Analysis 1 (WS 2015/16) — Blatt 4

Prof. Dr. Marcel Griesemer
Dr. James Kennedy, Dr. Marco Falconi
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Übung: 12./13. Nov. 2015
Analysis 1 (WS 2015/16) — Blatt 4
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
(Leopold Kronecker, deutscher Mathematiker; 1823–1891)
Aufgaben zur schriftlichen Abgabe in der Übung am 12./13. Nov. 2015:
4.1. Sei a > 0 eine reelle Zahl. Zeigen Sie:
(a) Ist a > 1, dann gibt es für jedes K ∈ R ein n ∈ N, sodass an > K;
(b) Ist 0 < a < 1, dann gibt es für jedes ε > 0 ein n ∈ N, sodass an < ε.
Hinweis: Bernoulli’sche Ungleichung.
4.2. Zeigen Sie:
(a) Für beliebige reelle Zahlen a, b, c, d ∈ R mit a < b und c < d sind die Intervalle (a, b) und
(c, d) gleichmächtig;
(b) Das Intervall (0, 1) und R sind gleichmächtig.
Votieraufgaben:
4.3. (a) Finden Sie das Supremum und das Infimum der Menge
1
1 M=
+
n, m ∈ N ⊂ R.
n m Gilt sup M ∈ M , inf M ∈ M ?
(b) Sei A ⊂ R eine nichtleere, nach oben beschränkte Menge und sei B ⊂ R die Menge aller
oberen Schranken von A,
B := {x ∈ R | x ≥ a für alle a ∈ A}.
Beweisen Sie, dass sup A = inf B gilt.
4.4. Seien A, B ⊂ R nichtleere beschränkte Mengen. Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch ein
Gegenbeispiel:
(a) sup(A ∪ B) = max{sup A, sup B};
(b) inf(A ∩ B) = min{inf A, inf B}, falls A ∩ B 6= ∅;
(c) sup(−A) = − inf A, wobei −A := {−a | a ∈ A};
(d) sup(A + B) = sup A + sup B, wobei A + B := {a + b | a ∈ A ∧ b ∈ B}.
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Übung: 12./13. Nov. 2015
4.5. (a) Beweisen Sie, dass jede nach unten beschränkte Teilmenge von Z ein Minimum hat.
(b) Beweisen Sie, dass jede endliche Teilmenge von R ein kleinstes und ein größtes Element
besitzt.
Hinweis: Vollständige Induktion nach Zahl der Elemente wäre eine Möglichkeit.
4.6. Die Zahl q ∈ N, q ≥ 2, sei gegeben. Zeigen Sie, dass für jedes n ∈ N ganze Zahlen 0 ≤ xk ≤ q − 1
und ` ∈ N existieren mit
`
X
n=
xk q k .
k=0
Bemerkung: So kann man jede natürliche Zahl durch Potenzen von einer gegebenen Zahl ausdrücken: Wenn q = 2, erhalten wir die Binärzahlen, q = 10 liefert die Dezimaldarstellung.
Zusatzaufgaben:
4.7. Zeigen Sie, dass die Menge
M := {S ⊂ N | S endlich oder N \ S endlich}
abzählbar ist.