Klasse_6

KORRESPONDENZZIRKEL MATHEMATIK
Regierungsbezirk Chemnitz
Aufgaben
Klasse 6
2016/17
Serie 6
__________________________________________________________________________
1) Ruth, Marion und Petra treiben begeistert Sport. Die eine spielt Tischtennis, die andere
Volleyball, die dritte ist Schwimmerin. Es ist Folgendes bekannt:
(1) Marion leiht sich von der Volleyballspielerin gern gute Bücher aus.
(2) Die Volleyballspielerin und Petra haben an der Mathematik-Olympiade teilgenommen.
(3) Marion geht in eine höhere Klasse als die Tischtennisspielerin.
Weise nach, dass aus den Angaben (1), (2) und (3) genau eine Zuordnung zwischen den
Personen und den Sportarten hergeleitet werden kann und gib die gesuchte Zuordnung an.
(5 P.)
2) Die Summe zweier natürlicher Zahlen beträgt 177 .Teilt man die größere der beiden
Zahlen durch die kleinere, dann erhält man 3 und den Rest 9 .
Zeige, dass sich die beiden Zahlen aus diesen Angaben eindeutig ermitteln lassen.
Wie heißen die beiden Zahlen?
(5 P.)
3) In einem alten Rechenbuch findet man die folgende Aufgabe :
Die für ein Bauwesen nötigen Materialien könnten durch 10 mit Pferden bespannten Wagen
in 24 Tagen, durch 10 mit Ochsen bespannten Wagen in 32 Tagen beigeführt werden.
Nachdem 5 Pferdefuhrwerke schon 12 Tage beiführten, soll die Beifuhr so beschleunigt
werden, dass in weiteren 9 Tagen vollends alles beigeführt wird.
Wie viel Ochsenkarren sind noch einzustellen?
(5 P.)
4) Beweise folgende Sätze :
a) Die Summe aus vier aufeinander folgenden ungeraden Zahlen ist stets durch 8 teilbar.
b) Wenn eine Zahl a bei Division durch 5 den Rest 3 lässt, und wenn eine Zahl b bei
Division durch 6 ebenfalls den Rest 3 lässt, dann ist das Produkt der Zahlen a und b
stets durch 3 teilbar.
(5 P.)
[Wiederhole: „Lösen von Gleichungen durch Umformen“, Aufg./Ser.1; „Hinweis auf einige logische
Grundlagen“, Lö./Ser.1, S.4; „Bemerkungen zum Distributivgesetz“, Lö./Ser.5, S.3; „Zum Beweisen
von Sätzen aus der Teilbarkeitslehre“, Lö./Ser.5, S.4 .]
___________________________________________________________________________________________________
Das Beweisen von mathematischen Sätzen
Wahre mathematische Aussagen nennt man Lehrsätze oder kurz Sätze.
Jeder mathematische Satz enthält Voraussetzungen (V1, V2 , ...) und eine Behauptung (Beh)
und lässt sich in der „Wenn-dann-Form“ formulieren:
Wenn (V1 und V2 und ... und Vn) gilt, dann gilt auch (Beh) .
Ein Beweis ist erbracht, wenn man von den Voraussetzungen ausgehend in endlich vielen
Schritten über abgeleitete Feststellungen zur Behauptung gelangt, wobei jeder Beweisschritt
durch die Angabe des verwendeten Beweismittels (Satz, Formel, Umformungsregel,
Definition o.ä.) begründet werden muss.
Satz: Das Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Zahl ist stets gerade.
V1: x ist gerade ; V2: y ist ungerade ;
Beh.: x·y ist gerade .
Beweis:
Aus V1
folgt (1)
x = 2·m
mit m  N ; [nach Definition] .
Aus V2
folgt (2)
y = 2·n + 1 mit n  N ; [nach Definition] .
Aus (1) und (2) folgt (3)
x·y = 2·m·(2·n + 1) ;
[Einsetzen] .
Aus (3)
folgt (4)
x·y = 2·(2·m·n + m) ;
[Distributivgesetz] .
Aus (4)
folgt (5)
x·y = 2·k mit k  N ;
[Summen und Produkte von
natürlichen Zahlen sind stets auch natürliche Zahlen] .
Aus (5)
folgt (Beh) x·y ist gerade ;
[Definition] .
_________________________________________________________________________
Schicke deine Lösungen bis zum 06.03. 2017 an die Adresse deines KZM-Zirkelleiters.
Vergiss nicht, einen leeren, mit 0,85 € frankierten und an dich adressierten Rückumschlag
mitzuschicken.