Mathematik I Lösungen zu Übung 2

ASW
Mathematik I Lösungen zu Übung 2
Zu Aufgabe 1)
(direkter Beweis)
Zu a)
Beweis: (direkt)
Es ist h(x) = f(x)*g(x) = -f(x)* (-g(x))

Voraussetzung
f(-x)*g(-x) = h(-x).
q.e.d
Zu b)
Beweis: (direkt)
Es ist:
n
(1  q ) q i q  q 2    q n  (q 2  q 3    q n  q n 1 )  q  q n 1  q (1  q n )
i 1
n
  qi 
i 1
q (1  q n )
1 q
q.e.d
Zu Aufgabe 2)
(direkter Beweis)
Zu a)
Vor: mN sei durch 3 teilbar
Beh: m2 ist durch 3 teilbar
Beweis: (direkt)
Sei m durch 3 teilbar  kN:m=3k m2=k232 = (3k2)3 m2 ist durch 3 teilbar!
qed.
Zu b)
n3  2 1
Satz: Für alle nN gilt: 5

n  n n2
Beweis: (direkt)
n3  2 1
1
Es gilt:
 2  n 5  2n 2  n 5  n  2n 2  n  2n  1  n  .
5
2
n n n
Da für alle natürlichen Zahlen n 1 n > ½ gilt, ist die Behauptung des Satzes (aufgrund
der Äquivalenz zur Aussage n > ½) wahr.
qed.
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Zu Aufgabe 3 )
(Indirekter Beweis)
Zu a)
Vor: a > b, a,b N
ab
a
Beh:
ist unkürzbar  ist unkürzbar
ab
b
Beweis: (indirekt)
a
a  b k ( p  q)
Sei
kürzbar kN: a = kp und b = kq 
ist ebenfalls (durch k)

b
a  b k ( p  q)
kürzbar.
qed.
Zu b)
Beh: Die Menge der positiven rationalen Zahlen hat kein Minimum.
Beweis: (indirekt)
Angenommen, die Menge – wir bezeichnen sie mit Q+ - der positiven rationalen Zahlen
m
m
hat ein Minimum x* = Q+. Dann gilt: x  Q  :  x .
n
n
m
m
Sei x =
. Offensichtlich ist x =  Q+ aber x < x*. Das ist ein Wiederspruch.
2n
2n
Folglich kann es kein Minimum in Q+ geben.
qed.
Zu Aufgabe 4)
(Vollständige Induktion)
Zu a)
n
Satz: Beh.: n  1 : 1  3  5  ...  2 * n  1   (2i  1) n 2
i 1
Beweis: (Vollst. Induktion)
IA: n=1: LS=1, RS=1 --> LS=RS
qed.
IS: Vor.: 1  3  5  ...  2 * n  1  n 2
Beh.: 1  3  5  ...  2 * n  1  (n  1) 2
Bew.:
LS Beh  1  3  5  ...  (2n  1)  1  3  5  ...  (2n  1)  (2n  1)
zerlegen
RS

der
n  (2n  1)
2
Vor .
 (n  1) 2  RS Beh.
umformen
q.e.d
Zu b)
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Satz: Beh.: n  N : 2 n  (n  1)!
Beweis: (Vollst. Induktion)
IA: n=1: LS=2, RS=2 --> LS=RS
qed.
IS: Vor.: 2 n  (n  1)!
Beh.: 2 n 1  (n  2)!
Bew.:
LS Beh  2 n 1  2 n  2
zerlegen
RS

der
Vor .
(n  1)!2  (n  1)!(n  2)  (n  2)! RS Beh.
q.e.d
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