33 m.
(1,5 P)
c)
CONTAINER TÜR BEI 30°
æaö÷
çç ÷
Ta : a x1 + x2 = 0  çç1÷÷÷ und
çç ÷÷
èç0÷ø
cos (30) =
æaö÷ æ0ö÷
çç ÷ çç ÷
÷ ÷
ççç1÷÷⋅ ççç1÷÷
çç0÷÷÷ çç0÷÷÷
è øè ø
2
a +1
=
1
2
a +1
æ ö
çç0÷÷
x1 x3 Ebene  çç1÷÷÷
çç ÷÷
çè0÷ø
= 0,866  a 2 +1 = 1,333  a = 0,3333 » 0,577
(2,5 P)
- 174 -
STOCHASTIK
ABI 1-2017 H
Die Tabelle zeigt die prozentualen Anteile einiger Farben der in Deutschland fahrenden
Autos:
Farbe
silber oder grau
schwarz
weiß
Anteil
29,9%
28,8%
15,1%
Diese Anteile werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten der jeweiligen
Autofarben verwendet.
Zwei Kinder beobachten vorbeifahrende Autos und achten auf deren Farbe.
a) Zunächst beobachten die beiden Kinder 80 Autos.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A: ,,Genau 22 Autos sind silbern oder grau."
B: ,,Mindestens 33 Autos sind schwarz."
C: ,,Unter den ersten zehn Autos sind mindestens drei, die keine der in der Tabelle
angegebenen Farben haben, und von den anderen 70 Autos sind höchstens 20 schwarz."
(3,0 P)
b) Wie hoch müsste der Anteil der schwarzen Autos mindestens sein, damit mit einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% unter 100 beobachteten Autos
mindestens 28 schwarz sind?
(2,0 P)
c) Das eine Kind bietet dem anderen folgendes Spiel an:
„Wenn von den nächsten vier Autos mindestens drei hintereinander nicht schwarz sind, bekommst du von mir ein Gummibärchen, ansonsten bekomme ich eines von dir“.
Untersuchen Sie, ob dieses Spiel fair ist.
(2,5 P)
d) Es wird vermutet, dass der Anteil p der weißen Autos zugenommen hat.
Um dies zu überprüfen, wird die Nullhypothese H 0 : p  0,151 auf dem
Signifikanzniveau 10 % getestet. Dazu werden die Farben von 500 Autos erfasst.
Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.
(2,5 P)
= 10 P
- 175 -
LÖSUNGEN
a)
Ereignis A: ,,Genau 22 Autos sind silbern oder grau."
P ( A) = P ( X 1 = 22) » 0, 089 » 8,9%
n = 80
(0,5 P)
p = 0, 299 k = 22  binom pdf (n, p, k ) mit GTR
Ereignis B: ,,Mindestens 33 Autos sind schwarz."
P ( B ) = P ( X 2 ³ 33) = 1- P ( X £ 32) » 0, 0115 » 1,15%
n = 80
(1,0 P)
p = 0, 288 k £ 32  1- binom cdf (n, p, k ) mit GTR
Ereignis C: ,,Unter den ersten zehn Autos sind mindestens drei, die keine der in der Tabelle
angegebenen Farben haben, und von den anderen 70 Autos sind höchstens 20 schwarz."
P ( X 3 ³ 3) = 1- P ( X £ 2) » 0,5101

1- binom cdf ( n, p, k )
n = 10
p = 0, 262 k = 2
P ( X £ 20) » 0,5431

binom cdf (n, p, k ) mit
n = 70
p = 0, 288 k = 20
P (C ) = P ( X 3 ³ 3)⋅ P ( X £ 20) » 0,5101⋅ 0,5431 » 0, 2770 » 27, 7%
(1,5 P)
b)
MINDESTANTEIL DER SCHWARZEN AUTOS
P ( X 5 ³ 28) = 1- P ( X £ 27) ³ 0,95 
n = 100
p » 0,3527 » 35, 27%
p = ??? k = 27  1- binom cdf (n, p, k ) mit GTR
ERGEBNIS: Mindestens 35,27% der Autos müssten schwarz sein.
(2,0 P)
c)
FAIRES SPIEL
P (Gewinn) = P ( sss) + P ( ssss) = (1- 0, 288) + 0, 288 ⋅ (1- 0, 288) » 0, 465
3
3
P (Verlust ) = 1- P (Gewinn) » 0,535
ERGEBNIS: Da die Wahrscheinlichkeit, zu verlieren größer ist als zu gewinnen, ist das Spiel
nicht fair.
(2,5 P)
- 176 -
d)
HYPOTHESENTEST
H 0 : p  0,151
H1 : p  0,151
 Nullhypothese 
 Gegenhypothese 
P  X  k   0,1 k ist gesucht.
Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test.
Gesucht ist die kleinste Zahl k mit P  X  k   0,1  1  P  X  k  1  0,1  k  87
Der Ablehnungsbereich ist A  87, ............ ,500 .
ENTSCHEIDUNGSREGEL
Sind unter den 500 Autos mindestens 87 weiße Autos, so wird die Nullhypothese verworfen,
andernfalls wird sie angenommen.
(2,5 P)
ANALYTISCHE GEOMETRIE
ABI 2-2017 H
FLUGBAHNEN
Zwei Flugzeuge F1 und F2 bewegen sich geradlinig mit jeweils konstanter Geschwindigkeit
über dem offenen Meer. In einem Koordinatensystem beschreibt dabei die x1 x2  Ebene die
Meeresoberfläche. Die Beobachtung der Flugzeuge beginnt um 14.00 Uhr.
Die Flugbahn von F1 wird beschrieben durch die Gleichung
 15 
  4
 



g1 : x   6   t   12  (t in Minuten nach Beobachtungsbeginn).
 3, 4 
 0,3 




Der Punkt P(-17/54/3,2) beschreibt die Position von F2 um 14.00 Uhr, der Punkt O(1/36/3,8)
die Position von F2 um 14.03 Uhr (1 LE entspricht 1 km).
- 177 -
a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit von F1 in km/min.
Bestimmen sie den Zeitpunkt, zu dem F1 eine Höhe von 4,9 km erreicht.
Berechnen Sie die Weite des Winkels, mit dem das Flugzeug F2 steigt.
(3 P)
b) Die Flugbahnen von F1 und F2 schneiden sich.
Aus Sicherheitsgründen müssen die Zeitpunkte, zu denen die Flugzeuge den Schnittpunkt
ihrer Flugbahnen durchfliegen, mindestens eine Minute auseinander liegen.
Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist.
(3 P)
c) Die Position eines Ballons wird durch den Punkt B(6/43/4,3) beschrieben.
Bestimmen Sie einen Zeitpunkt t0, zu dem beide Flugzeuge denselben Abstand vom Ballon
haben.
Die Punkte auf der Meeresoberfläche, die zum Zeitpunkt t0 ebenfalls von beiden Flugzeugen
gleich weit entfernt sind, liegen auf einer Geraden.
Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung dieser Geraden
bestimmen kann.
(4 P)
= 10 P
LÖSUNGEN
a)
GESCHWINDIGKEIT
ZEITPUNKT
WINKEL
  4


v   12   42  122  0,32  12, 65 km / min
 0,3 


Höhe  3, 4  0,3 t  4,9  t  5
Um 14.05 Uhr erreicht das Flugzeug die Höhe 4,9 km.
0
 18   0 
  

  
PQ   0 
 18    0 
1
 0, 6   1 
0, 6
 

  


sin  
....
648,36
182  182  0, 6 2
   1, 4
Das Flugzeug steigt mit einem Winkel von 1,4°.
(3 P)
- 178 -
b)
SICHERHEITSBEDINGUNG
 15 
  4
 



erste Flugbahn g1 : x   6   t   12 
 3, 4 
 0,3 




 17 
 6 
 



zweite Flugbahn g 2 : x   54   s    6 
 3, 2 
 0, 2 




g1  g 2
 t  2 und
s4
Das Flugzeug F2 durchfliegt den Schnittpunkt somit zwei Minuten später als Flugzeug F1.
Damit ist die Sicherheitsbedingung erfüllt.
(3 P)
c)
ZEITPUNKT MIT GLEICHEM ABSTAND
Abstand Ballon zu F1 : d1 (t ) 
15  4t  6    6  12t  43   3, 4  0,3t  4,3
Abstand Ballon zu F2 : d 2 (t ) 
 17  6t  6    54  6t  43   3, 2  0, 2t  4,3
2
2
2
2
2
2
Setze d1 (t )  d 2 (t )  t0  2,3 bzw. t0  4, 0 ( mit GTR )
(2 P)
VERFAHREN ZUR BESTIMMUNG EINER GERADENGLEICHUNG
Zunächst bestimmt man zum Zeitpunkt t0 die Positionen der beiden Flugzeuge.
 
Man erhält P1 und P2 und den Verbindungsvektor n  P1 P 2 .
Der Ballon B ist von P1 und P2 gleich weit entfernt.
Alle weiteren Punkte, welche ebenfalls von P1 und P2 gleich weit entfernt sind , liegen in der
   
Hilfsebene (  Mittelebene) H : n  x  n  xB
Indem man die Ebene H mit der x1 x2 Ebene schneidet, erhält man die gesuchte Gerade.
(2 P)
- 179 -
STOCHASTIK
ABI 2-2017 H
Bei dem dargestellten Glücksspielautomaten sind zwei
Glücksräder G1 und G2 mit fünf bzw. vier gleich großen
Kreissektoren angebracht.
Bei jedem Spiel werden sie in Drehung versetzt und laufen
dann unabhängig voneinander aus. Schließlich bleiben sie
so stehen, dass von jedem Rad genau eine Zahl im Rahmen angezeigt wird. Der Spieleinsatz
beträgt 2 €. Sind die beiden angezeigten Zahlen gleich, so wird deren Summe in Euro ausgezahlt; andernfalls wird nichts ausgezahlt. Der Hauptgewinn besteht also darin, dass 16 € ausgezahlt werden.
a) Ein Spieler spielt zehn Mal. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A: ,,Das Glücksrad G1 zeigt genau fünf Mal die Zahl 1."
B: ,,Beim ersten Spiel beträgt die Summe der beiden angezeigten Zahlen 10."
C: ,,Der Spieler erhält mindestens einmal den Hauptgewinn."
(3 P)
b) Mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % soll in mindestens einem Spiel
der Hauptgewinn erzielt werden.
Berechnen Sie, wie oft man dazu mindestens spielen muss.
(2 P)
c) Berechnen Sie, wie viel der Betreiber auf lange Sicht durchschnittlich pro Spiel
verdient.
(2 P)
d) Der Betreiber möchte erreichen, dass bei zehn Spielen die Wahrscheinlichkeit
für mindestens einen Hauptgewinn maximal 25 % beträgt.
Dazu möchte er beim Glücksrad G2 den Mittelpunktswinkel des Kreissektors verändern,
der mit der Zahl 8 beschriftet ist.
Berechnen Sie, wie weit der Mittelpunktswinkel dieses Kreissektors maximal gewählt
werden darf.
(3 P)
= 10 P
- 180 -
LÖSUNGEN
a)
Ereignis A: ,,Das Glücksrad G1 zeigt genau fünf Mal die Zahl 1."
P ( A) = P ( X 1 = 5) » 0, 201 » 20,1%
n = 10
p = 0, 4 k = 5  binom pdf (n, p, k ) mit GTR
(0,5 P)
Ereignis B: ,,Beim ersten Spiel beträgt die Summe der beiden angezeigten Zahlen 10."
2 1 1 1
P ( B ) = P (2 / 8) + P (8 / 2) = ⋅ + ⋅ = 0, 2 = 20%
5 4 5 2
(1,0 P)
Ereignis C: ,,Der Spieler erhält mindestens einmal den Hauptgewinn."
P (C ) = P ( X 2 ³ 1) = 1- P ( X = 0) = 1- 0,5987 » 0, 401 » 40,1%
n = 10
1 1
1
= 0, 05 k ³ 1
p= ⋅ =
5 4 20
1- binom cdf (n, p, k -1)
(1,5 P)
b)
MINDESTZAHL DER SPIELE
P ( X 3 ³ 1) ³ 0,95  1- P ( X = 0) ³ 0,95  n = 59
n = ???
p = 0, 05 k ³ 1
1- binom cdf (n, p, k -1)
ERGEBNIS
Man muss mindestens 59-mal spielen.
(2,0 P)
c)
DURCHSCHNITTLICHER VERDIENST PRO SPIEL
G ( X ) = P (1/1)⋅ (2 - 2) + P (2 / 2)⋅ (2 - 4) + P (8 / 8)⋅ (2 -16) + P ( sonst )⋅ (2 - 0) =
=
2 1
1 1
13
-8 -14 + 26
4
2 1
=
= 0, 20 €
⋅ ⋅ 0 + ⋅ ⋅ (-2) + ⋅ ⋅ (-14) + ⋅ 2 =
5 2
5 4
20
20
20
5 4
ERGEBNIS
Auf lange Sicht verdient der Betreiber durchschnittlich 20 Cent pro Spiel.
(2,0 P)
- 181 -
d)
MITTELPUNKTSWINKEL
1 a
p= ⋅
= ??? k ³ 1
5 360
Für den Hauptgewinn soll gelten : n = 10
Ansatz mit GTR : 1- binom cdf (n, p, k -1)
P ( X ³ 1) £ 0, 25  1- P ( X = 0) £ 0, 25 
1 a
p= ⋅
» 0, 0283  a » 51
5 360
Der Mittelpunktswinkel des Kreissektors mit der Zahl 8 darf eine Weite von
maximal 51,0° haben.
(3,0 P)
- 182 -
FORMELSAMMLUNG
Analytische Geometrie
- 183 -
EBENENGLEICHUNGEN
GERADENGLEICHUNGEN
Koordinatenebenen und Parallelebenen
Parameterform
 


g : x  x0  t   x0  x1 

 
a
Den Richtungsvektor darf man kürzen.
x1 x2 Ebene : x3  0 und
x3  c
x2 x3 Ebene : x1  0 und
x1  a
x1 x3 Ebene : x2  0 und
x2  b
Achsenabschnittsform
P
x
x1
x
 2  3  1 zum Zeichnen
a
b
c
 A
  
n  B
C 
 
Lot auf eine Ebene
 

Lot : x  xP  t  n
Spurpunkte
S1  a / 0 / 0 
S2 0 / b / 0 
S3  0 / 0 / c 
E
Spurgeraden
Achsenschnittpunkte werden abgelesen.
Koordinatenform
A  x1  B  x2  C  x3  D  0
für D  0
x2  0 
A  x1  C  x3  D  0
x3  0 
A  x1  B  x2  D  0
mit den Koordinatenebenen.
1

x1 Achse : x  t   0 
 
 0
Parameterform
 




x  x0  s   x0  x1   t   x0  x2 


 
 
a
b
Richtungsvektoren darf man kürzen.
 A
    
n  a  b   B
C 
 
B  x2  C  x3  D  0
Schnittgeraden einer Ebene
 Ursprungsebene
Normalenvektor der Ebene
x1  0 
 0

x2 Achse : x  t   1 
 
 0
 0

x3 Achse : x  t   0 
 
1
Achsen
P
  !
senkrecht stehen : a  b  0
 ! 
parallel sein :
a  k b
 A
  
n  B
C 
 
E
WINKEL
Normalform der Ebenengleichung
  
   
n  ( x  x0 )  0  n  x  n  x0
Gerade – Gerade
 A   x1 
     
 B    x2   n  x0   D
C   x 
   3
A  x1  B  x2  C  x3  D  0
Ebene - Ebene
Gerade - Ebene
Hesse-Normal-Form
A  x1  B  x2  C  x3  D
A2  B 2  C 2
 
| a b |
cos    
| a || b |
 
| n1  n2 |
cos   

| n1 |  | n2 |
 
| an |
sin    
| a || n |
BETRAG = Länge eines Vektors
0

a 
- 184 -
a12  a2 2  a32
ABSTÄNDE
MITTELPUNKT einer Strecke
Punkt A – Punkt B
 a  b1
M 1
2

AB 
a1  b1 2  a2  b2 2  a3  b3 2 oder
AB 
x1 
2
 x2   x3 
2
a2  b2
2
B
M
A
2
Punkt P – Ebene E
SCHNITTPUNKTE
(gilt auch für den Abstand zwischen parallelen Ebenen)
Gerade – Ebene:
d
a3  b3 

2

g komponentenweise einsetzen in E (in
Koordinatenform)  t S  S
A  p1  B  p2  C  p3  D
A2  B 2  C 2
Gerade – Gerade:
g1 und g2 komponentenweise gleichsetzen

Ursprung – Ebene E
System mit 3 Gleichungen und 2 Unbek.
D
d
A B C
2
2
2
aus 2 Zeilen berechne s und t,
für die 3. Zeile mache die Probe.
Falls kein Widerspruch
windschiefe Geraden g1 und g2
 

g : x  x0  s  a
  

 n  ab
 
h : x  xP  t  b
  
Hilfsebene :  x  x0   n  0
Ebene - Ebene
1.Mögl.:
A  p1  B  p2  C  p3  D
A B C
2
2
S
SCHNITTGERADE
H : A x1  B x2  C x3  D  0
d

E1 (Koordinatenform) und E2 (Koordinatenform): Je zwei entsprechende Spurgeraden schneiden
 S1 und S2  g
2
Punkt P- Gerade g
   
Stelle eine Hilfsebene H : n  x  n  xP
auf und schneide die Gerade g mit H. Man
erhält den Lotfußpunkt F.  d  PF
2.Mögl.:
Setze z.B. x1  t  x2 und x3  g
3.Mögl.:
g
P0
 
na
F
a
E1 (Parameterform) einsetzen in E2 (Koordinatenform)  s  a  t  b  einsetzen in E1  g in Parameterform
P
4. Mögl.:
  
a  n1  n2 und S1  g
- 185 -
GEGENSEITIGE LAGE von Geraden
NORMIERUNG eines Vektors
windschief


a    b , d. h. verschiedene Richtungen
Wird ein Vektor durch seine Länge geteilt,
erhält man den entsprechenden Einheits-
und kein Schnittpunkt
vektor mit der Länge 1.
Schnitt


a    b , d. h. verschiedene Richtungen
Dieser heißt normierter Vektor.
und ein Schnittpunkt existiert
LÄNGE
 a1 
  
a   a2 
a 
 3

a  a12  a2 2  a32
NORMIERT

a0 
VEKTOR
parallel


a    b ,d. h. gleiche Richtung
und P1,2 liegt nicht auf g2,1 (Punktprobe)
identisch


a    b , d.h. gleiche Richtung
 a1 
 
 a
2
2
2  2
a1  a2  a3  
 a3 
1
und P1,2 liegt auf g2,1 (Punktprobe)
PUNKTPROBE
Beim Einsetzen eines Punktes P in eine
SONSTIGE FORMELN
Geradengleichung müssen sich 3 gleiche
Flächen
Parameterwerte ergeben,, wenn P auf g
ADreieck  12  g  h
Sonderfall
 
ADreieck  12 | a  b | oder 12  a  b  sin 
 
AParallelogr  | a  b | oder a  b  sin 
liegen soll – sonst liegt P nicht auf g.
ATrapez 
ARaute 
BEWEGLICHER PUNKT
Liegt ein Punkt P auf einer Geraden g, so
ac
h
2
kann man die Koordinaten des Punktes mit
Hilfe des Parameters t als variable Koordi-
e f
naten darstellen.
2
BEISPIEL
AKreis    r und U Kreis  2    r
2
2
3
  
 
g : x   5   t   1  
4
2
 
 
P  2  3t / 5  t / 4  2t 
Volumen
VPyramide
  
 13 | (a  b )  c | 
 13 G  h oder    
1
 6 | (a  b )  c | 
Spatvolumen
  
VSPAT  G  h oder | (a  b )  c |
- 186 -