11. ¨Ubungsserie
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Dr. Udo Lorz Wahrscheinlichkeitstheorie Sommersemester 2017 11. Übungsserie Besprechung in der Übung am 14. Juni 2017 Aufgabe 1 (4 Punkte) Von einem Schützen beim Bergstadtfest, der in einer Schießbude auf eine kreisförmige Zielscheibe Kpµ, Rq “ tx P R2 : }x ´ µ} ď Ru, µ P R2 , R ą 0, zielt, sei angenommen, dass seine (punktförmigen) Treffer einer zweidimensionalen Normalverteilung mit Erwartungsvektor µ und Kovarianzmatrix ˆ 2 ˙ σ 0 Σ“ , σ 2 ą 0, 0 σ2 folgen. Das Schwarze“ ist ebenfalls ein Kreis Kpµ, Sq mit Radius S ă R. Konkret seien ” im Folgenden R “ 10, S “ 1 und σ 2 “ 16. a) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Schütze bei einem Schuss ins Schwarze“ trifft. ” b) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Schütze bei einem Schuss überhaupt die Zielscheibe trifft. c) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Schütze bei zehn Schüssen mindestens zweimal ins Schwarze“ trifft. ” d) Der Schütze nimmt sich vor, nach dem zweiten Treffer ins Schwarze“ keine weiteren ” Schüsse abzugeben. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Schütze nach höchstens zehn Schüssen nach Hause gehen kann. Aufgabe 2 (3 Punkte) Für die Zufallsgröße X mit der Verteilungsdichte fX und die messbare Menge B P B bestimme man jeweils die bedingte Verteilung von X|X P B in Form der Verteilungsfunktion FX|XPB pxq “ P pX ă x|X P Bq 1 sowie der zugehörigen Verteilungsdichte fX|XPB pxq “ FX|XPB pxq. a) Für ´8 ă a ă c ă d ă b ă 8 sei B “ rc, ds und fX pxq “ 1 Ira,bs pxq, b´a x P R. b) Für λ ą 0 und t ą 0 sei B “ rt, 8q und fX pxq “ λ e´λx Ip0,8q pxq, x P R. c) Für λ ą 0 sei B “ r0, 8q und fX pxq “ λ ´λ|x| e , 2 x P R. Dr. Udo Lorz Wahrscheinlichkeitstheorie Sommersemester 2017 Aufgabe 3 (3 Punkte) Es seien Ω “ t0,1u3 , F “ PpΩq und P die diskrete Gleichverteilung auf Ω. Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, P q seien die Zufallsgrößen Xn pωq “ n ÿ ωi für ω “ pω1 , ω2 , ω3 q P Ω und n “ 1,2,3 i“1 definiert. Weiterhin seien Zn “ ttXn “ 0u, . . . , tXn “ nuu für n “ 1,2,3 endliche Zerlegungen von Ω. Man zeige, dass für n “ 1,2,3 gilt E pX3 | Zn q “ Xn ` Aufgabe 4 3´n . 2 (2 Punkte) Es seien Ω “ r0,1q, F “ r0,1q X B und P die Einschränkung des Lebesgue-Borelschen Maßes auf Ω. Weiterhin sei ˙ * "„ i´1 i , , i “ 1, . . . , n für n P N Zn “ n n eine endliche Zerlegung von Ω. Man bestimme den bedingten Erwartungswert E pX|Zn q der Zufallsgröße X auf dem Wahrscheinlichkeitsraum pΩ, F, P q bezüglich der Zerlegung Zn für den Fall a) Xpωq “ ω und b) Xpωq “ ω 2 .
